PRMETRYCZN IDENTYFIKCJ STRUKTUR MECHNICZNYCH TŁUMIONYCH W SPOSÓB NIECIĄGŁY W ZSTOSOWNIU DO OBUDOWY KOTWIOWEJ ndrzej Stanek Główny Instytut Górnctwa, Katowce 1 WPROWDZENIE W śwatowym górnctwe węglowym obudowa kotwowa odgrywa wodącą rolę jako element bezpecznego utrzymana wyrobsk korytarzowych. Wśród lczących sę producentów węgla wydobywanego sposobem podzemnym: US, RP ustral jest ona praktyczne jedyną stosowaną obudową wyrobsk korytarzowych wykazuje dużą dynamkę wzrostu zastosowań w nnych krajach, w tym także w Polsce. Poważnym mpulsem do rozszerzena stosowana tej obudowy jest rozwój przemysłu wytwarzającego zmechanzowany sprzęt do kotwena, przede wszystkm lekke kotwark pneumatyczne hydraulczne, wozy kotwącopodporowe, a także szerok asortyment kotw stalowych. Innym, stotnym czynnkem rozwoju obudowy kotwowej, szczególne w skałach słabych, dotychczas tradycyjne podtrzymywanych obudową podporową, było masowe wprowadzane do użytku ładunków klejowych na baze żywc polestrowych do osadzana kotw w górotworze. Nezależne od metod projektowana sposobu wykonana obudowy kotwowej, podstawowe znaczene dla stwerdzena stanu utrzymana bezpeczeństwa ma kontrola pracy jej parametrów. W przecweństwe bowem do obudowy podporowej, która może być w każdej chwl poddawana nspekcj wzualnej oraz testom sprawdzającym po jej zabudowanu, stotna (tj. pracująca w odwercanych otworach) część konstrukcj obudowy kotwowej jest newdoczna dla obserwatora znajdującego sę w wyrobsku. Powykonawcze sprawdzene wszystkch jej elementów jest natomast albo nemożlwe, albo bardzo ucążlwe. Obecne stosuje sę powszechne następujące rodzaje kontrol pracy obudowy kotwowej: kontrolę wzualną, polegającą na wzrokowej ocene jakośc wykonana mocowana zewnętrznych częśc obudowy, kontrol rozstawu usytuowana kotw oraz sprawdzenu, jeszcze na powerzchn, typu jakośc prętów, termnu ważnośc użytego spowa (ładunku klejowego) tp. kontrolę parametrów pracy obudowy kotwowej, polegającą na pomarze nośnośc nomnalnej kotw oraz, w przypadku zamocowana odcnkowego, próbnego obcążena kotw. kontrolę statecznośc wyrobska badane rozwarstwena skał stropowych lub zacskana wyrobska. W praktyce górnczej, mmo stnejących na rynku bardzo dobrych spow, w następstwe: rozwarstwena skał, uceczk kleju do szczeln, sedymentacj cementu, pracy górotworu, żerdź kotwowa bardzo często ne jest zwązana mechanczne z górotworem na całej swojej długośc. Ne można tego stwerdzć dotychczas stosowanym metodam. W takej sytuacj newadomym jest, czy zamocowana kotew pełn swoją funkcję właścwe, jaka mąższość skały jest faktyczne przez ną zwązana, konsekwencją czego może być zawalene sę stropu. W wynku szerszej analzy problemu można stwerdzć, ż skuteczna metoda kontrol cągłośc wklejena żerdz kotwowej do górotworu ne została jeszcze opracowana. Ne jest węc kontrolowany podstawowy czynnk wpływający na pracę obudowy kotwowej, a tym samym na stablność wyrobska bezpeczeństwo pracy załog. Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 191
2 PODSTWY TEORETYCZNE PROWDZONYCH BDŃ Wszystke właścwośc dynamczne struktur mechancznych mają charakter welkośc rozproszonych w przestrzen. Te właścwośc to: masa, sztywność mechanczna oraz tłumene, odpowedzalne odpowedno za bezwładność, sły sprężystośc oraz tarce. Modelowane rzeczywstej struktury mechancznej jest stąd przedsęwzęcem bardzo złożonym lub wręcz nemożlwym dla opsu wzajemnego oddzaływana wszystkch właścwośc mechancznych badanej struktury mechancznej ze sobą. Jednakże, w wększośc przypadków, satysfakcjonujące rezultaty mogą być osągnęte, jeżel podstawowe właścwośc badanej złożonej struktury rozpatrywane są jako suma cech zboru prostych elementów dyskretnych, na które ta struktura może być podzelona, a które właścwe powązane mogą reprezentować z zadawalającą dokładnoścą jej charakterystyk dynamczne. 2.1 Model modalny Jedną z metod analzy właścwośc mechancznych struktur lub układów mechancznych jest analza modalna. Może być ona stosowana, jeżel badana struktura mechanczna spełna następujące założena: spełnona jest zasada lnowośc, a węc dynamka może być opsana za pomocą lnowego układu równań różnczkowych, współczynnk równań opsujących dynamkę są nezmenne w czase pomarów, badana struktura jest obserwowalna stneje możlwość pomaru charakterystyk, których znajomość jest nezbędna do dentyfkacj modelu, spełnona jest zasada wzajemnośc Maxwella, tzn. odpowedź w -tym punkce na wymuszene w j-tym punkce jest równa odpowedz w j-tym punkce na to samo wymuszene w -tym punkce, tłumene jest małe lub proporcjonalne. Ostatn warunek jest stotny, gdy stosowane są metody dentyfkacj parametrów modalnych dla jednego stopna swobody, natomast w praktyce dla struktur slne tłumonych dentyfkacja modelu możlwa jest przez zastosowane technk opartych na metodze najmnejszych kwadratów. Model modalny zdefnowany jest jako zbór częstotlwośc drgań własnych, współczynnków tłumena dla tych częstotlwośc oraz postac drgań (wektorów modalnych). Welkośc te z modelu strukturalnego układu można otrzymać poprzez rozwązane zagadnena własnego. Stąd też często analzę modalną defnuje sę jako rozwązane zagadnena własnego dla badanej struktury mechancznej. 