PROCEDURY ODPORNEJ ALOKACJI ZASOBÓW DLA PROBLEMU HARMONOGRAMOWANIA PROJEKTU Z WAŻONYMI KOSZTAMI NIESTABILNOŚCI 1 Marcn KLIMEK, Potr ŁEBKOWSKI Streszczene: Odporne harmonogramowane projektu jest ważnym zagadnenem często podejmowanym w ostatnch latach. Artykuł przedstawa problem odpornej alokacj zasobów dla zagadnena harmonogramowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc poszczególnych zadań. Zaprezentowany jest przegląd algorytmów alokacj zasobów, których zastosowane może wpłynąć na wzrost odpornośc realzowanego harmonogramu. Słowa kluczowe: odporna alokacja zasobów, harmonogramowane projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów, ważone koszty nestablnośc. 1. Wprowadzene Problem harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów RCPSP (ang. Resource Constraned Project Schedulng Problem) jest przedmotem welu prac badawczych. Duże zanteresowane zagadnenem wynka z coraz częstszego realzowana zleceń produkcyjnych, konstrukcyjnych w ramach projektów. Jako projekty realzuje sę prace w sektorze prac publcznych, w sektorze budowlanym, w przemyśle lotnczym obronnym tp. Możlwe jest także zastosowane metod zarządzana projektam w sterowanu produkcją na zamówene MTO (ang. Make-To-Order). Produkcja na zlecene MTO jest wykorzystywana przede wszystkm w produkcj małoseryjnej, przy wytwarzanu wyrobów nestandardowych, dla odborcy ndywdualnego. Zlecene produkcyjne w MTO jest realzowane w konsultacj z klentem, którego wymagana bywają zmenne neprzewdywalne. Realzacja projektu często obarczona jest nepewnoścą zwązaną z błędnym oszacowanam czasów trwana zadań, z czasową nedostępnoścą zasobów (awaram maszyn), ze zmennoścą wymagań klentów, tp. Jednym ze skutków występowana neprzewdzanych zakłóceń produkcyjnych może być netermnowa realzacja zadań (mnejsza stablność produkcj), całego projektu zwązane z tym koszty fnansowe opóźneń (np. koszty ponoszonych kar umownych, koszty przestoju maszyn, koszty przedłużonego składowana materałów tp.). W celu zmnejszena negatywnego wpływu zaburzeń produkcyjnych na realzację projektu stosowane jest podejśce proaktywne (ang. proactve schedulng), zwane też harmonogramowanem odpornym (ang. robust schedulng) [3]. Harmonogram proaktywny defnuje sę jako uszeregowane zadań, które ze względu na swoje właścwośc, jest nepodatne na zakłócena pojawające sę w trakce realzacj projektu. W szczególnośc uszeregowane to pownno mnmalzować skutk wzrostów czasów trwana czynnośc spowodowanych przez nekontrolowane czynnk. Stopeń odpornośc uporządkowanu zadań to jego zdolność do absorbowana zaburzeń produkcyjnych pojawających sę 1 Praca fnansowana przez Narodowe Centrum Nauk (nr projektu: N N519 645940) 409
w trakce realzacj harmonogramu. W badanach rozpatrywane są dwa rodzaje odpornośc [8]: odporność jakośc harmonogramu (ang. qualty robustness) podejśce, w którym dąży sę do zapewnena termnowośc realzacj całego projektu, proaktywne planowane ma prowadzć do mnmalzacj odchylena planowanego termnu wykonana od rzeczywstego czasu wykonana projektu, odporność szczegółów harmonogramu (ang. soluton robustness) podejśce, w którym dąży sę do zapewnena stablnośc wykonywana poszczególnych zadań, do realzowana wszystkch szczegółów harmonogramu zgodne z planem, proaktywne planowane ma prowadzć do np. mnmalzacj odchyleń czasów rozpoczęca czynnośc pomędzy planowanym a zrealzowanym harmonogramem lub do mnmalzacj lczby przesunętych zadań w zrealzowanym uszeregowanu w porównanu z planowanym tp. Przy tworzenu proaktywnego harmonogramu pownno sę uwzględnać oba typy odpornośc. Jednak część metod koncentruje sę wyłączne na jednym z rodzajów odpornośc (np. w metodze łańcucha krytycznego zabezpeczana jest termnowość realzacj całego projektu, bez uodparnana realzacj poszczególnych zadań). Dla problemu harmonogramowana projektu z ogranczonym zasobam uodparnane uszeregowana może być wykonywane w dwóch etapach optymalzacyjnych: alokacj (rozdzale) zasobów alokacj buforów [2, 3, 9, 10]. W etape