. Obwody prądu ziennego.. Definicje i wielkości charakteryzujące Spośród wielu oŝliwych przebiegów ziennych w czasie zajiey się jedynie przebiegai haronicznyi (sinusoidalnyi lub cosinusoidalnyi). Prądy i napięcia o taki kształcie spotykay w technice najczęściej. Ich analiza jest stosunkowo prosta, dlatego wiele innych, podobnych do nich przebiegów staray się przybliŝyć haronicznyi. Przebiegi okresowe oŝna scharakteryzować za poocą następujących paraetrów: u ( t + ) = u ( t) - definicja przebiegu okresowego, f =, ω = π f, ω = π ; f - częstotliwość przebiegu [Hz], ω - częstość [s ], - okres przebiegu [s]. (.) Rys... Przebieg okresowy haroniczny Na rys.. przedstawiony jest przebieg okresowy haroniczny. MoŜe on zostać opisany wzore: ( ω ψ ) u = u( t) = U sin t + U wartość aksyalna, ω częstość, ψ początkowy kąt fazowy. (.) Kąt fazowy Ψ oŝna określić tylko względe innego przebiegu o tej saej częstotliwości. Zapisywanie kaŝdego prądu lub napięcia wzore. byłoby uciąŝliwe, stąd wynika potrzeba zdefiniowania wielkości charakteryzujących przebiegi. Spróbujy zdefiniować wartość średnią całookresową:
Obwody prądu ziennego /5 t + (.3) ( ) u t = u( t) d t u( t) dt = ; t Rys... Całka z przebiegu sinusoidalnego za całkowitą liczbę okresów Ze względu na syetryczne połoŝenie przebiegu nad i pod osią czasu (x), całka uwzględniająca tą saą liczbę pól + co będzie w wyniku dawać zero. ak więc wartość średnia całookresowa jest nieprzydatna. Zdefiniujy i wyliczy w taki razie wartość średnią półokresową: / Uśr = u( t) dt. (.4) Rys..3. Interpretacja geoetryczna wartości średniej półokresowej
Obwody prądu ziennego 3/5 ak zdefiniowana wartość średnia będzie róŝna od zera i po scałkowaniu jej dla przebiegu sinusoidalnego otrzyujey wartość: / / U U śr = ( ) d = sinω d = cos( ω ) + cos() = ω (.5) U u t t t t U π ( ) U π = cos( π) + =. Od wartości średniej większą przydatność praktyczną a wartość skuteczna. Definicja wartości skutecznej (przykładowo napięcia) jest następująca: =. (.6) U u ( t) dt Rys..4. Interpretacja sposobu obliczania wartości skutecznej Wyznaczenie wartości skutecznej przebiegu sinusoidalnego prowadzi do jej zaleŝności od wartości aksyalnej: cos( ωt + ψ ) U sin ( ω ψ ) d d. (.7) U = U t + t = U t = Do opisu przebiegów odkształconych w stosunku do haronicznych uŝywa się współczynnika aplitudy k a i współczynnika kształtu k k Dla przebiegów haronicznych te współczynniki wynoszą k U k U U = a, kk U = U. (.8) śr U π, 4 ;,. a = = = kk = = = U Uśr (.9)
Obwody prądu ziennego 4/5 Interpretacja fizyczna wartości skutecznej Interpretacja opiera się o wartość energii wydzieloną przez prąd o wartości skutecznej I: =. (.) I i ( t) dt Energia wydzielona przez prąd i(t) w rezystorze R i w czasie wynosi: W R i ( t) dt =. (.) Na podstawie wzoru (.) stwierdzay, Ŝe ta energia oŝe być łatwo wyraŝona przez wartość skuteczną I W = R I. (.) Gdyby I oznaczało wartość prądu stałego, wzór (.) iałby taką saą postać. Stwierdzay wobec tego, Ŝe: wartość skuteczna prądu ziennego odpowiada takiej wartości prądu stałego, która powoduje wydzielenie w rezystorze tej saej energii (i ten sa skutek cieplny). WaŜny pojęcie dotyczący przebiegów haronicznych jest przesunięcie fazowe iędzy dwoa przebiegai, koniecznie o tej saej częstotliwości. Rys..5. Prąd opóźniający się za napięcie (po lewej) i prąd wyprzedzający napięcie Przebiegi pokazane na rys..5 oŝey zaobserwować na ekranie oscyloskopu. W przypadku niewielkich kątów ϕ (-9 o ϕ 9 o ) łatwo jest określić wzrokowo, czy prąd się opóźnia, czy teŝ wyprzedza napięcie.
