WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV BEHAVIORAL ISSUES + INTEGER PROGRAMMING I. Wprowadzenie - BEHAVIORAL ISSUES Analiza rzeczywistego zachowania decydentów ułatwia: proces elicytacji preferencji (ważne z punkt widzenia praktyka analityka); projektowanie efektywnych procedur elicytacji preferencji (aspekt metodologiczny). Słowa kluczowe: behavioral decision research, judgment and decision making, psychology of preference and decision, decision and rationality, cognitive illusions, heuristics and biases. Dwa podejścia teoretyczne: normatywne: zakładają racjonalność (czyli de facto zgodność z pewnym zbiorem aksjomatów); deskryptywne (kognitywistyczne): chęć wyrażenia w modelu rzeczywistych mechanizmów podejmowania decyzji (przez prawdziwych decydentów). Obserwacja: zachowanie decydentów nie jest zgodne z aksjomatami teorii normatywnych, ale ich preferencje i wybory nie są ani racjonalne, ani nie są zmienne (ang. capricious); odstępstwa od teorii i założeń są systematyczne i powtarzalne. Wniosek: rzeczywiste decyzje nie mają wiele wspólnego z teorią normatywną, ale i tak jest ona kluczowa do zrozumienia przebiegu rzeczywistych procesów decyzyjnych (standaryzacja, idealizacja, itd.). II. Seria eksperymentów Cechy wspólne: Przejrzysta sytuacja decyzyjna; Mały zbiór wariantów zaproponowanych osobie, która bierze udział w eksperymencie; Osoba ta ma dokonać wyboru po krótkim okresie zastanowienia; Obserwuje się częste naruszanie kryteriów racjonalności, ale i tak zachowanie takich osób można wyjaśnić. Eksperyment I Dominacja stochastyczna: jeśli A jest preferowane nad B w każdym stanie natury, to A powinno zostać wybrane Zadanie: wskaż loterię, w której chciałbyś wziąć udział; loteria polega na wylosowaniu kulki z kwotą zysku (np. 45) lub straty (np. -15); liczba kulek każdego rodzaju jest znana. A: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (30), 1 niebieska (-15), 2 żółte (-15) B: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (45), 1 niebieska (-10), 2 żółte (-15) Wszyscy wybierają B: dominacja jest oczywista. ISWD: A: 1, B: 22 * w wynikach uwzględniono tylko osoby, które wypełniły dwa testy C: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (30), 3 żółte (-15) D: 90 czarnych (0), 7 czerwonych (45), 1 zielona (-10), 2 żółte (-15) Tylko 58% osób wybiera D, mimo że D dominuje C ISWD: C: 7, D: 16 Co więcej, A jest równoważne C, a B równoważne D. Mimo tego 42% twierdzi B P A, ale C P D. Dlaczego? C jest atrakcyjne, bo jest tylko jeden wariant przegranej, a dla D są dwa takie warianty; Kryterium przejrzystości: efekt dominacji ma większe znaczenie wtedy, gdy dominacja jest oczywista (nie potrzeba żadnych mentalnych transformacji ); Wariant natury dysjunkcyjnej rozważany jako całość ma mniejszą wagę decyzyjną niż suma wag skojarzonych z jego składnikami;
Eksperyment II Przechodniość relacji preferencji P (oraz nierozróżnialności I) jeśli a P b oraz b P c to a P c Zadanie: Wskaż preferowane przez Ciebie zdarzenie (porównuj tylko po dwa zdarzenia z kolumn, czyli a z b, b z c, c z d) a: zysk 500zł z prawd. 7/24 b: zysk 475zł z prawd. 8/24 c: zysk 450zł z prawd. 9/24 b: zysk 475zł z prawd. 8/24 c: zysk 450zł z prawd. 9/24 d: zysk 425zł z prawd. 10/24 Wiele osób preferuje a nad b Wiele osób preferuje b nad c Wiele osób preferuje c nad d, itd. ISWD: a: 10, b: 13 ISWD: b: 10, c: 13 ISWD: c: 11, d: 12 Ale porównując a: zysk 500zł z prawd. 7/24 z d: zysk 425zł z prawd. 10/24, zdecydowana większość preferuje d. ISWD: c: 4, d: 19 Co więcej, po pokazaniu tej niespójności osoby badane są niechętne bo przyznać, że ich preferencje nie są przechodnie. Eksperyment III Pacjent w wieku 40 lat ma nowotwór. Bez terapii umrze po 3 miesiącach. Do wyboru są dwie terapie: radykalna (istnieje prawdopodobieństwo śmierci przy operacji, ale jeśli operacja się uda, to pacjent będzie żył długo) oraz lokalna (ryzyko niepowodzenia jest mniejsze (lub nie ma go wcale), ale w przypadku sukcesu pacjent będzie żył krócej). Wskaż preferowaną terapię, którą zastosowałbyś jako lekarz. A: 20% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 80% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) B: Pewność normalnego życia (przewidywana długość 18 lat) 65% badanych preferuje B (efekt pewności: pewny wynik w porównaniu z wynikiem