O "światopogladzie wariacyjnym"

Transkrypt

1 O "światopogladzie wariacyjnym" Paweł Urbański u rb a n ski@fuw.ed u.p l Kat edra Met od Mat ematycznych Fizyki Uniwersyt et Warszawski Olsztyn, p. 1/26

2 Inaczej Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. Olsztyn, p. 2/26

3 Inaczej Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. Olsztyn, p. 2/26

4 Inaczej Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. O pochodzeniu zasad wariacyjnych dla darwinistów. Olsztyn, p. 2/26

5 Nazwiska Włodzimierz M. Tulczyjew (Camerino, Neapol), Franco Cardin (Padwa), Paweł Urbański (Warszawa). Olsztyn, p. 3/26

6 Podstawowa praca Włodzimierz M. TULCZYJEW "The Origin of Variational Principles" Banach Center Publications 59, "Classical and Quantum Integrability", Warszawa 2003 Olsztyn, p. 4/26

7 Cel wykładu Dyskusja z pewnymi utartymi wyobrażeniami związanymi z rachunkiem wariacyjnym. Olsztyn, p. 5/26

8 Historia Galileusz: znaleźć taką krzywą łączącą punkty A i B, by czas staczania się po niej masy punktowej, pod wpływem siły ciężkości, był najkrótszy. Olsztyn, p. 6/26

9 Historia Galileusz: znaleźć taką krzywą łączącą punkty A i B, by czas staczania się po niej masy punktowej, pod wpływem siły ciężkości, był najkrótszy. Galilei, Galileo ( ) "Discorsi e dimostrazioni matematiche : intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali" In Leida : Appresso gli Elsevirii, Olsztyn, p. 6/26

10 Historia Galileusz: znaleźć taką krzywą łączącą punkty A i B, by czas staczania się po niej masy punktowej, pod wpływem siły ciężkości, był najkrótszy. Galilei, Galileo ( ) "Discorsi e dimostrazioni matematiche : intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali" In Leida : Appresso gli Elsevirii, Brachistochrona od brachos - krótki i chronos -czas Olsztyn, p. 6/26

11 Historia Zagadnienie sprowadza się do znalezienia minimum funkcjonału b 1 + (y (x)) 2 dx 2gy(x) a Olsztyn, p. 7/26

12 Historia Zagadnienie sprowadza się do znalezienia minimum funkcjonału b 1 + (y (x)) 2 dx 2gy(x) a Rozwiązanie (Jakub Bernoulli, Leibniz, Newton): szukana krzywa (brachistochrona) jest fragmentem cykloidy. Olsztyn, p. 7/26

13 Stad dla matematyka Rachunek wariacyjny - dział matematyki, poświęcony znajdowaniu ekstremów funkcjonałów. Olsztyn, p. 8/26

14 ale dla fizyka Zasada wariacyjna - opisuje położenie równowagi układu. Olsztyn, p. 9/26

15 ale dla fizyka Zasada wariacyjna - opisuje położenie równowagi układu. Wspólnym źródłem dla zasad wariacyjnych fizyki jest znana ze statyki zasada pracy wirtualnej. Olsztyn, p. 9/26

16 Dlaczego statyka? Statyka (w ogólności - mechanika) jest tym miejscem, gdzie kształtują się podstawowe intuicje fizyczne i ich artykulacja matematyczna, Olsztyn, p. 10/26

17 Dlaczego statyka? Statyka (w ogólności - mechanika) jest tym miejscem, gdzie kształtują się podstawowe intuicje fizyczne i ich artykulacja matematyczna, a potem rozumujemy przez analogię. Olsztyn, p. 10/26

18 Zasada prac wirtualnych Konfiguracja q 0 jest punktem równowagi, jeżeli każda próba wyprowadzenia z niej jest kosztowna - przynajmniej na początku Olsztyn, p. 11/26

19 Zasada prac wirtualnych Konfiguracja q 0 jest punktem równowagi, jeżeli każda próba wyprowadzenia z niej jest kosztowna - przynajmniej na początku Ukryte założenia: Olsztyn, p. 11/26

20 Zasada prac wirtualnych Konfiguracja q 0 jest punktem równowagi, jeżeli każda próba wyprowadzenia z niej jest kosztowna - przynajmniej na początku Ukryte założenia: możemy oddziaływać na układ zmieniając jego konfiguracje, Olsztyn, p. 11/26

