Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia im 000 zł w spadku. Testament jest następujący: każdy z synów musi podać sumę s i jaką chciałby otrzymać. Jeśli s + s 2 000, to każdy otrzymuje to o co prosił, a reszta przechodzi na cele charytatywne. Jeśli s + s 2 > 000, to żaden z synów nic nie otrzymuje i cała kwota przekazana jest na cele charytatywne. Załóżmy, że każdy z synów troszczy się tylko o swoją cześć spadku i kwota jaką może podać musi być w wyrażona w pełnych zł. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha w tej grze. 3. Podaj wszystkie równowagi Nasha w podanych grach. Narysuj graf najlepszych odpowiedzi dla pierwszej gry. U 6,0 5,3 D 6, 0,0 L M R U 5,0 -, 2,0 D 5,3-2,3 2,3 4. Podaj wszystkie równowagi Nasha w grze: A B C D E -4,5 3,-3 2,-5 -,4, 2 3,-3-6,7 6,4 0,0 3,-2 A B C -0,2 3, 2,0 2,0 2, 0,2 5. Rozważmy następujący problem aukcji. Dwóch graczy chce nabyć wartościowy przedmiot. Każdy gracz składa swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Kwoty jakie gracze mogą podać to: 00, 200, 300, 400 i 500 zł. Przedmiot jest warty 400 zł dla gracza i 300 zł dla gracza 2. Gracz, który składa najwyższą ofertę dostaje ten przedmiot. Zwycięzca płaci cenę p. Zatem, jeśli wartość przedmiotu dla zwycięzcy wynosi x, to jego wypłata jest x-p. Dla drugiego gracza wypłata wynosi 0. Jeśli obaj podają cenę p, to zwycięzca jest losowany i płaci p. Przypadek (I): First Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył zwycięzca. Przypadek (II): Second Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył drugi gracz. Podaj macierz wypłat dla obu graczy. Zastosuj algorytm eliminacji strategii zdominowanych. Znajdź czyste równowagi Nasha.
6. Second Price Auction. Sprzedawca posiada wartościowy obraz i chce go sprzedać na aukcji. Do aukcji przystępuje n potencjalnych nabywców. Każdy nabywca k posiada swoją własną ocenę v k > 0. Potencjalni nabywcy składają swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Niech nabywca k składa ofertę b k (0, ). Ten kto podał najwyższą ofertę kupuje przedmiot za drugą co do wielkości ofertę. Jeśli jest więcej nabywców niż jeden z najwyższą ofertą, to kupiec jest losowany według równomiernego rozkładu i płaci za przedmiot najwyższą cenę. Reszta otrzymuje wypłatę zero. Pokaż, że profil strategii (v, v 2,..., v n ) jest równowagą Nasha w tej grze n-osobowej. 7. Rozważmy grę Skała-Nożyczki-Papier, w której 2 dzieci jednocześnie pokazuje za pomocą dłoni element tej gry. Skała (S) bije Nożyczki (N), Nożyczki biją Papier (P), and Papier bije Skałę. Jeśli dzieci grają ten sam element (obydwoje S, obydwoje N lub obydwoje P) to jest remis. Skonstruuj macierz wypłat dla tej gry, jeśli + to wygrana, - przegrana i 0 to remis. Rozwiąż tą grę. 8. Każdy z dwóch kandydatów na prezydenta musi zdecydować, o której godzinie w TVP chce wygłosić swoje godzinne przemówienie. Każdy może wybrać dzień, dwa dni lub trzy dni przed wyborami.jeśli zdecydują się na przemówienie tego samego dnia, to żaden z kandydatów nic nie zyskuje. Jeśli wybiorą inne dni, to kandydat, którego przemówienie jest bliższe dnia, w którym są wybory ma przewagę. Jeden dzień różnicy: kandydat, który wygłasza przemówienie bliżej dnia