Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 1/11 Ćwiczenie 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy sygnałów stacjonarnych 2.1. WSTĘP Celem tego ćwiczenia jest zapoznanie studenta z podstawowymi problemami analizy częstotliwościowej sygnałów stacjonarnych metodami nieparametrycznymi, a ściślej periodogramowymi. Zadaniem ćwiczącego jest zatem zbadanie między innymi takich cech periodografów jak rozdzielczość, czułość, obciąŝenie i wariancja. W ramach tego ćwiczenia student powinien poznać róŝnice pomiędzy surowym periodografem, periodografem zmodyfikowanym oraz periodografami Bartletta oraz Welcha. 2.2. WPROWADZENIE TEORETYCZNE Najprostszą estymatę widma gęstości mocy S x (e jω ) procesu stacjonarnego {x[n]}, którego realizacją jest ciąg x[n] o długości L próbek zwany obserwacją, jest periodogram definicyjny (surowy, ang. raw periodogram) otrzymujemy korzystając z zaleŝności 1 L 1 [ ] [ ] ( ) 2 SK k = x n exp j2π kn K (1) L n= 0 gdzie k = -K/2,..., 0,..., K/2-1 (K parzyste). MoŜna zauwaŝyć, Ŝe do wyznaczania periodogramu moŝna zastosować K-punktowe DFT. Podstawowe parametry periodografu to rozdzielczość i czułość. Rozdzielczość periodografu definiujemy jako najmniejszą róŝnicę częstotliwości dwóch składowych sinusoidalnych sygnału, przy której te składowe są jeszcze rozróŝnialne niezaleŝnie od róŝnicy ich faz początkowych. Z kolei czułość periodografu definiujemy jako najmniejszy stosunek amplitud dwóch, odległych w częstotliwości, składowych sinusoidalnych sygnału, przy której składowa o mniejszej energii jeszcze wyróŝnia się na tle listków bocznych składowej o większej energii niezaleŝnie od róŝnicy faz początkowych tych składowych. Czułość periodografu moŝna poprawić kosztem jego rozdzielczości, w tym celu wprowadza się periodograf zmodyfikowany. Koncepcję surowego periodografu łatwo rozwinąć do przedstawionego na rys. 2.1 periodografu zmodyfikowanego. Wprowadzona tutaj modyfikacja polega na wstępnym okienkowaniu obserwacji. Jednak gdy energia okna nie jest równa jedności konieczne jest dodatkowe przeskalowanie periodogramu przez czynnik 1/LU, gdzie U jest dane wzorem 1 L 1 gdzie w L [n] jest oknem temperującym o długości L. x[n] y L [n] E K y K [n] [ ] 2 U = w n L (2) L n= 0 F K Y K [k] Y K [k] 2 2 10log( ) (lin.) S K [k] [db] w L [n] K = 2 i > L; i naturalne 1/(LU) Rys. 2.1. Schemat blokowy periodografu zmodyfikowanego. E K uzupełnianie ciągu wejściowego zerami do długości K, F K K punktowe DFT.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 2/11 Kolejnym usprawnieniem jakie moŝna wprowadzić w periodografie jest dołączenia detrendera (rys. 2.2), który usuwa z L-próbkowej obserwacji x L [n] jej trend (liniowy) wraz ze składową stałą (DC). x[n] x L [n] detrender ~ x L [n] y L [n] okno prostokątne okno temperujące Rys. 2.2. Modyfikacja periodografu uzupełniająca okienkowanie usuwaniem trendu. JeŜeli obserwacja stacjonarnego procesu stochastycznego jest długa, to moŝna poprawić jakość estymaty widma gęstości mocy wykorzystując metody z uśrednianiem periodogramów (rys. 2.3). W takiej metodzie nasza długa obserwacja jest dzielona na kilka podobserwacji, zwanych teŝ segmentami. Dla kaŝdej z nich wyznacza się periodogram. Następnie na podstawie wyznaczonych w ten sposób periodogramów oblicza się średni arytmetyczny periodogram. Dla naszych potrzeb rozróŝnimy tutaj dwie metody wyznaczania uśrednianych periodogramów: metodę Bartletta oraz metodę Welcha. W metodzie