tylko możliwym ma większą wartość subiektywną) ISWD: A: 8, B: 15 C: 80% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 20% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) D: 75% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 25% normalne życie (przewidywana długość 18 lat) 68% badanych wybiera C prawdopodobieństwo normalnego życia podzielone przez 4 w stosunku do opcji A oraz B (naruszenie tzw. cancellation prinicple) ISWD: C: 16, D: 7 Dodatkowa informacja: załóżmy, że nowotwór ukazuje się być uleczalny tylko w 1 na 4 przypadkach (tylko 1 pacjent na 4 ma szansę zareagować pozytywnie na leczenie). Jeśli nowotwór okaże się nieuleczalny, przewidywana długość życia to 3 miesiące. Jeśli jest uleczalny, to do wyboru są dwie terapie. Wskaż preferowaną terapię. E: 20% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 80% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) F: Pewność normalnego życia (przewidywana długość 18 lat) 68% badanych wybiera F (preferencje identyczna jak dla A oraz B, ale prawdopodobieństwa identyczne jak dla wyboru C oraz D, a nie A oraz B) ISWD: E: 8, F: 15 Mentalnie, badani zakładają że nowotwór jest uleczalny i decydują, mając to na myśli. Sprowadzają wybór między E oraz F do porównania A z B (końcowe prawdopodobieństwa się nie liczą). Wykasowanie wspólnych składników; mental rewriting Eksperyment IV Mental editing Pan Nowak wygrał rano 200zł w loterii radiowej oraz 800zł wieczorem w zakładach bukmacherskich. Pan Kowalski wygrał 1000zł za 5-tkę w Lotto. Kto wg Ciebie jest bardziej szczęśliwy? Większość uważa, że bardziej szczęśliwy jest Pan Nowak (dysocjacja (oddzielenie) zysków) Szczęście: ISWD: Nowak: 17, Kowalski: 6 Pan Nowak musi zapłacić w tym miesiącu 200zł podatku miastu oraz 800zł podatku państwu. Pan Kowalski musi zapłacić 1000zł podatku państwu. Kto wg Ciebie jest bardziej nieszczęśliwy? Większość uważa, że bardziej nieszczęśliwy jest Pan Kowalski (łączenie (amalgamacja) strat) Nieszczęście: ISWD: Nowak: 8, Kowalski: 15
Dziedzina nauki Podejście doświadczalne Kontrolowane warunki eksperymentalne Analiza zaobserwowanych zachowań zgodnie z kanonami racjonalnymi Wyjaśnienie możliwych różnic Przyczynia się do zrozumienie rzeczywistych procesów decyzyjnych Ważne dla projektowania użytecznych technik elicytacji preferencji II. Ograniczona racjonalność Hommo economicus (człowiek ekonomiczny, człowiek racjonalny) Człowiek jako istota działająca racjonalnie dąży do maksymalizacji osiąganych zysków i dokonywania wyborów ze względu na wartość ekonomiczną rezultatów tych wyborów Człowiek posiada: o Wiedzę na temat aspektów otaczającego go środowiska (pełna informacja o problemie decyzyjnym, znajomość wszystkich możliwych rozwiązań problemu decyzyjnego i ich konsekwencji); o Dobrze zorganizowany i stabilny system preferencji; o Umiejętność liczenia zysków (zdolność uszeregowania kierunków działania według ich prawdopodobieństwa maksymalizacji zysków); Jak decydent reaguje na zadanie podjęcia decyzji? Racjonalnie. Ograniczona racjonalność (ang. bounded rationality) oznacza, że człowiek nie dąży do rozwiązań optymalnych, ale do satysfakcjonujących, tzn. takich które zaspokoją jego aspiracje. Human rational behavior is shaped by a scissors whose two blades are the structure of the task environments and the computational capabilities of the actor, H. Simon Podejmowanie decyzji nie odpowiada nawet przybliżeniu tego, co zakładają modele normatywne; Ograniczone możliwości poznawcze (możliwości wypracowania zbioru możliwych kierunków działania w danej sytuacji oraz oceny konsekwencji tych kierunków); Oznacza to, że wybierając ze skończonego zbioru wariantów (zazwyczaj i tak ograniczonego w stosunku do wszystkich możliwych), wybieramy (często pierwszy) wariant wystarczająco dobry (wystarczająco zaspokajający potrzeby; spełniający minimalne standardy akceptacji), a nie ten który maksymalizuje jakąś funkcję użyteczności; Decydenci nie mają predefiniowanych wartości/preferencji dot. wariantów (są one konstruowane, a nie tylko ujawniane); decydent konstruuje preferencje na miejscu, gdy jest to konieczne; Decyzje zależą od konkretnego zadania, kontekstu, celów działania, kryteriów oceny, warunków, a więc nie wynikają z zastosowania niezmiennego algorytmu (np. obliczenie oczekiwanej użyteczności).
