Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Podobne dokumenty
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Wykład z modelowania matematycznego.

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Stany nieustalone w SEE wykład VII Stabilność SEE podstawy matematyczne

Efekt motyla i dziwne atraktory

ANALIZA TRÓJELEMENTOWEGO OBWODU MEMRYSTOROWEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

REGULACJA I STABILNOŚĆ SYSTEMU ELEKTROENERGETYCZNEGO

Z poprzedniego wykładu:

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)

Funkcja liniowa - podsumowanie

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.

Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

Informatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6


INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5

Mechanika i Budowa Maszyn

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

Wyboczenie ściskanego pręta

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

4.2 Analiza fourierowska(f1)

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:

Wpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

2.3. Praca samotna. Rys Uproszczony schemat zastępczy turbogeneratora

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Mechanika teoretyczna

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Laboratorium. Hydrostatyczne Układy Napędowe

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji. Karol Jastrzębski

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Maszyna indukcyjna jest prądnicą, jeżeli prędkość wirnika jest większa od prędkości synchronicznej, czyli n > n 1 (s < 0).

Modele materiałów

Wstęp. System pomiarowy. Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI

Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Silniki prądu stałego. Wiadomości ogólne

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego

Wyznaczanie budżetu niepewności w pomiarach wybranych parametrów jakości energii elektrycznej

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

Zaawansowane metody numeryczne

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

Metoda eliminacji Gaussa

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych

XLVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadanie doświadczalne

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Transkrypt:

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej dr inż. Olgierd Małyszko Katedra Elektroenergetyki i Napędów Elektrycznych, Wydział Elektryczny Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie ul. Sikorskiego 37, 70-313 Szczecin malyszko@zut.edu.pl Streszczenie W artykule przedstawiono możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego. Omówiono podstawy teoretyczne wykładników oraz sposoby ich wyznaczania. Na przykładzie prostego modelu generator-sieć sztywna pokazano, że wykładnik Lapunowa może służyć jako kryterium stabilności SEE a jego zbliżanie się do zera świadczy o możliwości utraty stabilności przez system. Wstęp Do najpoważniejszych awarii w pracy systemu SEE należy utrata stabilności. Zgodnie z zasadą, że lepiej zapobiegać niż leczyć, lepiej jest zapobiegać tego typu awariom niż naprawiać ich skutki. W tym celu konieczne jest wczesne zidentyfikowanie możliwości wystąpienia takiej awarii. Dlatego też, celem niniejszego artykułu jest zwrócenie uwagi na możliwość wykorzystania do analizy pracy SEE stosunkowo nowego narzędzia matematycznego jakim są wykładniki Lapunowa. W analizowanym zagadnieniu istotne jest to, że w czasie normalnej pracy SEE wykładnik Lapunowa ma wartość ujemną natomiast w punkcie utraty stabilności jego wartość przekracza zero. Oznacza to, że w miarę zbliżania się układu do punktu utraty stabilności wykładnik Lapunowa zbliża się do zera. Tą właściwość można wykorzystać do wczesnego wykrywania groźby utraty stabilności przez SEE. W niniejszym artykule przedstawiono to na przykładzie prostego modelu generator-sieć sztywna. Definicja wykładników Lapunowa Interpretację graficzną wykładnika Lapunowa (Lyapunov exponent) przedstawiono na rysunku 1. Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa W chwili t1 układ dynamiczny znajduje się w punkcie X1. Jeśli w tym momencie nastąpi niewielkie zaburzenie to układ znajdzie się w punkcie X1+1 (czyli będzie w niewielkiej 1