2.2 Układy o welu stopnach swobody Podstawowym pojęcem zwązanym z analzą modalną jest lczba stopn swobody. Jest to mnmalna lczba nezależnych współrzędnych, których znajomość jest koneczna do opsana położena układu w przestrzen. Dla przykładu: lczba stopn swobody dla bryły sztywnej wynos 6: trzy stopne zwązane z przesunęcam wzdłuż poszczególnych os układu współrzędnych oraz trzy zwązane z obrotam wokół tych os. Każdy układ mechanczny może być traktowany jako zbór neskończonej lczby małych brył sztywnych, z tego też względu może być on traktowany jako układ o neskończonej lczbe stopn swobody. W praktyce wszystke układy aproksymuje sę układem o skończonej lczbe stopn swobody. Jest to konsekwencją budowy model układów mechancznych, na podstawe których analzuje sę ch ruch w określonym zakrese częstotlwośc. Z lczbą stopn swobody zwązany jest wymar macerzy mas, sztywnośc tłumena, jak równeż lczba teoretycznych częstotlwośc drgań własnych postac drgań [9, 10, 12]. W praktycznych zastosowanach stosuje sę równeż modele zredukowane, gdze zmnejszene lczby stopn swobody wąże sę ze zmnejszenem wymaru macerzy mas, sztywnośc tłumena, jednakże taka redukcja ne może ogranczać sę jedyne do elmnacj wybranych kolumn werszy macerzy mas, sztywnośc tłumena, gdyż w konsekwencj otrzymalbyśmy układ o nnych właścwoścach mechancznych, lecz do redystrybucj parametrów opsujących masę, sztywność tłumene z redukowanych werszy kolumn do pozostałych. Bardzej trafnym określenem jest węc tutaj kondensacja macerzy. Na rys. 1 przedstawono przykład układu o welu stopnach swobody, który stanow pręt stalowy (żerdź kotwowa) przytwerdzony na określonym odcnku do górotworu z wykorzystanem żywcy polestrowej (wklejene formułuje 192 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008
określone warunk brzegowe). Układ ten był analzowany w trakce prowadzonych badań. modalnej realzowanej na modelu elementów skończonych badanego obektu dla różnych warunków brzegowych odpowadających różnym przypadkom necągłośc wklejena. Układ pomarowy stosowany w metodze przedstawono na rys. 2. Rys. 1. Układ o welu stopnach swobody drgający pręt stalowy (żerdź kotwowa) z zaznaczonym warunkam brzegowym (przytwerdzene na określonym odcnku do górotworu, z wykorzystanem żywcy polestrowej. 3 METOD IDENTYFIKCJI CIĄGŁOŚCI WKLEJENI ŻERDZI KOTWIOWYCH ZMOCOWNYCH W GÓROTWORZE Metoda dentyfkacj cągłośc wklejena żerdz kotwowych w górotworze realzowana jest poprzez wymuszene drgań badanego obektu z wykorzystanem młotka udarowego wyposażonego w przetwornk sły umeszczony w głowcy młotka, oraz równoczesną rejestrację sygnału wymuszena, pochodzącego z przetwornka sły, sygnału odpowedz na to wymuszene, pochodzącego z pezoelektrycznego przetwornka drgań. Kerunek wymuszena jest prostopadły do os symetr żerdz, oś główna przetwornka odborczego równeż jest prostopadła do os symetr żerdz. Wymuszene odbywa sę dla klku punktów rozmeszczonych na wystającym z górotworu odcnku żerdz kotwowej dla danego położena przetwornka odborczego umejscowonego na tymże odcnku żerdz. Rejestrację sygnałów prowadz sę sekwencyjne dla każdej pary punktów pomarowych, wykorzystując skonstruowany system akwzycj danych. Dane zapsywane są w postac plków w formace UF (ang. unversal fle). Następne dane mportowane są do programu realzującego analzę modalną celem dentyfkacj odpowednch częstośc własnych badanego obektu, charakterystycznych dla danego rodzaju necągłośc wklejena. Otrzymane częstośc własne porównywane są z wynkam teoretycznej analzy Rys. 2. Układ pomarowy: (1) żerdź kotwowa; (2) przetwornk drgań; (3) system akwzycj danych; (4) stacja robocza dla analzy modalnej; (5) młotek udarowy; (a-n) punkty wymuszena, L długość wklejena. Natomast praktyczną realzację układu pomarowego w częśc dotyczącej akwzycj rejestracj danych pomarowych w warunkach rzeczywstych stosowana samodzelnej obudowy kotwowej prezentują rysunk 3 4. Rys. 3. Przenośny system akwzycj rejestracj funkcj przejśca PSR-FRF, realzacja badań w warunkach rzeczywstych stosowana samodzelnej obudowy kotwowej. Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 193
