Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 1 / 26
W stronę geometrii. Cele na 2-3 spotkania: 1 Porozmawiać o krzywych, powierzchniach i ich uogólnieniach; 2 Dowiedzieć się, co to krzywizna, 3 Zobaczyć kilka starych i nowych twierdzeń o krzywych i powierzchniach; 4 Nieco później: dowiedzieć się, co to jest rachunek wariacyjny. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 2 / 26
Dwa cytaty na początek: The greatest mathematicians, as Archimedes, Newton, and Gauss, always united theory and applications in equal measure. Everyone knows what a curve is, until he has studied enough mathematics to become confused through the countless number of possible exceptions. Felix Klein, 1849 1925 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 3 / 26
Dygresja: Felix Klein i jego wkład w geometrię 1872 (w wieku 23 lat!) profesura w Erlangen; wielki wpływ na rozwój geometrii; tzw. program erlangeński: są różne geometrie; każda z nich bada tylko te własności figur, które są zachowane przez przekształcenia, należące do ustalonej grupy przekształceń (danej) przestrzeni. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 4 / 26
Co to jest grupa? Co Klein miał na myśli? Zbiór G z wyróżnionym działaniem, które spełnia trzy warunki: 1 istnienie jedynki : istnieje takie e G, że e x = x e = x dla każdego x G; 2 łączność mnożenia : (x y) z = x (y z) dla x, y, z G; 3 istnienie elementu odwrotnego: dla każdego x G istnieje dokładnie jeden element x 1 G taki, że x x 1 = x 1 x = e. Przykłady grup: 1 R \ {0} z mnożeniem; Z = {0, ±1, ±2,...} z dodawaniem; 2 zbiór izometrii płaszczyzny; = składanie przekształceń; 3 zbiór wszystkich obrotów w przestrzeni, działanie jw. Izometrie zachowują wszystkie odległości, ale można badać np. przekształcenia zachowujące kąty, itp., itd. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 5 / 26
Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 6 / 26
Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość Krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 6 / 26
Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość np. okrąg, sfera, torus, zbiór wszystkich obrotów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich położeń litery F w przestrzeni,... w ogólności: wszystko, co w małej skali wygląda w każdym miejscu (z grubsza) tak, jak fragment przestrzeni euklidesowej, ale może jest jakoś zakrzywione, posklejane itp. Krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 6 / 26
Kluczowe pojęcia współczesnej geometrii Rozmaitość np. okrąg, sfera, torus, zbiór wszystkich obrotów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich położeń litery F w przestrzeni,... w ogólności: wszystko, co w małej skali wygląda w każdym miejscu (z grubsza) tak, jak fragment przestrzeni euklidesowej, ale może jest jakoś zakrzywione, posklejane itp. Krzywizna sposób pomiaru zakrzywienia, określający lokalne i globalne cechy rozmaitości, m.in. to, na ile odbiega ona od jakiegoś symetrycznego, eleganckiego modelu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 6 / 26
Przykłady rozmaitości cd. 1 rozmaitości jednowymiarowe: krzywe gładkie, bez dziobków, zagięć, załamań i samoprzecięć np. okrąg i prosta 2 rozmaitości dwuwymiarowe: sfera, torus, precel, butelka Kleina, wstęga Möbiusa; ogólnie: wszelkie powierzchnie gładkie, bez ostrych szpiców, zagięć, kantów etc. 3 rozmaitości trójwymiarowe, np. sfera S 3 jest zbiorem tych punktów (x, y, z, t) przestrzeni czterowymiarowej R 4, które spełniają x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1. 4... itd. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 7 / 26
Przykład: torus i jego zanurzenia w R 3 Różne homeomorficzne obrazy torusa. Torus to powierzchnia rodzaju 1. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 8 / 26
Powierzchnia rodzaju 2: precel P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 9 / 26