III. Strategie decyzyjne Heurystyka: praktyczna reguła postępowania, oparta na doświadczeniu, wykorzystywana przy podejmowaniu decyzji, regulująca proces oceniania albo rozwiązywania problemów, bez stosowania algorytmu albo gruntowanego porównania wszystkich dostępnych opcji; Heurystyki to reguły zawodne, nie dające gwarancji otrzymania poprawnych albo optymalnych wyników (odchylenie od rozwiązań poprawnych, racjonalnych); Intuicyjna ocena rzeczywistości, skróty w rozumowaniu; redukcja złożoności podejmowanych decyzji Heurystyka satysfakcjonująca (Simon, 1955) Warianty rozważane w losowej kolejności Wartość wariantu na każdym kryterium jest porównywana z predefiniowanym poziomem aspiracji Wariant jest odrzucany, jeśli jego ocena na którymkolwiek kryterium nie osiąga zadanego poziomu Pierwszy wariant, który przechodzi test jest wybierany Gdy nie udaje się wybrać żadnego wariantu, poziomy aspiracji muszą zostać zmienione. Cechy charakterystyczne: kolejność; brak porównań między a oraz b; w przypadku konfliktu (wiele wariantów przechodzi test), pierwszy wariant jest wybierany Heurystyka większościowa (Russo, Dosher 83) Porównanie pary wariantów na każdym kryterium i wybór tego, które jest lepszy na większości kryteriów (możliwe wykorzystanie wag) Lepszy wariant jest porównywany z kolejnym, itd. Ostateczny wybór zależy od kolejności (bo graf porównań parami niekoniecznie jest przechodni) Heurystyka eliminacji przez aspekt (Tversky, 72) Minimalny wymagany poziom jest zdefiniowany na najważniejszym kryterium Warianty, który go nie osiągają, są usuwane Proces jest kontynuowany na drugim najważniejszym kryterium, dopóki zostanie tylko jeden wariant. Narusza teorie normatywne, które mówią że istotna informacji musi być wzięta pod uwagę w czasie wyboru. tu, tylko część informacji.