Obwody prądu ziennego 5/5.. Wytwarzanie napięć ziennych Wytwarzanie napięć ziennych odbywa się w generatorach. Zasada działania generatora wynika z prawa Faraday a ( ) e t d Φ =. (.3) dt Mówi ono, Ŝe ziano struienia agnetycznego towarzyszy indukowanie siły elektrootorycznej (napięcia). Warunkie konieczny jest zienność struienia. JeŜeli przyczyną ziany jest ruch cewki wzbudzającej pole agnetyczne względe drugiej cewki, to w tej drugiej cewce powstanie siła elektrootoryczna, a po zaknięciu obwodu popłynie prąd. Generator prądu jest urządzenie przeieniający energię echaniczną ruchu obrotowego turbiny na energię prądu elektrycznego. Scheat najprostszego generatora pokazany jest na rys..6. Rys..6. Budowa generatora napięcia przeiennego oraz kształt napięcia W wyniku obrotu wzbudnika zasilanego prąde stały w cewkach stojana indukuje się napięcie przeienne, którego kształt w tak prosty generatorze ocno odbiega od sinusoidy. Na kolejny rysunku pokazano bardziej zaawansowany generator w układzie wielobiegunowy. Posiada on dwie pary biegunów, tak więc do wytworzenia częstotliwości sieciowej 5Hz powinien się obracać z prędkością 5obr/in. Rys..7. Generator wielobiegunowy
Obwody prądu ziennego 6/5 Ilość par biegunów deterinuje prędkość obrotową generatora. Generatory napędzane turbinai parowyi pracują zwykle przy wysokich obrotach, poniewaŝ sprawność turbiny jest wtedy wyŝsza. Natoiast generatory napędzane turbinai wodnyi ają bardzo ałe obroty, a w związku z ty duŝą liczbę biegunów. aki generator a równieŝ bardzo duŝą średnicę. Na rysunku.8 widoczny jest generator elektrowni wodnej w Rheinfelden zbudowany ok. 9 roku. Rys..8. Generator elektrowni wodnej w Rheinfelden ok. 9r. (źródło: Wikipedia) Scheat budowy generatora trójfazowego pokazano na rys..9. Generator ten składa się z trzech cewek, w środku iędzy któryi obraca się wzbudnik. Cewki te są przesunięte w o o przestrzeni o, co powoduje, Ŝe napięcia kolejnych faz są równieŝ przesunięte o. Otrzyuje się w ten sposób syetryczny, trójfazowy układ napięć. Rys..9. Scheat budowy generatora trójfazowego
Obwody prądu ziennego 7/5.3. Dodawanie przebiegów haronicznych Na przykładzie uzyskiwania suy dwóch prądów wpływających do wspólnego węzła (rys..) zostanie pokazane suowanie funkcji haronicznych. Rys... Prądy i (t) oraz i (t) suują się dając prąd i 3 (t) Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla kaŝdej chwili czasu t zachodzi i3( t) = i( t) + i( t). JeŜeli prądy i oraz i ają kształt sinusoidy, oŝna je dodać tylko wtedy, gdy obydwa ają tą saą częstotliwość. JeŜeli dodatkowo iałyby one ten sa kąt fazowy, oŝna byłoby dodać bezpośrednio ich aplitudy. W większości przypadków takie proste postępowanie nie jest oŝliwe i trzeba przeprowadzić dodawanie funkcji. Prąd i 3 chcielibyśy otrzyać w postaci podanej poniŝej: ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) i ( t) = I sin t + + I sin t + = I sin t +. (.4) 3 3 3 W ty celu zaieniy sinusy zgodnie z wzore na sinus suy dwóch kątów: I sinωt cosϕ + I cosωt sinϕ + I sinωt cosϕ + I cosωt sinϕ = = I sinωt cosϕ + I cosωt sin ϕ. 3 3 3 3 (.5) Aby lewa strona tego równania równała się prawej, współczynniki przy sinusach i cosinusach po obu stronach równania uszą być równe. Otrzyujey stąd dwa równania I cosϕ + I cosϕ = I cos ϕ, 3 3 I sinϕ + I sinϕ = I sin ϕ. 3 3 Dzieląc drugie przez pierwsze upraszczay I 3 i otrzyujey kąt fazowy I sinϕ + I sinϕ ϕ 3 = arctg ± kπ, jeśli kąty są równe : ϕ = ϕ = ϕ3. I cosϕ + I cosϕ (.6) (.7) W celu otrzyania aplitudy I 3 oba równania podnosiy do kwadratu i dodajey stronai. sin x + cos x = ) otrzyując Korzystay z wzoru jedynkowego ( ( ) ( ) ( cosϕ cosϕ ) ( sinϕ sinϕ ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( sin ϕ cos ϕ ) ( cosϕ cosϕ sinϕ sin ϕ ) ( ) I = I + I + I + I = 3 = I + + I + + I I + = = I + I + I I cos ϕ ϕ = I, jeśli : ϕ = ϕ I = I + I. 3 3 (.8) Przedstawione zaleŝności pokazują, jak trudne byłoby posługiwanie się funkcjai sinusoidalnyi w celu rozwiązywania obwodów.
