P R I N C I P I A N E W TO N A - C Z Y D Z I Ś TO T Y L K O H I S TO R I A?
PRINCIPIA I ELEMENTY ELEMENTY 80 wydań w 20 językach 1500 nowe wydanie co 6 lat 1900 PRINCIPIA 2 przekłady 1687 w ciągu 200 lat 1872 1900 Angielski (1727), Francuski (1759), Włoski (1792 93), Niemiecki (1872), Szwedzki (1927 30), Japoński (1930), Holenderski (1936), Rosyjski (1936), Polski (2011)
DLACZEGO TAK MAŁO WYDAŃ? Pomimo wagi dzieła nauka rzadko inspiruje się problemami postawionymi w Principiach Wyjątki: Seria nagród ufundowanych przez Paryską Królewską Akademię Nauk Problem niezależności I i II prawa ruchu (B. Riemann, rozprawa habilitacyjna, Getynga, 1854 r.) Problem n-ciał, którego głównym promotorem był K. Weierstrass (nagroda ufundowana przez króla Szwecji Oscara II, 1885 r.)
Rachunek wariacyjny Eulera-Lagrange'a, formalizm Hamiltona-Jacobiego mechanika kwantowa kwantowa teoria pola Teoria rozmaitości Riemanna OTW Einsteina Nowoczesne metody zaburzeń (Poincare), twierdzenia KAM
Analiza Iloczyn wielkości wymiarowych i jego reprezentacja za pomocą stosunków
DZIEŁA NEWTONA W PIGUŁCE rachunek różniczkowy formuła interpolacyjna wzór Taylora analiza metoda rozwinięć na szeregi nieskończone zastosowana do rachunku różniczkowego jak i do równań funkcyjnych f(u) = 0 fizyka teoretyczna (trzy prawa ruchu czas przestrzeń siła, prawo powszechnego ciążenia); analiza narzędzie niezbędne do wyprowadzenia ruchu układu Słońce-Ziemia-Księżyc z praw ruchu i prawa powszechnego ciążenia metoda zaburzeń optyka (pryzmat widmo, interferencja, teleskop zwierciadlany)
CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT y y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n dy dx x
CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. y 0 b x n = 1 n+1 bn+1 b x
CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. dx n dx =nxn 1 y dy dx x
ANALIZA czyli RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W RĘKACH NEWTONA Rachunek różniczkowy właściwy do badania związku siły, prędkości (stycznej do trajektorii) gdyż zajmuje się badaniem stycznych Przy badaniu trajektorii ciała w polu sił centralnych wychodzi że klasa funkcji wielomianowych jest zbyt mała. Formułuje następującą myśl (ok. 1671): f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + + a n x n Ponieważ operacje na liczbach i na zmiennych są bardzo do siebie podobne, jestem zdumiony że nikt dotąd nie wykorzystał tej analogii pomiędzy liczbami dziesiętnymi i zmiennymi. Na przykład: zmienna x i jej potęgi spełniają te same algebraiczne relacje co 1/10 i jej potęgi. Tak jak możemy dodawać do siebie liczby dziesiętne, odejmować je, mnożyć i wyciągać pierwiastki tak samo możemy postąpić z nieskończonymi sumami potęg zmiennych.
ANALIZA cd. π =3,1415926...=3+1. 1 10 +4.( 1 10 ) 2 +1.( 1 10 ) 3 +5.( 1 10 ) 4 +... f (x)=a 0 +a 1. x+a 2. x 2 +a 3. x 3 +a 4. x 4 +...
1 1 x =1+x+x2 +x 3 +... 1 1+x =1 x+x2 x 3 +... x 1 0 1 t dt= x 0 (1 t+t 2 t 3 +t 4...)dt =x 1 2 x2 + 1 3 x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) y=x 1 2 x2 + 1 3 x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) x=a 0 +a 1 y+a 2 y 2 +... =y+ 1 2! y2 + 1 3! y3 +...=e y 1 x+1=e y =1+ y+ 1 2! y2 + 1 3! y3 +...
MNOŻENIE Matematycy Helleńscy (III-II w. p.n.e.) Nie można użyć arytmetyki zwykłych ułamków tak, aby punktom odcinka jednoznacznie odpowiadały ułamki.
MNOŻENIE cd.
MNOŻENIE cd.
MNOŻENIE cd. Newton: Stosunek b' : a jest operacją, która działając na a daje b'. Mamy dwa typy wielkości: 1) wielkości z wymiarem (lub wielkości geometryczne) oraz 2) stosunki wielkości geometrycznych lub wielkości z wymiarem, które działają na nie jak operacje. Arytmetyka stosunków może być rozumiana niezależnie od tego na jakie konkretne obiekty geometryczne one działają.
PRZYKŁAD Wielkości geometryczne: odcinki z operacją dodawania i relacją porządku. n-krotne dodawanie odcinka a + a + + a = na. n-krotny podział odcinka a: tj. to jest taki odcinek x = (1/n)a dla którego nx = a. Wówczas ułamek n/m jest operacją działającą na odcinki a która jest złożeniem operacji n-krotności z operacją m-krotnego podziału. Porównując działanie ułamków na krotności ka ustalonego odcinka przekonujemy się, że n/m = n'/m' nm' = n'm
MNOŻENIE cd. Newton (Principia): Nie można mnożyć obiektów z wymiarem (np. takich jak odcinki) tak jak się mnoży bezwymiarowe stosunki X, czyli operacje, dla których istnieje naturalna definicja mnożenia, mianowicie ich złożenie X X = X 2. Za to mogą istnieć i na ogół istnieją wielkości wymiarowe c = a' b', które zależą łącznie od dwóch a', b' (lub więcej) wielkości wymiarowych, tzn. liniowo od każdej z osobna (por. np. pierwsze definicje Principiów). Newton żąda aby stosunki jako operacje reprezentowały łączną zależność, tzn. aby łącznej zależności odpowiadało złożenie stosunków jako operacji:
MNOŻENIE cd. b' : b a' : a (b' : b) (a' : a) = (b' a' : b a') (b a' : b a) = b' a' : b a (a' : a) (b' : b) = (a' b' : a b') (a b' : a b) = a' b' : a b a' : a b' : b
KILKA WAŻNYCH WNIOSKÓW Łączna zależność nie musi a priori być symetryczna, a co za tym idzie reprezentujące ją złożenie stosunków jako operacji nie musi być przemienne. Mnożenie wielkości wymiarowych jest zdefiniowane przez szczególne klasy wielkości tensorowych a symetryczność tych tensorów jest głęboko związana z przemiennością mnożenia wielkości wymiarowych tworzących te tensory. Okoliczności te rzucają nowe światło np. na tak zwaną,,drugą zasadę termodynamiki dla procesów nieodwracalnych (dla układów które nie są w równowadze termodynamicznej). W szczególności łącząc ideę mnożenia jaką znajdujemy w Principiach z teorią Haaga-Doplichera- Robertsa ładunków uogólnionych w QFT, otrzymujemy niezależne wyprowadzenie wspomnianej zasady wraz z pewnymi dodatkowymi małymi poprawkami, których nie mógł przewidzieć Onsager jej odkrywca. Już sam ten przykład pokazuje że P r i n c i p i a N e w t o n a, t o n i e t y l k o h i s t o r i a