Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Leszczyński Nr albumu: 320155 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem prof. Piotra Rybki Instytut Matematyki Stosowanej Czerwiec 2014

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie W pracy przedstawiono zastosowanie teorii sterowania w celu znalezienia optymalnej strategii inwestycyjnej dla firmy produkcyjnej. Wykorzystano model firmy doskonale konkurencyjnej oraz firmy będącej monopolistą na rynku. Problem maksymalizacji zysku został przedstawiony jako zagadnienie Bolzy, o skończonym czasie, bez więzów końcowych. Słowa kluczowe teoria sterowania; optymalizacja; maksymalizacja zysku; firma doskonale konkurencyjna; monopolista 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Teoria sterowania Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim Optimal investing in company s development - application of control theory

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Narzędzia........................................ 7 2. Model I - firma doskonale konkurencyjna.................... 9 2.1. Założenia...................................... 9 2.2. Rozwiązanie zagadnienia.............................. 10 3. Model II - Monopol.................................. 15 3.1. Założenia...................................... 15 3.2. Rozwiązanie zagadnienia.............................. 17 4. Podsumowanie..................................... 23 3

Wprowadzenie Niniejsza praca poświącona jest zastosowaniu matematyki w rozwiązaniu klasycznego problemu mikroekonomii polegającego na ustaleniu, jak inwestować, by maksymalizować zysk. Jest to doskonały przykład, jak modele matematyczne dopełniają teorię ekonomii, by razem dać bardzo konkretne odpowiedzi na pytania dotyczące biznesu i przedsiębiorczości. Problem postawiony w pracy polega na optymalnym rozwoju firmy produkcyjnej, tak, by produkcja przyniosła największy zysk w określonym horyzoncie czasu (np. do końca trwania kadencji zarządu firmy). W pracy zostały rozważone dwa modele przedsiębiorstwa, firma doskonale konkurencyjna oraz monopolista. Niewielkie zmiany w założeniach dotyczących otoczenia rynkowego firmy prowadzą do znacznych różnic w stworzeniu modeli, oddających sytuacje poszczególnych przedsiębiorstw. Analiza tych modeli daje odpowiedź, jak firmy powinny dostosowywać swoją strategię inwestycyjną do pozycji zajmowanej na rynku. Chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, że znalezienie optymalnego czasu inwestycji, oraz jej skali nie są łatwe do wskazania. Intuicyjnie, jeśli zarząd nie będzie inwestować w firmę od początku, firma od razu będzie przynosić zyski. Z drugiej strony gdy firma zacznie się intensywnie rozwijać w pierwszym okresie istnienia, przyszłe wyniki sprzedaży mogą być znacznie wyższe. W takim razie kiedy ograniczyć inwestycje, by kumulować zyski i czy zysk firmy w całym rozpatrywanym okresie będzie większy, niż w pierwszym przypadku? Może rozsądne będzie podejście pośrednie i przeznaczenie na rozwój firmy od początku tylko części dochodów? Pomocne w rozwiązaniu tego problemu będą twierdzenia teorii sterowania. Dzięki wykorzystaniu zasady maksimum Pontriagina można udzielić odpowiedzi, jak inwestować, by maksymalizować zysk. W obu rozważanych modelach funkcja sterowania wyraża strategię zarządu firmy, polegającą na przeznaczenie zysku ze sprzedaży właścicielom firmy. Funkcja ta będzie przyjmowała wartości od zera do jeden, gdzie zero oznacza przekazanie całego zysku na inwestycje, natomiast jeden oznacza wypłacenie całości zysku właścicielom. Model firmy monopolistycznej musiał zostać wzbogacony o dodatkowy parametr sterujący, odpowiedzialny za decyzję, w jakim stopniu będą wykorzystywane moce produkcjyne. Takie rozbudowanie modelu oddaje możliwość skorzystania przez zarząd z silnej pozycji rynkowej przedsiębiorstwa, dzięki czemu ilość produktu wpływa na cenę rynkową. Aby nadać poruszanemu w pracy problemowi ogólny charakter, rozwiązanie uzależnione jest od parametrów związanych z efektami skali i produktywnością kapitału, a także jego deprecjacją oraz innymi kosztami, nie związanymi bezpośrednio z produkcją, ale mającymi wpływ na utrzymanie jej poziomu. Dzięki temu pozostaje prawdziwe dla różnych branż i specyfikacji produkcji. Rozwiązanie modelu pokazuje, że najlepszą strategią dla zarządu firmy doskonale konkurencyjnej będzie od początku kadencji inwestowanie całego zysku, by w pewnym momencie przestać rozwijać firmę i cały zysk do końca kadencji wypłacać właścicielom. Chwila w której należy zakończyć inwestowanie zależy od rentowności sprzedaży, efektywności inwestycji oraz tego, jak szybko spada produkcja, gdy w firmie nie ma żadnych inwestycji. Zatem czas trwania 5

inwestycji powinien być różny dla różnych branż i wielkości firm. Z kolei przedsiębiorstwo będące monopolistą, powinno inwestować dopóki będzie mogła produkować tyle, by móc ustalić równowagę na krzywej podarzy w punkcie, w którym będzie czerpała maksymalne zyski ze sprzedaży. Drugi model pokazuje, że monopolista jest w dużo bardziej komfortowej sytuacji, niż firma działająca na rynku doskonale konkurencyjnym. Jeśli uda mu się znaleźć w punkcie krzywej popytu, który odpowiada cenie najkorzystniejszej dla monopolisty, nie musi on w ogóle inwestować w moce produkcyjne. Natomiast jeśli jego fabryka jest zbyt mała, by zapewnić podaż, dla której cena jest optymalna, powinien inwestować tylko do momentu, w którym będzie to możliwe. 6