odpornego rozdzału zasobów alokowane są zasoby do realzacj poszczególnych zadań. Natomast odporna alokacja buforów wykonywana jest przy ustalonej alokacj zasobów do zadań polega na wstawanu buforów czasowych /lub zasobowych np. po zadanach najbardzej narażonych na zakłócena produkcyjne lub przed zadanam, których netermnowe rozpoczęce jest najbardzej kosztowne. W nnejszym artykule przedstawone są zagadnena zwązane z alokacją zasobów wpływem tej alokacj na odporność uszeregowana. Przedstawone są: model matematyczny problemu, zasady odpornej alokacj, stosowane mary odpornośc algorytmy proaktywnego rozdzału zasobów dla problemu RCPSP z ważonym kosztam nestablnośc. 2. Sformułowane problemu odpornej alokacj zasobów dla harmonogramowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc Problem planowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc to zmodyfkowany model konwencjonalnego, grafowego problemu RCPSP często rozpatrywany w badanach dotyczących harmonogramowana projektu w warunkach nepewnośc. Projekt w RCPSP można przedstawć jako seć z czynnoścam na węzłach AON (ang. Actvty On Node). Seć AON to acyklczny, spójny, prosty graf skerowany G(V, E), w którym V to zbór węzłów (zadań, czynnośc), a E to zbór łuków przedstawających relacje kolejnoścowe mędzy czynnoścam. Zbór V składa sę z n+2 zadań ponumerowanych od 0 do n+1 w porządku topologcznym, tzn. poprzednk ma numer nższy od następnka. Węzeł 0 to werzchołek początkowy a węzeł n+1 to werzchołek końcowy grafu G(V, E). Węzły 0 n+1 ne przedstawają rzeczywstych czynnośc, dodawane są jedyne w celu odpowednego grafcznego przedstawena projektu. Czynnośc realzowane są z wykorzystanem ogranczonych zasobów odnawalnych. Lczba zasobów jest stała w czase wynos a k (dla typów zasobu k = 1,, K; gdze K 410
lczba typów zasobów). W każdym momence czasu t wykorzystane zasobów ne może przekraczać dostępnych welkośc a k : r k A( t) a k t, k gdze: r k zapotrzebowane czynnośc na zasób typu k, A(t) zbór czynnośc wykonywanych w przedzale czasu [t-1, t]. (1) Mędzy czynnoścam występują relacje kolejnoścowe typu fnsh-start zero-lag precedence, w których następnk może rozpocząć sę bez zwłok po zakończenu czynnośc poprzedzającej: gdze: s planowany czas rozpoczęca zadana, d planowany czas realzacj zadana. s + d s (, j) E (2) j Przy tak zdefnowanych ogranczenach kolejnoścowych zasobowych tworzony jest harmonogram bazowy przez określene czasów rozpoczęca zadań s 1,,s n+1 uwzględnający kryterum oceny, funkcję celu harmonogramowana nomnalnego. Dla determnstycznego problemu RCPSP najczęścej stosowaną funkcją celu jest mnmalzacja czasu realzacj projektu. Take kryterum oceny jest też stosowane przy generowanu uszeregowana bazowego w badanach dla problemu z ważonym kosztam nestablnośc [2, 3]. W trakce wykonana projektu planowe rozpoczynane czynnośc na podstawe przyjętego harmonogramu bazowego często jest nemożlwe ze względu na zakłócena produkcyjne (np. nekorzystne warunk atmosferyczne, aware maszyn, czasowa nedostępność zasobów, problemy z dostawam materałów tp.), które wpływają na zmenność czasów trwana zadań. Zagadnene proaktywnego harmonogramowana projektu sprowadzane jest do mnmalzacj ważonego kosztu nestablnośc przy nepewnych czasach trwana zadań (w badanach stosowane są np. stochastyczne czasy realzacj zadań, generowane z rozkładu β [2, 3, 9, 10]): mn ( n 1 + =1 R w s s ) (3) gdze: s R rzeczywsty (lub ustalony w drodze symulacj) moment rozpoczęca zadana, w waga zadana, koszt nestablnośc przypadający na jednostkę czasu zwązany z netermnowym rozpoczęcem czynnośc. Problem RCPSP z funkcją celu określoną wzorem (3) można sprowadzć do termnowej realzacj całego projektu (kryterum odpornośc jakośc harmonogramu) przy przyjęcu w 1,, w n = 0 w n+1 0. Natomast przyjmując w 1,, w n = w n+1 0 problem sprowadza sę do zabezpeczena wszystkch czynnośc przed możlwym zakłócenam (kryterum stablnośc harmonogramu, odpornośc szczegółów uszeregowana). 411