Obwody prądu ziennego 8/5.4. Zachowanie się podstawowych eleentów przy prądzie sinusoidalnie zienny Rezystor Rys... Rezystor, przez który płynie prąd i(t) ZałóŜy, Ŝe przez rezystor płynie sinusoidalny prąd Oha dla kaŝdej chwili czasu u( t) = R i( t) = RI sinωt = U sinωt czyli: RI = U, a wartości skuteczne: RI = U. i( t) = I sinωt. Zgodnie z prawe (.9) Cele zrozuienia zjawisk zachodzących w róŝnych eleentach trzeba przeanalizować transfer ocy iędzy źródłe a eleente. Zdefiniujy oc chwilową: p( t) = u( t) i( t), dla przebiegów sinusoidalnych na rezystorze: p( t) = U sinωt I sinωt = U I sin ωt (.) Moc chwilowa jest nieujena, co oznacza, Ŝe oc jest przekazywana ze źródła do rezystora, a nigdy w przeciwny kierunku. Na podstawie ocy chwilowej zdefiniujey oc czynną jako wartość średnią: P = p( t)d t, dla rezystora będzie to: cos ωt UI PR = U I sin ωt dt = UI d t = = U I. (.) Dla rezystora oc czynna wyraŝa się prosty iloczyne wartości skutecznych prądu i napięcia. Koplet przebiegów dla rezystora pokazuje rys... Rys... Przebiegi prądu, napięcia, ocy chwilowej i linia ocy czynnej
Obwody prądu ziennego 9/5 Cewka Rys..3. Cewka, przez którą płynie prąd i(t) ZałóŜy, Ŝe przez cewkę płynie sinusoidalny prąd i( t) = I sinωt. Spadek napięcia na cewce wynika z prawa Faraday a: e( t) = d Φ ( t) / dt. JeŜeli przez cewkę przenika zienny struień agnetyczny, indukuje się w niej siła elektrootoryczna e(t)= u(t). MoŜna ją traktować jako spadek napięcia na cewce u(t) z przeciwny znakie. PoniewaŜ indukcyjność cewki jest definiowana jako współczynnik proporcjonalności poiędzy prąde, a struienie agnetyczny: Φ ( t) = L i( t), stąd: d i( t) π π u( t) = L = ωli cosωt = ωl I sin ωt + = U sin ωt + dt ωl I = U, a dla wartości skutecznych: ωl I = U. (.) Wielkość ω L występującą we wzorze nazyway reaktancją indukcyjną i oznaczay jako X L. Moc chwilowa dla cewki p( t) = U cosωt I sinωt = UI sin ωt (.3) jest funkcją oscylującą wokół osi x, co oznacza, Ŝe oc jest przekazywana w obu kierunkach w róŝnych chwilach czasu. Stąd oc czynna wynosi: ( )d, (.4) P = p t t = a energia zgroadzona w cewce jest nieujena: W ( ) L = L i ( t) = L I sin ωt = L I cosωt. (.5) Rysunek.4 pokazuje przebiegi wszystkich wielkości występujących w cewce. Rys..4. Przebiegi prądu, napięcia, ocy chwilowej i energii zgroadzonej w cewce
Obwody prądu ziennego /5 Kondensator Rys..5. Kondensator, do którego przyłoŝono napięcie u(t) ZałóŜy, Ŝe do kondensatora przyłoŝono napięcie sinusoidalne u( t) = U sin ωt. Prąd w obwodzie z kondensatore oŝe płynąć tylko wtedy, gdy zienia się ładunek na jego okładzinach i( t) = d q( t) / d t. Współczynnikie proporcjonalności poiędzy ładunkie, a napięcie jest pojeność kondensatora q( t) = C u( t). Wtedy prąd płynący przez kondensator wyraŝa się wzore d u( t) π π i( t) = C = ωc U cosωt = ωc I sin ωt + = I sin ωt + dt (.6) ωc U = I, a dla wartości skutecznych: I = U ωc Wielkość / ω C występująca we wzorze jest nazywana reaktancją pojenościową (X C ). Moc chwilowa dla kondensatora przyjuje podobną postać, jak dla cewki p( t) = U sinωt I cosωt = UI sin ωt (.7) i jest funkcją oscylującą wokół osi x. Dlatego oc czynna ( )d, (.8) P = p t t = a energia zgroadzona w kondensatorze jest równieŝ nieujena: W ( ) C = C u ( t) = C U sin ωt = C U cosωt. (.9) Wszystkie przebiegi dla obwodu z kondensatore pokazano na rys..6. Rys..6. Przebieg napięcia, prądu, ocy chwilowej i energii w obwodzie kondensatora
