ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba 00% x 5 % x 6 5% 6 5 x 6 00% x 000 5% x 6 00% x 6 / 0 0 0 6 00% x 5% x 0 x 0 odp. D ) Pewien towar kosztował 00 zł. Jego cenę podniesiono o 5%. Towar kosztuje teraz: A. 03 zł C. 0 zł. 5 zł D. 30 zł 5 00 + 5% 00 00 + 00 00 + 30 30 odp. D 00 3) uty, które kosztowały 80 zł, przeceniono i sprzedano za zł. Obniżka wynosiła: A. 80% C. 5%. 36% D. 0% 80 36 obniżka ceny butów II sposób: II sposób: x 36 x nieznany procent 00% 80 x % 80 36 x 36 80 36 00% 80 500 x 80 36 00% 9 5 x 6 / 5 9 x x 0% 36 00% 80 9 5 x 0 odp. D
5 3 ) Wyrażenie ( : 5 ): ( 5 : 5 ) ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 jest równe: A. 5. 5 C. 5 D. 5 5 3 ( : 5 ): ( 5 : 5 ) 5 5 5 : 5 3 3 3 5 : 5 5 5 5 odp. 5) Która z poniższych liczb jest równa? A. A 3 0,0 0 C. ( 0,) 0 0 0 3 0,0 0,0 000 0 0 C. ( 0,) 0 D. 0 : ( 0,0) 0 0 mnożąc przez 000 przesuwam przecinek w ułamku 0,0 o 3 miejsca w prawą stronę 5 00 5 0 D. 0 : ( 0,0) 00 : 0 0 0 5 50 0 00 6) Jeśli a - i b +, to iloraz b a jest równy: A. C. 3 +. 3 D. 3-00 00 : 00 odp. D 00 a usuwam niewymierność w mianowniku mnożąc licznik i mianownik przez b + wyrażenie z mianownika z przeciwnym znakiem czyli + ( ) 7) Przedział zaznaczony na osi liczbowej: + + 3 - odp. D jest zbiorem rozwiązań nierówności: A. x C. x 3. x D. x 7 Wzór na odległość między liczbami a b Obliczam odległość między liczbami i 7, wynosi ona 6 i obliczam środek odległości między tymi liczbami, 6 : 3. Zaznaczam x w miejscu. Odległość od jest mniejsza bądź równa 3 x 3 odp. C
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 3 8) Dziedziną funkcji jest: A. 0;,. ;, C. 0;, ; 0 ;. D. ( ) x x x ( x) x 0 0 0 lub x 0 x / ( ) x 0 x Rozwiązaniem jest część wspólna obu przedziałów, czyli x 0;. II sposób: x x 0 x ( x) 0 Traktujemy tą nierówność jako równanie kwadratowe, czyli x ( x) 0 x 0 lub x 0 x Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a < 0, zatem jej ramiona są skierowane do dołu. Następnie patrzymy na znak nierówności ( ), a więc szukamy argumentów x, dla których x x przyjmuje wartości dodatnie, czyli innymi słowy odpowiadający wykres leży nad osią OX. 0 x x 0; odp. C 9) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - 5; 8 R.Funkcja f jest niemalejąca w przedziale: A. ; 5 C. 5;. ; 8 D. 5; 8 Funkcja niemalejąca składa się z funkcji stałej i rosnącej. ; 8 odp.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 0) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - 3; 8 R. Największa wartość tej funkcji w przedziale 0 ; 5 jest równa: A. C. 3. D. 0 Największa wartość y odp. A ) Jeśli dziedziną funkcji f(x) - x + jest przedział 0 ;, to jej zbiorem wartości jest przedział: A. 0 ;, C. ;,. 0 ;, D. ;. x 0 f(x) - x + f(0) - 0 + f() - + zbiór wartości ; odp. D ) Suma współrzędnych wierzchołka paraboli y (x ) + 3 jest równa: A. - C.. - D. W (p, q) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y a( x p) + q p, q 3 +3 odp. D 3) Zbiorem rozwiązań nierówności 5( x) (3x ) jest: A. ; C. ;,. ;, D. ;. 