Rys. 4. Wymuszane drgań młotkem udarowym, sygnał odpowedz merzony pezoelektrycznym przetwornkem drgań. Zaletam metody jest możlwość oceny cągłośc wklejena w dowolnym momence po zamontowanu kotw, nenszczący charakter metody oraz brak konecznośc nstalacj oprzyrządowana w górotworze. Jednym z podstawowych warunków realzacj metody jest dentyfkacja modelu modalnego badanej struktury. Model modalny struktury mechancznej składa sę zasadnczo z dwóch macerzy: macerzy fundamentalnej zawerającej częstotlwośc własne współczynnk tłumena drgań (parametry te zawarte są w wartoścach własnych macerzy), macerzy modalnej zawerającej wektory własne drgań (postace drgań). Możemy węc konstruować model, zaczynając od dentyfkacj pojedynczych wektorów modalnych, a bardzej złożony model (nekoneczne kompletny) stanowłyby zestawone razem współrzędne poszczególnych wektorów modalnych wraz z odpowadającym m częstotlwoścam drgań własnych współczynnkam tłumena. Z pojedynczej charakterystyk funkcj przejśca H jk (ω), gdze j,k oznaczają odpowedno punkty wymuszena odpowedz, możlwe jest oblczene: częstotlwośc własnej, tłumena oraz reszty modalnej dla r-tego modu [6, 7]. H ( ) ω, η, ; r = 1 m ω (1) jk r r r jk, ω m gdze: r,η r, r jk, oznaczają odpowedno częstotlwość drgań, współczynnk tłumena, resztę modalną lczbę modów drgań zdentyfkowanych w procese analzy. by otrzymać poszczególne elementy macerzy modalnej [Φ], czyl współrzędne wektorów modalnych φ jr, koneczne jest przeprowadzene ser pomarów funkcj przejśca kolejno w różnych punktach badanej struktury mechancznej. Szczególne ważnym jest tu pomar odpowedz bezpośredno w punkce wymuszena. Możemy wtedy otrzymać składowe r-tego modu drgań, znając resztę modalną r kk w tym punkce na podstawe zależnośc (2): 2 kr φ = (2) r kk Pozostałe współrzędne wektora modalnego mogą być oblczone z równana (3): r jk φ jr = (3) φkr kr jr gdze: φ, φ współrzędne wektora po jego znormalzowanu. Stąd dla pełnego obrazu drgań badanej struktury o n stopnach swobody potrzebny jest pomar funkcj przejśca w n różnych punktach badanej struktury, włączając w to funkcję przejśca merzoną w punkce wymuszena [10, 12]. Jest to równoważne pomarow funkcj przejśca będących elementam kolumny lub wersza macerzy [H]. W praktyce często zasadnym jest zwększene lczby punktów pomarowych pomar dodatkowych elementów macerzy, np. dodatkowego wersza (lub kolumny). W prowadzonych badanach zasadnczym parametrem modalnym, który był brany pod uwagę dla rozróżnena poszczególnych przypadków necągłośc wklejena, jest częstotlwość drgań własnych. Postac drgań własnych z oczywstych względów ne mogą być określone dla całej drgającej struktury (brak dostępu do częśc umejscowonej w górotworze). Było to możlwe jedyne w warunkach laboratoryjnych. Celem zwększena dokładnośc metody pomary funkcj przejśca wykonywane były dla 5-7 punktów rozmeszczonych na wystającym z górotworu odcnku żerdz. Zapewnało to oblczane częstotlwośc drgań własnych z wykorzystanem wększej lczby równań oraz uśrednene otrzymanych wynków metodą najmnejszych kwadratów. Dodatkowo można było w ten sposób unknąć przypadkowego wymuszena drgań w węźle określonej postac drgań. Na rys. 5 6 przedstawono przykłady wynków prowadzonych badań dla wklejena 194 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008
realzowanego w sposób kontrolowany w warunkach rzeczywstych stosowana samodzelnej obudowy kotwowej. Rys. 5. Charakterystyk FRF dla poszczególnych punktów wymuszena dla przypadku wklejena na długośc 1/2 długośc żerdz, zaczynając od calzny stropu. Rys. 6. Charakterystyk FRF dla poszczególnych punktów wymuszena dla przypadku wklejena na długośc 1/2 długośc żerdz, zaczynając od dna otworu. Zasadnczy element dentyfkacj necągłośc wklejena to porównane wyznaczonych eksperymentalne częstotlwośc drgań własnych z bazą danych otrzymaną w wynku teoretycznej analzy modalnej realzowanej na modelu elementów skończonych badanego obektu dla różnych warunków brzegowych odpowadających różnym przypadkom necągłośc wklejena. Model teoretyczny, aby mógł być stosowany jako baza odnesena, musał być dostrojony w oparcu o wynk eksperymentu dla przypadków wklejena prowadzonych w sposób kontrolowany. 