21 Zasada prac wirtualnych Konfiguracja q 0 jest punktem równowagi, jeżeli każda próba wyprowadzenia z niej jest kosztowna - przynajmniej na początku Ukryte założenia: możemy oddziaływać na układ zmieniając jego konfiguracje, umiemy liczyć koszt (n.p. włożoną pracę) tego oddziaływania. Olsztyn, p. 11/26

22 Składniki matematyczne - przestrzeń konfiguracji - rozmaitość różniczkowa Q, Olsztyn, p. 12/26

23 Składniki matematyczne - przestrzeń konfiguracji - rozmaitość różniczkowa Q, procesy wirtualne - łuki z końcami w Q - zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitości z brzegiem, Olsztyn, p. 12/26

24 Składniki matematyczne - przestrzeń konfiguracji - rozmaitość różniczkowa Q, procesy wirtualne - łuki z końcami w Q - zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitości z brzegiem, rodzina dopuszczalnych procesów C. Olsztyn, p. 12/26

25 Składniki matematyczne - przestrzeń konfiguracji - rozmaitość różniczkowa Q, procesy wirtualne - łuki z końcami w Q - zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitości z brzegiem, rodzina dopuszczalnych procesów C. koszt procesów W : C R Zakładamy: addytywność procesów, kosztów, itp Olsztyn, p. 12/26

26 Kryteria równowagi Na każdym łuku wychodzącym z q 0 funkcja kosztu (pracy) jest niemalejąca w q 0. Olsztyn, p. 13/26

27 Kryteria równowagi Na każdym łuku wychodzącym z q 0 funkcja kosztu (pracy) jest niemalejąca w q 0. Pierwsza nieznikająca pochodna funkcji kosztów jest dodatnia Olsztyn, p. 13/26

28 Kryteria równowagi Na każdym łuku wychodzącym z q 0 funkcja kosztu (pracy) jest niemalejąca w q 0. Pierwsza nieznikająca pochodna funkcji kosztów jest dodatnia Kryterium rzędu k - badamy pochodne do rzędu k. Standardowo k = 1. Olsztyn, p. 13/26

29 Najprostszy przypadek funkcja kosztu jest zadana przez dodatnio jednorodną funkcję na wektorach stycznych do Q: ϑ: Q R, ϑ(av) = aϑ(v), dla a > 0. Olsztyn, p. 14/26

30 Najprostszy przypadek funkcja kosztu jest zadana przez dodatnio jednorodną funkcję na wektorach stycznych do Q: ϑ: Q R, ϑ(av) = aϑ(v), dla a > 0. Koszt procesu W(c) = c ϑ. Olsztyn, p. 14/26

31 Najprostszy przypadek funkcja kosztu jest zadana przez dodatnio jednorodną funkcję na wektorach stycznych do Q: ϑ: Q R, ϑ(av) = aϑ(v), dla a > 0. Koszt procesu W(c) = c ϑ. Kryterium równowagi w punkcie q 0 : ϑ(v) 0 dla v zaczepionych w q 0, v q0 Q. Olsztyn, p. 14/26

32 Przykłady Układ potencjalny, opisany potencjałem U : Q R, ϑ = du, ϑ(v) = du, v = v(u) Olsztyn, p. 15/26

33 Przykłady Układ potencjalny, opisany potencjałem U : Q R, ϑ = du, ϑ(v) = du, v = v(u) na przykład sprężynka U(q) = k 2 q q 0 2. Olsztyn, p. 15/26

34 Przykłady Układ potencjalny, opisany potencjałem U : Q R, ϑ = du, ϑ(v) = du, v = v(u) na przykład sprężynka U(q) = k 2 q q 0 2. Niepotencjalny układ z tarciem ϑ(v) = ϱ v. Olsztyn, p. 15/26

35 Podsumowanie pierwsze Opis wariacyjny jest opisem układu z punktu widzenia jego oddziaływania z innymi układami: Olsztyn, p. 16/26

36 Podsumowanie pierwsze Opis wariacyjny jest opisem układu z punktu widzenia jego oddziaływania z innymi układami: Dwa sprzeżone układy (Q, ϑ 1 ) i (Q, ϑ 2 ) o tym samym Q opisywane są sumą ϑ 1 + ϑ 2 Olsztyn, p. 16/26

37 Podsumowanie pierwsze Opis wariacyjny jest opisem układu z punktu widzenia jego oddziaływania z innymi układami: Dwa sprzeżone układy (Q, ϑ 1 ) i (Q, ϑ 2 ) o tym samym Q opisywane są sumą ϑ 1 + ϑ 2 w szczególności jeden z układów, np (Q, ϑ 2 ) może być potencjalny. Olsztyn, p. 16/26