odległości 1 od układu niezaburzonego). Po pewnym czasie t układ niezaburzony znalazłby się w punkcie X2 natomiast układ zaburzony znajdzie się w punkcie X2+2. Wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym (potoku) definiuje zależność (1) (należy zaznaczyć, że wzór (1) można wyprowadzić w ścisły matematyczny sposób natomiast przedstawiona interpretacja jest używana aby pominąć te niezbyt łatwe matematyczne wyprowadzenie): (1) Jeśli z biegiem czasu zaburzenie maleje ( ) to, zgodnie ze wzorem (1), wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera. Jeśli odległość między trajektorią zaburzoną a niezaburzoną się nie zmienia ( ) to wykładnik jest równy zeru. Natomiast, jeśli zaburzenie rośnie z biegiem czasu, to wykładnik jest dodatni. Wynika z tego, że jeśli układ dynamiczny jest lekko zaburzony to wykładnik Lapunowa opisuje prędkość z jaką to zaburzenie zmienia się w czasie. Zgodnie z zależnością (1) wielkość zaburzenia po czasie t można opisać zależnością. Jeśli wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera to zaburzenie będzie malało do zera czyli startując z dwóch początkowo różnych punktów układ dynamiczny po pewnym czasie osiągnie to samo rozwiązanie. W przeciwnym przypadku, gdy wykładnik jest większy od zera, to zaburzenie będzie rosło i startując z dwóch początkowo bliskich punktów trajektorie będą się coraz bardziej rozbiegać. Dzięki takiej właściwości za pomocą wykładników Lapunowa można określić stabilność układu dynamicznego. Zależność (1) opisuje wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym. Podobnie definiuje się wykładnik dla odwzorowania jednowymiarowego (kaskady) (2): (2) Liczba wykładników Lapunowa Układ dynamiczny posiada tyle wykładników Lapunowa ile ma stopni swobody. Natomiast liczba stopni swobody jest to najmniejsza liczba niezależnych zmiennych potrzebnych do jednoznacznego opisania stanu układu. Wynika z tego, że układy jednowymiarowe posiadają jeden wykładnik natomiast układy wielowymiarowe posiadają ich odpowiednio więcej. W praktyce natomiast często analizuje się tylko jeden, zazwyczaj największy wykładnik Lapunowa co może mylnie sugerować, że każdy układ ma tylko jeden wykładnik. Zastosowanie wykładników Lapunowa do klasyfikacji układów dynamicznych Jak wcześniej wspomniano, każdy układ dynamiczny ma tyle wykładników Lapunowa ile ma stopni swobody czyli w zasadzie tyle, ile zmiennych opisuje ten układ. Jeśli każdej zmiennej przyporządkujemy oś w układzie współrzędnych to każdy wykładnik Lapunowa jest miarą rozbiegania się trajektorii wzdłuż danej osi. Pomiędzy wykładnikami Lapunowa a typem atraktora istnieje ścisły związek (atraktor jest to zbiór w przestrzeni fazowej do którego zmierzają trajektorie rozpoczynające się w różnych punktach przestrzeni fazowej). W tabeli 1 przedstawiono wartości wykładników Lapunowa dla odpowiednich typów atraktorów. 2