Rozdział 1 Narzędzia W obydwu modelach wprowadzamy układ sterowania: ẋ = f(s, x, u), u U, gdzie U jest zbiorem dopuszczalnych sterowań. Czyli mierzalnych funkcji u : [0, T ] U. U jest zbiorem wartości sterowań. Celem obliczeń będzie maksymalizacji funkcji ψ, opisującej zysk firmy na odcinku czasu [0, T ]. Funkcja ta jest wyrażona przez całkę: ψ(t) = t 0 g(s, x, u)ds, gdzie funkcja g opisuje zysk, jak przedsiębiorstwo generuje w danej chwili. Zadanie maksymalizacji będzie polegało na znalezieniu optymalnego sterowania, u, takiego, że ψ(t, x, u ) = max ψ(t, x, u), u U Tak sformułowany problem maksymalizacji funkcjonału ψ jest typowym przykładem zagadnienia Bolzy. Jednak wygodniej będzie, poprzez wprowadzenie nowej zmiennej x 2 (t) = ψ(t) oraz oznaczanie mocy produkcyjnych jako x 1, sprowadzić nasz problem do nowego zagadnienia maksymalizacyjnego, w którym będziemy szukać: max x 2(T ). u U Dzięki takiemu posunięciu, sprowadziliśmy powyższy problem do zagadnienia Mayera. Podstawowym narzędziem potrzebnym do znalezienia optymalnego sterowania będzie Zasada Maksimum Pontriagina ze swobodnym punktem końcowym: Twierdzenie 1 (Zasada maksimum Pontryagina) [1, Tw. 6.1.1] Dla problemu optymalnego sterowania w zagadnieniu Mayera, niech u (.) będzie ograniczonym, mierzalnym sterowaniem które odpowiada trajektorii x (.) = x(., u ) będzie optymalne. Niech p : [0, T ] R n będzie rozwiązaniem pomocniczego równania liniowego: ṗ(t) = p(t)d x f(t, x (t), u (t)), p(t ) = x 2. Wprowadźmy hamiltonian zadania, który ma postać H(t, x, u, p) = p(t)f(t, x, u) Wtedy warunek maksymalizacji: H(t, x (t), u (t), p ) = max ω U H(t, ω(t), x(t), p(t)) 7

jest spełniony dla każdego t [0, T ]. Przyjmujemy, że p jest wektorem wierszowym a f jest wektorem kolumnowym. Zastosowanie do rozwiązania problemu hamiltonianu znacznie ułatwia rachunki, głównie dzięki własnościom: ẋ = H p, ṗ = H x. 8

Rozdział 2 Model I - firma doskonale konkurencyjna 2.1. Założenia W modelu przyjmujemy, że zarząd firmy w czasie T, który można umownie nazwać końcem jego kadencji, ma za zadanie wypłacić właścicielom jak najwięcej pieniędzy. Zakładamy, że firma działa w warunkach doskonałej konkurencji, co oznacza, że napotyka nieograniczony popyt na swoje produkty, o ile będzie je sprzedawać po cenie rynkowej p. Oznacza to, że nasz zakład produkcyjny jest w stanie wytworzyć taką ilość towaru, która jest bardzo małą częścią podaży rynkowej, tak więc zmiana produkcji nie ma wpływu na cenę. Kolejnym założeniem jest to, że firma ponosi koszty stałe, nie związane z ilością produkcji C, które odzwierciedlają koszty ogólnego zarządu, administracji itp. Jednocześnie przy produkcji każdej jednostki towaru firma ponosi koszt c. Zatem sprzedaż jednostki towaru przynosi firmie zysk w wysokości p c. Decyzje inwestycyjne zarządu będzie odzwierciedlała funkcja sterowania u, która wyraża, jaka część zysków jest wypłacana właścicielom, zatem u przyjmuje wartości od zera do jeden. Zmienna x będzie oznaczać moce produkcyjne firmy, które w chwili rozpoczęcia kadencji zarządu wynoszą x 0. Dalsze zmiany mocy produkcyjnych będą opisane równaniem różniczkowym: dx dt = (1 u)a(x(t, u)(p c) C) rx. Gdzie a jest współczynnikiem mówiącym o efektywności, z jaką nowa inwestycja zwiększy moce produkcyjne. Współczynnik ten oddaje różnice między poszczególnymi działami przemysłu (mniejszym kosztem można zwiększyć produkcję w fabryce skarpet niż mikroprocesorów). Współczynnik r odzwierciedla to, w jakim stopniu będą się zmniejszały moce produkcyjne bez inwestowania w firmę. Jest on związany z deprecjacją kapitału, kosztami szkoleń personelu, itd. Będzie on większy dla firm w których sprzęt często się zużywa (lub trzeba go wymieniać z powodów technologicznych), jak i w branżach cechujących się dużą rotacją personelu (koszty przeszkolenia) oraz potrzebą nieustannego podnoszenia kwalifikacji. Funkcja wypłaty, mówiąca o tym, ile pieniędzy dostaną właściciele firmy do chwili t, ma postać: ψ(t) = t 0 u(s)(x(s, u)(p c) C)ds. 9