Klasyfikacja powierzchni dwustronnych, zwartych, bez brzegu (XIX wiek) Dla każdej liczby n powierzchnia rodzaju n powstaje ze sfery przez doklejenie dwóch rączek. Innych powierzchni zwartych, bez brzegu, dwustronnych, nie ma. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 10 / 26
Przykład powierzchni jednostronnej: wstęga Moebiusa (M.C. Escher, Moebius band II, 1963 rok) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 11 / 26
Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 12 / 26
Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 12 / 26
Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 12 / 26
Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? A wśród tych liczb, których nie zdołam zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy przez cały wykład, jest najmniejsza. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 12 / 26
Przestroga: definicje to poważna rzecz Mówienie językiem potocznym o matematyce bywa niebezpieczne. Przykład. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zatem, są wśród nich tak duże, że nie zdołam ich zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy do wieczora, prawda? A wśród tych liczb, których nie zdołam zdefiniować, choćbym pokazywał slajdy przez cały wykład, jest najmniejsza. I właśnie ją zdefiniowałem na jednym slajdzie! (Wyjaśnienie: trzeba odróżniać badany język od metajęzyka, w którym prowadzi się badania). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 12 / 26
Co to jest krzywa? Generalne stanowisko matematyków prawie do końca XIX w.: koń jaki jest, każdy widzi Nieco poważniej: ciągły obraz odcinka Kłopot: to nie jest definicja tego, co chcemy. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 13 / 26
Co to jest krzywa? Generalne stanowisko matematyków prawie do końca XIX w.: koń jaki jest, każdy widzi Nieco poważniej: ciągły obraz odcinka Kłopot: to nie jest definicja tego, co chcemy.definicja z poprzedniego punktu obejmuje, jak się okazuje, np. kwadrat, a także różne zbiory o fraktalnym kształcie. 1890: Giuseppe Peano konstruuje przykład funkcji ciągłej, przeprowadzającej odcinek [0, 1] na cały kwadrat. Krzywymi, tzn. ciągłymi obrazami odcinka, są też dywan Sierpińskiego i gąbka Mengera. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 13 / 26
Krzywa typu Peano: kilka stadiów konstrukcji Trzy początkowe kroki konstrukcji krzywej wypełniającej kwadrat. U góry: kopie wyjściowej łamanej. U dołu: to samo, z dodanymi połączeniami. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 14 / 26
Dywan Sierpińskiego (1916) Krzywa, dla której każdy punkt jest punktem rozgałęzienia; zbiór o ułamkowym wymiarze; Każda krzywa płaska wymiaru 1 jest homeomorficzna z jakimś podzbiorem dywanu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 15 / 26
Dywan Sierpińskiego: kilka własności Dywan ma pole zero. Istotnie, pole usuniętych kwadratów: 1 9 + 8 9 + 82 2 9 + = 1 ) 89 82 (1 + + 3 9 9 + = 1 2 9 1 = 1 1 8 9 Dywan ma ułamkowy wymiar Hausdorffa. Jeśli chcemy przykryć dywan kwadratami mniejszymi trzykrotnie od ustalonych, to ich liczba rośnie 8 razy. Wymiar d to taka liczba, że 3 d = 8, stąd d = log 8/ log 3 1,89. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 16 / 26
Gąbka Mengera (1926) Nieskończone pole powierzchni; zerowa objętość; Wymiar ln 20 2,72; ln 3 Każdy punkt jest punktem rozgałęzienia P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 17 / 26
Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 18 / 26
Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 18 / 26
Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 18 / 26
Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) albo tzw. nitka do pomiaru objętości. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 18 / 26
Może zatem inna definicja krzywej...? Na przykład: Krzywa to ciągły i różnowartościowy obraz odcinka. To wykluczy krzywą Peano, dywan i gąbkę.... Ale kilka innych patologii nadal zostanie: krzywe o dodatnim polu powierzchni (William Osgood, 1903) albo tzw. nitka do pomiaru objętości. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 18 / 26