Bartletta obserwacja jest dzielona na rozłączne podobserwacje i przy wyznaczaniu periodogramów dla poszczególnych segmentów stosuje się okno prostokątne. W metodzie Welcha segmentacja obserwacji jest realizowana z nakładkowaniem (33% i więcej), a przy wyznaczaniu periodogramów poszczególnych segmentów stosuje się okna temperujące. x[n] Segmentacja i nakładkowanie x M [n] y L [n] E K y K [n] F K Y K [k] Y K [k] 2 2 S K [k] uśrednianie po N segmentach S w,k [k] M długość segmentów % nakładkowania w M [n] K> M Rys. 2.3. Schemat blokowy periodografu z uśrednianiem periodogramów. 1/(LU) N Wybór odpowiedniego periodografu i jego parametrów zaleŝy od właściwości analizowanego sygnału. Stąd teŝ w przypadku niektórych sygnałów, zwłaszcza jeŝeli ich właściwości nie są nam znane, periodograf i jego parametry dobiera się rekurencyjnie, testując kolejne ustawienia następująco 1. Usuwanie trendu [opcjonalnie] - decyzja o usuwaniu trendu 2. Dobór wielkości segmentu oraz wielkości nakładkowania - wygładzanie kosztem rozdzielczości 3. Dobór okna czasowego - czułość kosztem rozdzielczości 4. Wyznaczenie i ocena periodogramu 5. JeŜeli uzyskany periodogram nie jest satysfakcjonujący to powrót do p. 1, 2 albo 3. Warto zauwaŝyć, Ŝe niekiedy pomiar róŝnych parametrów sygnału moŝe wymagać róŝnych nastaw periodografu. 2.3. OPIS NARZĘDZIA PERGRAF Interfejs graficzny oprogramowania o nazwie PERgraf wykorzystywanego w tym ćwiczeniu prezentuje rys. 2.4. Program ten umoŝliwia porównanie periodogramów wyznaczonych na
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 3/11 podstawie róŝnych sygnałów stacjonarnych lub teŝ za pomocą róŝnych periodografów. Narzędzie to umoŝliwia przebadanie dowolnego z pokrótce omówionych wyŝej periodografów poprzez odpowiedzi dobór parametrów. Przykładowo surowy periodogram uzyskamy jeŝeli sygnał nie będzie dzielony na segmenty (czyli liczba segmentów równa 1), okno temperujące będzie oknem prostokątnym oraz nie będziemy stosować detrendera. Zadawana w odpowiednich polach programu obserwacja oraz parametry periodografu mogą być określone jako ciąg poprawnych wyraŝeń MATLABa, np. [cos(pi/2) sinc(1.5) ones(1,3)], przy czym zewnętrzne nawiasy kwadratowe nie są konieczne. Stąd teŝ moŝliwe jest definiowanie sygnału lub parametrów za pomocą dowolnych wyraŝeń matematycznych. Badaną obserwację wprowadza się w polu x=. Zadany tutaj wektor jest uwzględniany po wyjściu z okienka edycyjnego, np. przy pomocy klawisza tabulacji. Długość obserwacji określa się w polu L. MoŜna teŝ wybrać czy badamy sygnał zespolony czy sygnał rzeczywisty (wybrane pole real ). W tym drugim przypadku wyświetlana jest tylko połowa periodogramu (dla nieujemnych częstotliwości unormowanych). Dodatkowo w polu Noise podajemy moc addytywnego gaussowskiego szumu (nie stosunek mocy sygnału do mocy szumu!), jeŝeli pole real jest zaznaczone to dodawany jest szum rzeczywisty, w przeciwnym przypadku jest dodawany szum zespolony. JeŜeli nie chcemy by szum był dodawany naleŝy w tym polu wpisać -inf. Przy wprowadzaniu wyraŝenia określającego badany sygnał moŝna dodatkowo wykorzystać symbole L (długość obserwacji) oraz n (czas dyskretny n = 0,..., L-1), np. moŝe to być ciąg linspace(0,100,l)+2*cos(pi/5*n) cosinus o amplitudzie 2 i pulsacji π/5 wraz z trendem liniowym zmieniającym się od zera do 100. Obserwacja ta jest wyświetlana jest po prawej stronie okna od góry składowa rzeczywista i urojona. W kaŝdej chwili jest dostępna funkcja powiększenia wybranego fragmentu sygnału, wystarczy go tylko zaznaczyć za pomocą myszki. Rys. 2.4. Przykładowy ekran programu PERgraf badanie widma gęstości szumu białego i sinusoidy w szumie.