Rozwiązanie zadania będzie polegać na znalezieniu funkcji sterowania u tak, by wartość ψ(t ) była maksymalna. Taka konstrukcja modelu wymaga pewnych założeń co do parametrów w nim przyjętych. Po pierwsze, jeżeli od początku nie będzie zysków w firmie, wtedy nie będzie czego inwestować, a ponieważ finansowanie zewnętrzne nie jest dopuszczalne, firma powinna jak najszybciej opuścić rynek.przyjmujemy zatem, że istnieje poziom produkcji x r, będący progiem rentowności: (p c)x r = C. (2.1) Założenie, że od początku firma przynosi zysk oznacza, że początkowa produkcja jest powyżej progu rentowności, czyli x 0 > x r. Należy także zauważyć, że zarząd firmy nie może dopuścić do tego, by moce produkcyjne chociaż na chwile znalazły się na poziomie x r, ponieważ wtedy przedsiębiorstwo nie będzie generowało zysków, zatem nie będzie mogło go zainwestować, czyli już nigdy nie wróci do mocy produkcyjnych generujących zysk. Zatem jeśli moce produkcyjne spadną do poziomu x r firma powinna zostać zamknięta, ponieważ nie będzie już w stanie zarabiać. Kolejnym niezbędnym założeniem jest to, że inwestycja prowadzi do wzrostu produkcji, czyli: a(p c) > r. (2.2) W przeciwnym wypadku koszty związane z utrzymaniem produkcji na dotychczasowym poziomie byłyby tak wysokie (lub efektywność inwestycji byłaby tak niska), że firma, nawet inwestując cały zysk, będzie produkować coraz mniej, co oznacza, że po pewnym czasie musi znaleźć się pod progiem rentowności. 2.2. Rozwiązanie zagadnienia Celem obliczeń jest znalezienie optymalnej strategii inwestycyjnej firmy, czyli takiego u, że: x 2 (T, u ) = max u U x 2(T, u)), gdzie ẋ = f(t, x, u), natomiast funkcja f wyraża sie wzorem: Dla uproszczenia obliczeń przyjmijmy Wtedy funkcja f wygląda następująco: ( ) (1 u)a(x1 (p c) C) rx 1 f(t, x, u) =. u(x 1 (p c) C) ϕ = p c, λ = aϕ = a(p c), C = ac (2.3) ( (1 u)(λx1 f(t, x, u) = C) ) rx 1. u(ϕx 1 C) Wprowadzamy hamiltonian zadania, który ma postać: H(t, x, u, p) = p 1 ((1 u)(λx 1 C) rx 1 ) + p 2 (u(ϕx 1 C), 10

gdzie korzystając z własności hamiltonianu, p = ( p 1 p 2 ) jest zmienną pomocniczą o następujących własnościach: ṗ = H x, Dzięki ostatniej własności, obliczamy: p(t ) = x 2 (T ) = Wiemy zatem, że p 1 (T ) = 0 oraz p 2 (T ) = 1. ẋ = H p, p(t ) = x 2(T ). ( x2 ) x 1 = x 2 x 2 ( ) 0. 1 Dzięki znajomości stanu układu w chwili końcowej T, oraz znając dynamikę zmiennych będziemy cofać się w czasie obserwując, jak zmieniają się równania, by obliczyć, jaką postać ma optymalne sterowanie. Szukane sterowanie u maksymalizuje hamiltonian zadania, zatem szukamy takiego u dla którego: H(t, x, u, p ) = max u U (H(t, x, u, p )) = = max u U H(t, x, u, p ) = p 1 ((1 u)(λx 1 C) rx 1 ) + p 2 (u(ϕx 1 C) = = max u U p 1(λx 1 C) rx 1 ) + u(p 2 (ϕx 1 C) p 1 (λx 1 C)). Okazuje się, że wyrażenie, które należy zmaksymalizować, jest liniowo zależne od u, zatem przyjmuje wartość maksymalną i minimalną na końcach przedziału [0, 1]. To, czy wyrażenie stojące przy u będzie dodatnie czy ujemne będzie determinowało wartość sterowania. Oznaczmy δ = p 2 (ϕx 1 C) p 1 (λx 1 C). Możemy teraz napisać, jak będzie wyglądało nasze sterowanie: 1 δ > 0, u(t) = c δ = 0, 0 δ < 0. W powyższym wzorze c jest nieznaną liczbą, o której w tej chwili nic nie wiemy. Naturalnie, teraz dalsze obliczenia muszą służyć określeniu znaku δ na odcinku [0, T ], co pozwoli ustalić wartość sterowania. Aby znaleźć punkt przełączenia, należy określić jak wyglądają p 1 i p 2. By to zrobić, skorzystajmy z własności hamiltonianu H x = ṗ: ( ) ( ) p1 ((1 u)λ r) + p 2 uϕ H x = p1 p 1 = Zatem skoro p 2 =0 dla każdego t [0, T ] to p 2 musi być stałą, a ponieważ z warunku końcowego p 2 (T ) = 1, to wnioskujemy, że p 2 (t) = 1 t [0, T ]. W takim razie δ przyjmuje postać: δ = ϕx 1 C p 1 (λx 1 C). 0. 11