4 WYKONNIE OBLICZEŃ I WERYFIKCJ WRUNKÓW BRZEGOWYCH Proces dostrojena model eksperymentalnego teoretycznego realzowano dla przypadków, które analzowane były w rzeczywstych warunkach stosowana obudowy kotwowej w wyrobskach zakładów górnczych (dla przypadków, w których wklejene prowadzone było w sposób kontrolowany). Wykonane oblczeń, które mało na celu określene wrażlwośc odpowedz w poszczególnych punktach modelu (stopnach swobody) na zmany wartośc zboru parametrów modelu (opsujących właścwośc mechanczne badanego obektu, czyl: parametry materałowe, przyjęty rodzaj tłumena tp.), ne dało pozytywnych rezultatów. Brak możlwośc dopasowana model eksperymentalnego analtycznego poprzez zmany parametrów modelu skłonł autora do neznacznych modyfkacj przyjętych warunków brzegowych w modelu teoretycznym (długośc odcnków, na których żerdź była wklejona), a które w praktyce mogły częścowo różnć sę od założonych. Po szeregu przeprowadzonych w sposób teracyjny zman geometr warunków brzegowych oraz towarzyszących m oblczenach parametrów modalnych funkcj przejśca osągnęto zadawalającą zgodność dopasowana model. Stwerdzono, że ten sposób dopasowana jest efektywny dla całej grupy przypadków, uwzględnając zdentyfkowane dla danego przypadku częstośc własne. Uzasadnony jest równeż wnosek, ż parametry opsujące właścwośc mechanczne modelu elementów skończonych zostały właścwe określone już na etape jego projektowana (parametry wyznaczane były empryczne) stąd wcześnejszy brak skutecznośc dopasowana modelu przez ch modyfkację. 4.1 Dopasowane model modalnych eksperymentalnego oraz teoretycznego Jednym z podstawowych zadań teoretycznej analzy modalnej jest dostrajane model oblczenowych (np. model elementów skończonych), które stanową analtyczny obraz rzeczywstych badanych obektów, do modelu eksperymentalnego. Dostrojene model wykonuje sę, wykorzystując wynk eksperymentalnej analzy modalnej. Wszelke modyfkacje rzeczywstego Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 195
obektu mogą być wtedy opsane wprowadzonym zmanam w modelu analtycznym [1]. Wynk eksperymentalnej analzy modalnej w postac charakterystyk funkcj przejśca są merzone rejestrowane w toku pomaru. Dla porównywana model analtycznego eksperymentalnego najbardzej dogodne jest porównane parametrów modalnych tych model. Wynka to z faktu, że oblczene przebegu funkcj przejśca dla model analtycznych wymaga wcześnejszej znajomośc parametrów modalnych, a jej postać zależy od lczby modów drgań, które uwzględnone zostały w oblczenach. Parametry modalne natomast mogą być określane oddzelne dla poszczególnych modów drgań w przyjętym zakrese częstotlwośc, ogranczonym do zakresu użytecznego dla konkretnego testu. Z drugej strony eksperymentalna dentyfkacja parametrów modalnych wymaga wykonana konecznych procedur oblczenowych. Warunkem jest tu posadane określonych mocy oblczenowych czasu. Pommo tego wymagana, porównane parametrów modalnych modelu eksperymentalnego analtycznego jest jedną z najczęścej stosowanych obecne metod dopasowana model. W celu weryfkacj dopasowana model teoretycznego eksperymentalnego najbardzej oczywstą czynnoścą jest porównane zmerzonych częstotlwośc własnych względem wartośc oblczonych numeryczne (w oparcu o model elementów skończonych). Można take porównane zrealzować tabelaryczne oraz w forme wykresu. Wykres jest bardzej użyteczny, gdyż pozwala na określene stopna korelacj tych model oraz przedzału występujących rozbeżnośc. Ważnym jest jednak, aby zestawane dane pochodzły od odpowadających sobe postac (modów) drgań, ne koneczne kolejnych. Jeżel modele są dobrze skorelowane ze sobą, to punkty wykresu, w którym na osach oznaczone są odpowadające sobe częstotlwośc drgań własnych, pownny znajdować sę na prostej przecnającej ose współrzędnych pod kątem około 45. Duże rozproszene punktów śwadczy o poważnych błędach modelowana numerycznego lub błędach popełnonych w trakce pomarów. Jeżel odchylene punktów ma charakter systematyczny, śwadczy to o występowanu nelnowośc w badanej strukturze. 4.2 Metody porównana model teoretycznego eksperymentalnego, wyznaczane korelacj funkcj przejśca W przypadku dostrojena model eksperymentalnego analtycznego przez porównane wyznaczane korelacj charakterystyk odpowedz badanego układu na wymuszene może być to realzowane zarówno w dzedzne czasu odpowedź mpulsowa układu (IRF), jak w dzedzne częstotlwośc funkcja przejśca (FRF). W najprostszej forme stopeń zgodnośc określany jest przez nałożene pojedynczych charakterystyk otrzymanych dla obu dopasowywanych model. Warunkem wykreślena teoretycznych charakterystyk funkcj przejśca jest przyjęce prawdłowych założeń dotyczących: rodzaju stopna tłumena (co ne jest bezpośredno częścą modelowana) lczby wektorów modalnych, które uwzględnone będą w oblczenach [10]. Podczas typowego testu modalnego, w przypadku mpulsowego wzbudzana drgań, wymuszene wykonywane jest w welu punktach badanego obektu (dla testów z wzbudnkem drgań zmenane jest położene przetwornka odborczego). Dla otrzymana stopna korelacj dopasowana model analtycznego eksperymentalnego dla wymuszena w punkce j odpowedz w punkce k można zdefnować parametr FRC(j) k (ang. Frequency Response ssurance Crteron) określony zależnoścą (4): FRC ( j) L = 1 k = L ( ) ( H ( ω )) H ( ω ) jk L 2 ( H jk ( ω )) ( H jk ( ω )) = 1 = 1 jk 2 2 (4) gdze H jk jest funkcją przejśca dla modelu eksperymentalnego, natomast H jk funkcją przejśca dla modelu analtycznego; =1,L oznacza zakres częstotlwośc, w którym dokonuje sę oblczena, j oznacza punkt wymuszena, k punkt odpowedz. 4.3 Metoda dostrajana model w dzedzne częstotlwośc Metody dostrajana model elementów skończonych na podstawe danych z eksperymentu podzelć można na: 196 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008