IV. Decyzje uwarunkowane Niezmienność procedury Fundamentalna zasada racjonalnego podejmowania decyzji strategicznie równoważne sposoby elicytacji preferencji decydenta powinny prowadzić do ujawnienia takich samych preferencji Różne tryby odpowiedzi: Wybór: który wariant preferujesz: X=(x 1, x 2 ) czy Y=(y 1, y 2 )? Dopasowywanie: określ brakującą wartość tak, by X=(x 1,?) oraz Y=(y 1, y 2 ) były nierozróżnialne Chęć zapłaty: jaka jest maksymalna kwota, która zapłaciłbyś by otrzymać X=(x 1, x 2 ) Chęć sprzedaży: Jaka jest minimalna kwota, która przekona Cię do odpuszczenia X=(x 1, x 2 ) Ocena: Oceń atrakcyjność X=(x 1, x 2 ) na skali [0, 100] Eksperyment V Porównanie techniki wyboru i dopasowywania [Tversky, Sattath, Slovic 88] Zadanie: rozważane są dwa programy zapewnienia bezpieczeństwa na drogach (ofiary, koszt w milionach zł). Wybór: doradź, który wprowadzić w życie. A = (570 ofiar, 12 mln zł.) B = (500 ofiar, 55 mln zł.) Większość wybiera B (istotniejsze jest ocalenie 70 ludzi niż 43mln zł.) ISWD: A: 10, B: 13 Dopasowywanie: wskaż X dla programu B (w mln zł.), dla którego program A i B będą nierozróżnialne. A = (570 ofiar, 12 mln zł.) B = (500 ofiar, X mln zł.) Większość odpowiedzi to x < 55 mln zł. (różnica mniejsza niż 43 mln zł. odpowiada 70 życiom) ISWD: < 43mln 22 osoby (>43 1 osoba) Trade-off (wagi) różni się w zależności od trybu odpowiedzi. Wybór: natura porządkowa (leksykograficzna) Dopasowywanie: natura liczbowa (trade-off) Adaptacja strategii spójnej z proponowanym trybem odpowiedzi kryterium kosztu jest bardziej istotne w zadaniu dopasowywania Niezmienność opisowa Różne reprezentacje tego samego problemu wyboru powinny prowadzić do wyrażenia równoważnych preferencji Eksperymenty pokazują, że decydenci wyrażają różniące się między sobą preferencji w zależności od tego jak problem jest przedstawiony Efekt obramowania (ang. framing effect) Efekt prezentacji informacji (ang. information presentation effect) Przykłady: Wybór terapii silnie zależy od sposobu prezentacji (możliwość śmierci i przetrwania); Zyski i straty są postrzegane w inny sposób; Przykład z biletami do teatru (zgubione 10$ i zgubiony bilet za 10$) mental accounting effect ; decision makers tend to use information in the form it is displayed, without transforming it, as a way to conserve cognitive effort [Slovic 1972] Ceny mają większe znaczenia w sklepie, jeśli produkty są posortowane zgodnie z cenami [Russo 77]
Eksperyment VI: Asymetryczny efekt dominacji Kontekst decyzji (natura zbioru wariantów) Zadanie: wskaż preferowany przez Ciebie wariant (g 1 oraz g 2 są typu zysk) Obserwuje się odwrócenie preferencji wyboru najlepszego wariantu spośród {a,b,c} oraz {a,b}, gdy a dominuje c, ale b nie dominuje c Najczęściej najlepszy a ISWD: a: 16, b: 6, c: 2 (?) Bardzo często najlepszy b ISWD: a: 12, b: 12 Obecność c dostarcza argumentów za przewagą a w porównaniu z b; wpływa na jego relatywną wartość a w porównaniu z b Zmiana punktu referencyjnego V. Przekonania odnośnie niepewności Rozumowanie na temat prawdopodobieństw Rozumowanie na temat p(e) prawdopodobieństwa, że e stanie się prawdziwe; Istnieje wiele aksjomatów dotyczących prawdopodobieństw, ale ludzie często wybierają niezgodnie z nimi; Ludzie używają heurystyk w rozumowaniu o prawdopodobieństwach [Kahneman, Tversky 73] Dostępność: ocena prawdopodobieństwa zdarzenia bazuje na łatwości z jaką instancję tego zdarzenie można sobie wyobrazić; Reprezentatywność: prawdopodobieństwo zdarzenia jest oceniane zgodnie ze stopniem w jakim to zdarzenie odpowiada modelowi zdarzeń danej klasy (prawdopodobieństwa sukcesu produktu ~ podobieństwo do produktów, które odniosły sukces); Dostosowywanie: początkowe dane/odpowiedź pełni rolę wartość startowej; wykorzystanie dodatkowej informacji zmienia wartość początkowo (bardzo często w niewystarczającym stopniu) (np. predykcja sprzedaży w przyszłym roku często bazuje na sprzedaży w roku bieżącym); Eksperyment VII Masz w ręce rewolwer 6-strzałowy i grasz w rosyjską ruletkę (czyli musisz do siebie strzelić). Masz szansę zapłacić za usunięcie jednego naboju z cylindra. Ile zapłaciłbyś za redukcję liczby nabojów (wpisz kwotę ew. kolejność wysokości kwot): z 6 do 5 z 4 do 3 z 1 do 0 Zwykle badani najmniej zapłaciliby za zmniejszenie liczby nabojów z 4 do 3. ISWD: tylko 4/23 osoby Każda sytuacji odpowiada jednak zwiększeniu prawdopodobieństwa przeżycia o 1/6.