Tabela 1. Klasyfikacja atraktorów Zachowanie asymptotyczne trajektorii Typ atraktora dla układu ciągłego Wartości wykładników Lapunowa Punkt równowagi punkt 0>λ 1... λ n Trajektoria okresowa krzywa zamknięta λ 1=0 0>λ 2... λ n Prawie okresowe λ 1= λ 2=0 torus (2-okresowe) 0>λ 3... λ n Prawie okresowe λ 1=...= λ k=0 k-torus (k-okresowe) 0>λ k+1... λ n Chaotyczne typu zbioru Cantora λ 1>0 iλ i<0 Z tabeli 1 wynika, że jeśli rozwiązaniem układu dynamicznego jest punkt stały to wszystkie wykładniki Lapunowa tego układu są mniejsze od zera. Jeśli rozwiązanie jest w postaci krzywej zamkniętej (np. okrąg) to jeden wykładnik jest równy zero a pozostałe są mniejsze od zera, itd. Wynika z tego również, że jeśli dla pewnej wartości parametru kontrolnego dany układ ma rozwiązanie w postaci punktu a dla innej wartości inny typ atraktora np. krzywa zamknięta, to największy wykładnik Lapunowa, wraz ze zmianą wartości parametru kontrolnego, będzie się zmieniał od wartości ujemnych do zera. W dalszej części artykułu pokazano, że tą właściwość można wykorzystać jako kryterium stabilności SEE. Wyznaczanie wykładników Lapunowa Analitycznie, zgodnie ze wzorami (1) lub (2), udaje się wyznaczyć wykładnik Lapunowa jedynie dla nielicznych odwzorowań jednowymiarowych. Na przykład, dla odwzorowania trójkątnego, wynosi on. We wszystkich pozostałych przypadkach konieczne jest stosowanie metod numerycznych. Dla odwzorowań jednowymiarowych można wyznaczyć numerycznie wykładnik Lapunowa stosując wzór (2). Natomiast dla układów wielowymiarowych bezpośrednie zastosowanie wzoru (1) lub (2) jest niemożliwe. W literaturze można znaleźć wiele pozycji poświęconych numerycznemu wyznaczaniu wykładników Lapunowa dla układów wielowymiarowych np. [3],[4],[5]. Ponadto opracowane są również metody wyznaczania wykładników Lapunowa z danych pomiarowych, np. [1],[2]. Zastosowanie wykładnika Lapunowa jako kryterium stabilności SEE Zgodnie z tabelą 1 wykładniki Lapunowa mogą przyjmować różne wartości (ujemne, równe zero lub dodatnie) w zależności od typu atraktora jaki posiada dany układ dynamiczny. W przypadku omawianej metody istotne jest to, że największy wykładnik Lapunowa przyjmuje wartości ujemne w obszarze stabilnej pracy natomiast w punkcie bifurkacji siodło-węzeł jest równy zero. Po przekroczeniu punktu bifurkacji znikają oba punkty stałe i analizowany układ traci stabilność. Jako kryterium stabilności proponuje się wykorzystać fakt, że w miarę zbliżania się do punktu utraty stabilności (punktu bifurkacji) wykładnik Lapunowa zbliża się do zera. Metoda zostanie przedstawiona na przykładzie prostego modelu systemu złożonego z generatora synchronicznego połączonego z siecią sztywną poprzez linię o reaktancji x. W modelu tym uwzględnia się tylko równania ruchu wirnika natomiast pomija wszystkie układy regulacji. Schemat przedstawiono na rysunku 2. 3

x G SEE U t U d b q a Rys. 2. Model fragmentu systemu elektroenergetycznego Równanie ruchu wirnika generatora w jednostkach względnych ma postać: (3) gdzie: Tm - mechaniczna stała czasowa, Pm - moc mechaniczna generatora, D-współczynnik oporu, Pe()- moc elektryczna generatora, - kąt obrotu osi wirnika generatora względem osi SEE, - częstotliwość kątowa generatora, 0 - częstotliwość kątowa sieci. Moc elektryczna oddawana do SEE wynosi: (4) gdzie: Ua - składowa wzdłuż osi a napięcia sieci w układzie (a,b) (przyjęto, że Ub = 0), Ef - napięcie wzbudzenia, xd - reaktancja synchroniczna podłużna, x - reaktancja linii. Model składa się tylko z dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu jednak z uwagi na składnik sin() jest on nieliniowy a tym samym nierozwiązywalny analitycznie. W stanie ustalonym częstotliwość kątowa generatora jest równa częstotliwości sieci ( natomiast moc mechaniczna pochodząca od turbiny jest równa mocy elektrycznej oddawanej do sieci ( ). Pokazano to na rysunku 3. Wynika z tego, że równanie (3) posiada dwa punkty stałe. Rys. 3. Punkty stałe równania (3) w stanie ustalonym Zgodnie z pierwszą metodą Lapunowa układ nieliniowy opisany równaniem będzie stabilny asymptotycznie w lokalnym otoczeniu punktu pracy jeśli jego przybliżenie 4