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 4/11 Parametry periodografu podajemy w polach: K określa wielkość zeropaddingu / liczbę punktów, w których wyznaczamy wartości periodogramu, M określa wielkość segmentu w próbkach, O wielkość nakładkowania w procentach, w[n] okno temperujące oraz detrend określa czy realizowane jest usuwanie trendu. W polu N moŝna odczytać liczbę segmentów określoną na podstawie wartości z pól L, M oraz O. Liczba segmentów N jest wyznaczana, na podstawie długości pełnego ciągu L, długości segmentu M oraz wielkości nakładkowania O w procentach, ze wzoru O N = floor L M 100 O M 1 100 Przekształcając powyŝszy wzór moŝna wyprowadzić wzór szacunkowy na maksymalną długość segmentu M, dla której przy zadanej wielkości nakładkowania O i długości pełnego ciągu L zapewnia wyznaczanie periodogramu w oparciu o zadaną liczę segmentów N L M O N ( N 1) 100 W polu określającym okno temperujące naleŝy posłuŝyć się nazwą funkcji generującej konkretne okno. Okno to powinno być o długości równej wartości wpisanej w polu M stąd przykładowo w polu w[n] moŝemy wpisać: a) boxcar(m) - okno prostokątne, b) triang(m) - okno trójkątne, c) hamming(m) - okno Hamminga, d) hanning(m) - okno von Hanna, e) blackman(m) - okno Blackmana, f) hamming(m) - okno Hamminga, g) chebwin(m,60) - okno Czebyszewa, okno jest dostępne jedynie jako okno o nieparzystej długości oraz naleŝy podać dodatkowy parametr określający tłumienie listków bocznych w db, np. tutaj 60dB. Wyznaczony periodogram jest wykreślany w prawym dolnym rogu okna. MoŜe on być wykreślony w skali liniowej lub decybelowej w zaleŝności od wyboru w polu db znajdującym się po prawej stronie nad wykresem. Dodatkowo w znajdującym się na dole po lewej polu dy [db] moŝna określić rozpiętość wykresu przy prezentacji w skali decybelowej. Podobnie jak w przypadku badanego sygnału i tutaj moŝna przy pomocy myszki powiększyć wybrany fragment periodogramu. Jak widać to na rys. 2.4, narzędzie PERgraf umoŝliwia porównanie periodogramów z róŝnych obserwacji lub uzyskanych róŝnymi metodami. Umieszczone w lewym górnym rogu okna menu rozwijane pozwala na przełączanie się pomiędzy poszczególnymi projektami jedynie parametry wybranego projektu są wyświetlane. Znajdujące się poniŝej pole edycyjne pozwala zmienić nazwę przypisaną wybranemu projektowi. Znajdujące na dole okna przyciski pola wyboru z opisami r, g, b pozwalają na przypisanie odrębnego koloru wykresom wybranego projektu (dopuszczona jest dowolna kombinacja). Do usuwania i dołączania nowego projektu słuŝą odpowiednio przyciski New i Delete.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 5/11 2.4. OPIS SKRYPTÓW Skrypty MATLABa do wykorzystania w ćwiczeniu: a) zad_1(nr) gdzie nr = 1, 2, 3. Skrypt generujący ciągi o długości 500 próbek i przy załoŝeniu szybkości próbkowania F p = 8000 Sa/s. b) zad_2(fo, df, Fs, L, phi) skrypt generujący sygnał dyskretny o długości L złoŝony z dwóch zespolonych składowych sinusoidalnych o tej samej amplitudzie, o częstotliwościach Fo oraz Fo+dF róŝniących się fazami początkowymi o phi. Sygnał jest generowany przy załoŝeniu szybkości próbkowania równej Fs. UWAGA: 1) przy pomiarze warto skorzystać z opcji lock blokującej skalowanie wyświetlanego periodogramu dla ustalonego