Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, Zestaw zadań ze statystyki matematycznej. Zestaw 1 1 N

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 1 Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, 26.09.2016 Zestaw zadań ze statystyki matematycznej Zestaw 1 Zad. 1. Wykazać, że jeśli X 1, X 2,... są zmiennymi losowymi o jednakowych wartościach oczekiwanych EX i = m dla i = 1,... to ( ) 1 N E X i = m, N niezależnie od tego czy N jest ustaloną liczba naturalną, czy zmienną losową niezależną od X 1, X 2,... Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1)). Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = min X 1 X, 1 X X }. Zad. 3. Niech X 1,..., X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). Wykazać, że zmienna losowa Y = 1 n n X i ma gęstość n n k (n 1)! i=0 g(x) = ( 1)i( )( ) n i x i n 1, n gdy k n x k+1 n, k = 0, 1,..., n 1, 0 w przeciwnym przypadku Zad. 4. Niech X 1,..., X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym Ber(n i, p), 1 i n. Wykazać, że zmienna losowa Y = X 1 + + X n ma rozkład dwumianowy. Zad. 5. Niech X 1,..., X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poisona P (λ i ), 1 i n. Wykazać, że zmienna losowa Y = X 1 + + X n ma rozkład Poissona. Zad. 6. Niech X 1,..., X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Cauchy ego C(α i, λ i ), α i IR, λ i > 0, 1 i n. Wykazać, że zmienna losowa Y = X 1 + + X n ma rozkład Cauchy ego.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 2 Zad. 7. Niech X 1,..., X n będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X 1 + + X n. Zad. 8. Niech zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1) i niech F będzie dystrybuantą pewnego rozkładu. Wykazać, że zmienna losowa Y = F 1 (U) ma dystrybuantę F. Zad. 9. Zmienne losowe X i Y są niezależne o gęstościach: 2x dla x (0, 1), f X (x) = 0 dla pozostałych x, exp( y) dla y > 0, f Y (y) = Niech S = X + Y. Obliczyć E(S X 1/2). 0 dla pozostałych y, x IR, y IR. Zad. 10. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych Ber(n, p) i Ber(m, p) odpowiednio. Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem X + Y = t oraz obliczyć E(X X + Y = t). Zad. 11. Niech N 1, N 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem λ 1 = 20 i λ 2 = 30 odpowiednio. Obliczyć wariancję warunkową: var(n 1 N 1 + N 2 = 50). Zad. 12. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem λ > 0. Znaleźć rozkład warunkowy zmiennej losowej X 1 pod warunkiem S n, gdzie S n = n X i. Zestaw 2 Zad. 13. Niech N, X 1, X 2,... będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych. Zmienna losowa N na rozkład Poissona z parametrem λ, a zmienne losowe X i dla i = 1, 2,... mają rozkład dwupunktowy tj. P X i = 1} = 2 3, P X i = 2} = 1 3. Niech S N = N X i. Obliczyć E(N S N = 3).

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 3 Zad. 14. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku X = k jest rozkładem dwumianowym z parametrami (k, p). Wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład Poissona z parametrem λp. Następnie wykazać niezależność zmiennych losowych Y i X Y oraz wyznaczyć rozkład warunkowy X przy warunku Y = y. Zad. 15. Niech będzie dane σ-ciało B generowane przez skończone lub przeliczalne nieskończone rozbicie A i } i I zbioru Ω. Wykazać, że P (B B) = i I,P (A i )>0 P (B A i ) I Ai, B F oraz dla całkowalnej zmiennej losowej X (E X < ) 1 E(X B) = X(ω) dp (ω) I Ai. P (A i ) A i i I,P (A i )>0 Zad. 16. Niech Ω = [0, 1], a P bedzie miarą Lebesgue a na zbiorach borelowskich Ω. Niech B będzie σ-algebrą generowaną przez rodzinę zbiorów [0, 1/3), 1/3}, (1/3, 1/2)}. Wyznaczyć dwie różne wersje E(X B) jeśli (a) X(ω) = ω, (b) X(ω) = sin πω, (c) X(ω) = ω 2, (d) X(ω) = 1 ω, 1, ω [0, 1/3], (e) X(ω) = 2, ω (1/3, 1], ω Ω. Wyznaczyć dystrybuanty otrzymanych zmiennych losowych. Zad. 17. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue a na zbiorach borelowskich Ω. Niech B będzie σ-algebrą generowaną przez rodzinę zbiorów [0, 1/4), [1/4, 3/4), [3/4, 1]}. Wyznaczyć P ( B) oraz E(X B), gdzie X(ω) = ω 2, ω Ω. Zad. 18. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue a na zbiorach borelowskich Ω. Dana jest zmienna losowa X(ω) = ω, ω Ω. Wyznaczyć E(X B) jeśli B jest σ-algebrą generowaną przez zmienną losową Y (ω) = min2ω, 1}, ω Ω. Zad. 19. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue a na zbiorach borelowskich Ω. Dana jest zmienna losowa X(ω) = ω, ω Ω. Wyznaczyć warunkowy rozkład zmiennej losowej X względem σ-algebry generowanej przez zmienną losową Y, jeśli (a) Y (ω) = sin πω, (b) Y (ω) = 1, ω [0, 1/3), 0, ω [1/3, 1],,

