PRINCIPIA I ELEMENTY

Podobne dokumenty
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Podstawowe struktury algebraiczne

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Wstęp do równań różniczkowych

WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Grupy, pierścienie i ciała

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA 3 KLASY GIMNAZJUM

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 7 szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

Lista działów i tematów

Wymagania edukacyjne z matematyki

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

Układy równań i równania wyższych rzędów

Wymagania edukacyjne z matematyki

I. Liczby i działania

Wymagania dla klasy szóstej Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Mnożenie ułamków zwykłych

Wymagania eduka cyjne z matematyki

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE

Spis treści. Tom 1 Przedmowa do wydania polskiego 13. Przedmowa 15. Wstęp 19

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

Zagadnienia - równania nieliniowe

Co ma piekarz do matematyki?

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)

Kryteria ocen z matematyki

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

Wstęp do równań różniczkowych

Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

y + p(t)y + q(t)y = 0. (1) Z rozwiązywaniem równań przez szeregi potęgowe związane są pewne definicje.

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot

TERMODYNAMIKA PROCESOWA

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) ( ) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

MATEMATYKA. klasa VII. Podstawa programowa przedmiotu SZKOŁY BENEDYKTA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

Projekt matematyczny

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I. LICZBY I DZIAŁANIA Dopuszczający (K) Dostateczny (P) Dobry (R) bardzo dobry (D) Celujący (W) Uczeń:

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

O "światopogladzie wariacyjnym"

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

KLASA I LICZBY dopuszczający dostateczny

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Kryteria oceny osiągnięć uczniów w klasie I gimnazjum z matematyki ( Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) oprac.

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

1 Relacje i odwzorowania

MATEMATYKA DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Klasa I: DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Kryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju.

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Transkrypt:

P R I N C I P I A N E W TO N A - C Z Y D Z I Ś TO T Y L K O H I S TO R I A?

PRINCIPIA I ELEMENTY ELEMENTY 80 wydań w 20 językach 1500 nowe wydanie co 6 lat 1900 PRINCIPIA 2 przekłady 1687 w ciągu 200 lat 1872 1900 Angielski (1727), Francuski (1759), Włoski (1792 93), Niemiecki (1872), Szwedzki (1927 30), Japoński (1930), Holenderski (1936), Rosyjski (1936), Polski (2011)

DLACZEGO TAK MAŁO WYDAŃ? Pomimo wagi dzieła nauka rzadko inspiruje się problemami postawionymi w Principiach Wyjątki: Seria nagród ufundowanych przez Paryską Królewską Akademię Nauk Problem niezależności I i II prawa ruchu (B. Riemann, rozprawa habilitacyjna, Getynga, 1854 r.) Problem n-ciał, którego głównym promotorem był K. Weierstrass (nagroda ufundowana przez króla Szwecji Oscara II, 1885 r.)

Rachunek wariacyjny Eulera-Lagrange'a, formalizm Hamiltona-Jacobiego mechanika kwantowa kwantowa teoria pola Teoria rozmaitości Riemanna OTW Einsteina Nowoczesne metody zaburzeń (Poincare), twierdzenia KAM

Analiza Iloczyn wielkości wymiarowych i jego reprezentacja za pomocą stosunków

DZIEŁA NEWTONA W PIGUŁCE rachunek różniczkowy formuła interpolacyjna wzór Taylora analiza metoda rozwinięć na szeregi nieskończone zastosowana do rachunku różniczkowego jak i do równań funkcyjnych f(u) = 0 fizyka teoretyczna (trzy prawa ruchu czas przestrzeń siła, prawo powszechnego ciążenia); analiza narzędzie niezbędne do wyprowadzenia ruchu układu Słońce-Ziemia-Księżyc z praw ruchu i prawa powszechnego ciążenia metoda zaburzeń optyka (pryzmat widmo, interferencja, teleskop zwierciadlany)

CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT y y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n dy dx x

CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. y 0 b x n = 1 n+1 bn+1 b x

CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. dx n dx =nxn 1 y dy dx x

ANALIZA czyli RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W RĘKACH NEWTONA Rachunek różniczkowy właściwy do badania związku siły, prędkości (stycznej do trajektorii) gdyż zajmuje się badaniem stycznych Przy badaniu trajektorii ciała w polu sił centralnych wychodzi że klasa funkcji wielomianowych jest zbyt mała. Formułuje następującą myśl (ok. 1671): f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + + a n x n Ponieważ operacje na liczbach i na zmiennych są bardzo do siebie podobne, jestem zdumiony że nikt dotąd nie wykorzystał tej analogii pomiędzy liczbami dziesiętnymi i zmiennymi. Na przykład: zmienna x i jej potęgi spełniają te same algebraiczne relacje co 1/10 i jej potęgi. Tak jak możemy dodawać do siebie liczby dziesiętne, odejmować je, mnożyć i wyciągać pierwiastki tak samo możemy postąpić z nieskończonymi sumami potęg zmiennych.