Korzystając z (2.3) otrzymujemy: δ = ϕx 1 C ap 1 (ϕx 1 C). Następnie wyłączamy przed nawias ϕx 1 C tak, by łatwiej było określić znak iloczynu, mamy: δ = (1 ap 1 )(ϕx 1 C) natomiast po podstawieniu ϕ = p c, oraz pamiętając, że p 1 (T ) = 0, otrzymujemy: δ = (p c)x 1 C Ponieważ x 1 (T ) > x r, to δ jest dodatnia, zatem u(t ) = 1. Dalej należy określić, czy nastąpi chwila w której δ zmieni znak. Ponieważ produkcja jest rentowna, a im wcześniej przed chwilą T, tym produkcja większa (bo nie inwestujemy), zatem δ zmieni znak, kiedy: 1 ap 1 < 0 p 1 > 1 a, Zatem ewentualny punkt przełączenia powinien nastąpić, gdy p 1 = 1 a. Co więcej, wiemy, że przed chwilą T funkcja p 1 jest malejąca, więc jest możliwe, że przyjmuje interesującą nas wartość na odcinku [0, T ]. Aby ustalić punkt przełączenia należy rozwiązać niejednorodne liniowe równanie różniczkowe: { p1 = p 1 ((1 u)λ r) + uϕ, t [0, T ] (2.4) p 1 (T ) = 0. Ponieważ dopóki p 1 < 1 a, to u = 1 więc na tym odcinku równanie (2.4) przybiera postać: { p1 = p 1 r ϕ, p 1 (T ) = 0 t [0, T ] Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać: p 1 = Ce tr + ϕ r. Natomiast w naszym przypadku, korzystając z warunku końcowego p 1 (T ) = 0, otrzymujemy interesującą nas stałą. Zatem p 1 spełniające warunki końcowe zadania ma postać: p 1 (t) = ϕ r (1 er(t T ) ). Kolejnym krokiem jest znalezienie chwili w której p 1 = 1 a, czyli kiedy δ zeruje się: 1 a = ϕ r (1 er(t T ) ) e r(t T ) = 1 r aϕ. Teraz przykładając do obu stron równania logarytm otrzymujemy: r(t T ) = ln(1 r aϕ ). 12

A zatem interesująca nas chwila to: lub w bardziej czytelnej wersji: t = T + ln(1 r r aϕ ), t = T ln aϕ aϕ r. r Logarytm jest dobrze określony, zgodnie z założeniem (2.2), że aϕ = a(p c) > r, co więcej ponieważ aϕ aϕ r > 1 to przyjmuje on wartości dodatnie, co prowadzi do rozsądnego wniosku, że punkt przełączenia jest na odcinku [0, T ], chyba, że t < 0. W chwili t, u przyjmuje dowolną wartość pomiędzy zerem a jedynką, ponieważ równanie różniczkowe opisujące (2.4) ma wtedy postać: p 1 = r (1 u)aϕ uϕ, a a p 1 = r a ϕ + uϕ uϕ = r a ϕ < 0, Więc niezależnie od wartości u w chwili t, p 1 jest w tym momencie funkcją malejącą, zatem przed chwilą t δ jest mniejsza od zera, co pociąga za sobą u = 0, a równanie różniczkowe (2.4) na p 1 przyjmuje postać: p 1 = p 1 r p 1 aϕ = p 1 (r aϕ) < 0. Zatem p 1 jest funkcją malejącą także przed czasem t. Ten fakt dowodzi, że mamy tylko jeden punkt przełączenia sterowania u z uwagi na to, że δ nie może już przyjmować wartości dodatnich przed chwilą t. Więc ostateczne sterowanie optymalne u ma postać: gdzie c [0, 1]. 0 t < T u (t) = c t = T 1 t > T aϕ ln aϕ r r, aϕ ln aϕ r r, ln aϕ aϕ r r, 13