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 4 (c) Y (ω) = 1 3ω, ω [0, 1/3), (3ω 1)/2, ω [1/3, 1],, ω Ω. Zad. 20. Niech X będzie nieujemną zmienną losową i niech B F będzie σ-algebrą. Wykazać, że E(X B) < (P p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy miara Q określona wzorem Q(A) = X(ω) dp (ω), A B jest σ-skończona. A Zad. 21. Niech B będzie rodziną zdarzeń losowych takich, że P (A) = 1 lub P (A) = 0 dla A B. Wykazać, że B jest σ-algebrą oraz wyznaczyć regularna wersję prawdopodobieństwa P ( B). Zad. 22. Niech X, Y L 1 (Ω, F, P ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie. Wykazać, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y 2, P=p.w. Zad. 23. Niech X, Y L 1 (Ω, F, P ) będą zmiennymi losowymi. Wykazać ( ) ( ) E(X Y ) = Y E(Y X) = X, P-p.w. X = Y, P-p.w. Zad. 24. Zmienne losowe X i Y są niezależne o skończonej wariancji. Wykazać, że Var(XY ) = E(Var(XY X)) + Var(E(XY X)). Zestaw 3 Zad. 25. Wykazać, że zmienna losowa X jest niezależna od σ-algebry B wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji borelowskiej ograniczonej ϕ takiej, że E ϕ(x) < spełniony jest warunek E(ϕ(X) B) = Eϕ(X). Zad. 26. Niech µ będzie regularną wersją rozkładu warunkowego zmiennej losowej X względem σ-algebry B. Ponadto niech Y będzie zmienną losową B-mierzalną. Wykazać,

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 5 że dla dowolnej funkcji borelowskiej ϕ takiej, że E ϕ(x, Y ) < zachodzi E(ϕ(X, Y ) B)( ) = ϕ(x, Y ( )) µ(dx, ), P-p.w. R Jak się przedstawia powyższy wzór w przypadku, gdy zmienna losowa X jest niezależna od σ-algebry B. Zad. 27. Rozwiązać zadanie 1 z zestawu 1 korzystając z powyższego zadania. Zad. 28. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem α = 1. Rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x jest rozkładem Poissona z parametrem λ = x. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X, Y ) oraz obliczyć cov(x, Y ). Zad. 29. Niech N, X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdzie zmienna losowa N ma rozkład geometryczny z parametrem p (0, 1) tzn. P N = n} = (1 p) n p dla n = 0, 1, 2,..., a zmienne losowe X i, i = 1, 2,... mają rozkład wykładniczy z parametrem α = 1. Określmy N Y = X i dla N 0, 0 dla N = 0. Wykazać, że dla y > 0 zachodzi równość Var(N Y = y) + 1 = E(N Y = y). Zad. 30. Niech X i Y będą danymi zmiennymi losowymi o gęstościach f X i f Y względem miar σ-skończonych λ 1 i λ 2 odpowiednio. Niech ponadto wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f (X,Y ) względem miary produktowej λ 1 λ 2. Wtedy dla każdego A B(IR) mamy P (X A Y = y) = f X Y (x y) dλ 1 (x), µ Y p.w, gdzie µ Y jest rozkładem zmiennej losowej Y oraz dla y IR takich, że f Y (y) 0. A f X Y (x y) = f (X,Y )(x, y), x IR f Y (y) Zad. 31. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = 1 π dla x 2 + y 2 < 1, 0 dla x 2 + y 2 1, (x, y) IR 2.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 6 Wyznaczyć f X Y oraz obliczyć Cov(X, Y ). Zad. 32. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma gęstość postaci: f(x, y) = cx(2 2y x) dla x, y 0 x/2 + y 1, 0 dla pozostałych x, y, (x, y) IR 2. (i) Wyznaczyć stałą c. (ii) Obliczyć gęstości brzegowe f X i f Y. (iii) Wyznaczyć gęstości warunkowe f X Y i f Y X. (iv) Obliczyć warunkowe warości oczekiwane E(X Y = y) i E(Y X = x). (v) Obliczyć warunkowe wariancje Var(X Y = y) i Var(Y X = x). Zad. 33. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X, Y ), jeśli gęstość brzegowa f X jest postaci c(x 2) 2 dla 2 < x 7, f X (x) = c(12 x) 2 dla 7 < x 12, x IR 0 dla pozostałych x, dla pewnej stalej c oraz dana jest gęstość brzegowa f Y X postaci f Y X (y x) = 1/3 dla x/2 1 y x/2 + 2, 0 dla pozostałych y. y IR, dla x (2, 12). Zad. 34. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = x + y dla (x, y) [0, 1] 2, 0 dla (x, y) [0, 1] 2, (x, y) IR 2. Wyznaczyć E(X Y = y) oraz E(X exp(y + 1/Y ) Y = y). Zad. 35. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = c( x + y ) dla (x, y) K, 0 dla (x, y) K, (x, y) IR 2,