Obwody prądu ziennego /5.5. Gałęzie szeregowe RL, RC oraz RLC przy prądzie sinusoidalnie zienny Na rysunku.7 widoczna jest gałąź RL, przez którą przepływa prąd i( t) = I sinωt. Rys..7. Gałąź szeregowa RL Na podstawie wzorów.9 oraz. oŝna podać napięcie całkowite w postaci R L ( ) u( t) = u ( t) + u ( t) = R I sinωt + ωl I cosωt = U sin ωt + ϕ. (.3) Naszy zadanie jest wyznaczenie wartości U oraz ϕ opisujących napięcie całkowite u(t). W ty celu po przekształceniu prawej strony trzeba porównać współczynniki przy sin i cos sinω ω cosω ( sinω cosϕ cosω sinϕ ) R I t + L I t = U t + t R I = U ωl I = U cosϕ sinϕ Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U i daje kąt fazowy ϕ (.3) ωl ωl tgϕ =, ϕ = arctg ± kπ (wystarczy k=). (.3) R R Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronai, po uwzględnieniu wzoru jedynkowego, daje U : ( ) ( ω ) ( ϕ ϕ ) ( ω ) sin cos ; R L RI + LI = U + U = I R + L U = U + U (.33) Wielkość występująca we wzorze R + ( ωl) jest ipedancją Z gałęzi szeregowej RL. Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich: p( t) = U sin ( ωt + ϕ ) I sinωt = UI sin ωt cosϕ + sin ωt sinϕ, (.34) skąd wynika wartość ocy czynnej dla obwodu szeregowego RL: UI ( )d cosϕ cosϕ. (.35) P = p t t = = U I Rys..8. Przebiegi napięcia, prądu i ocy dla gałęzi szeregowej RL
Obwody prądu ziennego /5 Na rysunku.9 widoczna jest gałąź RC, przez którą przepływa prąd i( t) = I sinωt. Rys..9. Gałąź szeregowa RC zasilana prąde i(t) Na podstawie wzorów.9 oraz.6 oŝna podać napięcie całkowite w postaci o u( t) = u ( ) R ( t) + uc( t) = R I sinωt + I sin ωt 9 = U sin ( ωt + ϕ ) (.36) ωc Naszy zadanie jest wyznaczenie wartości U oraz ϕ opisujących napięcie całkowite u(t). W ty celu po przekształceniu prawej strony trzeba porównać współczynniki przy sin i cos RI = U RI sinωt I cosωt = U ( sinωt cosϕ + cosωt sin ϕ ) ωc I = U ωc cosϕ sinϕ Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U i daje kąt fazowy ϕ tg ϕ =, ϕ arctg k k R ωc = R ωc ± π ( = ) Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronai, po uwzględnieniu wzoru jedynkowego, daje U : (.37) (.38) + = sin + cos = + ; = R + C ( ) ( ϕ ϕ ) RI I U U I R U U U ωc ωc (.39) Wielkość występująca we wzorze R + jest ipedancją Z gałęzi szeregowej RC. ωc Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich: p( t) = U sin ( ωt + ϕ ) I sinωt = UI sin ωt cosϕ + sin ωt sinϕ (.4) skąd wynika wartość ocy czynnej dla obwodu szeregowego RC: UI ( )d cosϕ cosϕ. (.4) P = p t t = = U I Rys... Przebiegi napięcia, prądu i ocy dla gałęzi szeregowej RC