Koszty nestablnośc (wag) dla poszczególnych zadań mogą wynkać z dodatkowych kosztów magazynowana materałów, z kar umownych za netermnową realzację prac, tp. W badanach wag generowane są losowo. Wększa waga generowana jest dla czynnośc końcowej n+1 (np. 10-krotne [2, 3, 9]) ze względu na przyjęce założena, że najwększy jest koszt netermnowośc wykonana całego projektu (moment rozpoczęca czynnośc końcowej s n+1 jest równy czasow zakończena projektu). Dany harmonogram bazowy można zrealzować przy różnych przydzałach zasobów do zadań, które mogą różnć sę pod względem odpornośc na zaburzena produkcyjne [9]. Ustalene alokacj dla problemu RCPSP jest ważnym aktualnym zagadnenem w planowanu projektów. Jest zagadnenem slne NP-trudnym, już przy jednym type zasobów. Do opsu problemu rozdzału zasobów można zastosować seć przepływu zasobów (ang. resource flow networks) [1]. Zmennym decyzyjnym podczas alokacj są przepływy zasobów f(, j, k), które określają lczbę przekazywanych zasobów dla każdego typu zasobu k od kończonego zadana do rozpoczynanego zadana j. Seć przepływu zasobów składa sę z węzłów łuków z orygnalnej sec G(V, E) oraz ze zboru dodatkowych łuków (tworzących zbór E R ) łączących ze sobą wszystke pary węzłów (zadań), mędzy którym występują przepływy zasobów f(,j,k)>0. Zbór E R zawera łuk symbolzujące przepływ zasobów, ale tylko te dodatkowe łuk, które ne występują w orygnalnej sec G(V, E) a wynkają z ustalonego przydzału zasobów. Problem alokacj zasobów można sformułować przez dodane ogranczeń (4, 5) do zagadnena RCPSP opsanego wzoram (1-3) [2, 3, 9, 10]: dla każdego typu zasobu k suma wszystkch zasobów wychodzących z czynnośc początkowej jest równa sume tych zasobów wchodzących do czynnośc końcowej jest równa całkowtej dostępnośc zasobu typu k: j V f ( 0, j, k) = f ( j, n + 1, k) = ak k K j V (4) dla każdego typu zasobu k suma wszystkch zasobów danego typu wchodzących do danego węzła (czynnośc ), jest równa sume tych zasobów wychodzących z tego węzła wynos r k (zapotrzebowane czynnośc na zasób typu k): j V f (, j, k) = f ( j,, k) = rk V \ {0, n + 1}, k K j V (5) 3. Zasady odpornej alokacj zasobów Celem odpornej alokacj zasobów jest mnmalzacja zman w harmonograme spowodowanych wzrostam czasów trwana zadań. Każdy dodatkowy łuk w zborze E R to nowe ogranczene kolejnoścowe, które zmnejsza odporność harmonogramu. Tworzą sę tzw. punkty synchronzacj, w których rozpoczęce danej czynnośc uzależnone jest od zakończena nnych czynnośc (wydłużene czasu realzacj poprzednka powoduje opóźnene rozpoczęca następnka). W pracach badawczych dotyczących odpornego przydzału zasobów analzowany jest problem mnmalzacj lczby łuków dodatkowych [3, 5, 6, 9, 10, 11], problem maksymalzacj sumy przepływów mędzy poszczególnym zadanam [3]. Dla problemu z ważonym 412
kosztam nestablnośc mnmalzowany jest wpływ możlwych zakłóceń produkcyjnych [3, 9, 10]. Zagadnene odpornej alokacj zasobów dla problemu z ważonym kosztam nestablnośc najlepej można przedstawć na przykładze lczbowym. W tabel 1 umeszczone są nformacje o analzowanym, przykładowym projekce [7]. Projekt ten jest wykonywany przez jeden typ zasobu o dostępnośc równej 10 składa sę z 10 czynnośc (uwzględnając węzły: początkowy końcowy oznaczone numeram 0 9). Tab. 1. Przykładowy projekt złożony z 10 zadań realzowany przy użycu jednego typu zasobu o dostępnośc równej 10 [7] Nr zad. Czas trwana d Bezpośredne następnk zadana Zapotrzebowane na zasób r Koszt nestablnośc (waga) w 0 0 1, 2, 3 0 0 1 5 9 9 5 2 2 4 4 3 3 2 5 6 4 4 3 8 7 4 5 3 6, 7 2 6 6 2 8 3 8 7 2 8 3 2 8 2 9 1 10 9 0-0 50 Mnmalny czas trwana analzowanego projektu wynos 12 jcz. np. przy harmonograme nomnalnym z czasam rozpoczęca poszczególnych zadań równym: s 1 =7, s 2 =0, s 3 =0, s 4 =2, s 5 =2, s 6 =5, s 7 =7, s 8 =7, s 9 =12. Dla tak zdefnowanego uszeregowana bazowego możlwe jest znalezene welu alokacj zasobów o różnym stopnu odpornośc. Na rysunkach 1-3 przedstawone są wykresy Gantt a sec przepływu zasobów (przy strzałkach