38 Podsumowanie pierwsze Opis wariacyjny jest opisem układu z punktu widzenia jego oddziaływania z innymi układami: Dwa sprzeżone układy (Q, ϑ 1 ) i (Q, ϑ 2 ) o tym samym Q opisywane są sumą ϑ 1 + ϑ 2 w szczególności jeden z układów, np (Q, ϑ 2 ) może być potencjalny. Układ potencjalny reprezentuje siłę - matematycznie kowektor, zaczepiony w jakimś punkcie: f = d q U. Olsztyn, p. 16/26

39 Podsumowanie pierwsze Opis wariacyjny jest opisem układu z punktu widzenia jego oddziaływania z innymi układami: Dwa sprzeżone układy (Q, ϑ 1 ) i (Q, ϑ 2 ) o tym samym Q opisywane są sumą ϑ 1 + ϑ 2 w szczególności jeden z układów, np (Q, ϑ 2 ) może być potencjalny. Układ potencjalny reprezentuje siłę - matematycznie kowektor, zaczepiony w jakimś punkcie: f = d q U. q 0 jest punktem równowagi układu, jeżeli w tym punkcie jest w równowadze z siłą zero. Olsztyn, p. 16/26

40 Transformacja Legendre a Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest w równowadze Olsztyn, p. 17/26

41 Transformacja Legendre a Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest w równowadze Zbiór S nazywany jst zbiorem konstytutywnym układu. Olsztyn, p. 17/26

42 Transformacja Legendre a Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest w równowadze Zbiór S nazywany jst zbiorem konstytutywnym układu. Matematycznie - transformacja Legendre a analizy wypukłej. Olsztyn, p. 17/26

43 Transformacja Legendre a Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest w równowadze Zbiór S nazywany jst zbiorem konstytutywnym układu. Matematycznie - transformacja Legendre a analizy wypukłej. Kryterium równowagi: dwa układy są w równowadze w q 0, jeżeli istnieją siły f 1 S 1, f 2 S 2, zaczepione w q 0 i bilansujące się: f 1 + f 2 = 0. Olsztyn, p. 17/26

44 Układ potencjalny ϑ = du Przykłady S = {(q, f): f = kg(q q 0 )}. Olsztyn, p. 18/26

45 Układ potencjalny ϑ = du Przykłady S = {(q, f): f = kg(q q 0 )}. Układ z tarciem ϑ(v) = ϱ v, S = {(q, f): f ϱ}. Olsztyn, p. 18/26

46 Więzy Ograniczenia na procesy (przesnięcia wirtualne), na ogół w wersji infinitezymalnej C 1 Q. Olsztyn, p. 19/26

47 Więzy Ograniczenia na procesy (przesnięcia wirtualne), na ogół w wersji infinitezymalnej C 1 Q. Wynikają z tego ograniczenia na konfiguracje C 0 = τ Q (C 1 ) Q. Olsztyn, p. 19/26

48 Więzy Ograniczenia na procesy (przesnięcia wirtualne), na ogół w wersji infinitezymalnej C 1 Q. Wynikają z tego ograniczenia na konfiguracje C 0 = τ Q (C 1 ) Q. C 1 = C 0, to więzy holonomiczne. Olsztyn, p. 19/26

49 Więzy Ograniczenia na procesy (przesnięcia wirtualne), na ogół w wersji infinitezymalnej C 1 Q. Wynikają z tego ograniczenia na konfiguracje C 0 = τ Q (C 1 ) Q. C 1 = C 0, to więzy holonomiczne. C 1 C 0, to więzy nieholomiczne. Olsztyn, p. 19/26

50 Możliwe dalsze dyskusje Rozpatrywać układy, dla których koszt procesu zależy (infinitezymalnie) nie tylko od jego kierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny. Olsztyn, p. 20/26

51 Możliwe dalsze dyskusje Rozpatrywać układy, dla których koszt procesu zależy (infinitezymalnie) nie tylko od jego kierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny. Stosować kryteria równowagi wyższych rzędów. Olsztyn, p. 20/26

52 Możliwe dalsze dyskusje Rozpatrywać układy, dla których koszt procesu zależy (infinitezymalnie) nie tylko od jego kierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny. Stosować kryteria równowagi wyższych rzędów. Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do sił wyższego rzędu. Olsztyn, p. 20/26

53 Możliwe dalsze dyskusje Rozpatrywać układy, dla których koszt procesu zależy (infinitezymalnie) nie tylko od jego kierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny. Stosować kryteria równowagi wyższych rzędów. Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do sił wyższego rzędu. Stąd raczej pracę, a nie siłę należy przyjąć jako pojęcie pierwotne. Olsztyn, p. 20/26