metody bezpośredne dostrajana, w których poszczególne elementy macerzy mas sztywnośc są dostrajane w oparcu o wynk oblczeń eksperymentu, metody pośredne oparte na dopasowanu właścwośc fzycznych modelu. Druga grupa metod dostrajana wydaje sę być bardzej odpowedna, poneważ operacje wykonywane są wprost na welkoścach fzyczne występujących w danej strukturze. Rozpatrując odpowedź układu w dzedzne częstotlwośc zakładając, że po pewnych modyfkacjach dostrojony model elementów skończonych poprawne przedstawa zmerzone funkcje przejśca, równane opsujące odpowedź układu po przed modyfkacją możemy przedstawć w postac [9, 10]: [ Z ( ω )]{ H ( ω )} { f } = [ Z ( ω )]{ H ( ω )} U = (5) gdze: Z macerz sztywnośc dynamcznej, f przyłożona sła,,, U symbole oznaczające odpowedno model eksperymentalny, oblczenowy poprawony oblczenowy. Odejmując od obu stron równana wyrażene: [ Z ( ω )]{ H ( ω )}, dla przyłożonej sły jednostkowej równane (5) może być przekształcone do postac: [ Z( ω )]{ H ( ω )} = { I} [ Z ( ω) ]{ H ( ω )} (6) j gdze: [ Z(ω)] błąd macerzy sztywnośc dynamcznej, j lokalzacja punktu przyłożena sły. Mnożąc obe strony równana przez macerz funkcj przejśca dla modelu analtycznego otrzymamy: [ H ] [ Z( ω) ]{ H ( ω) } = { H ( ω) } { H ( ω) } j = { H ( ω) } (7) Prawa strona równana przedstawa brak dopasowana funkcj przejśca: analtycznej eksperymentalnej. by dojść do rozwązana problemu, koneczny jest wybór parametrów wpływających na welkość błędu. Wyberamy N p parametrów modelu jako zmenne tworzące wektor {P}, które są przyczyną braku dopasowana model analtycznego eksperymentalnego. Parametry te można przedstawć w postac bezwymarowej: p 0 0 ( P P ) P = (8) gdze {P 0 } są wartoścam parametrów dla modelu analtycznego przed wprowadzenem zman. Parametry dopasowana p reprezentują częścowe zmany zmennych parametrów modelu. Szukana macerz sztywnośc dynamcznej dla dopasowywanego modelu elementów skończonych [Z U ] jest funkcją {p} może być przedstawona jako rozwnęce w szereg Taylora względem macerzy sztywnośc dynamcznej początkowego modelu, [Z ], w sposób określony zależnoścam: N p = + = 1 [ Z ] [ Z ] + [ Z ] = [ Z ] U [ Z ] 2 p + O( p ) p (9) Pozostawając jedyne składnk sumy dla pochodnej perwszego rzędu, otrzymujemy: [ Z ] = N p [ Z ] = 1 p p (10) Podstawając wyrażene (10) do równana (7), otrzymujemy po przekształcenach: [ S( ω )]{ p} { H ( ω )} gdze: [ S( ω) ] [ H ( ω) ] = (11) [ Z] { H ( ω) } [ Z] { H ( )} = + L+ ω p1 pn p Każdy wersz macerzy [S(ω)] określa wrażlwość odpowedz w poszczególnych stopnach swobody (współrzędnych) na zmany wartośc zboru parametrów p. Równane (11) przedstawa układ N lnowych równań dla N p newadomych odnoszących sę do pojedynczej częstotlwośc ω. Merząc N f punktów charakterystyk częstotlwoścowej, można utworzyć N f układów równań, co daje N f x N równań dla N p newadomych. Tak nadmarowy układ równań może być rozwązany, np. z wykorzystanem metody dekompozycj wartośc osoblwych (ang. SVD), a otrzymany wynk jest rozwązanem uśrednonym metodą najmnejszych kwadratów. W przypadku braku wynków dla pewnych stopn swobody (brak wymuszena dla tych stopn) wersze równana (11) mogą być rozdzelone można rozpatrzyć brak dopasowana model tylko dla punktów wymuszena. Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 197
Jeżel jednak ne zamerzamy redukować lczby stopn swobody w modelu elementów skończonych macerz wrażlwośc po lewej strone równana (8) wymaga określena odpowedz dla wszystkch stopn. 