wpsane są lczby określające przepływ zasobów f(,j)) dla trzech różnych przydzałów zasobów do zadań. Przerywanym strzałkam oznaczone są dodatkowe łuk (tworzące zbór E R ) wynkające z alokacj zasobów do zadań. Łuk, które występują w każdej z możlwych alokacj zasobów to tzw. łuk neunknone. Dla rozważanego harmonogramu nomnalnego są to łuk: (3,4), (4,1), (6,1), (7,1). Dany łuk (,j) jest neunknony, gdy lczba dostępnych zasobów (ne uwzględnając zasobów, które zrealzowały czynność ), w momence rozpoczynana zadana j (t = s j ), jest mnejsza nż zapotrzebowane na zasoby zadana j [3]. a) b) Rys.1. Przykład alokacj zasobów: a) wykres Gantt a, b) seć przepływu zasobów [7] 413
a) b) Rys.2. Alokacja zasobów z mnmalną lczbą łuków dodatkowych: a) wykres Gantt a,, b) seć przepływu zasobów [7] a) b) Rys.3. Alokacja zasobów z mnmalną lczbą łuków dodatkowych uwzględnająca koszt nestablnośc zadań: a) wykres Gantt a, b) seć przepływu zasobów [7] W alokacj zasobów zaprezentowanej na rysunku 1, poza łukam neunknonym, występują wygenerowane są dodatkowe zależnośc kolejnoścowe mędzy zadanam (2,5), (3,7), (4,6) (4,7), które można teoretyczne usunąć przy nnej alokacj zasobów. Możlwa jest alokacja zasobów z elmnacją łuku (2,5) oraz (4,6) lub (4,7) [7]. Zatem mnmalna lczba łuków dodatkowych dla analzowanego harmonogramu bazowego wynos 6. Taka lczba elementów w zborze E R występuje w rozdzałach zasobów zaprezentowanych na rysunkach 2-3. Może stneć wele alokacj zasobów o mnmalnej lczbe łuków dodatkowych, które różną sę jakoścą przy uwzględnenu wedzy o kosztach nestablnośc poszczególnych zadań. Dla rozpatrywanego zagadnena mnmalzacj ważonego kosztu nestablnośc korzystnejsza jest alokacja zasobów z rysunku 3, w której występuje łuk dodatkowy (4,7) zamast łuku (4,6), poneważ dla czynnośc 7 zdefnowany jest nższy koszt nestablnośc nż dla zadana 6 (opóźnene rozpoczęca czynnośc 7 spowodowane wydłużenem zadana 4 jest mnej kosztowne nż opóźnene rozpoczęca zadana 6). Analza prac badawczych powyższego przykładu lczbowego wskazuje, że odporny przydzał zasobów można osągnąć przez [1-7,9-11]: realzację czynnośc, mędzy którym są zależnośc kolejnoścowe, przez te same zasoby, maksymalzację przepływów mędzy poszczególnym czynnoścam uwzględnając tzw. łuk neunknone, mnmalzację lczby łuków dodatkowych, w danym momence czasowym w perwszej kolejnośc przydzał zasobów newykorzystywanych we wcześnejszym momence czasowym. 414
4. Wybrane mary odpornośc alokacj zasobów Przy ocene odpornośc harmonogramu z alokacją zasobów stosuje sę mary specyfczne dla problemu alokacj zasobów (np. uwzględnające lczbę łuków dodatkowych) lub wykorzystuje sę wskaźnk stablność uszeregowana oblczane symulacyjne przy losowym generowanu zakłóceń produkcyjnych np. zman w czasach trwana zadań. Prostą marą odpornośc jest elastyczność flex (ang. flexbty) [1] lczona jako stosunek lczby par zadań w sec przepływu zasobów, mędzy którym ne ma zależnośc kolejnoścowych, do lczby wszystkch możlwych par zadań w projekce. Wraz ze wzrostem wskaźnka flex maleje stopeń zależnośc mędzy czynnoścam rośne odporność harmonogramu. Maksymalzacja wskaźnka flex prowadz do mnmalzacj lczby łuków dodatkowych. Mernk flex ne berze pod uwagę m.n. wedzy o kosztach nestablnośc poszczególnych czynnośc (jest dentyczny dla alokacj zasobów z rysunków 2 3) ne pownen być stosowany w analzowanym probleme [7]. Dla zagadnena mnmalzacj kosztów nestablnośc proponowane są mary odpornośc dostosowane do tego problemu. Jednym z możlwych podejść jest oblczane ważonego kosztu nestablnośc w drodze eksperymentów oblczenowych przy różnych scenaruszach przebegu produkcj generowanych losowo na podstawe wedzy statystycznej o czasach realzacj zadań (np. czasy trwana generowane są z rozkładu β [2, 3, 9]). Wadą podejśca symulacyjnego jest czasochłonność. Dodatkowo ne zawsze dostępna jest warygodna wedza statystyczna o czasach realzacj zadań projektowych. Występują np. problemy z oszacowanem czasu trwana czynnośc