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 7 gdzie K IR 2 jest równoległobokiem ograniczonym prostymi: y = x 1, y = x + 1, y = x/3 1, y = x/3 + 1. Wyznaczyć stałą c oraz E(X Y = y), E(X 2 Y = y), E(Y X = x). Zad. 36. Dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma gęstość 0, 2(x + 2y) dla (x, y) [0, 1] [0, 2], f(x, y) = 0 dla (x, y) [0, 1] [0, 2], Wyznaczyć: E(X Y = y), E(X 2 + 1 Y = y), E(Y X = x). (x, y) IR 2. Zestaw 4 Zad. 37. Niech wektor losowy (X, Y ) ma gęstość dana wzorem (k 2) f (X,Y ) (x, y) = k(k 1)(y x) k 2 dla 0 < x < y < 1, 0 dla pozostałych (x, y), (x, y) IR 2. Wyznaczyć E(X Y = y) oraz E(Y X). Wykorzystując otrzymane wzory obliczyć E(X). Zad. 38. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem α = 1. Znaleźć rozkład S n oraz rozkład warunkowy X 1 pod warunkiem S n, gdzie S n = n X i. Zad. 39. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(m, 1). Znaleźć rozkład warunkowy zmiennej losowej X 1 pod warunkiem S n /n, gdzie S n = n X i. Zad. 40. Niech A 1,..., A d będą podzbiorami otwartymi IR k takimi, że dla wektora losowego X : Ω IR k mamy P X d } A i = 1, P X A i A j } = 0, i j, i, j = 1, 2,..., d. Załóżmy ponadto, że odwzorawanie g : d A i IR k będzie funkcją o następujących własnościach: a) funkcja g jest ciągła i różnowartościowa na każdym A i, i = 1,..., d. b) funkcja g 1 jest lokalnie lipschitzowska na każdym g(a i ), i = 1,..., d.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 8 Udowodnić, że jeżeli f X jest gęstością wektora losowego X to wektor losowy Y = g(x) ma gęstość postaci f Y (y) = d f X (gi 1 (y)) J(gi 1 (y)) I g(ai )(y), y IR k, gdzie g i oznacza obcięcie przekształcenia g do zbioru A i dla i = 1,..., d. Zad. 41. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = x + y dla (x, y) [0, 1] 2, 0 dla (x, y) [0, 1] 2, (x, y) IR 2. (a) Wyznaczyć gęstość f (U,V ) wektora losowego (U, V ) = (sin(πx), cos(πy )). (b) Wyznaczyć gęstość f (U,V ) wektora losowego (U, V ) = (X exp( Y +1 Y ), Y ), a następnie obliczyć EX exp[(y + 1)/Y ] Y = y} Zad. 42. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = c(x + y) dla 0 x 1, x y 2 x, 0 dla pozostałych (x, y), (x, y) IR 2. Wyznaczyć stałą c oraz f (U,V ) gęstość wektora losowego (U, V ), gdzie U = Y 1 + X, V = 2X + Y + 1. Zad. 43. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na przedziale (0, 1). Wyznaczyć rozkłady zmiennych losowych Y = λ ln(1 X) i U = λ ln(x), gdzie λ > 0. Zad. 44. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na przedziale (0, π). Wykazać, że zmienna losowa Y = tg(x) ma rozkład Cauchy ego. Zad. 45. Wykazać, że jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie standardowym normalnym to zmienna losowa X/Y ma rozkład Cauchy ego. Zad. 46. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem α = 1. Oznaczmy U = X Y, V = Y. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (U, V ). Zad. 47. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). Określmy U = 2 ln(x) cos(2πy ), V = 2 ln(x) sin(2πy ).