Portfolio loterii Teoria mówi, że jeśli loteria ma oczekiwaną wartość v, to n powtórzeń loterii ma oczekiwaną wartość nv Nie jest racjonalnie odmawiać udziału w loterii, ale akceptować jej n powtórzeń (lub odwrotnie), ale w praktyce dzieje się tak bardzo często Większość osób odmawia udziału w loterii: (+200, 0.5, -100 ), ale akceptuje portfolio kilku powtórzeń tej loterii, gdy rozkład możliwych zysków i porażek jest podany, np. dla n = 3, portfolio jest następujące (600, 0.125; 300, 0.375; 0, 0.375; -300, 0.125) i jest postrzegane jako atrakcyjne. Wraz ze wzrostem liczby powtórzeń (6-10), atrakcyjność rośnie. Sub-addytywność Eksperyment VIII Pan Dziamdziak kupił nowy samochód. Nie wiemy nic o Dziamdziaku, ale bazując na swojej wiedzy na temat proporcji samochodów różnych marek, oszacuj prawdopodobieństwo, że kupił on: marka Fiat Ford Renault Honda Inny prawd. Marka Fiat Ford Renault Honda Toyota prawd. Volkswagen Mercedes Suzuki Citroen Inny Prawdopodobieństwo przypisane innym w tabelce po lewej stronie jest znacznie mniejsze niż suma prawdopodobieństw przypisana innym oraz niewymienionym wcześniej samochodom w tabelce po prawej stronie ISWD: inny-lewa < inny+-prawa: 19/22 Czy testowani nie mają w myślach listy możliwych marek? Tak, ale jest coś jeszcze taki sam wynik uzyskuje się przy testach na osobach, które zawodowo zajmują się samochodami (dealerzy, dziennikarze) VI. Podsumowanie Decydenci nie zachowują się tak jak zakładają teorie normatywne W praktyce często biorą oni pod uwagę informacji nieistotne a ignorują informacje istotne Eksperymenty potwierdzają, że preferencje (przynajmniej częściowo) są konstruowane w momencie ich wyrażenia (a nie pobierane z master listy w umyśle decydenta) Wszystkie irracjonalne zachowanie to kamień w bucie analityka
I. Wprowadzenie INTEGER PROGRAMMING Program optymalizacji matematycznej, w którym niektóre lub wszystkie zmienne są ograniczone do liczb całkowitych (integer) Mixed Integer Programming niektóre, ale nie wszystkie zmienne są całkowite; NP-trudne Integer Programming, gdzie zmienne są binarne (0 lub 1) to jeden z Karp s 21 NP-complete problems Problemy ze stałą liczba zmiennych są jednak rozwiązywane w czasie wielomianowym (a nawet liniowym) II. Wykrywanie niespójności w informacji preferencyjnej Kontynuacja elicytacji informacji preferencyjnej dla problemu fun4all.com Wykrywanie niespójności w informacji preferencyjnej. Niespójność pojawia się, gdy nie ma żadnej instancji modelu preferencji, która odtwarzałaby wszystkie preferencji dostarczone przez decydenta. Z matematycznego punktu widzenia, układ ograniczeń modelujący preferencje decydenta jest wtedy sprzeczny. Aby informacja decydenta była ponownie spójna, można usunąć porównanie a 1 S a 3 lub ograniczenie na wagę w 3 Aby rozwiązać problem niespójności, należy zidentyfikować maksymalne podzbiory fragmentów informacji preferencyjnej, dla których zbiór instancji spójnych z preferencjami decydenta jest niepusty. Takich podzbiorów może być wiele i powinno przedstawić się je decydentowi, aby mógł on wskazać który zostanie usunięty.