nowych, nepowtarzalnych, nnowacyjnych. Wskazane jest opracowane mar odpornośc rozdzału zasobów, które uwzględnają wpływ wzrostu czasu trwana poszczególnych czynnośc na koszty nestablnośc ne są wyznaczane symulacyjne. Autorzy proponują zastosowane do oceny sec przepływu zasobów wskaźnka stab [6, 7]. Wskaźnk stab to suma ważonych kosztów nestablnośc ustalonych przy założenu, że każdorazowo jedna z czynnośc j (przy uwzględnenu kolejno wszystkch czynnośc j = 1 n) jest wydłużona o 1 jednostkę czasu (pozostałe czynnośc mają czasy trwana równe planowanym) [7]: n j stab = { [ w ( s s )]} (6) j= 1 n+ 1 = 1 gdze: s j czas rozpoczęca czynnośc przy wzrośce czasu trwana zadana j o 1 jednostkę czasu. Przy oblczanu wskaźnka stab można założyć także np. procentową zmenność czasów trwana zadań przyjąć wzrost czasu trwana zadań ne o 1 jednostkę czasu ale o m % (czas trwana wydłużanego zadana j wynos d j (1+m%) ). Celem alokacj zasobów jest mnmalzacja wskaźnka stab. Przy alokacj z mnejszą wartoścą stab uszeregowane jest bardzej odporne na zakłócena: neznaczne wzrosty czasów trwana zadań mają mnejszy wpływ na koszt nestablnośc realzowanego harmonogramu (opóźnena nnych zadań). 415
Wskaźnk stab dla alokacj zasobów z rysunku 2 wynos 490 a dla alokacj z rysunku 2 jest równy 478 (oblczena w artykule autorów [7]) co potwerdza, że wykorzystane tego wskaźnka może być użyteczne dla zagadnena z mnmalzacją ważonego kosztu nestablnośc. Rozdzały zasobów zaprezentowane na rysunkach 2 3 mają dentyczną lczbę łuków dodatkowych równą 6 ne są rozróżnalne za pomocą mary flex, natomast na podstawe mernka stab można stwerdzć, że preferowana jest alokacja zasobów o nższej wartośc stab przedstawona na rysunku 3. 5. Wybrane algorytmy alokacj zasobów W najprostszej procedurze alokacj zasobów tworzone są osągalne sec przepływu zasobów, bez uwzględnana odpornośc uszeregowana [1]. W kolejnych momentach rozpoczynana poszczególnych zadań znajdowane są dostępne w tej chwl zasoby. Jeśl w analzowanym momence czasowym węcej nż jedna czynność jest rozpoczynana, zadana są przydzelane w kolejnośc wynkającej z przypsanych m numerów (nższy numer, zadane wcześnej przydzelane do zasobów). Część z algorytmów alokacj zasobów stosuje koncepcje łańcuchów [3-5,11]. Schemat dzałana tych algorytmów przedstawony jest na rysunku 4. Posortuj wszystke zadana rosnąco na podstawe ch czasów rozpoczęca Zancjuj wszystke łańcuchy dla zasobów jako puste for (dla każdego typu zasobów k) do for (dla każdej kolejnej czynnośc j) do for 1 to r jk do //Przydzel czynność j do r jk łańcuchów l := selectchan(j, k) Dodaj na konec łańcucha l czynność j Rys. 4. Schemat dzałana algorytmu alokacj zasobów wykorzystującej koncepcję łańcuchów Koncepcja łańcuchów stosowana jest w procedurach Basc Channg, ISH (ang. Iteratve Samplng Heurstc), ISH 2. Poszczególne algorytmy różną sę metodą wyberana łańcucha selectchan(j, k). W procedurze Basc Channg zadana przydzelane są do perwszych wolnych łańcuchów zwązanych z kolejnym zasobam. Wygenerowana w ten sposób alokacja zasobów jest neodporna na zakłócena przez tworzene, często nadmarowo, łuków dodatkowych zwększających zbór E R. Zmnejszene lczby elementów w zborze E R to cel heurystyk ISH, która sprowadza sę do przydzelana zadań o zapotrzebowanu na dany typ zasobu wększym nż jeden, w tak sposób, aby zmaksymalzować lczbę wspólnych łańcuchów, z ostatnm czynnoścam aktualne znajdującym sę w dostępnych łańcuchach. Dla danej czynnośc j typu zasobu k losowany jest jeden z dostępnych łańcuchów l. W przypadku gdy r jk > 1, zadane j jest przydzelane w perwszej kolejnośc do łańcuchów, w których ostatnm elementem jest czynność ostatna w wylosowanym łańcuchu l. Procedura ISH ne uwzględna relacj kolejnoścowych występujących w orygnalnej sec projektu, co może prowadzć do powstawana nadmarowych zależnośc 416