54 Podsumowanie drugie Opis wariacyjny jest opisem oddziaływania z układem i układów między sobą.. Olsztyn, p. 21/26

55 Podsumowanie drugie Opis wariacyjny jest opisem oddziaływania z układem i układów między sobą. Jest to przeciwieństwo opisu obserwacyjnego.. Olsztyn, p. 21/26

56 Podsumowanie drugie Opis wariacyjny jest opisem oddziaływania z układem i układów między sobą. Jest to przeciwieństwo opisu obserwacyjnego. Inaczej mówiąc, jest to opis funkcjonalny, w opozycji do opisu morfologicznego. Olsztyn, p. 21/26

57 Dynamika czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje są jednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeni M, Olsztyn, p. 22/26

58 Dynamika czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje są jednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeni M, sparametryzowanymi (na przykład czasem)). Olsztyn, p. 22/26

59 Dynamika czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje są jednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeni M, sparametryzowanymi (na przykład czasem)). Skończony odcinek parametrów - przestrzeń konfiguracji wymiary nieskończonego. Olsztyn, p. 22/26

60 Dynamika czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje są jednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeni M, sparametryzowanymi (na przykład czasem)). Skończony odcinek parametrów - przestrzeń konfiguracji wymiary nieskończonego. Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzeń konfiguracji jest M (położenia i prędkości). Olsztyn, p. 22/26

61 Dynamika czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje są jednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeni M, sparametryzowanymi (na przykład czasem)). Skończony odcinek parametrów - przestrzeń konfiguracji wymiary nieskończonego. Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzeń konfiguracji jest M (położenia i prędkości). Układy potencjalne, tzn opisywane funkcją na konfiguracjach. Olsztyn, p. 22/26

62 Potencjał = działanie, Działanie i siły Olsztyn, p. 23/26

63 Działanie i siły Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjach infinitezymalnych - Lagranżjan L: M R. Olsztyn, p. 23/26

64 Działanie i siły Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjach infinitezymalnych - Lagranżjan L: M R. Siła = różniczka potencjału (działania) Olsztyn, p. 23/26

65 Działanie i siły Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjach infinitezymalnych - Lagranżjan L: M R. Siła = różniczka potencjału (działania) w punkcie γ : [a, b] M jest trójką (p a, f, p b ), gdzie p a γ(a) M, p b γ(b) M, to pędy - początkowy i końcowy, a f jest polem kowektorów wzdłuż γ, f = E(γ) operator Eulera-Lagrange a. Olsztyn, p. 23/26

66 Działanie i siły cd Składowa f reprezentuje siły pochodzące od układów "zewnętrznych", a pędy są naprężeniami między przeszłością, przyszłościa, a teraźniejszościa. Pęd to jest to z przeszłości ruchu, co jest istotne dla jego przyszłości Olsztyn, p. 24/26

67 Co się zazwyczaj robi? Zapomina się o brzegu, czyli o pędach i pozostaje tylko operator E-L. Olsztyn, p. 25/26

68 Co się zazwyczaj robi? Zapomina się o brzegu, czyli o pędach i pozostaje tylko operator E-L. W dodatku kładzie się f = 0, czyli traktuje się układ jak izolowany!! Olsztyn, p. 25/26

69 Co się zazwyczaj robi? Zapomina się o brzegu, czyli o pędach i pozostaje tylko operator E-L. W dodatku kładzie się f = 0, czyli traktuje się układ jak izolowany!! Zapomina się o wnętrzu odcinka [a, b] (znowu układ izolowany!), a pozostawia tylko pędy. Olsztyn, p. 25/26

70 Uwagi końcowe Opis wariacyjny nie pasuje do układów izolowanych, Olsztyn, p. 26/26

71 Uwagi końcowe Opis wariacyjny nie pasuje do układów izolowanych, jest opisem przez oddziaływanie (mechanika kwantowa!!), Olsztyn, p. 26/26

72 Uwagi końcowe Opis wariacyjny nie pasuje do układów izolowanych, jest opisem przez oddziaływanie (mechanika kwantowa!!), nie ma w nim miejsca na obserwable, Olsztyn, p. 26/26

73 Uwagi końcowe Opis wariacyjny nie pasuje do układów izolowanych, jest opisem przez oddziaływanie (mechanika kwantowa!!), nie ma w nim miejsca na obserwable, jest w opozycji do opisu ewolucyjnego, np. hamiltonowskiego! Olsztyn, p. 26/26