LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N 7 WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU LINIOWEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO
1. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie zaleŝności współczynnika oporu linioweo przepływu laminarneo od liczby Reynoldsa i porównanie jej z zaleŝnością teoretyczną. Podstawy teoretyczne: Przepływ laminarny charakteryzuje się przewaą sił lepkości nad siłami bezwładności, a zaburzenia powstające w czasie przepływu są tłumione, czyli przepływ laminarny jest stabilny. Charakter przepływu płynu w przewodach zamkniętych określa liczba Reynoldsa: dzie υ - średnia prędkość płynu w przewodzie, d średnica przewodu, v kinematyczny współczynnik lepkości. d Re = υ 1 v Badania doświadczalne wskazują, Ŝe w przewodzie o przekroju kołowym przepływ laminarny zawsze istnieje dy Re<300. PRZEPŁYW LAMINARNY HAGENA - POISEUILLEA Weźmy pod uwaę prostoliniowy przewód o przekroju kołowym dłuości l i o promieniu R (rys. 1). Aby określić pole prędkości υ(r) w przekroju poprzecznym rury rozwiązujemy równanie Naviera-Stokesa ruchu ustaloneo, zapisane we współrzędnych cylindrycznych (r, θ, x) z warunkami brzeowymi: Rys. 1 υ ( ) = 0 ( 0) < υ R Przepływ ten jest osiowo symetryczny, więc υ zaleŝy od θ. Będziemy rozwaŝać dłuą rurę i przyjmiemy, Ŝe υ nie zaleŝy od x. Wtedy równanie Naviera-Stokesa redukuje się do równania róŝniczkoweo zwyczajneo:
l r d dr dzie: ρ - ęstość płynu, µ - dynamiczny współczynnik lepkości, I spadek hydrauliczny. dυ ρi r = dr µ = const 3 Jako rozwiązanie równania (3) z warunkami brzeowymi () otrzymujemy wzór na profil prędkości w przewodzie: ρi ( r) ( R r ) Strumień objętości q V obliczamy rozwiązując całkę: υ = 4 4 µ q V R = da = A ( r) υ υ πrdr 5 0 dzie: A- pole powierzchni przekroju poprzeczneo przewodu. W wyniku otrzymujemy wzór: πρi q V 8 µ 4 = R 6 Wynika stąd Ŝe strumień objętości jest proporcjonalny do spadku hydrauliczneo i promienia przewodu w czwartej potędze (prawo Haena-Poiseuille a). Dla poziomeo przewodu (jak na stanowisku pomiarowym) spadek hydrauliczny określamy wzorem: 1 p1 p = 7 ρ l I JeŜeli spadek ciśnienia ( p1 p ) spowodowany jest tylko stratami liniowymi to moŝemy o wyrazić za pomocą wzoru Darcy o-weisbacha: p p ρ l υ l = λ d π D 1 8 5 qv 8 Podstawiając wzór (7) do wzoru (6) oraz porównując wynik ze wzorem Darcy o- Weisbacha otrzymujemy formułę na współczynnik oporu linioweo λ w przepływie laminarnym: 64 9 Re
3. Stanowisko pomiarowe Wywiercenie w kapilarach otworów impulsowych (do pomiaru ciśnienia) nie jest technicznie moŝliwe, natomiast mierząc spadek ciśnienia na wlocie i wylocie kapilary trudno jest oszacować wpływ strat miejscowych, dyŝ w miejscu pomiaru ciśnienia profil prędkości nie jest uformowany (bryła prędkości nie jest paraboloidą obrotową). Z tych powodów zastosowano do pomiarów strat liniowych metodę kompensacyjną. UŜyto dwóch kapilar o jednakowej średnicy ale róŝnych dłuościach, które połączono w układ przedstawiony na rys.. Rys.. Uoólnione równanie Bernoullieo dla przekrojów 1-4 i 3-4: p p 1 4 sl sm = + h 14 + h14 10 ρ ρ p p 3 4 sl sm = + h 34 + h34 11 ρ ρ Do strat miejscowych zaliczamy straty na wlocie do kapilar i straty wysokości prędkości wody wypływającej do kolektorów. Między wartościami strat miejscowych zachodzi zaleŝność: 1 sm sm h14 = h34 dyŝ na odcinku 3-4 występuje strata miejscowa na wlocie i wylocie z kapilary, a na odcinku 1-4 występują dwie takie straty. Po rozwiązaniu powyŝszeo układu równań otrzymujemy formułę na wysokość straty liniowej na odcinku 1-4.
Rys.3. Schemat stanowiska pomiaroweo Stanowisko składa się ze zbiornika zasilająceo, układu przewodów zasilających, zaworu do nastawiania strumienia objętości oraz odcinka pomiaroweo złoŝoneo z układu dwóch kapilar połączonych szereowo. Ponadto do wyposaŝenia naleŝą: manometry hydrostatyczne, zbiornik mierniczy, sekundomierz, termometr. Średnice kapilar zostały dokładnie wyznaczone przez zwaŝenie (na wadze laboratoryjnej) najpierw pustych kapilar, a następnie kapilar wypełnionych wodą destylowaną. Znając dłuość kapilar, temperaturę oraz masę wody wypełniającej kapilary obliczono średnią średnicę kapilar. Stałą wartość strumienia objętości w układzie pomiarowym zapewniono przez zastosowanie naczynia Mariotta. Stałą wartość objętości q V jest zapewniana dzięki utrzymywaniu się ciśnienia barometryczneo na poziomie wylotu rurki napowietrzającej. Strumień objętości nie zaleŝy zatem od poziomu cieczy w naczyniu. Prędkość wypływu ze zbiornika moŝna obliczyć stosując uoólnione równanie Bernoullieo.
Rys. 4. Stanowisko pomiarowe 4. Przebie i proram ćwiczenia: odkręcić zawór reulacyjny i ustawić na pomocniczym rotametrze przepływ na poziomie 53 działek. Odczekać do wyrównania poziomów cieczy w manometrach, ewentualnie koryując zaworem reulacyjnym wartość strumienia objętości. Odczytać róŝnice ciśnień na obu manometrach, czas zbierania zadanej objętości wody w naczyniu miarowym oraz temperaturę wody. ObniŜyć strumień objętości o 4 działki. Odczekać do wyrównania poziomów cieczy w manometrach, ewentualnie koryując zaworem reulacyjnym wartość strumienia objętości. Odczytać róŝnice ciśnień na obu manometrach, czas zbierania zadanej objętości wody w naczyniu miarowym oraz temperaturę wody. Ostatni pomiar wykonać dla nastawy 9 działek. Po zakończeniu pomiaru zakręcić zawór reulacyjny. Mierzone będą następujące wielkości: strumień objętości (pomiar czasu przepływu ustalonej objętości wody zbieranej w zbiorniku pomiarowym), wysokość spadków ciśnienia na odcinkach 1-4 i 3-4, temperatura wody. Na podstawie pomierzonych wielkości moŝna wyznaczyć doświadczalne wartości λ oraz sporządzić odpowiednie charakterystyki.
5. Przykładowe obliczenia Tabela pomiarowa Współczynnik oporu linioweo 5 d π τ 8q V ( h14 h34 ) ( l l ) 14 34 3 5 ( 1,69 10 ) π 9,81 71 ( 1,068 0,63) 6 3 3 8( 75 10 ) ( 45,3 10 76,4 10 ) Liczba Reynoldsa 4q Re = V πdτv = 0,0695 6 4 75 10 Re = 3 6 π 1,69 10 71 1,1 10 = 993 Wzór Haena-Poiseuille a t 64 Re t 64 = 1000 0,064
Wykres