kolejnoścowych. Relacje poprzedzań uwzględna heurystyka ISH 2. W procedurze tej przy ustalanu łańcucha dla danej czynnośc j w perwszej kolejnośc przydzelane są łańcuchy, w których ostatna czynność jest bezpośrednm poprzednkem czynnośc j. Gdy zapotrzebowane na zasoby analzowanej czynnośc j jest wększe nż poprzednków tej czynnośc pozostałe łańcuchy są wyberane zgodne z procedurą ISH. Kolejne modyfkacje heurystyk ISH, które mają na celu zwększene odpornośc uzyskanego rozmeszczena zasobów, są opracowane przez autorów [4, 5]. W perwszej proponowanej wersj algorytmu ISH, określonej jako ISH-UA, procedura dzała jak algorytm ISH 2, przy czym na początku uruchamana jest procedura znajdowana łuków neunknonych. W perwszej kolejnośc zadane j jest przydzelane do łańcuchów, w których ostatna czynność jest bezpośrednm poprzednkem zadana j lub jest połączona z nm łukem neunknonym. W drugej proponowanej wersj heurystyk ISH, określonej jako ISH-R, na początku zlczane są lczby wystąpeń poszczególnych czynnośc jako ostatnch zadań na lśce dostępnych łańcuchów. Czynność j jest przydzelana do wspólnych łańcuchów z czynnoścą o lczbe wystąpeń równej zapotrzebowanu na zasoby czynnośc j (w dalszej kolejnośc lczbe wystąpeń wększej o jeden od tego zapotrzebowana td.). Wyberane są take łańcuchy, aby lczba punktów synchronzacj była jak najmnejsza przez przydzelane wspólnych zasobów do zadań powązanych relacjam kolejnoścowym lub łukam neunknonym. Proponowane algorytmy ISH-UA oraz ISH-R są skutecznejsze od nnych prostych heurystyk tj. Basc Channg, ISH, ISH 2 dla problemu mnmalzacj lczby łuków dodatkowych [5]. Zagadnene odpornej alokacj zasobów można zapsać także jako problem programowana całkowtolczbowego ze zmennym decyzyjnym zapsanym w postac wartośc całkowtych dodatnch (często zerojedynkowych). Dla problemu alokacj zasobów RCPSP znane są następujące procedury optymalzacj całkowtolczbowej tj. [3]: procedura MnEA (ang. Mnmze Extra Arcs), w której mnmalzowana jest lczba łuków dodatkowych; procedura MaxPF (ang. Maxmze sum of Parwse Floats), w której maksymalzowana jest suma przepływów zasobów mędzy czynnoścam; procedura MnED (ang. Mnmze Estmated Dsruptons), w której mnmalzowany jest ważony koszt nestablnośc. Czas dzałana procedur programowana całkowtolczbowego jest znaczne wększy nż heurystyk takch jak ISH. Algorytmy programowana całkowtolczbowego ne generują rozwązań w akceptowalnym czase dla problemów wększych, np. złożonych z 90 zadań. Dla problemu harmonogramowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc stosowany jest także algorytm alokacj zasobów MABO [3] (ang. Myopc Actvty-Based Optmzaton). Jest to procedura z krótkowzroczną optymalzacją oparta na analze wpływu alokacj kolejno rozważanych zadań na wskaźnk stablnośc (łączny ważony koszt nestablnośc). Wpływ ten jest analzowany dla uszeregowana z częścowym rozdzałem zasobów wykonanym do momentu rozpoczęca czynnośc, której aktualne przydzelane są zasoby. Algorytm MABO składa sę z trzech kroków przeprowadzanych dla wszystkch zadań. Czynnośc rozpatrywane są w kolejnośc ch czasów rozpoczęca w harmonograme nomnalnym (dla zadań o dentycznym czase rozpoczęca kryterum rozstrzygającym jest szacowany wpływ na koszt nestablnośc danego zadana). W kroku 1 sprawdzany jest warunek czy dla aktualne rozważanej czynnośc całe zapotrzebowane na zasoby może być zaspokojone przez zasoby, w których ostatna czynność jest bezpośrednm poprzednkem czynnośc. Jeśl zapotrzebowane na zasoby zadana jest wększe nż jej poprzednków, w kroku 2 dodawany jest nowy łuk (lub łuk) E R. Analzowane są wszystke możlwe łuk do dodana (wszystke przepływy zasobów mędzy zadanam bez zależnośc kolejnoścowych) wyberany jest łuk (lub łuk) z mnmalnym wpływem na ważony koszt 417