Krzywe bez samoprzecięć, o dodatnim polu Konstrukcja krzywej Osgooda Knoppa (przybliżenia o numerach n = 1, 2, 3, 5, 7, 13). Jest to krzywa bez samoprzecięć, ale o dodatnim polu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 19 / 26
Co to jest krzywa, 2. Dla bezpieczeństwa i wygody: odtąd słowo krzywa będzie oznaczać krzywą gładką być może ze skończoną liczbą samoprzecięć zamkniętą lub z końcami. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 20 / 26
Krzywizna krzywych płaskich i przestrzennych Krzywizna okręgu o promieniu R jest równa 1/R. Krzywizna każdej innej krzywej płaskiej w punkcie p to odwrotność promienia tego okręgu, który jest styczny do krzywej w p; najlepiej ze wszystkich okręgów przybliża krzywą w pobliżu p. Równoważnie: bierzemy w pobliżu p dwa inne punkty q, s na krzywej; opisujemy na trójkącie p, q, s okrąg o promieniu R(p, q, s); znajdujemy granicę wielkości 1/R(p, q, s) dla q, s p. Ta definicja jest dobra także w przestrzeni trójwymiarowej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 21 / 26
Skręcenie krzywej przestrzennej Płaszczyzna ściśle styczna do krzywej (przestrzennej w punkcie p: ta płaszczyzna, która najlepiej przylega do krzywej w punkcie p. Tę płaszczyznę wyznaczają wektory prędkości i przyspieszenia (gdy poruszamy się wzdłuż krzywej ze stałą szybkością) Torsja (skręcenie): tempo, w jakim krzywa odgina się od swojej płaszczyzny ściśle stycznej. Proste twierdzenie. Jedyną krzywą płaską o stałej krzywiźnie jest okrąg. Jedyną krzywą przestrzenną o stałej krzywiźnie i stałym skręceniu jest linia śrubowa. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 22 / 26
Twierdzenia znane i mniej znane. Twierdzenie. Skręcenie i krzywizna wyznaczają krzywą przestrzenną z dokładnością do izometrii (a nawet: ruchu sztywnego). Pytanie: Ile jest krzywych przestrzennych o stałej krzywiźnie? Zaskakująco dużo! Twierdzenie (2007). Każdy węzeł ma model, który jest krzywą o stałej krzywiźnie. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 23 / 26
Twierdzenia znane i mniej znane. Twierdzenie. Skręcenie i krzywizna wyznaczają krzywą przestrzenną z dokładnością do izometrii (a nawet: ruchu sztywnego). Pytanie: Ile jest krzywych przestrzennych o stałej krzywiźnie? Zaskakująco dużo! Twierdzenie (2007). Każdy węzeł ma model, który jest krzywą o stałej krzywiźnie. Taki model można zrobić z łuków okręgów i linii śrubowych. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 23 / 26
Fragment przygód Gullivera oczami matematyka P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 24 / 26
Fragment przygód Gullivera oczami matematyka Twierdzenie (Kneser, Blaschke, ok. 1912). Każde jajko ma cztery rogi. Terminologia: rogi to lokalne maksima lub lokalne minima krzywizny. Jajko to gładka krzywa wypukła taka, która jest brzegiem zbioru wypukłego na płaszczyźnie. Założenie wypukłości można opuścić. Trzeba wtedy mówić o krzywiźnie ze znakiem. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 24 / 26
Liczba rogów jajka cd. Załóżmy, że α jest zamkniętą krzywą gładką na płaszczyźnie, a okrąg γ brzegiem najmniejszego koła zawierającego α. Inaczej: γ to okrąg opisany na α. Twierdzenie (Robert Osserman, 1985). Jeśli część wspólna α γ krzywej α i okręgu γ opisanego na niej ma co najmniej n składowych, to α ma co najmniej 2n rogów. Twierdzenie (B. Dahlberg, 1997). Każda funkcja ciągła na okręgu, która ma co najmniej dwa lokalne maksima i dwa lokalne minima, jest krzywizną pewnej płaskiej krzywej zamkniętej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 25 / 26
Twierdzenie Farý ego Milnora (1951) Jeśli C[γ] = γ to γ nie jest zawęźlona. κ 4π, Uwaga: Dla łamanej C[γ] = suma kątów dopisanych. 4π jest optymalne: dla każdego ε > 0 i n N istnieje krzywa γ taka, że C[γ] < 4π + ε (np. węzeł torusowy o n skrzyżowaniach). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 5. Krzywe i krzywizna 07.11.2011 26 / 26