Obwody prądu ziennego 3/5 Na rysunku. widoczna jest gałąź RLC, przez którą przepływa prąd i( t) = I sinωt. Rys... Gałąź szeregowa RLC zasilana prąde i(t) Na podstawie wzorów (.9), (.) oraz (.6) oŝna podać napięcie całkowite w postaci i( t) = I sin ωt, u( t) = u ( t) + u ( t) + u ( t) = R L C = RI sinωt + ωli sin ωt + 9 + I sin ωt 9 = U sin ωt + ϕ ωc o o ( ) ( ) ( ) W celu wyznaczenia wartości U oraz ϕ trzeba porównać współczynniki przy sin i cos RI t LI t I t U t t ωc RI = U cosϕ ωli I = U sinϕ ωc sinω + ω cosω cosω = ( sinω cosϕ + cosω sinϕ ) Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U i daje kąt fazowy ϕ (.4) (.43) ωl ωl tgϕ = ωc, ϕ = arctg ωc ± kπ (.44) R R Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronai daje U : + ω = ϕ + ϕ = + ω ( ) ( ) RI LI I U sin cos U I R L ; ωc ωc ( ) U = U + U U R L C (.45) Wielkość występująca we wzorze R + ωl jest ipedancją Z gałęzi szeregowej ωc RLC. Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich: p( t) = U sin ( ωt + ϕ ) I sinωt = UI sin ωt cosϕ + sin ωt sinϕ (.46) skąd wynika wartość ocy czynnej dla obwodu szeregowego RLC: UI ( )d cosϕ cosϕ. (.47) P = p t t = = U I
Obwody prądu ziennego 4/5.6. Wykresy trójkątowe dla gałęzi RL, RC oraz RLC Wykresy trójkątowe pozwalają na graficzne przedstawienie relacji poiędzy ipedancjai, napięciai lub ocai występującyi w obwodzie. Wykorzystują one fakt, Ŝe wzory opisujące uzyskiwanie ipedancji obwodu Z (.33), (.39) i (.45) są analogiczne do wzorów opisujących boki trójkąta prostokątnego: Rys... Wykresy trójkątowe ipedancji gałęzi RL, RC oraz RLC W przypadku wykresu po prawej stronie, dotyczącego gałęzi RLC, załoŝono wartość reaktancji indukcyjnej większą od reaktancji pojenościowej. Po ponoŝeniu boków trójkątów przez wartość skuteczną prądu płynącego w obwodzie wykresy te przeskalowywują się na wykresy napięć na eleentach obwodu. Rys..3. Wykresy trójkątowe napięć na eleentach obwodów RL, RC oraz RLC Po powtórny ponoŝeniu boków trójkątów przez wartość prądu stają się one ocai występującyi w obwodzie: Rys..4. Moce występujące w gałęziach RL, RC oraz RLC Moc czynna P = U I cosϕ jest juŝ znana z wyprowadzeń przeprowadzonych powyŝej. Iloczyn napięcia i prądu jest zwany ocą pozorną S = U I. rzeci bok trójkąta jest ocą uzupełniającą nazywaną ocą bierną Q = U I sinϕ. Występowanie ocy biernej jest związane z obecnością w obwodzie eleentów zachowawczych, które nie rozpraszają energii, lecz ją groadzą oddając następnie z powrote. Jest to oc bezproduktywna, którą w układach energetycznych staray się inializować.
Obwody prądu ziennego 5/5.7. Moce w obwodach prądu sinusoidalnie ziennego Przedstawiono tu zebrane raze definicje wszystkich ocy, któryi posługujey się w obwodach z prąde zienny. Moc chwilowa: p( t) = u( t) i( t) Moc czynna: P = p( t)dt (.48) e dwie definicje oŝna stosować przy przebiegach zieniających się w sposób dowolny. W szczególny przypadku przebiegów sinusoidalnie ziennych otrzyujey wzory: Moc czynna: P = U I cos ϕ ; Moc bierna: Q = U I sin ϕ ; Moc pozorna: S = U I ; P = S ϕ Q = S ϕ P + Q = S Stąd wynikają zaleŝności: cos ; sin ; ; (.49)