Rozdział 3 Model II - Monopol 3.1. Założenia Podobnie jak we wcześniejszym modelu i tym razem celem zarządu firmy jest maksymalizacja zysku do końca trwania swojej kadencji, czyli do czasu T. Jednak tym razem mamy do czynienia z przedsiębiorstwem będącym monopolistą. Naturalną konsekwencją tego, że nie ma na rynku wielu firm, gdzie produkcja jednej jest niewielka w porównaniu do całej podaży gałęzi, jest fakt, że teraz produkcja przedsiębiorstwa będącego monopolistą odgrywa kluczową rolę w tym, jaka ustali się cena rynkowa p. Do modelu musi zostać dodana jeszcze jedno sterowanie, które będzie odzwierciedlało, w jakim stopniu należy wykorzystywać moce produkcyjne firmy. Oznaczymy je jako u 2 i założymy, że będzie przyjmowało wartości od 0 do 1, gdzie 0 oznacza wstrzymanie produkcji, natomiast 1 oznacza pełne wykorzystanie mocy produkcyjnych. Dzięki wprowadzeniu tego sterowania, zarząd firmy będzie mógł kontrolować cenę, po jakiej sprzedaje swoje produkty. Intuicyjnie, można przyjąć, że sytuacja, w której u 2 = 0 nie powinna mieć miejsca ponieważ, poza skrajnymi przypadkami, powinno się opłacać produkować chociaż niewielką ilość produktu. Sterowanie decydujące o tym jaką część zysku przeznaczyć na inwestycje będzie oznaczana u 1. Przyjmując w dalszym ciągu moce produkcyjne firmy jako x 1, krzywa popytu będzie miała postać: p = B Ax 1 u 2. (3.1) Równanie to obrazuje, jak taktyka przedsiębiorstwa wpływa na cenę. Jeśli u 2 będzie bardzo małe, to dobro produkowane przez firmę będzie niezwykle rzadkie, zatem jego wartość będzie wtedy największa. Z kolei jeśli x 1 u 2 będzie duże, to rynek będzie nasycony produktem produkowanym przez firmę i zysk nie będzie duży. W nowym modelu zmieni się również równanie opisujące zmianę mocy produkcyjnych. Będzie ono wyglądało następująco: dx dt = (1 u 1)a(u 2 (t)x(t, u)(p c) C) rx. Taka postać równania jest naturalną konsekwencją tego, że teraz to, ile produktu uda się sprzedać wyraża wielkość u 2 x 1. Funkcjonał opisujący zysk przedsiębiorstwa będzie wyglądał następująco: ψ(t) = t 0 u 1 (s)(u 2 (s)x(s, u)(p c) C)ds. 15

Co jest również wymuszone wprowadzeniem nowego sterowania. Model powinien być również wzbogacony o kilka założeń co do stałych w nim występujących. Po pierwsze, jeśli cena produktu będzie mniejsza niż zmienny koszt wytworzenia c, wtedy przedsiębiorstwu nie opłaca się produkować i powinno natychmiast zmniejszyć produkcję (zwiększając tym samym cenę produktu). Zakładamy ponadto, że istnieje poziom produkcji (czyli kombinacja mocy produkcyjnych i sterowania u 2 ) u 2r x r zapewniający rentowność sprzedaży, czyli: u 2r x r (p c) C = 0. Po podstawieniu za p, zgodnie z (3.1), nasze równanie opisujące zysk ma postać: u 2 x 1 (B c) Au 2 2rx 2 1 C > 0. (3.2) By dowiedzieć się, gdzie u 2 maksymalizuje zysk, różniczkuję (3.2) po u 2 i przyrównuję wynik do zera. Okazuje się, że zysk jest maksymalny, gdy: u 2 = (B c) 2Ax 1. (3.3) Zauważamy natychmiast, że dla x 1 < (B c) 2A sterowanie wychodzi poza dozwolony zbiór [0,1]. W takiej sytuacji sterowanie maksymalizujące zysk wynosi 1, natomiast x r musi być na tyle duże, żeby zapewniać zyski. Zatem warunek rentowności produkcji zapisujemy wstawiając (3.3) do (3.2) i dostajemy założenie: (B c) 2 4A > C. (3.4) Oraz dla x r < (B c) 2A : (B c)x 1 Ax 2 1 > C. Zakładamy, że w chwili początkowej firma przynosi zyski (gdyby tak nie było, powinna się natychmiast wycofać z rynku). Zatem przyjmujemy, że x 0 > x r.okazuje się jednak, podobnie jak w pierwszym modelu, że zarząd firmy nie może pozwolić, by moce produkcyjne spadły do poziomu x r, ponieważ oznacza to brak zysków do inwestowania, co z kolei uniemożliwia firmie zwiększenie mocy produkcyjnych w przyszłości. Kolejnym istotnym założeniem jest przyjęcie, że firma ma możliwość skutecznego inwestowania. Oznacza to, że gdy inwestuje cały swój zysk, produkcja powinna rosnąć. Zatem dla każdego x 1 [x r, (B c) 2A ] mamy: a((b c)x 1 Ax 2 1 C) rx 1 > 0. Założenie to gwarantuje nam, że jeśli nie jesteśmy w stanie ustalić sterowania maksymalizującego zysk, inwestowanie wciąż jest opłacalne. Warto zwrócić uwagę, że nie możemy założyć, że inwestowanie będzie opłacalne dla każdego poziomu mocy produkcyjnych, ponieważ zysk przedsiębiorstwa jest ograniczony krzywą popytu, natomiast wartość deprecjacji kapitału może być dowolnie duża (wystarczy dobrać odpowiednio duże moce produkcyjne). 16