5( x) (3x ) 5 5x 6x / 5 6x 5x 6x 5 x / : ( ) x x ; odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 ) Funkcja f(x) x przyjmuje wartości ujemne dla: A. x (, ) (, ) C. x ;. x (, ) D. x ; ; Wykres funkcji y x przesuwam o w dół wzdłuż osi y x - - 0 y x 0 f (- ) (- ) f (- ) (- ) f (0) 0 0 f () f () 5) Równanie x - x + 0: A. ma jedno rozwiązanie C. nie ma rozwiązań. ma dwa rozwiązania D. ma trzy rozwiązania Wartości ujemne znajdują się pod osią x x ( -, ) odp. a, b -, c b - ac (-) - 8-7 Ponieważ < 0, więc równanie nie ma rozwiązań odp. C 6) Prosta x + y 5 0 jest prostopadła do prostej: A. y x 5, C. y x. y x D. y x + 5 Prosta l : x + y 5 0 po przekształceniu do postaci kierunkowej y x + 5, czyli a Warunek prostopadłości ( l k) a a a / : a ( ) Ponieważ współczynnik kierunkowy a prostej k prostopadłej do prostej l jest równy, więc prosta k ma postać y x 5 odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 6 7) Równanie x+ 6: A. nie ma rozwiązań,. ma rozwiązanie, C. ma rozwiązania, D. ma rozwiązania (x + ) 6 0 korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a + b) a + ab + b x + x + 6 0 x + x 0 a, b, c - b - ac - ( ) 6 + 8 6 Ponieważ > 0, więc równanie ma rozwiązania. odp. C 8 ) Jeśli pole trójkąta równobocznego jest równe 9 3, to bok tego trójkąta ma długość: A. 3 C.,5 3. 3 3 D. 6 P 9 3 a? P a 3 9 3 36 3 3 36 a 3 / 36 a a / : 3 a 36 a 6 3 3 a odp. D 9) Jeżeli kąt α jest kątem ostrym oraz sinα, to: A. α 30 0 C. 0 0 <α <30 0. 60 0 <α <90 0 D. α 60 0 Gdy sinα, to α 30 0 odp. A 0) Jeżeli kąt α jest kątem ostrym oraz cos α, to: A. 0 0 <α <30 0 C. α 30 0. 30 0 <α <60 0 D. 60 0 <α <90 0 Gdy cosα, to α 5 0 odp. ) Jeżeli jest kątem ostrym i sinα cos80, to: A. α80,. α0, C. α0, D. α0. Gdy cos 80 0 cos (90 0-0 0 ) sin 0 0, czyli α 0 0 odp. D
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 7 ) Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tgα, to wartość wyrażenia A. 3,.,5, C., D.,5. cosα + sinα cosα jest równa: cosα + sinα cosα cosα sinα + cosα cosα + tgα + 3 odp. A 3) Promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 3 i jest równy: A.,5 C.,5. D. 5 Twierdzenie Pitagorasa 3 + d 9 + 6 d 5 d d 5 d 5 d r r d : r 5 : r,5 3 d odp. C ) Dany jest odcinek o końcach A(, -) i (a, ). Jeżeli A 5, to: A. a - C. a 6. a D. a - 6 Gdy a, to A y y ( ) + 5 5 A odp. 5) Jeżeli punkt S(, 0) jest środkiem odcinka o końcach A(3, ) i, to: A. (; - ) C. (5, ). (3; ) D. (; ) x A + x x S, y S x S y A + y x A, y A y S S (, 0 ) A ( 3, ) Podstawiam x A 3 i x S do wzoru Podstawiam y A i y S 0 do wzoru 3 + x + y / 0 / 3 + x / - 3 + y 0 / - x y - (, - ) odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 8 6) Równoboczny trójkąt AP jest wpisany w okrąg. Prosta l jest styczna do okręgu w punkcie P (rysunek obok). Wówczas: A. α 30 0 C. α 60 0. α < 30 0 D. α > 60 0 A l P α Trójkąt AP ma każdy kąt równy 60 0, wysokość w trójkącie AP dzieli kąt PA na pół, czyli kąt DPA 30 0. D A L α P Wysokość w trójkącie zawiera promień okręgu, który jest prostopadły do prostej l. α 90 0-30 0 60 0 odp. C 7) Okrąg o środku O(-, ) i promieniu 3 ma równanie: A. (x ) +(y + ) 9 C. (x + ) +(y - ) 9. (x ) +(y + ) 3 D. (x + ) +(y - ) 3 Równanie okręgu ( x a) + ( y b) r a, b współrzędne środka okręgu (x (-)) +(y - ) 3 (x + ) +(y - ) 9 odp. C 8) Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny o podstawach długości 6 cm i 0 cm oraz wysokości cm. 6 cm cm 0 cm Ramię tego trapezu ma długość: A. cm C. 5 cm. cm D. cm