nestablnośc aż do zaspokojena pełnego zapotrzebowana czynnośc. Ten wpływ ustalany jest w drodze symulacj oblczenowych dla częścowego harmonogramu. W ostatnm kroku określane są przepływy zasobów f(j,, k), od czynnośc j do. Czynnośc j to zadana poprzedzające czynność w orygnalnej sec projektu oraz zadana ustalone w kroku 2. W oparcu o koncepcje zastosowane w procedurze MABO w heurystykach ISH autorzy proponują algorytm RA1, którego schemat dzałana przedstawony jest na rysunku 5 [4]. Znajdź łuk neunknone Stwórz lstę zadań LRA uporządkowanych rosnąco wg ch czasów rozpoczęca, przy równych czasach rozpoczęca zastosuj kryterum dodatkowe sortowana Ks for (dla każdej kolejnej czynnośc z lsty LRA) do for(dla każdego typu zasobu k, dla którego r k > 0) do Wyczyść zbór PA Dodaj do PA pośredne bezpośredne poprzednk zad., które są ost. elementem w dostępnych łańcuchach zasobów w momence s //PA = {j: (j,) E E } R whle (suma dostępnych zasobów z PA < r k ) Z czynnośc spoza PA, które są ostatnm elementem w dostępnych łańcuchach zasobów w momence s wyberz losowo czynność l dodaj tą czynność l do zboru PA Przydzel zasoby do zad. ustalając przepływy f(j,,k) przy zastosowanu kryterum KsPA dla zadań z PA Rys. 5. Schemat dzałana algorytmu alokacj zasobów RA1 [4] W perwszym kroku procedury RA1 szukane są łuk neunknone, które dodawane są do zboru E R. Następne tworzona jest lsta LRA zadań posortowanych rosnąco na podstawe ch czasów rozpoczęca w harmonograme bazowym. Przy dentycznych czasach rozpoczęca stosowane są dodatkowe krytera porządkowana Ks1-Ks4: Ks1: sortowane malejące wg zapotrzebowana czynnośc na zasób danego typu, Ks2: sortowane rosnące wg zapotrzebowana czynnośc na zasób danego typu, Ks3: porządkowane malejące według sumy zapotrzebowań zadań na zasoby wszystkch typów, Ks4: losowa kolejność zadań. Kryterum rozstrzygającym o kolejnośc przy równych wartoścach kryterum Ks jest mnmalny numer zadana. W następnym kroku RA1 alokowane są zasoby do wszystkch kolejnych zadań rozważanych w kolejnośc ch występowana na lśce LRA. Przydzał zasobów dla zadana polega na wyznaczenu w kolejnych momentach czasu t = s przepływu zasobów od czynnośc, które zwolnły dostępne zasoby w chwl t, do czynnośc. W tym celu do pustego zboru PA dodawane są pośredne bezpośredne poprzednk czynnośc, które są ostatnm elementem w dostępnych łańcuchach w chwl t. Jeśl suma zasobów zwolnonych 418
przez czynnośc ze zboru PA jest mnejsza nż zapotrzebowane na zasoby zadana, szukane są brakujące zasoby. Spośród zadań spoza zboru PA, które są ostatnm elementem w dostępnych łańcuchach zasobów w chwl t, wyberane są losowo czynnośc, które dodawane są do zboru PA, aż do momentu, gdy zapotrzebowanu na dany zasób zadana jest równe lub mnejsze od lczby zwalnanych łańcuchów przez czynnośc ze zboru PA. Następnym krokem jest wyznaczene dla czynnośc przepływów zasobów f(j,, k). Rozpatrywane są wszystke czynnośc j należące do PA. Każdy łuk (j, ), który ne należy do zboru E U E R jest dodawany do zboru łuków dodatkowych E R uwzględnany przy alokacj dla nnych typów zasobów. Kolejność rozpatrywana zadań ( alokowanych zwalnanych przez ne zasobów) ze zboru PA przy alokacj zasobów do aktualnej czynnośc zależy od przyjętego kryterum KsPA. Przykładowe krytera porządkowana zadań w zborze PA: KsPA1: czynnośc w PA uporządkowane są malejąco na podstawe zapotrzebowana na zasoby danego typu, przy czym na początku znajdują sę zadana będące bezpośrednm lub pośrednm poprzednkam zadana, KsPA2: czynnośc w PA uporządkowane są rosnąco na podstawe zapotrzebowana na zasoby danego typu, przy czym na początku znajdują sę zadana będące bezpośrednm lub pośrednm poprzednkam zadana, KsPA3: czynnośc wyberane są w sposób losowy: na początku spośród zadań będących bezpośrednm lub pośrednm poprzednkam czynnośc, w dalszej kolejnośc losowo z pozostałych zadań. Autorzy proponują równeż procedurę RALS z lokalnym przeszukwanem alokacj zasobów [4]. Początkowe rozwązana ustalane jest przy użycu algorytmu ISH-R. Przebeg procedury RALS jest zblżony do algorytmu RA1. Lokalne poszukwana dotyczą kolejnośc rozpatrywana zadań ze zboru PA, w momentach czasowych, w których rozpoczyna jest wększa lczba zadań nż 1. W RALS kolejność ta jest zmenana w wynku wykonywana ruchów ogranczonych do zadań znajdujących sę w zborze PA (mogą być wykonywane ruchy stosowane przy reprezentacj