liniowe (gdzie A jest to macierz Jacobiego określona w punkcie ) będzie stabilne asymptotycznie. Jeśli przybliżenie liniowe jest niestabilne to układ nieliniowy jest również niestabilny. Natomiast jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne ale nie asymptotycznie to o zachowaniu się układu nieliniowego nie można nic powiedzieć. Układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność zależy jedynie od wartości własnych macierzy A i nie zależy od warunków początkowych. Wartości własne macierzy A wyznacza się rozwiązując równanie gdzie są to wartości własne a I macierz jednostkowa. Dla równania (3) Jacobian ma postać: Natomiast wartości własne otrzymuje się rozwiązując równanie: (5) (6) Wartości własne zlinearyzowanego układu równań (3) wynoszą zatem: (7) Analizując części czynne i bierne wartości własnych można określić rodzaj punktu stałego. W tabeli 2 zestawiono rodzaje występujących punktów stałych równania (3) w zależności od wartości kąta oraz parametrów systemu. Tabela 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3) Ognisko stabilne Węzeł ugięty stabilny Węzeł stabilny Punkt równowagi stabilny Siodło niestabilne 5

Zgodnie z tabelą 2 punkt stały leżący w przedziale jest punktem stałym stabilnym natomiast drugi punkt leżący w przedziale jest to punkt stały niestabilny. W punkcie krytycznym następuje bifurkacja siodło-węzeł. Jeśli moc mechaniczna Pm przekroczy maksymalną wartość mocy elektrycznej Pe jaką można przesłać do systemu, wówczas znikają oba punkty stałe i układ traci stabilność. Zgodnie z tym co powiedziano wcześniej, w zakresie stabilnej pracy (czyli tam, gdzie istnieją oba punkty stałe) wykładniki Lapunowa przyjmują wartości ujemne natomiast w punkcie bifurkacji największy wykładnik przyjmuje wartość równą zero. Tą zmianę wartości wykładnika można użyć jako kryterium stabilności analizowanego układu. Pokazano to na rys. 4 i 5 na których widać największy wykładnik Lapunowa w zależności od wartości reaktancji linii łączącej generator z siecią sztywną oraz mocy mechanicznej Pm. Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x Rys. 5. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości mocy mechanicznej P m Na obydwu rysunkach widać, że po przekroczeniu pewnej wartości parametru kontrolnego (reaktancji linii na rys. 4 i mocy mechanicznej na rys. 5) układ tracił stabilność. W punkcie bifurkacji znikają oba punkty stałe. W praktyce, dla kontroli stabilności systemu wystarczy monitorować wartość wykładnika Lapunowa. Zbliżanie się jego wartości do zera jest sygnałem o możliwej utracie stabilności przez system. Dla określenia odległości od granicy stabilności wprowadza się współczynnik zapasu stabilności kp (8): Pgr Pe k p (8) P gdzie: P E x U a x f gr - moc graniczna. d gr Dla otrzymanych wyników wyznaczono współczynnik korelacji między największym wykładnikiem Lapunowa (rys. 5) a wartością współczynnika zapasu stabilności kp i otrzymano wartość, k p 0, 954. Wysoka wartość współczynnika korelacji świadczy o dużej zależności między wykładnikiem Lapunowa a współczynnikiem zapasu stabilności. Wnioski W artykule przedstawiono propozycję wykorzystania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego. Metodę przedstawiono na przykładzie prostego modelu fragmentu systemu złożonego z generatora przyłączonego do sieci sztywnej. Otrzymane wyniki świadczą, że wykładnik Lapunowa jest skorelowany ze współczynnikiem 6

zapasu stabilności układu. Ponieważ wykładniki Lapunowa mogą być wyznaczane również z danych pomiarowych jest możliwość wykorzystania przedstawionej metody do kontroli on-line zapasu stabilności w systemie. Literatura [1] Bryant P., Computation of Lyapunov Exponents from Experimental Data, Proceedings of the 1 st Experimental Chaos Conference, Arlington, Virginia, October 1-3, 1991. [2] Darbyshire A. G., Calculating Liapunov Exponents from a Time Series, IEE, Savoy Place, London, 1994. [3] Parker T. S., Chua L. O., Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, Springer- Verlag, New York 1989. [4] Parker T.S., Chua L.O., Chaos: A Tutorial for Engineers, Proceedings of the IEEE, Special issue on chaotic systems, 09.1987. [5] Wolf A., Swift J., Swinney H., Vastano J., Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Physica D, vol. 16, 1985, pp. 285-317. 7