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 9 W trapezie równoramiennym zawsze dorysowujemy drugą wysokość. 6 cm c cm cm. c x 0 cm x x (0 6) : : twierdzenie Pitagorasa c x + c c + c c + c c 8 c 8 odp. 9) Punkt O jest środkiem okręgu (rysunek obok). Kąt α ma miarę równą: A. 0 0, C. 35 0,. 30 0, D. 0 0. Kąt środkowy oparty na półokręgu jest kątem prostym, więc 70 + α 90, czyli kąt α 0 0 30) Kąt α (rysunek obok) ma miarę równą: A. 70 0, C. 5 0,. 5 0, D. 50 0. odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 0 Kąt β i γ to kąty środkowe, zaś kąt α i kąt 35 0 to kąty wpisane w okrąg. Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, czyli zgodnie z rysunkiem powyżej 35 γ / 70 γ Kąt β i γ tworzy kąt pełny, więc β 360 γ 90. Dodatkowo kąt α wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, czyli kąta β, a więc α β 5. odp. C 3) Dany jest okrąg o równaniu +5 + 6. Prosta x0: A. Nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem,. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 5, C. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 8, D. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 0. Równanie okręgu ( x a) + ( y b) r a, b współrzędne środka okręgu, r - promień okręgu (x + 5) + y 6 (x (-5)) +(y - 0) Czyli S (-5; 0) i r Rysując okrąg o podanych parametrach bez problemu można zauważyć, że okrąg o równaniu +5 + 6 z prostą 0 nie ma punktów wspólnych. odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 3) Prosta określona za pomocą równania y x+3 ogranicza, wraz z osiami układu współrzędnych, trójkąt o polu równym: A.,. 6, C. 7, D.. x -8-0 8 y 3 x+3 9 6 3 0-3 Otrzymujemy trójkąt OA o postawie OA i wysokości O 3. Pol trójkąta obliczamy ze wzoru: P ah OA O 3 6 odp.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR Z A D AN I A O T W A R T E Zadanie. ( pkt) ok sześciokąta foremnego ACDEF ma długość 6 cm. Oblicz promień koła wpisanego w trójkąt ACE. D E R C r. h 6 F A Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości boku sześciokąta foremnego czyli 6 cm Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym równa się 3 wysokości trójkąta równobocznego ACE. R h 3 6 h 3 / 3 8 h / : 9 cm h Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny równa się 3 wysokości trójkąta równobocznego ACE. r 3 h r 9 3 r 3 cm Odpowiedź: Promień koła wpisanego w trójkąt ACE ma 3 cm.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 3 Zadanie. ( pkt) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej x + y + 0 i przechodzącej przez punkt P (, 3). x + y + 0 P (, 3) Zamieniam równanie z postaci ogólnej na postać kierunkową, czyli wyznaczam y x + y + 0 / x y x zatem współczynnik kierunkowy a Dwie proste są względem siebie prostopadłe, gdy spełniony jest warunek:. Po przekształceniu, otrzymujemy warunek na współczynnik kierunkowy drugiej prostej: a a a a Podstawiam a oraz współrzędne punktu P (, 3) do wzoru y a x + b 3 + b 3 + b / - b y x + Odpowiedź: Równanie prostej prostopadłej to y x + Zadanie 3. (5 pkt) Punkt A (, 0) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie (, 0). Wyznacz równanie tego okręgu oraz współrzędne jego punktów przecięcia z osią OY. Wyznaczam środek okręgu S (a, b), który leży w środku odcinka A xa + x xs ya + y ys + 8 x s 0 + 0 0 y s 5 S (, 5), AS r 5 Równanie okręgu ( ) ( ) (x - ) +(y - 5) 5 (x - ) +(y - 5) 5 x a + y b r
