Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I stopnia Liczba godzin/tydzień: W E, C Semestr: III Liczba punktów: 6 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z rachunkiem różniczkowym i całkowym funkcji wielu zmiennych oraz odwzorowań w przestrzeniach euklidesowych. Nabycie umiejętności różniczkowania i całkowania funkcji wielu zmiennych oraz ich stosowania do wyznaczania ekstremów i wielkości geometrycznych oraz mechanicznych WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I i II 2. Wiedza z zakresu algebry liniowej. Umiejętność rozwiązywania układów równań liniowych i określania charakteru form kwadratowych 4. Umiejętność wyznaczania granic ciągów liczbowych i granic funkcji rzeczywistej jednej zmiennej 5. Umiejętność różniczkowania i całkowania funkcji rzeczywistych jednej zmiennej EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 definiuje pojęcia i przedstawia twierdzenia z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych (także funkcji wektorowych) EK 2 wymienia zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych EK wyznacza granice ciągów i funkcji wielu zmiennych, bada istnienie i nieistnienie granicy, oblicza pochodne kierunkowe i cząstkowe (pierwszego i drugiego rzędu )
EK 4 wyznacza różniczki pierwszego i drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych, bada różniczkowalność funkcji oraz stosuje rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych do badania istnienia i wyznaczania ekstremów funkcji także warunkowych EK 5 oblicza całki wielokrotne oraz krzywoliniowe i powierzchniowe pierwszego rodzaju EK 6 stosuje całki do obliczania wielkości geometrycznych i mechanicznych TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY W 1 k-wymiarowa przestrzeń Euklidesowa. Ciągi - granice ciągów i granice funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych, własności funkcji ciągłych Liczba godzin W 2 Pochodne kierunkowe i cząstkowe. Twierdzenie o szacowaniu przyrostu funkcji W Różniczkowalność i pierwsza różniczka funkcji wielu zmiennych W 4 Reguły różniczkowania i twierdzenie o wartości średniej W 5 Rachunek różniczkowy drugiego rzędu. Symetria drugiej różniczki. Wzór Taylora drugiego rzędu W 6 Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Warunek konieczny i dostateczny. Wartość największa i najmniejsza W 7 Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Twierdzenie Lagrange a 2 W 8 Odwzorowania w przestrzeniach euklidesowych wielowymiarowych. Rachunek różniczkowy pierwszego rzędu W 9 Odwzorowania w przestrzeniach euklidesowych wielowymiarowych. Rachunek różniczkowy drugiego rzędu W 10 Przekształcenia nieosobliwe i dyfeomorfizmy. Twierdzenie o odwzorowaniach odwrotnych i twierdzenie o funkcji uwikłanej W 11 Podwójna i potrójna całka Riemanna. Konstrukcja, przykłady W 12 Całki iterowane. Całkowanie przez podstawienie. Zastosowanie całek wielokrotnych. 4 W 1 Całki krzywoliniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Zastosowanie W 14 - Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Zastosowanie W15 Wzory całkowe wzór Greena i Gaussa-Ostrogradskiego
Forma zajęć ĆWICZENIA C 1 Powtórzenie granicy ciągów przestrzeni jednowymiarowej i technik obliczania granic ciągów i funkcji. Granice ciągów w przestrzeni k-wymiarowej i granice funkcji wielu zmiennych C 2 Obliczanie pochodnych kierunkowych i cząstkowych z zastosowaniem definicji i reguł różniczkowania C Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Badanie różniczkowalności i wyznaczanie pierwszej różniczki. Przykłady funkcji nieróżniczkowalnych C 4 Rachunek różniczkowy drugiego rzędu. Pochodne kierunkowe i cząstkowe drugiego rzędu. Wyznaczanie drugiej różniczki C 5 Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Zastosowanie warunku koniecznego i dostatecznego oraz badanie istnienia na podstawie definicji Liczba godzin 4 C 5 Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 2 C 6 Rachunek różniczkowy pierwszego rzędu odwzorowań między przestrzeniami euklidesowymi C 7 Rachunek różniczkowy drugiego rzędu odwzorowań między przestrzeniami euklidesowymi C 8 Kolokwium I rachunek różniczkowy 2 C 9-10 Obszary normalne na płaszczyźnie i w przestrzeni. Obliczanie całek podwójnych i potrójnych C 11 Zastosowanie twierdzenia o podstawieniu do całkowania. Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne 5 C 12 Zastosowanie całki podwójnej i potrójnej 2 C 1 Całki krzywoliniowe i powierzchniowe 4 C 14 Zastosowanie całek krzywoliniowych i powierzchniowych C 15 Kolokwium II rachunek całkowy 2 NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych 2. ćwiczenia
SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA). ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń. ocena aktywności podczas zajęć. ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów zaliczenie na ocenę. ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu egzamin pisemny z zadań i teorii OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Obecność na konsultacjach Przygotowanie do kolokwiów Przygotowanie do egzaminu Obecność na egzaminie Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 45W 45C 90h 10 h 15 h 5 h 15 h 11h 4h Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, która student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym 150 h 6 ECTS 4 ECTS,2 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA Literatura podstawowa A. Birkholc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002 Literatura uzupełniająca R. Rudnicki Wykłady z analizy matematycznej. PWN, Warszawa 2006 W.J. Kaczor, M.T. Nowak Zadania z analizy matematycznej. Część Całkowanie. PWN 2006 W. Kołodziej Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. GiS, Wrocław 2010 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 2. Przykłady i zadania. GiS, Wrocław 2010 PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL) 1. dr hab. Małgorzata Klimek, prof. PCz. mklimek@im.pcz.pl 2. dr Jolanta Lipińska, jolanta.lipinska@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia EK1 EK2 Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka K_W02 K_W04 K_W05 K_W07 K_U01 K_U02 K_U17 K_U24 K_W04 K_W05 K_W07 K_U01 Cele przedmiotu Treści programowe Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny C1 W1-15 1 C1 W5-7,1,15 1
K_U17 K_U24 EK K_U09 K_U10 K_U11 W1-2 C1-2,4 EK4 K_U11 K_U12 W-7 C-5 EK5 K_U1 K_U14 W10-15 C9-11,1 EK6 K_U1 K_U14 W1,15 C12,14 II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę 2 Na ocenę Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK 1- EK2 Student nie spełnia kryteriów oceny Student potrafi podać część definicji i sformułować podstawowe twierdzenia z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych definiuje pojęcia z zakresu analizy funkcji/funkcji wektorowych wielu zmiennych oraz poprawnie formułuje twierdzenia. Zna zastosowania rachunku całkowego. definiuje pojęcia z zakresu analizy funkcji/funkcji wektorowych wielu zmiennych oraz poprawnie formułuje twierdzenia. Potrafi przeprowadzić dowody wybranych twierdzeń. Zna zastosowania rachunku całkowego.
EK -EK6 Student nie spełnia kryteriów oceny Student potrafi przeprowadzić podstawowe obliczenia z zakresu analizy funkcji wielu zmiennych oblicza granice ciągów, pochodne kierunkowe i cząstkowe, wyznacza różniczki pierwszego i drugiego rzędu oraz ekstrema. Oblicza całki korzystając z podstawowych technik. przeprowadza obliczenia, stosuje odpowiednie twierdzenia. Obok obliczeń podstawowych bada istnienie granicy funkcji i ciągu, ciągłość funkcji wielu zmiennych i jej różniczkowalność. Oblicza całki i potrafi je zastosować do wyznaczania wielkości geometrycznych i mechanicznych. przeprowadza podstawowe i zaawansowane obliczenia w zakresie rachunku różniczkowego i całkowego. Bada istnienie granicy funkcji i ciągu, ciągłość funkcji wielu zmiennych i jej różniczkowalność. Oblicza całki stosując wszystkie poznane twierdzenia i metody oraz potrafi je zastosować do wyznaczania wielkości geometrycznych i mechanicznych. Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej: www.wimii.pcz.pl 2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: www.im.pcz.pl