3.2. Rozwiązanie zagadnienia Podobinie jak w poprzednim rozdziale, celem obliczeń jest znalezienie optymalnego sterowania u = (u 1, u 2 ), które maksymalizuje funkcję wypłaty. Czyli x 2(T, u ) = max u U x 2 (T, u)) gdzie: f(t, x, u) = ẋ = f(t, x, u), ( ) (1 u1 )a(u 2 x 1 (p c) C) rx 1. u 1 u 2 (x 1 (p c) C) Pamiętając tym razem, że cena jest funkcją zależną od produkcji, oraz dla czytelności obliczeń podstawiając B c = λ. Nasza funkcja f wygląda następująco: ( (1 u1 )a((λu 2 x 1 Ax 2 1 f(t, x, u) = u2 2 ) C) rx ) 1 u 1 ((λu 2 x 1 Ax 2 1 u2 2 ) C). Wprowadzamy hamiltionian zadania, który ma postać: H(t, x, u, p) = p 1 ((1 u 1 )a((λu 2 x 1 Ax 2 1u 2 2) C) rx 1 ) + p 2 u 1 ((λu 2 x 1 Ax 2 1u 2 2) C).(3.5) Zadanie maksymalizacji polega na znalezieniu takich u 1 i u 2, które maksymalizują hamiltionian w każdym czasie t [0, T ]. Zajmijmy się najpierw znalezieniem u 1. Przyjmujmy ϕ = λu 2 x 1 Ax 2 1 u2 2 ) C Wtedy równanie (3.5) przyjmuje postać: H(t, x, u, p) = p 1 ((1 u 1 )aϕ rx 1 ) + p 2 u 1 ϕ. Dzięki zasadzie maksimum Pontriagina wiemy, że p 1 (T ) = 0 oraz p 2 (T ) = 1. Dalej, ponieważ dla każdego t H x 2 = 0, wnioskujemy, że p 2 jest stałą równą 1. Aby pokazać jak hamiltonian zależy od u 1, można przedstawić równanie na hamiltonian jako: H(t, x, u, p) = p 1 (aϕ rx 1 ) + u 1 (ap 1 + 1)ϕ. (3.6) Okazuje się zatem, że zależność hamiltonianu od u 1 jest liniowa. Oznacza to, że sterowanie maksymalizujące hamiltonian będzie przyjmowało wartości na końcach przedziału [0,1], w zależności od znaku (ap 1 + 1)ϕ, przy czym nie jesteśmy obecnie w stanie ustalić, co dzieje się, gdy (ap 1 1)ϕ = 0. Możemy już jednak wypisać, jak będzie wyglądało pierwsze sterowanie: u 1 (t) = 1 (ap 1 1)ϕ > 0, c (ap 1 1)ϕ = 0, 0 (ap 1 1)ϕ < 0. Zajmijmy się teraz sterowaniem u 2. Występuje ono w (3.5) w kwadracie, ze znakiem ujemnym, zatem wykres wartości hamiltonianu w zależności od u 2 jest parabolą, a maksimum będzie przyjmowane w wierzchołku. Nie musi on jednak leżeć w przedziale [0, 1], w tym przypadku sterowanie będzie przyjmowało wartość najbliższą wierzchołkowi, czyli 0 lub 1. Aby dowiedzieć się gdzie znajduje się wierzchołek obliczam: H u 2 = (λx 1 2Ax 2 1u 2 )((ap 1 (1 u 1 ) + u 1 ) rx 1 p 1 ). 17

Pozostaje tylko odpowiedzieć na pytanie, dla jakiego u 2 powyższe równanie się zeruje. λx 1 2Ax 2 1u 2 = 0, u 2 = λ 2Ax 1. Zakładając λ = B c > 0 i x 1 < +, wierzchołek paraboli nigdy nie będzie znajdował się w miejscu, gdzie u 2 0. W takim razie wiemy już, że: u 2 (t) = { λ 2Ax 1, 2Ax 1 (0, 1]. λ 1, 2Ax 1 > 1. Teraz należy sprawdzić, jak wartości sterowań zmieniają się w czasie, oraz kiedy następują przełączenia. Sprawdźmy zatem, jak nasz układ wygląda w chwili t = T. Rozważmy dwa przypadki: λ 1 o u 2 (T ) = λ 2Ax 1. Wtedy, aby określić, ile wynosi u 1 (T ) wstawiamy wartość u 2 do (3.6) i ustalamy znak wyrażenia stojącego przy u 1. Ponieważ p 1 = 0,wyrażenie stojące przy u 1 redukuje się do λ2 4A C Zatem z założeń (3.4) gwarantujących nam rentowność produkcji, wyrażenie to jest dodatnie, co oznacza, że u 1 (T ) = 1. 2 o u 2 (T ) = 1 Oznacza to, że w chwili T moce produkcyjne firmy są zbyt małe, żeby móc ustawić produkcje na poziome maksymalizującym zysk jak w punkcie 1 o Teraz również należy rozważyć znak wyrażenia stojącego w (3.5) przy u 1. Tym razem przybiera ono postać λx 1 Ax 2 1 C. Zatem ponieważ x 1(T ) > x r, również dzięki tym samym założeniom co w pierwszym przypadku wyrażenie stojące przy u 1 jest większe od zera, czyli tym razem także u 1 (T ) = 1. Teraz należy cofać się w czasie, obserwując jak zachowuje się układ. Punkt przełączenia u 1, który będziemy nazywać t 1 nastąpi wtedy, gdy wyrażenie: δ = (1 ap 1 )(λu 2 x 1 Ax 2 1u 2 2 C), (3.7) zmieni znak. Natomiast punkt przełączenia u 2, który oznaczymy analogicznie t 2, będzie miał miejsce, gdy x 1 = λ 2A. Nie możemy założyć, która z chwil przełączenia nastąpiła później, ale znając stan układu w chwili T, możemy obserwować, jak będzie się on zachowywał na odcinku [max{t 1, t 2 }, T ]. Musimy zatem rozważyć dwa przypadki: 1 o Niech u 2 (T ) = λ 2Ax 1 i u 1 (T ) = 1. Ponieważ na odcinku [max{t 1, t 2 }, T ] mamy u 1 = 1, czyli w przedsiębiorstwie nie ma inwestycji. Oznacza to, że moce produkcyjne firmy spadają. Należy sprawdzić, czy najpierw nastąpi moment, w którym p 1 = 1 a, czy x 1 = λ 2A. Zacznijmy od znalezienia punktu przełączenia u 1. W celu jego obliczenia, należy skorzystać z własności hamiltonianu i rozwiązać równanie różniczkowe: ṗ = H x 1, ṗ = p 1 (a((1 u 1 )(λu 2 2Au 2 2x 1 )) r) λu 1 u 2 + u 1 2Au 2 2x 1. (3.8) 18