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR Wyznaczam współrzędne punktów przecięcia z osią OY, czyli dla x 0 Podstawiam do równania okręgu x 0 (0 - ) +(y - 5) 5 (- ) +(y - 5) 5 6 + y - 0y + 5 5 / - 5 6 + y - 0y + 5 5 0 y - 0y + 6 0 a b - 0 c 6 b - ac (-0) - 6 00 6 36 36 6 b ( 0) 6 y a b + ( 0) + 6 y a 0 6 0 + 6 6 8 współrzędne punktów przecięcia z osią OY to (0, ) ; (0, 8) Odpowiedź: Równanie okręgu ma postać (x - ) +(y - 5) 5, a współrzędne punktów przecięcia z osią OY, to (0, ) ; (0, 8). Zadanie. ( pkt) Okrąg o promieniu 5 wpisano trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej. x - długość krótszej przyprostokątnej x - długość dłuższej przyprostokątnej d - długość przeciwprostokątnej r 5 Wyznaczam przeciwprostokątną trójkąta, która jest średnicą d okręgu, czyli d 5 5 Korzystam z twierdzenia Pitagorasa: + x + x 5 x +x 80 5x 80/:5 x 6 x Odpowiedź: Długość krótszej przyprostokątnej jest równa. x x
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 Zadanie 5. ( pkt) Uzasadnij, że prosta y x + nie jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A ;3, 6;7. ( ) ( ) Równanie prostej można zapisać w postaci y ax + b i wyznaczyć z korzystając ze współrzędnych punktów A i, uzyskując w ten sposób układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: 3 + 7 6 + 3 + / 7 6 + Rozwiązując metodą przeciwnych współczynników mnożę pierwsze równanie przez -, a następnie dodaje wyrazy stronami 3 7 6 + 3 + 7 a b + ( 6a) + b 5a /: ( 5) a > współczynnik kierunkowy drugiej prostej b 3 + a 3 Ostatecznie równanie drugiej prostej ma postać: y x + 5 5 Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej odczytuje z równania prostej y x +, czyli a. Dwie proste są względem siebie prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy, zatem gdy proste nie są prostopadłe to jest spełniony warunek: W naszym przypadku, czy proste nie są prostopadłe co należało dowieść. Odpowiedź: Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest różny od, czyli proste nie są prostopadłe co należało dowieść.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 6 Zadanie 6. ( pkt) Dla jakich wartości współczynnika k funkcja y x kx+ nie ma miejsc zerowych? Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych dla < 0 a b k c b ac ( k ) k 6 Zatem dostajemy nierówność: k 6 < 0 (k )(k + ) < 0 k 0 lub k + 0 k k Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a > 0, zatem jej ramiona są skierowane do góry. Następnie patrzymy na znak nierówności (<), a więc szukamy argumentów x, dla których k 6 przyjmuje wartości ujemne, czyli innymi słowy odpowiadający wykres leży pod osią OX. k ( ;) x Odpowiedź: Funkcja kwadratowa x kx+ y nie ma miejsc zerowych dla ( ;) k.