276 Recenzje recenzja w Wiadomościach Matematycznych, tom 45, nr 1). W roku 2003 w Dolnośląskim Wydawnictwie Edukacyjnym ukazała się książka Jacka Cic
|
|
- Konrad Zając
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Recenzje 275 formuła boole owska (w postaci koniunkcji alternatyw), w której każda klauzula ma k literałów, a każda zmienna występuje w co najwyżej 2k 4k klauzulach, jest spełnialna (to jest jedno ze sztandarowych zastosowań lokalnego lematu Lovásza). Dzięki odkryciu Mosera i Tardosa możemy teraz znaleźć odpowiednie wartościowanie za pomocą prostego algorytmu losowego w oczekiwanym czasie wielomianowym. Od strony dydaktycznej podręcznik napisany jest prawidłowo. Układ materiału, zakres, dobór przykładów i zadań jest właściwy. Jego głównym adresatem są doktoranci i studenci ostatnich lat informatyki, ale także i matematycy zainteresowani zastosowaniami teorii prawdopodobieństwa czy teorią obliczeń. Wydaje się, że pozycja ta może stanowić pewną konkurencję dla klasycznej książki Motwaniego i Raghavana, Randomized Algorithms, Cambridge University Press, Bardzo dobrze się stało, że została przetłumaczona na język polski. Jarosław Grytczuk (Kraków) Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005, 356 str. Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN, Warszawa 2005, 120 str. Książka Wojciecha Guzickiego i Piotra Zakrzewskiego jest, jak nazwa wskazuje, podręcznikiem do przedmiotu wykładanego tradycyjnie na pierwszym roku studiów matematycznych pod nazwą Wstęp do matematyki. Podręczniki do tego przedmiotu pisano już wcześniej. Najbardziej znaną, i jak się zdaje najczęściej polecaną przez wykładowców, jest opublikowana w roku 1968 książka Heleny Rasiowej Wstęp do matematyki współczesnej, wydawana jeszcze do dziś przez PWN. Nieco później, w roku 1970, opublikowano nakładem PWN książkę Juliana Musielaka pod niemal tym samym tytułem Wstęp do matematyki. Również za podręcznik do wstępu do matematyki trzeba uznać pierwszą część (wydanej ostatnio ponownie) książki Kazimierza Kuratowskiego Wstęp do teorii mnogości i topologii, która po raz pierwszy ukazała się w roku Ostatnio, w roku 2007, Wstęp do matematyki wydał Jan Kraszewski, a w roku 2006 Elementy teorii mnogości Jarosław Górnicki (patrz c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne
2 276 Recenzje recenzja w Wiadomościach Matematycznych, tom 45, nr 1). W roku 2003 w Dolnośląskim Wydawnictwie Edukacyjnym ukazała się książka Jacka Cichonia Wykłady ze wstępu do matematyki. Wymienione tu książki znacznie różnią się objętością, zakresem tematycznym i sposobem prezentacji. Wszystkie stawiają jako główny cel wyłożenie logicznej i teoriomnogościowej podstawy dla przedmiotów matematycznych wykładanych w kursie uniwersyteckim. Jednak w kwestii ustalenia proporcji między poszczególnymi tematami i kolejności ich przedstawiania wymienieni tu Autorzy, a także piszący te słowa, mają zróżnicowane poglądy. Studiowanie matematyki, szczególnie w początkowym stadium, sprawia trudności ze względu na konieczność opanowania umiejętności ścisłego formułowania myśli i prowadzenia rozumowań dedukcyjnych, a także poprawnego rozumienia pojęć elementarnej teorii zbiorów, która jest powszechnie przyjętym językiem matematyki. Jak wynika z przedmowy, także Autorzy omawianej książki wyznają pogląd, że tak zwany wstęp do matematyki jest dla początkujących studentów przedmiotem trudnym, gdyż jak piszą wiąże się to...ze znacznym stopniem abstrakcji wprowadzanych pojęć i rozumowań teoriomnogościowych. Sposób na usunięcie tej trudności widzą Autorzy w podaniu czytelnikowi dużej ilości przykładów. Jest to sposób niewątpliwie bardzo dobry, który został w książce Guzickiego i Zakrzewskiego zrealizowany z sukcesem. Książka bowiem obfituje w niebanalne i ciekawe przykłady (zwykle oryginalne), których celem jest nie tylko zilustrowanie niezbędnych definicji, ale także wytworzenie u czytelnika pewnych intuicji pomocnych w ich późniejszym stosowaniu. Wiadomo, że przykłady pomagają oswoić się z definicjami. Pozostaje jeszcze problem naturalności owych definicji, czy też ich akceptacji jako czegoś naturalnego. Tu Autorzy są mniej przekonywujący. Czytelnik książki Guzickiego i Zakrzewskiego może odnieść wrażenie, że definicje działań mnogościowych podane są niejako arbitralnie, bez odniesienia do, jak się zdaje, bardziej intuicyjnych praw sylogistyki arystotelesowskiej, czyli dwuwartościowej logiki klasycznej. Związek między logiką a operacjami na zbiorach omówiony jest dopiero przy końcu wykładu drugiego, po tym, jak wprowadzono wszystkie działania na zbiorach, łącznie z sumą i iloczynem indeksowanej rodziny zbiorów. W szczególności, symbol A jest już na stronie 10, podczas gdy w istocie potrzebny do jego zdefiniowania symbol pojawia się dopiero na stronie 40, zaś pojęcie formuły logicznej dopiero na stronie 331.