III. Problem transportowy Dana jest macierz kosztów wykonania poszczególnych zadań przez poszczególnych wykonawców. Dopasuj zadania do wykonawców tak, by sumaryczny koszt ich wykonania był jak najmniejszy. i \ j W1 W2 W3 W4 Z1 2 10 9 7 Z2 15 4 14 8 Z3 13 14 16 11 Z4 4 15 13 9 Min : z m m cij xij i1 j1 m ogr. : xij 1 j1 i = 1..m*) m xij = 1 j = 1..m**) i1 1- zadanie i przydzielono do wykonawcy j xij 0 - w p.p. x ij - zmienne decyzyjne, oznaczające przydział (1) lub brak przydziału (0) zadania i do wykonawcy j. Ograniczenia gwarantują to, że każde zadanie zostanie wykonane przez jednego wykonawcy. Każdy wykonawca wykona jedno zadanie. Zadanie przydziału jest zadaniem zero-jedynkowego (0-1) programowania liniowego. Zmienne są binarne. *) ograniczenie po wszystkich wykonawcach **) ograniczenie po wszystkich zadaniach IV. Zadanie domowe Grupy: 3-4-osobowe. Czas realizacji: 14 kwietnia (wtorek do północy) Efekt pracy: rozwiązanie w przygotowanym arkuszu WWD4-Pfitzer.xls Firma Pfitzer jest jednym z wiodących producentów i dystrybutorów leków na świecie. Sytuacja firmy oraz zadanie, które stoi przed grupą ją wspomagającą (WY ) opisana jest w pliku WWD-lab4-PFITZER. Zarys sytuacji: Bezpośrednimi klientami firmy są lekarze, których regularnie odwiedzają przedstawiciele handlowi Pfitzera. Każdy przedstawiciel ma przypisany region, który składa się z kilku mniejszych jednostek geograficznych zwanych cegiełkami. Dla nich utrzymywany są dane sprzedaży, liczba lekarzy oraz ich profile, a na tej podstawie dla każdej cegiełki oblicza się jej indeks. Indeks odzwierciedla pracochłonność, która związana jest z daną cegiełką. Każdy przedstawiciel handlowy ma swoją siedzibę, którą uważana jest za centrum jego regionu. Suma cegiełek przypisanych danemu przedstawicielowi handlowemu odzwierciedla jego całkowitą pracochłonność i powinna w przybliżeniu równać się 1. Cel pierwszy: Aby utrzymać efektywność podróżowania przedstawicieli handlowych po mieście, konieczna jest minimalizacja całkowitego dystansu, który przedstawiciele handlowi muszą pokonać. Dystans taki jest mierzony przez sumę odległości pomiędzy centrum regionu danego przedstawiciela a centrami wszystkich cegiełek, które są mu przypisane. Cel drugi: W związku z dynamicznym rozwojem rynku, indeksy niektórych cegiełek zmieniają się w czasie. Dlatego też regiony przypisane poszczególnym dostawcom muszą być okresowo uaktualniane tak, by obciążenie przedstawicieli było w przybliżeniu zrównoważone. Zmiana przydziału poszczególnych cegiełek do przedstawicieli nie powinna być jednak zbyt drastyczna, bo spowodowałoby to oderwanie wielu przedstawicieli od lekarzy, z którymi zdołali już przecież nawiązać kontakty. Zadanie: Wykorzystanie Integer Progamming do znalezienia propozycji nowych przydziałów 4 przedstawicieli handlowych do 22 cegiełek, które reprezentują sytuację firmy w jednej z dzielnic Stambułu.
Dane są: Aktualny przydział przedstawicieli handlowych do cegiełek; Indeksy (pracochłonność) poszczególnych cegiełek; Odległości pomiędzy biurami przedstawicieli oraz centrami poszczególnych cegiełek. Wskazówki co do rozwiązania problemu. Wskazówki (częściowo) wynikające z opisu z pliku WWD-lab4-PFITZER (ułatwią Wam rozwiązanie problem, co jednak wcale nie oznacza, że można sobie odpuścić przeczytanie pliku z opisem): W problemie istnieją dwa cele: z 1 minimalizacja sumy odległości od centrów poszczególnych przedstawicieli do przypisanych im cegiełek z 2 minimalizacji tzw. oderwania, czyli liczby zmian polegających na odebraniu cegiełki jednemu przedstawicielowi i przypisaniu jej innemu (wartość funkcji celu powinna być tu zamodelowana jako średnia ważona, gdzie wagami są indeksy cegiełek (bardziej opłaca się zmienić przydział cegiełki o małej pracochłonność); otrzymamy procent, np. oderwanie=0.05, więc należy optymalizowaną wartość funkcji celu pomnożyć przez 100. Z opisu problemu wynikają też ograniczenia: Zrównoważenie