4.4 Utworzene analza model elementów skończonych dla badanych przypadków necągłośc wklejena Odcnk, na których żerdź (stalowy pręt) jest wklejona w górotworze, formułują określone warunk brzegowe. Różne przypadk necągłośc wklejena mogą być wtedy opsane poprzez zmanę warunków brzegowych w modelu analtycznym. Następne po dostrojenu model elementów skończonych może stanowć odnesene dla wynków badań eksperymentalnych neznanych przypadków. W badanach własnych do budowy model elementów skończonych zastosowano oprogramowane MSC/Patran. Program ten umożlwa tworzene model elementów skończonych w oparcu o zaawansowane narzędza programstyczne, służące do odwzorowana dowolnej geometr obektu. Budowę modelu rozpoczęto od wprowadzena jego geometr. Następne dokonano podzału modelu geometrycznego na elementy dyskretne oraz przypsano m określone właścwośc fzyczne, take jak: gęstość materału, moduł Younga, lczba Possona, na podstawe których tworzone są macerze mas sztywnośc. Podzał modelu na grupy elementów skończonych daje możlwość przypsana określonych właścwośc fzycznych do określonej grupy. Może to być wykorzystane w kolejnym etape, którym jest dostrajane model: teoretycznego eksperymentalnego. Do oblczeń dynamcznych model elementów skończonych zastosowano program MSC/Nastran. Na rys. 7 przedstawono geometrę modelu elementów skończonych dla żerdz kotwowej wklejonej w górotwór. Górotwór został zamodelowany w postac walca. Dla przyblżena warunków rzeczywstych węzły leżące na powerzchn walca zostały w modelu uneruchomone (położene jednego z uneruchomonych węzłów zaznaczono lterą ). Warstwę spowa na odcnkach, na których żerdź była mechanczne zwązana z górotworem, zamodelowano w postac wydrążonego walca o średncy wewnętrznej równej średncy żerdz średncy zewnętrznej równej średncy otworu w górotworze. Rys. 7. Geometra modelu elementu skończonych dla żerdz kotwowej wklejonej w górotwór, model utworzony w programe Patran. Na rys. 8 przedstawono przykład modelowanej necągłośc wklejena. Wdoczna jest warstwa spowa przylegająca do żerdz (warstwa skały została grafczne zdjęta). Rys. 8. Przykład necągłośc wklejena. Postać drgań charakterystyczna dla końcowego odcnka żerdz jest równeż wdoczna na odcnku wystającym z górotworu, co umożlwa pomar. Konec żerdz ne jest mechanczne zwązany ze skałą. Modele elementów skończonych utworzone zostały dla różnych przypadków necągłośc 198 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008
wklejena, które praktyczne można było zrealzować w rzeczywstych warunkach stosowana obudowy. Po utworzenu model analtycznych (MES) realzowano teoretyczną analzę modalną. W wynku przeprowadzonej teoretycznej analzy modalnej, która obejmowała oblczena częstotlwośc drgań własnych oraz funkcj przejśca (dla wymuszena w punkce leżącym na wystającym z górotworu odcnku żerdz), otrzymano dla każdego analzowanego przypadku zbór częstotlwośc drgań własnych charakterystycznych dla zamodelowanego rodzaju necągłośc. Na rys. 9 10 pokazano przykłady wynków realzowanej procedury dopasowana model. Przedstawono wynk zastosowana kryterum FRC dla rozpatrywanych przypadków oraz zestawene częstotlwośc drgań własnych zdentyfkowanych dla obektu rzeczywstego analtycznego (MES), tabele 1 2. Poprawność dopasowana określana jest w oparcu o porównane charakterystyk funkcj przejśca oraz wartośc częstotlwośc drgań własnych. W przypadku przedstawonym na rys. 7 11 są to częstotlwośc odpowedno 306,9 Hz 1872,5 Hz, charakterystyczne dla drgań odcnka przed wklejenem, oraz 585,2 Hz 924,4 Hz (oznaczone w tabel 1 czconką pogruboną) charakterystyczne dla drgań odcnka za wklejenem. Inertancja, w db B Częstotlwość, w Hz Inertancja, w db Częstotlwość, w Hz Rys. 9. Wklejene na połowe długośc żerdz, zaczynając od calzny stropu. Porównane funkcj przejśca zmerzonej oblczonej w oparcu o MES. Tabela 1. Porównane zdentyfkowanych częstotlwośc drgań własnych dla wklejena typu 1100 (w połowe długośc żerdz, zaczynając od calzny stropu). Częstotlwośc wyznaczone Lp. teoretyczne eksperymentalne w Hz 1 98,9-2 277,1-3 307,9 306,9 4 544,3 585,2 5 903,2 924,4 6 1356,7-7 1815,1 1872,5 8 1909,1 - Rys. 10. Wklejene na połowe długośc żerdz, zaczynając od dna otworu. Porównane funkcj przejśca zmerzonej oblczonej w oparcu o MES. Tabela 2. Porównane zdentyfkowanych częstotlwośc drgań własnych dla wklejena typu 0011 (na połowe długośc żerdz, zaczynając od dna otworu). Częstotlwośc wyznaczone Lp. teoretyczne eksperymentalne w Hz 1 89,3 90,5 2 250,8 247,8 3 492,8 475,8 4 816,5 780,9 5 1225,3 1147,4 6 1725,6 1596,7 7 2317,3 2118,5 8 2992,3 2702,6 Na rys. 10 wdoczne jest przesunęce częstotlwośc drgań własnych w górnym zakrese analzowanego pasma (odpowadające sobe częstotlwośc oznaczono lteram B). Jednakże analza współczynnków korelacj dla poszczególnych przypadków wykazała dobre dopasowane model eksperymentalnego analtycznego. Oznacza to, że przesunęce częstotlwośc ma Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 199