3 Recenzje 277 Taką samą kolejność, to jest najpierw rachunek zbiorów, a następnie rachunek zdań i kwantyfikatorów, przyjęła w swojej książce Rasiowa. Jednak Kuratowski, jak również i pozostali wymienieni powyżej autorzy, wykład z teorii zbiorów poprzedzają wprowadzeniem z logiki. Przyznaję, że i ja uważam za celowe poprzedzenie wykładu teorii zbiorów niewielkim wstępem zawierającym pojęcia spójników logicznych, kwantyfikatorów i najważniejszych praw, które nimi rządzą, w tym także pojęcia dedukcji, czyli dowodu w sensie matematycznym. Uważam w szczególności, że łatwiej jest zaakceptować prawa przeczenia alternatywy i koniunkcji niż odpowiadające im prawa de Morgana dla zbiorów. Można także rozważyć argumenty historyczne: w historii rozwoju matematyki logika poprzedzała teorię mnogości. Oczywiście, zbytnie rozbudowanie aparatu logicznego uczyniło by książkę trochę nudną. Taka obawa być może skłoniła Autorów do drastycznej redukcji logiki w książce. Poza tym zastrzegli oni w podtytule, że książka jest wprowadzeniem do teorii mnogości. Książka składa się z trzynastu wykładów zgrupowanych w trzech częściach oraz z dodatku podzielonego na sześć części. Część pierwsza dotyczy podstawowych własności zbiorów i funkcji. Przy tym funkcja także traktowana jest jako zbiór, a więc jest utożsamiana ze swoim wykresem. Taką definicję funkcji podał już Peano, chociaż w książce Rasiowej panuje jeszcze opisowa definicja podawana uczniom szkół średnich. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że książka Guzickiego i Zakrzewskiego jest podręcznikiem ze wszech miar nowoczesnym. Dysponując już pojęciem funkcji, w drugiej części książki Autorzy omawiają równoliczność zbiorów. Przedstawione tu rozumowania są bardzo dokładne i poparte wieloma przykładami. Ze szczególną uwagą potraktowano twierdzenie o przeliczalności zbioru N N podając dwa różne dowody. Można było dodać jeszcze trzeci dowód korzystający z udowodnionego wcześniej twierdzenia Cantora Bernsteina. Nieco później, w wykładzie 13, Autorzy podają także dwa dowody lematu Kuratowskiego Zorna. Zabieg dydaktyczny polegający na podawaniu różnych dowodów tego samego twierdzenia uważam za bardzo dobry. Można w ten sposób przedstawić różne konstrukcje matematyczne, często równie ważne. Bywa, że dowód staje się ważniejszy od samego twierdzenia. Relacje na zbiorach opisane są dopiero w części trzeciej. Taka kolejność równoliczność przed relacjami została wybrana przez Autorów słusznie, bo dzięki temu duże nagromadzenie definicji nie pojawia się w książce zbyt wcześnie. Tu także, w wykładzie 11, przedstawione zostały konstrukcje zbiorów liczbowych. W szczególności, są tu liczby
4 278 Recenzje naturalne wprowadzone poprzez aksjomaty Peana; jest także twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Może to trochę późno, gdyż definicje indukcyjne pojawiały się już wcześniej. Na przykład, już na stronie 75 pojawia się ciąg Fibonacciego. W tej części książki jest także konstrukcja Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, lecz niepełna, bo brakuje dowodu zasadniczego w matematyce faktu, że R jest ciałem. Trudno mi zgodzić się z Autorami, że sprawdzenie własności działań na przekrojach jest...łatwe, chociaż żmudne. Uważam, że początkujący studenci, a do takich książka jest adresowana, mogą sobie z tymi dowodami nie poradzić. Zgadzam się jedynie z opinią, że dowody te są żmudne. Integralną częścią wykładu są dodatki. Zajmują one ponad sto stron i podzielone są na pięć części: składowe, zbiory skończone, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, liczby kardynalne, aksjomaty teorii mnogości. Składowe rodziny zbiorów, o których mowa w dodatku A, wiążą się z postaciami normalnymi formuł klasycznego rachunku zdań. Ze względu jednak na zbyt szczupły aparat logiczny Autorzy niestety nie mogli tych związków opisać. W dodatku B opisano bardzo precyzyjnie pojęcie zbioru skończonego, łącznie ze skończonością w sensie Dedekinda i skończonością w sensie Tarskiego. Wspomniano także o roli pewnika wyboru w dowodzie równoważności tych pojęć, ale temat nie został rozwinięty. W dodatku C omówione są liczby porządkowe. Ten fragment książki wydaje się najtrudniejszy. Definicja liczby porządkowej pojawia się dwukrotnie. Wpierw na stronie 270 jest definicja odwołująca się do intuicji klas abstrakcji ze względu na izomorfizm zbiorów dobrze uporządkowanych, a potem na stronie 283 jest już ścisła definicja von Neumanna, według której liczba