wyborów zyskuje 30% głosów osób niezdecydowanych; dwa dni różnicy-taki kandydat zyskuje 50% głosów osób niezdecydowanych. Podaj macierz wypłat oraz zdecyduj jak powinni zachować się kandydaci. Czy gra jest fair? 9. Rozważ następującą grę: A B C D 0,0 2,-2-3,3 0,0 2-2,2 0,0 0,0 3,-3 3 3,-3 0,0 0,0-4,4 4 0,0-3,3 4,-4 0,0 Sprawdź, że para strategii ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 3/5, 2/5, 0)) jest optymalna. Sprawdź, że para strategii ((0, 3/5, 2/5, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) jest także optymalna. (c) Dlaczego punkty oraz pozwalają stwierdzić, że ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) musi być także optymalna? (d) Jakie są wypłaty graczy w punkcie (c)? (e) Czy gra jest fair? Uwaga: Grę o sumie zerowej nazywamy fair jeśli wypłata oczekiwana dla strategii równowagi wynosi zero. 0. Rozważamy ciągłą grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym z funkcją wypłaty r(x, y) = 6(x y) 2. Pokaż, że optymalna strategia dla gracza A opisana jest za pomocą rozkładu { F 0 (x) = 2, 0 x <,, x =, 2
a gracza B Znajdź wartość gry. G 0 (y) = { 0, 0 y < 2,, 2 y.. Gracze A i B grają w grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym. Gracz A wybiera liczbę x [0, ], a gracz B, nie znając wyboru gracza A wybiera y [0, ]. Wypłata gracza A wynosi Rozwiąż tą grę. P (x, y) = 2 y2 2x 2 2xy + 7 2 x + 5 4 y. Po jakimś czasie gracz A jest znudzony ciągłym wygrywaniem i decyduje się zbić z tropu gracza B grając zrandomizowaną strategię używając gęstości 3ξ 2, tzn. że prawdopodobieństwo że gracz A wybierze x [ξ, ξ + dξ] wynosi 3ξ 2 dξ. Dlaczego nie jest to głupia strategia dla gracza A? Jak dużo gracz A może stracić grając tą strategię? 2. Gracze A i B grają grę różniczkową. Gracz A wybiera y = y(t, x), gdzie y jest ciągłą, różniczkowalną funkcją taką, że 0 y dla wszystkich wartości t i x. Gracz B wybiera z = z(t, x), gdzie znowu z jest funkcją o tych samych własnościach co y. Dane jest równanie: dx dt = (y z)2, x(0) = x 0. Gra kończy się o czasie t = T. Gracz A maksymalizuje T 0 xdt, a gracz B minimalizuje tą całkę. Sprawdź, że max y T min z 0 xdt = x 0 T oraz min z T max xdt = x 0 T + y 0 8 T 2. Zatem gra różniczkowa nie posiada czystych strategii optymalnych (L.D. Berkovitz). 3. Narysuj drzewo gry Matching Pennies, w przypadku gdy każdy z graczy rzuca monetą. Jeśli możliwe, podaj czyste strategie graczy i postać normalną gry. 4. Antek i Bartek grają w następującą grę: Antek ma prawdziwy samolot i fałszywy samolot. Bartek ma urządzenie do strącania samolotu i chce nim trafić w prawdziwy samolot. Antek kładzie na stole prawdziwy lub fałszywy samolot i zakrywa go ręką. Bartek decyduje czy użyć swojego urządzenia. Na sygnał Antek odkrywa samolot, a Bartek decyduje co zrobić. Jeśli Bartek zestrzeli samolot, to wygrywa, jeśli samolot był prawdziwy i przegrywa, jeśli jest fałszywy. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był prawdziwy, to gra się kończy i nie ma wypłat.jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się powtarza - tym razem stawka jest podwójna. W przypadku, gdy Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się kończy i Bartek wygrywa 2. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 3