charakter systematyczny ne wnos znaczącego wpływu do jakośc dopasowana. Nemnej jednak śwadczy to o stnenu charakterystyk częstotlwoścowej (np. nelnowośc) powodującej to odchylene. Proces dopasowana model eksperymentalnego teoretycznego może być przedstawony na schemace blokowym, rys. 11. EKSPER Y MENT: POMIR FUN K CJI PRZEJŚCI (FRF) BUDOW M O DELU ELEME N TÓW SKOŃCZO NYCH (MES) EKSPERYME N TL- N NLIZ M O DLN TEORETYCZN NLI Z M O DLN WYBÓR PRME TRÓW PODLEG JĄCYCH DOSTR O JENIU NLIZ WRŻLI WOŚCI, METODY ITERCY J NE DOPS O WNI WERYFIKCJ DOPS O WNI: KRYTE RIUM FRC, NLIZ KOR E LCJI Rys. 11. Proces dopasowana waldacj model eksperymentalnego teoretycznego. a) Na rys. 12 przedstawono przykłady postac drgań oblczonych w oparcu o model MES dla przypadków wklejena na odcnku 1/2 długośc żerdz, analzowanych na rys. 5 6. Przedstawone w tabelach 1 2 częstotlwośc drgań żerdz kotwowej dentyfkują necągłość wklejena. Podkreślć należy, ż poszczególne zbory częstotlwośc, są charakterystyczne dla poszczególnych przypadków necągłośc wklejena. Potwerdzene skutecznośc dostrojena poszczególnych analzowanych przypadków przeprowadzono w oparcu o analzę współczynnków korelacj pomędzy modelam analtycznym eksperymentalnym oraz charakterystyk regresj lnowej. 4.5 Opracowane statystyczne wynków badań, oblczena współczynnków korelacj oraz regresj lnowej Jako wynk dopasowana model: analtycznego eksperymentalnego oblczono współczynnk korelacj oraz charakterystyk regresj lnowej (dla pozomu ufnośc 95%) dla wyznaczonych eksperymentalne oraz oblczonych w oparcu o model elementów skończonych częstotlwośc drgań własnych [3]. Opracowane statystyczne wynków badań jest podsumowanem uzyskanych rezultatów. Przykład prowadzonych oblczeń przedstawono na rys. 13. 2000 MES vs. EKSPERYMENT MES = -2,260 +,97034 * EKSPERYMENT Wsp. korelacj =,99974 1800 b) MES - CZĘSTOTLIWOŚĆ, w Hz 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 400 800 1200 1600 2000 EKSPERYMENT - CZĘSTOTLIWOŚĆ, w Hz Regresja 95% p.ufnośc Rys. 13. Współczynnk korelacj oraz wykres regresj lnowej dla wklejena w połowe długośc, zaczynając od calzny stropu. Rys. 12. Przykłady postac drgań wyznaczonych teoretyczne dla dwóch przypadków wklejena na odcnku 1/2 długośc żerdz zaczynając: a) od calzny stropu, b) od dna otworu. W tabel 3 zestawono częstotlwośc drgań własnych dla trzech przypadków o takm samym type wklejena (jak w przypadku analzowanym 200 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008
na rys. 9) oraz dla porównana wynków oblczeń w oparcu o model elementów skończonych (model MES). Częstotlwoścom drgań własnych wyznaczonym eksperymentalne odpowadają częstotlwośc modelu analtycznego o wklejenu na długośc 180 cm lcząc od dna otworu (brak wklejena 70 cm dla żerdz o długośc 2,5 m). Tabela 3. Zestawene częstotlwośc drgań własnych dla trzech przypadków o takm samym type wklejena. Częstotlwośc drgań własnych, w Hz Lp. Eksperyment Nr 7 Nr 17 Nr 9 MES 1 291,9 306,9 311,4 307,9 2 599,2 585,2 626,6 544,3 3 886,3 924,4 937,6 903,2 4 1867,4 1872,5 1863,6 1815,1 B 4.6 Przesłank do dentyfkacj necągłośc wklejena dla neznanego przypadku Badana prowadzone na wklejanych w sposób kontrolowany żerdzach kotwowych w wyrobskach chodnkowych dostarczyły cennych nformacj dotyczących możlwośc dentyfkacj necągłośc wklejena oraz wpływu określonych rodzajów necągłośc na zmany ch parametrów modalnych. Po przeprowadzenu procesu dostrojena model analtycznego eksperymentalnego dla różnych przypadków necągłośc wklejena przeprowadzono badana na żerdzach będących elementem samodzelnej obudowy kotwowej w typowym wyrobsku chodnkowym. Wynk analzy dla wybranego przypadku przedstawono w tabel 4 oraz na rys. 14. Dla dentyfkacj necągłośc wklejena wyznaczone eksperymentalne częstotlwośc drgań własnych posłużyły jako dane wejścowe do procesu wyszukwana przypadku analtycznego o określonych warunkach brzegowych (długośc wklejena), z wykorzystanem wcześnej utworzonej bazy danych. Tabela 4. Zdentyfkowane częstotlwośc drgań własnych dla neznanego przypadku. Częstotlwośc wyznaczone Lp. teoretyczne eksperymentalne w Hz 1 197,1 214,6 2 552,8 585,7 3 1082,8 1106,9 4-1159,2 5 1800,4 1817,7 Rys. 14. Charakterystyk funkcj przejśca otrzymane dla pomarów w warunkach ruchowych (neznana necągłość wklejena), charakterystyka zmerzona oznaczene lterą, charakterystyka oblczona na podstawe zdentyfkowanych parametrów modalnych oznaczene lterą B. Obserwowane na rys. 14 rozdwojene częstotlwośc 1106,9 Hz 1159,2 Hz wytłumaczyć można nepełną symetrą drgań poprzecznych w osach x y (przyjmując oś z jako oś symetr żerdz kotwowej). 5 PODSUMOWNIE I WNIOSKI KOŃCOWE Duże zanteresowane stosowanem obudowy kotwowej w przemyśle górnczym wynka z jej parametrów ekonomcznych. Zabezpeczane wyrobska taką obudową wymaga mnejszego nakładu czasu oraz zużytych materałów, jest równeż technczne dogodnejsze od nnych sposobów zabezpeczena. W górotworach charakteryzujących sę mocnym stropam obudowa kotwowa stosowana jest powszechne. W polskm górnctwe węglowym, gdze stateczność stropu jest nska obudowa kotwowa jest stosowana rzadzej, nemnej zanteresowane jej stosowanem wyraźne wzrasta. Równocześne na rynku usług obserwuje sę brak nenszczących metod badana poprawnośc zamocowana obudowy kotwowej (żerdz kotwowych) Dotychczas opracowane metody ne dostarczają dostateczne pewnych wynków. Dlatego też podjęto pracę nad nenszczącą Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008 www.statsoft.pl/czytelna.html 201