sumarycznej pracochłonności poszczególnych przedstawicieli mierzonej jako suma indeksów przypisanych im cegiełek. Każda cegiełka musi być przypisana do jednego przedstawiciela. Cele z 1 oraz z 2 sa sprzeczne, tzn. nie da się znaleźć jednego rozwiązania, dla którego ich wartość byłaby jednocześnie optymalna (minimalna). Oznacza to, że gdy zoptymalizujemy z 1, to z 2 będzie dalekie od optimum i vice versa. Dlatego też interesuje nas nie jedno konkretne rozwiązania, ale szereg rozwiązać (około 10), aby decydent mógł spośród nich wybrać to, które najbardziej odpowiada jego preferencjom. W rozwiązaniach tych większą wagę będzie się przykładało albo do optymalizacji z 1 albo do optymalizacji z 2. Standardowo, aby częściowo uwzględnić obydwa cele w jednej optymalizacji, należy w funkcji celu uwzględnić jeden cel z wagą 1, a drugi z wagą ε=0.00001 (mała wartość). Generację rozwiązań należy rozpocząć od znalezienie rozwiązań skrajnych, tzn. takich dla których funkcje celu są następujące: z 1 + ε z 2 (niech optymalne wartości optymalizowanych celów będą oznaczone przez z 1 1 oraz z 1 2 ); z 2 + ε z 1 (niech optymalne wartości optymalizowanych celów będą oznaczone przez z 2 1 oraz z 2 2 ). Aby wygenerować kolejne rozwiązanie, należy do ograniczeń problemu dodać nierówność: z 2 z 1 2 ε (niech ε =0.05) Zmusi to solver przy optymalizacji funkcji min z 1 - do znalezienia lepszego rozwiązania na z 2 kosztem pogorszenia rozwiązania na z 1. Aby uzyskać następne rozwiązania, w nierówności z 2 z 1 1 2 ε, należy zmienić wartość z 2 na wartość uzyskaną przy rozwiązaniu ostatniego problemu. Proces ten należy zakończyć, gdy optymalna wartość z 2 osiągnie poziom z 2 2. W arkuszu: Pola pomarańczowe reprezentują zmienne w problemie, które mają modelować nowy przydział przedstawicieli handlowych do cegiełek - muszą być one binarne, co w Excelu ustawia się to w opcjach solvera, wprowadzając ograniczenie na wartości zmiennych. W polach czerwonych należy wprowadzić odpowiednie formuły, wynikające z analizy problemu. Jednym z głównych wyzwań jest zamodelowanie funkcji z 2 (trzeba odwołać się do starego przydziału oraz nowego przydziału, które modelowane są przez zmienne binarne i uzyskać z tego 1 - jeśli zmiana nastąpiła, lub 0 - jeśli nie nastąpiła (uwaga aby nie policzyć jednej zmiany podwójnie). W polach zielonych należy zapisywać rozwiązania ( Payoff matrix to dwa rozwiązania skrajne otrzymane z optymalizacji (z 1 + ε z 2 ) oraz (z 2 + ε z 1 ) ; natomiast Efficient solutions to rozwiązania pomiędzy tymi skrajnymi, dogenerowane przez sukcesywne ograniczenie maksymalnej wartości z 2 ; na podstawie Efficient solutions powinien powstać wykres z rozwiązania optymalnymi). W opcjach solvera ustaw Przyjmij model liniowy.
V. Omówienie ćwiczeń 1. Zapis problemu mieszanego programowania liniowego (MILP) dla wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej Po lewej stronie zamodelowano preferencje decydenta w odniesieniu do funkcji użyteczności oraz wag (pomijamy monotoniczność i normalizację jako nieistotne dla tego zadania) Po prawej stronie każde ograniczenie odpowiadające pojedynczemu elementowi informacji preferencyjnej jest przepisane z wykorzystaniem zmiennej binarnej (mogącej przyjmować tylko wartości 0 lub 1; zwróć uwagę, że dla każdego ograniczenia jest inna zmienna binarna) tak, by jeśli jest ona równa 0, to mamy oryginalne ograniczenia, a jeśli 1, to ograniczenie jest relaksowane (zawsze spełnione) Minimalizacja sumy zmiennych binarnych pozwala na odkrycie minimalnego podzbioru ograniczeń, które trzeba usunąć (wskazanych przez zmienne binarne = 1) po to, aby pozostałe elementy informacji preferencyjnej (wskazane przez zmienny binarne = 0) były spójne z założonym modelem preferencji I. Identyfikacja wszystkich minimalnych podzbiorów informacji preferencyjnej powodujących niespójność Arkusz: WWD4-inconsistency.xls W zadaniu rozważany jest zbiór ośmiu ograniczeń w postaci