5. Sasza i Masz kupili zestaw, który zawiera pistolet Colt 45-six shooter, jeden nabój, karton papierosów i zasady gry w rosyjską ruletkę. Każdy z graczy kładzie na stole po paczce papierosów. Sasza gra pierwszy: może dodać dwie paczki papierosów i przekazać pistolet Maszy albo dodać jedną paczkę, naładować rewolwer i strzelić sobie w głowę. Jeśli ma szczęście, to przekaże rewolwer Maszy. Masza ma te same opcje co Sasza. Gra się kończy. Każdy bierze po połowie papierosów, jeśli obaj żyją, albo ten co przeżył zabiera wszystkie paczki ze stołu. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 6. Do gry użyto trzech kart: Króla, 0 i 2. Antek wybiera jedną kartę nie pokazując Piotrowi. Piotr mówi: High lub Low. Jeśli ma rację (Król=High, 2 =Low), wygrywa 3zł od Antka. Jeśli nie ma racji traci 2zł. Jeśli kartą jest 0, to Piotr wygrywa 2zł, gdy wołał Low, ale Antek musi wybrać pomiędzy Królem a 2, gdy Piotr wołał High. Tym razem po wybraniu karty, Piotr znów woła High lub Low i wygrywa zł, gdy ma rację oraz traci 3zł, gdy nie ma racji. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 7. Antek i Bartek grają w grę z dwoma kartami oznaczonymi literami H=High i L= Low. Każdy z graczy kładzie na stół po zł. Antek losuje kartę, patrzy i zakłada się o 2zł lub 4zł. Bartek może zrezygnować lub popatrzyć. Jeśli zrezygnuje, to Antek zabiera wygraną ze stołu. Jeśli zdecyduje się popatrzyć, to musi dopasować się do Antka zakładu. W tym przypadku Antek wygra, jeśli ma kartę High, w przeciwnym wypadku wygra Bartek. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry. 8. Rozważmy asymetryczny model duopolu gry Cournota. Koszt produkcji dla Firmy wynosi c, a dla Firmy 2 c 2. Jeśli 0 < c i < P 0 /2 dla i =, 2, to jaka jest równowaga Nasha? Jeśli c < c 2 < P 0, ale 2c 2 > P 0 + c, to jaka jest równowaga Nasha? 9. Rozważmy model oligopolu gry Cournota: n identycznych firm (tzn. z identycznymi kosztami) produkuje ilości q, q 2,..., q n pewnego dobra. Cena na rynku opisana jest funkcją P (Q) = P 0 ( Q/Q 0 ), gdzie Q = n i= q i. Znajdź symetryczną równowagę Nasha. Do czego dąży zysk każdej firmy gdy n? 20. Przypuśćmy, że firma E ( Entrant ) rozważa wejście na pewien rynek, który obecnie jest zmonopolizowany przez inną firmę I ( Incumbent ). Cena na rynku danego dobra opisana jest przez funkcję ( P (Q) = P 0 Q ), Q 0 gdzie Q = q I + q E. Koszt produkcji jednostki tego dobra dla każdej firmy wynosi c i koszt Firmy E budowy fabryki, infrastruktury wynosi C E. Czy Firma E powinna wejść na rynek? Jeśli Firma E wejdzie na rynek, to czy Firma I powinna odkryć swoje plany produkcji czy nie? 2. Rozważmy model duopolu gry Cournota. Niech zysk Firmy i będzie dany funkcją: r i (q, q 2 ) = q i (2 q i q 2 ) q i θ i, } {{ } }{{} cena dobra koszt produkcji 4
gdzie q i jest wielkością produkcji Firmy i. Wiadomo, że Firma może być tylko jednego typu θ =. Firma wierzy, że θ 2 = 5 4 z prawdopodobieństwem 2 i θ 2 = 3 4 z prawdopodobieństwem 2. Zatem Firma 2 może być dwóch typów: high-cost type (θ 2 = 5 4 ) oraz low-cost type (θ 2 = 3 4 ). Znajdź czystą bayesowską równowagę Nasha w tej grze. Oblicz oczekiwane wypłaty dla graczy, gdy grają równowagę. AJ 5