ANALIZA cd. π =3,1415926...=3+1. 1 10 +4.( 1 10 ) 2 +1.( 1 10 ) 3 +5.( 1 10 ) 4 +... f (x)=a 0 +a 1. x+a 2. x 2 +a 3. x 3 +a 4. x 4 +...

1 1 x =1+x+x2 +x 3 +... 1 1+x =1 x+x2 x 3 +... x 1 0 1 t dt= x 0 (1 t+t 2 t 3 +t 4...)dt =x 1 2 x2 + 1 3 x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) y=x 1 2 x2 + 1 3 x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) x=a 0 +a 1 y+a 2 y 2 +... =y+ 1 2! y2 + 1 3! y3 +...=e y 1 x+1=e y =1+ y+ 1 2! y2 + 1 3! y3 +...

MNOŻENIE Matematycy Helleńscy (III-II w. p.n.e.) Nie można użyć arytmetyki zwykłych ułamków tak, aby punktom odcinka jednoznacznie odpowiadały ułamki.

MNOŻENIE cd.

MNOŻENIE cd.

MNOŻENIE cd. Newton: Stosunek b' : a jest operacją, która działając na a daje b'. Mamy dwa typy wielkości: 1) wielkości z wymiarem (lub wielkości geometryczne) oraz 2) stosunki wielkości geometrycznych lub wielkości z wymiarem, które działają na nie jak operacje. Arytmetyka stosunków może być rozumiana niezależnie od tego na jakie konkretne obiekty geometryczne one działają.

PRZYKŁAD Wielkości geometryczne: odcinki z operacją dodawania i relacją porządku. n-krotne dodawanie odcinka a + a + + a = na. n-krotny podział odcinka a: tj. to jest taki odcinek x = (1/n)a dla którego nx = a. Wówczas ułamek n/m jest operacją działającą na odcinki a która jest złożeniem operacji n-krotności z operacją m-krotnego podziału. Porównując działanie ułamków na krotności ka ustalonego odcinka przekonujemy się, że n/m = n'/m' nm' = n'm

MNOŻENIE cd. Newton (Principia): Nie można mnożyć obiektów z wymiarem (np. takich jak odcinki) tak jak się mnoży bezwymiarowe stosunki X, czyli operacje, dla których istnieje naturalna definicja mnożenia, mianowicie ich złożenie X X = X 2. Za to mogą istnieć i na ogół istnieją wielkości wymiarowe c = a' b', które zależą łącznie od dwóch a', b' (lub więcej) wielkości wymiarowych, tzn. liniowo od każdej z osobna (por. np. pierwsze definicje Principiów). Newton żąda aby stosunki jako operacje reprezentowały łączną zależność, tzn. aby łącznej zależności odpowiadało złożenie stosunków jako operacji:

MNOŻENIE cd. b' : b a' : a (b' : b) (a' : a) = (b' a' : b a') (b a' : b a) = b' a' : b a (a' : a) (b' : b) = (a' b' : a b') (a b' : a b) = a' b' : a b a' : a b' : b

KILKA WAŻNYCH WNIOSKÓW Łączna zależność nie musi a priori być symetryczna, a co za tym idzie reprezentujące ją złożenie stosunków jako operacji nie musi być przemienne. Mnożenie wielkości wymiarowych jest zdefiniowane przez szczególne klasy wielkości tensorowych a symetryczność tych tensorów jest głęboko związana z przemiennością mnożenia wielkości wymiarowych tworzących te tensory. Okoliczności te rzucają nowe światło np. na tak zwaną,,drugą zasadę termodynamiki dla procesów nieodwracalnych (dla układów które nie są w równowadze termodynamicznej). W szczególności łącząc ideę mnożenia jaką znajdujemy w Principiach z teorią Haaga-Doplichera- Robertsa ładunków uogólnionych w QFT, otrzymujemy niezależne wyprowadzenie wspomnianej zasady wraz z pewnymi dodatkowymi małymi poprawkami, których nie mógł przewidzieć Onsager jej odkrywca. Już sam ten przykład pokazuje że P r i n c i p i a N e w t o n a, t o n i e t y l k o h i s t o r i a