metodą badana stopna wklejena żerdz kotwowych z wykorzystanem nowoczesnych algorytmów przetwarzana sygnałów drganowych. Opracowana metoda opera sę na wykorzystanu: mpulsowego wymuszena drgań, analzy modalnej, utworzenu model teoretycznych badanych struktur mechancznych wraz z ch weryfkacją eksperymentalną dla najczęścej spotykanych przypadków necągłośc wklejena żerdz. W badanach laboratoryjnych wykazano zwązek przyczynowo skutkowy pomędzy pobudzenem kotw do drgań poprzecznych a odpowedzą charakteryzującą badaną strukturę. Ze względu jednak na duże różnce w sposobe wązana elementów układu: kotew-spowo-górotwór od warunków rzeczywstych wynk badań laboratoryjnych ne mogły stanowć bazy odnesena. W tym celu podjęto prace nad modelem teoretycznym. Do opracowana modelu teoretycznego zastosowano oprogramowane Patran/Nastran, uwzględnając rzeczywstą geometrę badanych struktur mechancznych, sposób ch połączena oraz parametry materałowe (wyznaczone równeż empryczne). Prawdłowość tego wyboru potwerdzona została wynkam analz korelacyjnych modelu teoretycznego przypadków kontrolowanego wklejena żerdz kotwowych do górotworu (w KD Barbara GIG), co jest jednoznacznym potwerdzenem prawdłowośc modelu. Dla realzacj częśc eksperymentalnej opracowano zestaw aparaturowy oraz program, napsany w środowsku LabVIEW, umożlwające rejestrację akwzycję funkcj przejśca (ang. FRF) w warunkach ruchowych. Równolegle zastosowano fabryczne oprogramowane do analzy modalnej CD-. Parametry dynamczne badanej struktury (żerdz kotwowej) determnowane są przez warunk brzegowe, które stanową odcnk wklejena żerdz do górotworu. Warunkem konecznym do dentyfkacj odcnków necągłośc jest stnene teoretycznego modelu badanej struktury uwzględnającego różne przypadk necągłośc wklejena (dla badań nenszczących). Wynk analzy modalnej zrealzowanej na modelu teoretycznym, dostrojone do modelu eksperymentalnego stanową wzorzec odnesena dla dentyfkowanych neznanych przypadków. Wzorzec odnesena może być stosowany dla różnych typów skał stropowych występujących w wyrobskach korytarzowych. Dla określena parametrów dynamcznych (modalnych) badanych obektów bardzej odpowednm jest wymuszane drgań poprzecznych. Masa przetwornka odborczego znacząco wpływa na parametry dynamczne badanych obektów, stąd ważna jest jej mnmalzacja. Zestaw pomarowy (aparatura oprogramowane) został zweryfkowany w warunkach rzeczywstej kopaln dla przypadków o neznanym stopnu wklejena kotw do górotworu. Uzyskane wynk znajdują pokryce w welkoścach opsywanych przez modele wzorcowe, co jest potwerdzenem praktycznej przydatnośc aparatury, metody przetwarzana sygnałów oraz samych model wzorcowych. BIBLIOGRFI 1) Bochnak W., Uhl T., Lsowsk W. 1999. Problemy dostrajana model elementów skończonych. Kraków: GH. 2) Bshop R.E.D, Gladwell G.M.L. 1963. n nvestgaton nto the theory of resonance testng. Phlosophcal Transactons of the Royal Socety of London, vol. 225 1055. 3) Brandt S. 1974. Metody statystyczne oblczenowe analzy danych dośwadczalnych. PWN. 4) Brown D.L., llemang R.J., Zmmerman R, Mergeay M. 1979. Parameter estmaton technques for modal analyss, SE Paper no. 790221. 5) Byron F.W., Fuller R.W. 1975. Matematyka w fzyce klasycznej kwantowej. PWN. 6) Dossng O. 1988. Structural Testng, Part I: Mechancal moblty measurements. Naerum: Bruel & Kjaer. 7) Dossng O. 1988. Structural Testng, Part II: Modal analyss and Smulaton. Naerum: Bruel & Kjaer. 8) Ewns D.J., Gleeson P.T. 1982. method for modal dentfcaton of lghtly damped structures, Journal of Sound and Vbraton, vol. 84 no.1, pp 57-79. 9) Ewns D.J. 2000. Modal Testng: theory, practce and applcaton. Herts, England: Research Studes Press Ltd., Letchworth. 10) Maa, N.M.M., Slva, J.M.M. 1997. Theoretcal and Expermental Modal nalyss. 11) Stanek. 2005. Method for dentfcaton of groutng contnuty of rock bolts. rchves of Mnng Scences, Vol. 50, Issue 3. 12) Uhl T. 1997. Komputerowo wspomagana dentyfkacja model konstrukcj mechancznych. WNT. 202 www.statsoft.pl/czytelna.html Zastosowana metod statystycznych w badanach naukowych III StatSoft Polska 2008