Po wstawieniu do powyższego równania wszystkich wartości zmiennych w chwili T otrzymujemy: dp 1 dt = 0. Oznacza to, że dopóki x 1 > λ 2A, nie nastąpi punkt przełączenia u 1. Prowadzi to do natychmiastowego wniosku, że t 1 < t 2. Fakt ten ma oczywistą interpretację w rzeczywistości. Dopóki monopolista nie będzie musiał wykorzystywać fabryki w stu procentach, nie ma sensu w nią inwestować. Zatem tak długo jak u 2 1, tak długo u 1 = 1. Należy teraz znaleźć t 2, czyli punkt w którym x 1 = λ 2A. Pamiętając, że na odcinku [t 2, T ] mamy u 1 = 1, zapisujemy równanie na x 1 : dx dt = rx 1. (3.9) Oznacza to, że x 1 ma ujemną pochodną, czyli im wcześniej od chwili T, tym moce produkcyjne są większe, co za tym idzie, u 2 staje się coraz mniejsze. Konsekwencją tego jest fakt, że w tym przypadku sterowanie u 1 nie będzie miało punktu przełączenia. Na koniec należy ustalić, jak duże powinno być x 0, by spełniało założenia niniejszego przypadku. Na całym odcinku [0, T ] nie inwestujemy, a x 1 (T ) > λ 2A. Zmianę mocy produkcyjnych opisuje równanie (3.9), którego rozwiązaniem, przy naszych warunkach końcowych jest: x t (t) = x 0 e rx 1. Powyższe równie spełnia x 1 (T ) > λ 2A wtedy, gdy x 0 > e rt λ 2A. Dla takich początkowych mocy produkcyjnych optymalna strategia inwestycyjna firmy wygląda następująco: u (t) = (1, λ 2Ax 1 (t) ). 2 o Niech u 2 (T ) = 1, u 1 (T ) = 1. Wiemy, że w chwili T, nasze moce produkcyjne są na tyle małe, że nie możemy produkować znajdując się w punkcie na krzywej popytu gwarantującym największy zysk u 2 = λ 2Ax 1. Jednak są na tyle duże, że x 1 (T ) > x r. Musimy zbadać, czy bliżej T jest t 1, czy t 2. Aby to sprawdzić, należy na odcinku (max{t 1, t 2 }, T ) Rozwiązać dwa równania różniczkowe. Pierwsze z nich to (3.9): natomiast drugie, to: p 1 = p 1 r (λ 2Ax 1 ), x 1 = rx 1. (3.10) Rozwiązujemy pierwsze równanie, korzystając z warunku końcowego, znajdujemy stałą, by otrzymać ostatecznie: p 1 (t) = λ 2Ax 1 (1 e r(t T ) ). r Teraz pozostaje już tylko znaleźć t 1, czyli czasu w którym p 1 = 1 a, otrzymujemy: t 1 = T + ln(1 19 r a(λ 2Ax 1 ) ) r. (3.11)