porządkowa to zbiór przechodni (tranzytywny), w którym relacja należenia jest dobrym porządkiem. Zasada indukcji pozaskończonej omówiona jest w dodatku D. Jako przykład jej zastosowania podany jest dowód bardzo ciekawego i nieczęsto spotykanego w literaturze twierdzenia Stefana Mazurkiewicza mówiącego, że na płaszczyźnie istnieje zbiór, który każda prosta przecina dokładnie w dwóch punktach. Omówiona jest także hierarchia zbiorów borelowskich. Liczby kardynalne, zdefiniowane jako liczby porządkowe początkowe, omawiane są w dodatku E. Tu także podany jest dowód, sygnalizowanego już na stronie 142, twierdzenia Hessenberga mówiącego, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ zachodzi równość κ κ = κ. Na koniec, niejako na deser, w dodatku F podane są aksjomaty teorii ZFC, czyli teorii mnogości Zermelo i Fraenkla wraz z pewnikiem wyboru. Aksjomaty
5 Recenzje 279 podane są w sposób bardzo elegancki, bez zbędnego formalizmu, za to z licznymi komentarzami i przykładami. Uzupełnieniem książki Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości jest Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, tych samych autorów. Zbiory zadań z logiki i teorii mnogości oczywiście istnieją w polskiej literaturze matematycznej. Trzeba tu wspomnieć klasyczny już zbiór zadań Wiktora Marka i Janusza Onyszkiewicza Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach wydany przez PWN w roku 1972 i od tego czasu stale wznawiany. Ponadto w 2005 to samo wydawnictwo opublikowało polskie tłumaczenie książki Ławrowa i Maksimowej Zadania z teorii mnogości, logiki i teorii algorytmów. Zbiór zadań Guzickiego i Zakrzewskiego jest równie dobry, jak część zasadnicza ich dzieła. Zadania są dobrze przemyślane i dobrane ściśle do poszczególnych wykładów. W ten sposób Autorzy mogli pominąć wstępy teoretyczne przed każdą serią zadań, co jest konieczne w innych książkach tego typu. Z drugiej strony, czytelnik zbioru zadań Guzickiego i Zakrzewskiego zmuszony jest do czytania także ich książki Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Książka Guzickiego i Zakrzewskiego jest moim zdaniem bardzo dobra. Jest nowoczesna, ciekawa i napisana w sposób przyjazny dla Czytelnika. Autorzy, mając na uwadze małe wyrobienie matematyczne odbiorcy, do którego książka jest adresowana, unikają nadużywanych niekiedy w książkach określeń typu łatwo widać. Myślę, że nawet czytelnik, który już przedmiot zna, może tu znaleźć dla siebie kilka rodzynków. Jestem przekonany, że recenzowana książka z powodzeniem może spełnić rolę wiodącego podręcznika ze wstępu do matematyki. Aleksander Błaszczyk (Katowice)
Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Wstęp do logiki i teorii
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Wstęp do logiki i teorii mnogości (LTM010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN:
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Logika i Struktury Formalne Nazwa w języku angielskim : Logic and Formal Structures Kierunek studiów : Informatyka
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania
Bardziej szczegółowoLogika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Bardziej szczegółowoInformatyka, I stopień
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Informatyka, I stopień Sylabus modułu: Podstawy logiki i teorii mnogości (LTM200.2) wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1003 Logika Logics
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Z-LOG-100 Logika Logics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/201 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z matematyki dla studentów chemii
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii NR 142 Justyna Sikorska Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii Wydanie piąte Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2013 Redaktor serii: Matematyka
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoUchwała nr 51. Zarządu Samorządu Studentów Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Humanistycznych Uniwersytetu Warszawskiego
Uchwała nr 51 Zarządu Samorządu Studentów Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Humanistycznych Uniwersytetu Warszawskiego z 22 lipca 2012 w sprawie propozycji wprowadzenia ekwiwalentów dla
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z matematyki dla studentów chemii
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii NR 114 Justyna Sikorska Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii Wydanie czwarte Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2010 Redaktor serii: Matematyka