powiększenia 2) przy doborze róŝnicy faz początkowych moŝna skorzystać z parametru A: w polu x= wpisać zad_2(1000, 70, Fs, L, A) w polu A: 0 w polu da: pi/16, w polu min: -pi, w polu max: +pi strzałeczkami przy polu A moŝna zmieniać róŝnicę faz początkowych z jednoczesnym odświeŝaniem periodogramu c) zad_3(fo, F1, da_db, Fs, L, phi) skrypt generujący sygnał dyskretny o długości L złoŝony z dwóch zespolonych składowych sinusoidalnych o amplitudach róŝniących się o da_db decybeli, o częstotliwościach Fo oraz F1 róŝniących się fazami początkowymi o phi. Sygnał jest generowany przy załoŝeniu szybkości próbkowania równej Fs. d) zad_7(nr) gdzie nr = 1, 2, 3. Skrypt generujący ciągi o długości 500 próbek i przy załoŝeniu szybkości próbkowania F p = 8000 Sa/s. e) zad_13 skrypt generujący sygnał testowy do zadania 2.6.13 przy załoŝeniu szybkości próbkowania 9600 Sa/s. f) zad_14 skrypt generujący sygnał testowy do zadania 2.6.14. 2.5. ZADANIA DO WSTĘPNEGO PRZYGOTOWANIA a) Zapisz wzorem periodogram zmodyfikowany S K [k], dla K > L i z oknem temperującym. b) Naszkicuj charakterystykę amplitudową okna prostokątnego oraz podaj (zaznaczając na rysunku) jak i od jakich parametrów tej charakterystyki zaleŝy czułość i rozdzielczość periodografu. c) Podaj jak korzystając z twierdzenia Parsevala wyznaczyć moc sygnału w oparciu o jego periodogram. 2.6. Zadania laboratoryjne Surowy periodograf 2.6.1. Pomierz w oparciu o periodogram wyznaczony za pomocą surowego periodografu parametry zadanych sygnałów (zad_1(nr), gdzie nr = 1, 2 i 3). Zestaw uzyskane wyniki z rzeczywistymi wartościami (odczytanymi ze skryptu). Jakie dostrzegasz ograniczenia surowego periodografu? Kiedy korzystniej korzystać ze skali liniowej a kiedy ze skali decybelowej? 2.6.2. Korzystając z sygnału generowanego skryptem zad_2 pomierz rozdzielczość surowego periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału przy załoŝeniu szybkości próbkowania równej
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 6/11 8000 Sa/s. Określ zaleŝność pomiędzy rozdzielczością periodografu a długością obserwacji. Zbadaj czy wielkość zeropaddingu ma wpływ na rozdzielczość periodografu? Czy pomiar rozdzielczości lepiej realizować w skali liniowej czy w skali decybelowej? 2.6.3. Pomierz czułość surowego periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału korzystając ze skryptu zad_3 przy załoŝeniu szybkości próbkowania równej 8000 Sa/s. Określ zaleŝność pomiędzy czułością periodografu a długością obserwacji. Czy pomiar czułości lepiej realizować w skali liniowej czy w skali decybelowej? 2.6.4. Korzystając z szumu białego o rozkładzie gaussowskim (randn(1,l)), pomierz wariancję surowego periodografu w funkcji długości obserwacji sygnału. Określ zaleŝność pomiędzy wariancją periodogramu a długością obserwacji. Dla wybranej długości obserwacji zbadaj zaleŝność wariancji periodogramu od mocy sygnału testowego. Periodograf zmodyfikowany 2.6.5. Pomierz rozdzielczość periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana w funkcji długości obserwacji sygnału. Określ zaleŝność pomiędzy rozdzielczością periodografu a długością obserwacji. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla surowego periodografu. 2.6.6. Pomierz czułość periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana w funkcji długości obserwacji sygnału. Określ zaleŝność pomiędzy czułością periodografu a długością obserwacji. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla surowego periodografu. Jakich wyników naleŝy się spodziewać jeŝeli okno Blackmana zastąpić oknem Czebyszewa o poziomie listków bocznych niezaleŝnym od częstotliwości. Detrender 2.6.7. Zbadaj zadane sygnały (skrypt zad_7(nr) gdzie nr = 1, 2 i 3) za pomocą surowego periodografu oraz periodografu zmodyfikowanego z oknem Blackmana a) bez zastosowania detrendera, b) z zastosowaniem detrendera. Przedyskutuj konieczność stosowania detrendera. Periodograf Bartletta 2.6.8. Pomierz rozdzielczość periodografu Bartletta z oknem prostokątnym dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji długości segmentu. Określ zaleŝność pomiędzy rozdzielczością periodografu a długością segmentu. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla periodografu zmodyfikowanego. 2.6.9. Pomierz czułość periodografu Bartletta z oknem prostokątnym dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji długości segmentu. Określ zaleŝność pomiędzy czułością periodografu a długością segmentu. Odnieś uzyskane wyniki do wyników uzyskanych dla periodografu zmodyfikowanego.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 7/11 2.6.10. Korzystając z szumu białego o rozkładzie gaussowskim (randn(1,l)), pomierz wariancję periodografu Bartletta w funkcji długości obserwacji sygnału dla stałej długości segmentu. Odnieś wyniki pomiarów do wyników uzyskanych dla surowego periodografu. Periodograf Welcha 2.6.11. Pomierz rozdzielczość periodografu Welcha z oknem prostokątnym o długości segmentu równej 1000 dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji wielkości nakładkowania. Określ zaleŝność pomiędzy rozdzielczością periodografu a wielkością nakładkowania. Odnieś wyniki do wyników uzyskanych dla periodografu Bartletta. 2.6.12. Pomierz czułość periodografu Welcha z oknem prostokątnym o długości segmentu równej 1000 dla sygnału o długości 10000 próbek w funkcji wielkości nakładkowania. Określ zaleŝność pomiędzy czułością periodografu a wielkością nakładkowania. Odnieś wyniki pomiarów do wyników uzyskanych dla periodografu Bartletta. Praktyczne zastosowanie periodografu 2.6.13. Posługując się periodografem dla zadanego sygnału (skrypt zad_13) określić liczbę podkanałów podaj ich szerokości, częstotliwości środkowe oraz dla kaŝdego z podkanałów określ stosunek średniej energii symbolu (przy załoŝeniu, Ŝe okres symbolowy jest odwrotnością szerokości pasma sygnału) do widmowej gęstości mocy szumu. 2.6.14. Dla sygnału generowanego skryptem (skrypt zad_14), którego widmo gęstości mocy przedstawiono schematycznie na poniŝszym rysunku, jak najdokładniej pomierz jego parametry. π 0 π/2 π
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 8/11 Nazwisko i imię... nr indeksu... Data... Nr komputera... Dzień tygodnia... Godz.... Surowy periodograf Ad 2.6.1. Ad 2.6.2. Ad 2.6.3. Ad 2.6.4.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 9/11 Periodograf zmodyfikowany Ad 2.6.5. Ad 2.6.6. Kiedy korzystniej jest stosować periodograf zmodyfikowany zamiast surowego a kiedy odwrotnie? Detrender Ad 2.6.7. Periodograf Bartletta Ad 2.6.8.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 10/11 Ad 2.6.9. Ad 2.6.10. Kiedy korzystniej jest stosować perdiodograf zmodyfikowany zamiast periodografu Bartletta a kiedy odwrotnie? Periodograf Welcha Ad 2.6.11. Ad 2.6.12.
Laboratorium KAS Ćw. 2. Periodogramowe estymatory widma gęstości mocy... M. Blok 2008-10-20 11/11 Praktyczne zastosowanie periodografu Ad 2.6.13. Ad 2.6.14.