Teraz zajmijmy sie drugim równaniem i znalezieniem t 2. Wiemy, że x 1 (t 2 ) = λ 2A. Jednak to, czy chwila t 2 nastąpi przed, czy po t 1, jest zależne od x 1 (T ) (im niższe moce produkcyjne w chwili T, tym bardziej prawdopodobne, że t 1 będzie później). Dlatego rozważymy dwa przypadki. Pierwszy, że t 1 < t 2 sprowadza problem do wcześniejszego przypadku 1 o (teraz w chwili t 2 jesteśmy w takiej samej sytuacji, jak w przypadku 1 o w memencie T ). Zatem dla tego założenia ustalamy sterowanie: { (1, 1), t u (t2, T ], (t) = λ (1, 2Ax 1 (t) ), t [0, t 2). (3.12) Ostatnim etapem tego rozwiązania jest znalezienie wzoru opisującego t 2 oraz jakie x 0 należą do tego przypadku. Na odcinku [0, t 2 ] równanie opisujące x 2 ma postać (3.10). Jego rozwiązanie, przy uwzględnieniu, że x 1 (0) = x 0 wynosi: Szukamy chwili t 2, w której x 1 = wzoru: x 1 (t) = x 0 e rt λ 2A. Dlatego podstawiamy szukany czas do powyższego x 1 (t 2 ) = x 0 e rt 2 = λ 2A t 2 = ln( 2Ax 0 λ ) a Założyliśmy, że t 2 > t 1, zatem x 1 (t 1 ) > λ 2A. Oznacza to, że taktyka inwestycyjna (3.12) jest optymalna dla przedsiębiorstw, których początkowe moce produkcyjne należą do przedziału [e rt 1 λ 2A, ert λ 2A ]. λ Teraz załóżmy, t 1 > t 2 dla x 0 < e rt 1 2A. Przypomnijmy, że czas t 1 wyraża się wzorem (3.11). Na odcinku [t 1, T ] moce produkcyjne spadają, więc dla każdego t (t 1, T ], x 1 (t 1 ) > x 1 (t). Jeśli w chwili t 1 nastąpił punkt przełączenia sterowania u 1, to ponieważ przed tą chwilą inwestowialiśmy, a zakładamy, że inwestycja przynosi zamierzony skutek, więc w t 1 znajduje się lokalne maksimum x 1. Zatem ponieważ przed t 1 mamy x 1 < λ 2A, a punkt t 2 osiągamy, gdy moce produkcyjne wynoszą λ 2A, okazuje się, że dopóki inwestujemy, niemożliwe jest osiągnięcie punktu t 2, zatem musimy szukać kolejnego punktu przełączenia sterowania u 1. Określmy najpierw, dla jakich parametrów w chwili t 1 następuje punkt przełączenia. Będzie on miał miejsce, gdy przed tym momentem p 1 > 1 a. Warunkiem koniecznym by tak się stało jest ujemna pochodna p 1 w chwili t 1. Przyjrzyjmy się zatem równianiu (3.9) w tym momencie: ṗ(t 1 ) = λ + 2Ax 1 + r a (1 u 1) Widzimy zatem, że z założenia o opłacalności inwestycji (3.6) powyższe wyrażenie jest ujemne dla dowolnej wartości u 1, oznacza to, że istotnie w chwili t 1 obsewrujemy punkt przełączenia. Teraz należy zbadać, czy jest on jedyny. Musimy zatem dla czasu t < t 1 przeanalizować zmianę znaku równania (3.7). Żeby to zrobić, po raz kolejny będziemy rozpatrywać równanie (3.9), tym razem w rozpatrywanym czasie ma ono postać: ṗ(t) = p 1 (a(λ 2Ax 1 ) r) = rp 1 a(λ 2Ax 1 ) 20

Zatem p 1 jest w dalszym ciągu funkcją malejącą, jednak im bardziej oddalamy się od punktu t 1, tym większe jest rp 1, natomiast mniejsze a(λ 2Ax 1 ) (ponieważ nie inwestujemy, więc x 1 maleje). Zatem jeśli odcinek [0, t 1 ] jest dostatecznie długi, to w pewnym punkcie t 3 powyższe równanie stanie sie dodatnie, czyli p 1 będzie funkcją rosnącą, natomiast cofając się w czasie jeszcze bardziej, znajdziemy punkt t 1, w którym p 1(t 1 ) = 1 a. W punkcie tym model będzie w takim samym stanie jak w t 1, zatem będzie on dążył do punktu t 3 analogicznego do t 3. Na odcinku [t 1, t 3] moce produkcyjne maleją, natomiast na odcinku [t 3, t 1 ] rosną. To dowodzi, że odcinek [t 1, t 1] jest okresem rozwiązania tego właśnie przypadku. 21

Rozdział 4 Podsumowanie Zagadnienia omówione w niniejszej pracy dowodzą, jak metody matematyczne ze szczególnym uwzględnieniem teorii sterowania, mogą dopełniać teorię ekonomii. Modele przedstawione w tej pracy, stanowią dwa skrajne przykłady położenia firmy na rynku, według teorii mikroekonomii. Rozwiązania modeli dają odpowiedź na fundamentalne pytanie, jak ma się zachowywać przedsiębiorstwo, które chce w danym okresie osiągnąć jak największy zysk. Otrzymane rozwiązania mają wspólne cechy, jak i kilka różnic. Głównym wnioskiem płynącym z obu modeli jest to, że inwestycje trzeba rozpoczynać jak najwcześniej i angażować w nie wszystkie dostępne środki. Dla monopolisty dużo korzystniejsza jest natomiast długość trwania inwestycji. Dla firmy doskonale konkurencyjnej, czas inwestowania jest w pewnej relacji z czasem kadencji zarządu T, natomiast firma będąca monopolistą, będzie inwestować do czasu, gdy moce produkcyjne pozwolą jej na znalezienie się w optymalnym punkcie krzywej popytu. Z kolei jeśli na początku trwania kadencji zarządu firma będzie miała na tyle duże moce produkcyjne, że nie będzie potrzeby wykorzystania ich w całości, firma może nie inwestować w ogóle. Jeśli czas kadencji jest długi, a moce produkcyjne dość małe, w rozwiązanie zadania dla monopolu może być okresowe. Wyniki pracy potwierdzają zatem, że otoczenie konkurencyjne zmusza firmę do dużo większego poświęcania środków na inwestycje, niż w przypadku monopolisty. 23

Bibliografia [1] A. Bressan, B. Piccoli: Introduction to the Mathematical Theory of Control, AMIS (2001) [2] Hall Varian: Mikroekonomia, Wydawnictwo Naukowe PWN (2001) 25