liniowej dotyczących wartości wag w 1 i w 2 W pierwszej zakładce każde z ograniczeń przepisane jest z wykorzystaniem dedykowanej zmiennej binarnej tak, by jeśli zmienna ta była równa jeden, to ograniczenie jest relaksowane (zawsze spełnione) Funkcja celu zakłada minimalizację sumy zmiennych binarnych, aby wykryć minimalny podzbiór elementów informacji preferencyjnej powodujących niespójność. Rozwiązanie wskazuje na ograniczenie nr 2 i 3, bo zmienne binarne y2=y3=1. Minimalnych podzbiorów powodujących niespójność może istnieć więcej niż jeden. Warto zauważyć, że minimalność rozpatruje się tu z punktu widzenia definicji zbioru, a nie liczności (tzn. ograniczenia 1 i 2 oraz 2, 3 i 4 mogą być dwoma różnymi podzbiorami powodującymi niespójność o ile żaden z ich podzbiorów właściwych sam jej nie powoduje) Aby wykryć kolejne minimalne podzbiory powodujące niespójność należy zabronić znalezienia wszystkich do tej pory zidentyfikowanych. Dlatego w drugiej zakładce do zbioru ograniczeń dodajemy y2 + y3 =< 1, co wymusza, że w optymalnym rozwiązaniu y2 oraz y3 równocześnie nie mogą być 1. Solver znajduje y1=y2=1. W trzeciej zakładce oprócz y2 + y3 =< 1, dodajemy więc y1 + y2 =< 1. Solver znajduje y3=y4=y5=1. W czwartej zakładce dodajemy kolejne ograniczenie y3 + y4 + y5 =< 2. Zwróć uwagę, że po prawej stronie nierówności jest 2 (nie 1!). Rolą tego ograniczenie jest tylko i wyłącznie zapewnienie, że wszystkie te zmienne jednocześnie nie będą miały wartości 1 (tym samym y3 + y4 + y5 =< 1 byłoby zbyt restrykcyjne). W czwartej iteracji solver nie znajduje już nowego minimalnego podzbioru powodującego niespójność. 2. Wykorzystanie zmiennych binarnych do analizy odporności wyników Możliwe i konieczne relacje preferencji odnoszą się do perspektywy porównań parami w przekroju wszystkich funkcji użyteczności spójnych z preferencjami decydenta W problemach porządkowania najbardziej istotnym wynikiem jest jednak pozycja zajmowana przez wariant w rankingu Aby odkryć najwyższą możliwą pozycję w rankingu dla wariantu a 1 należy założyć, że znajduje się on na szcycie rankingu (tzn. jego użyteczność jest większa od użyteczności każdego innego wariantu z osobna), a następnie sprawdzić ile takich elementarnych porównań należy usunąć, aby uzyskać funkcję, która jest spójna z preferencjami decydenta i jednocześnie plasuje a 1 na najwyższej możliwej dla niego pozycji.
Identyfikacji minimalnego podzbioru wariantów, które są lepsze lub takie same od wariantu a 1 można dokonać z wykorzystaniem zmiennych binarnych (w każdym ograniczeniu unikalna zmienna, a w funkcji celu minimalizacja ich sumy) Zastanów się, jak w analogiczny sposób wyznaczyć najgorszą możliwą pozycję wariantu Zastanów się jak z wykorzystaniem zmiennych binarnych zamodelować fałsz relacji przewyższania zgodnie z założeniami metody Electre 1s (patrz lab1), które wymuszają, by albo test zgodności był niezdany albo wystąpiło veto na którymkolwiek z m kryteriów. 3. Wykorzystanie zmiennych binarnych do rozwiązania problemu transportowego W problemie transportowym analiza dotyczy przydziału wykonawców do zadań. Z każdym przydziałem skojarzony jest koszt. Optymalne rozwiązanie powinno wskazywać taki przydział, dla których sumaryczny koszt jest najniższy. Rozwiązanie problemu wymaga skojarzenie z każdym możliwym przydziałem wykonawcy do zadania unikalnej zmiennej binarnej. Zmienna taka ma być równa 1, jeśli przedział jest aktywny, lub 0 - jeśli jest nieaktywny. W funkcji celu zmienne te są przemnożone przez koszt oraz sumowane tak, by uzyskać informację, jaki jest sumaryczny koszt skojarzony z wybranymi przydziałami. Zgodnie z charakterystyką problemu, kierunek optymalizacji to minimalizacja. Ograniczenie wymuszają, by jedno zadanie było przypisane tylko jednemu wykonawcy (suma zmiennych binarnych w każdym wierszu = 1) oraz by jeden wykonawca był przypisany tylko do jednego zadania (suma zmiennych binarnych w każdej kolumnie = 1)