permutacyjnej np.: zameń, wstaw, zameń sąsedne tp.). Wykonane ruchu zmena uporządkowane czynnośc na lśce PA zgodne z tym porządkem tworzona jest alokacja zasobów dla aktualnego zadana (w perwszej kolejnośc przydzelane są zasoby zwalnane przez zadana będące bezpośrednm lub pośrednm poprzednkam zadana ). Ta alokacja zasobów jest porównywana z aktualne najlepszą. Kryterum oceny jest stosowana mary odpornośc (może to być wskaźnk flex lub stab). Lepszy przydzał zasobów jest zapamętywany modyfkowany w następnej teracj. Algorytmy RA1 RALS są skuteczne dla problemu harmonogramowana projektu ze zdefnowanym kamenam mlowym [4]. Ne była do tej pory testowana ch efektywność dla zagadnena harmonogramowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc. 6. Podsumowane W artykule przedstawono zagadnena odpornej alokacj zasobów dla problemu harmonogramowana projektu z ogranczonym zasobam. Opsano często analzowany w ostatnch latach problem harmonogramowana z ważonym kosztam nestablnośc w warunkach nepewnośc. W pśmennctwe polskm lczba opracowań dotyczących tego aktualnego zagadnena ne jest duża a planowane projektów z uwzględnenem nepewnośc oraz mnmalzacją kosztów stanow aktualny nurt badań w zakrese zarządzana projektam. Lczba prac dotyczących odpornej alokacj zasobów, zwłaszcza w języku polskm, jest newelka, a zagadnene jest stotne z praktycznego punktu wdzena. Brak jest równeż 419
prac przeglądowych dotyczących algorytmów odpornej alokacj zasobów dla problemu RCPSP z ważonym kosztam nestablnośc. Poza analzą znanych rozwązań w artykule zaprezentowano także procedury opracowane przez autorów. Dalsze prace autorów skoncentrują sę na porównanu zaproponowanych znanych rozwązań przy wykorzystanu bblotek testowych dla problemu RCPSP. Lteratura 1. Artgues C., Mchelon P., Reusser S.: Inserton technques for statc and dynamc resource-constraned project schedulng. European Journal of Operatonal Research 149(2), 2003, 249-267. 2. Braeckmans K., Demeulemeester E., Herroelen W., Leus R.: Proactve resource allocaton heurstcs for robust project schedulng, Raport badawczy KBI_0567, K.U.Leuven, 2005. 3. Deblaere F., Demeulemeester E.L., Herroelen W.S., Van De Vonder S.: Proactve resource allocaton heurstcs for robust project schedulng. Raport badawczy KBI_0608, K.U.Leuven, 2006. 4. Klmek M.: Predyktywno-reaktywne harmonogramowane produkcj z ogranczoną dostępnoścą zasobów, Praca doktorska, AGH Kraków, 2010. 5. Klmek M., Łebkowsk P.: Algorytmy odpornej alokacj zasobów dla problemu harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów. Automatyka: półrocznk Akadem Górnczo-Hutnczej m. Stansława Staszca w Krakowe, t. 13 z. 2, 2009, 371-379. 6. Klmek M., Łebkowsk P.: Resource allocaton for robust project schedulng. Bulletn of the Polsh Academy of Scences Techncal Scences, Vol. 59, No. 1, 2011, 51-55. 7. Klmek M., Łebkowsk P.: Alokacja zasobów dla problemu harmonogramowana projektu z ważonym kosztam nestablnośc. Automatyka: półrocznk AGH w Krakowe, t. 15, z. 2, 2011, s. 237-245. 8. Kobylańsk P., Kuchta D.: A note on the paper by M. A. Al-Fawzan and M. Haouar about a b-objectve problem for robust resource-constraned project schedulng, Internatonal Journal of Producton Economcs, 107, s.496-501, 2007. 9. Leus R.: The generaton of stable project plans. Praca doktorska, Katolck Unwersytet Lowańsk, Belga, Leuven, Katholeke Unverstet Leuven, Belga, 2003. 10. Leus R, Herroelen W.: Stablty and resource allocaton n project plannng. IIE Transactons, 36(7), 2004, 667 682. 11. Polcella N., Odd A., Smth S., Cesta A.: Generatng robust partal order schedules. In Proceedngs of CP2004, Toronto, Canada, 2004. Dr nż. Marcn KLIMEK Instytut Informatyk Państwowa Szkoła Wyższa 21-500 Bała Podlaska, ul. Sdorska 95/97 e-mal: marcn_kl@ntera.pl Dr hab. nż. Potr ŁEBKOWSKI, prof. AGH Katedra Badań Operacyjnych Technolog Informacyjnych Wydzał Zarządzana Akadema Górnczo-Hutncza 30-059 Kraków, al. Mckewcza 30 e-mal: plebkows@zarz.agh.edu.pl 420