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowoZ-ID-203. Logika. Podstawowy Obowiązkowy Polski Semestr II. Semestr zimowy Wiedza i umiejętności z matematyki w zakresie szkoły średniej NIE
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ID-203 Kod modułu Nazwa modułu Logika Nazwa modułu w języku angielskim Logic Obowiązuje od roku akademickiego 201/2016 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
Bardziej szczegółowoZ-ZIP Logika. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki Dr Beata Maciejewska. Podstawowy Nieobowiązkowy Polski Semestr trzeci
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ZIP-1003 Kod modułu Nazwa modułu Logika Nazwa modułu w języku angielskim Logic Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoZagadnienia wybrane nauczania matematyki Kod przedmiotu
Zagadnienia wybrane nauczania matematyki - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Zagadnienia wybrane nauczania matematyki Kod przedmiotu 05.1-WP-EEiTP-ZWNM Wydział Kierunek Wydział Pedagogiki,
Bardziej szczegółowo2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoKod przedmiotu: 05.1-WP-PED-PNM Typ przedmiotu: specjalnościowy
P O D S TT A W Y N A U C ZZ A N I A M A TT E M A TT Y K I Kod przedmiotu: 05.1-WP-PED-PNM Typ przedmiotu: specjalnościowy Język nauczania: polski Odpowiedzialny za przedmiot: nauczyciel akademicki prowadzący
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Geometria analityczna (GAN010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoPW Wydział Elektryczny Rok akad / Podstawowe Informacje dla studentów
PW Wydział Elektryczny Rok akad. 2017 / 2018 Podstawowe Informacje dla studentów Piotr Multarzyński, e-mail: multarynka@op.pl, konsultacje: Zob isod. Przedmiot: Matematyka 1 Cel przedmiotu: Zapoznanie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II
Bardziej szczegółowo1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
Załącznik Nr 5 KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Geometria różniczkowa (GRO030) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/5 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 3 6. LICZBA
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości
Kierunek Profil kształcenia Nazwa jednostki realizującej moduł/przedmiot: Kontakt (tel./email): Osoba odpowiedzialna za przedmiot: Osoba(y) prowadząca(e) Przedmioty wprowadzające wraz z wymaganiami wstępnymi
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Statystyka matematyczna (STA230) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Statystyka matematyczna (STA230) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/5 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 6 6. LICZBA GODZIN: 30
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoRachunek zdań 1 zastaw zadań
Rachunek zdań 1 zastaw zadań Zadanie 1 ([1]) Wyraź w języku KRZ następujące zdania języka naturalnego: (a) Jeśli Jan jest ateistą to Jan nie jest katolikiem. (b) Jeśli Jan jest ateistą to nieprawda, że
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: Wiadomości i umiejętności z zakresu matematyki ze szkoły średniej.
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza matematyczna I (ANA011) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 11 6. LICZBA GODZIN: 60 /
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowodr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310
dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 LITERATURA Praca zbiorowa pod. red. B. Wikieł Matematyka, Podstawy z elementami matematyki wyższej W.Krysicki, L.Włodarski
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza rzeczywista Kod
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Matematyka Dyskretna Nazwa w języku angielskim : Discrete Mathematics Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoREPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ
MONIKA FABIJAŃCZYK ANNA WARĘŻAK REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ DEFINICJE TWIERDZENIA PRZYKŁADY I KOMENTARZE Skrypt dla studentów przygotowujących się do egzaminu licencjackiego
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Równania różniczkowe (RRO020) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: II/4 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 4 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania
Bardziej szczegółowo