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 9 Wykazać, że U i V są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Zad. 48. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Wyznaczyć gęstość rozkładu wektora losowego (U, V ), gdzie U = X 2 + Y 2, V = X/Y. Czy zmienne losowe U i V są niezależne? Zestaw 5 Zad. 49. Mówimy, że wektor losowy X = (X 1,..., X n ) ma rozkład normalny (gaussowski), jeśli jego funkcja charakterystyczna ϕ = ϕ X ma postać (1) ϕ(t) = exp [i(t, m) 1 ] 2 (Rt, t), t IR n, gdzie m IR n jest ustalonym wektorem oraz R jest macierza kwadratową stopnia n symetryczną i nieujemnie określoną tzn. (Rt, t) 0 dla t IR n, a (, ) jest iloczynem skalarnym w IR n. Wykazać, że funkcja dana wzorem (1) jest rzeczywiście funkcją charakterystyczną pewnego wektora losowego (rozkładu). Zad. 50. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym, którego funkcja charakterystyczna dana jest wzorem (1). Wykazać, że E(X) = m, cov(x) = R, P X m + Im(R)} = 1. Wykazać ponadto, że jeśli H Im(R) jest podprzestrzenią liniową taką, że P X m + H} = 1 to H = Im(R). Zad. 51. Dany jest normalny wektor losowy X = (X 1,..., X n ) N(m, R). Wykazać, że wektor losowy Y = A X + a, gdzie A jest macierzą wymiaru k n i a IR k ma rozkład normalny. Wyznaczyć jego parametry. Zad. 52. Wyznaczyć płaszczyznę (podać jej równanie ogólne) na której skoncentrowany jest normalny wektor losowy X = (X 1, X 2, X 3 ) o macierzy kowariancji R i o wektorze średnim m, jeśli 5 4 2 m = (1, 2, 1), R = 4 5 2. 2 2 8

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 10 Zad. 53. Wektor losowy X = (X 1, X 2, X 3 ) ma rozkład normalny o macierzy kowariancji 5 4 2 R i o wektorze średnim m, gdzie m = (1, 2, 1), R = 4 5 2. Podać równanie 2 2 8 ogólne płaszczyzny na której jest skoncentrowany wektor losowy Y = AX, jeśli A = 1 0 1 1 1 1. 1 1 0 Zad. 54. Wektor losowy X = (X 1, X 2, X 3 ) ma rozkład normalny o macierzy kowariancji 5 4 2 R i o wektorze średnim m, gdzie m = (1, 2, 1), R = 4 5 2. Podać równanie 2 2 8 krawędziowe prostej na której jest skoncentrowany wektor losowy Y = AX, jeśli A = 1 2 1 2 4 2. 1 2 1 Zad. 55. Wykazać, że: a) Wektor losowy X = (X 1,..., X n ) ma rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy, dla każdego u = (u 1,..., u n ) IR n zmienna losowa (u, X) ma rozkład normalny. b) Jeśli wektor losowy X = (X 1,..., X n ) ma rozkład normalny to jego rozkłady brzegowe też są normalne. Zad. 56. Wyznaczyć odwzorowanie liniowe, które przeniesie standartowy rozkład normalny w IR 2 na rozkład normalny w IR 3 o macierzy kowariancji 1 1 1 R = 1 1 1. 1 1 1 Zad. 57. Wykazać, że składowe normalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Podać przykład wektora losowego (X, Y ), którego rozkłady brzegowe są normalne, X, Y są nieskorelowane, a rozkład (X, Y ) nie jest normalny. Zad. 58. Wykazać, że jeśli wyznacznik macierzy kowariancji normalnego wektora losowego jest dodatni to rozkład tego wektora posiada gęstość. Zad. 59. Wykazać, że gęstość (o ile istnieje) normalnego wektora losowego (X, Y ) można

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 11 przedstawić w postaci: 1 f(x, y) = 2πσ X σ Y 1 ρ 2 [ 1 (x mx ) 2 exp 2(1 ρ 2 ) σx 2 2ρ (x m X)(y m Y ) + (y m Y ) 2 ]} σ X σ Y σy 2, gdzie: m X = EX, m Y = EY, σ X, σ Y - odchylenia standardowe zmiennych losowych X i Y oraz ρ - współczynnik korelacji X i Y. Zad. 60. Niech (X, Y ) będzie wektorem normalnym takim, że X, Y N(0, 1) oraz E(XY ) = ρ, gdzie ρ < 1. Wykazać, że E XY = 2 ( 1 ρ π 2 + ρ arcsin(ρ) ). Wsk. Przedstawić macierz 1 [ 1 ρ 1 ρ 2 ρ 1 w postaci iloczynu macierzy AA T i zastosować odpowiednie podstawienie. ] Zestaw 6 Zad. 61. Wektor losowy W = (X, Y, Z) ma rozkład normalny o gęstości [ f(x, y, z) = C exp 1 ] 2 (2x2 + y 2 + 3z 2 2xy 2yz + 4xz). Wyznaczyć C oraz macierz kowariancji tego wektora losowego oraz wyznaczyć gęstość 1 0 1 wektora losowego Y = AW jeśli A = 1 1 1. 1 1 0 Zad. 62. Dane są niezależne zmienne losowe X, Y, Z są o rozkładzie normalnym N(0, 1). Wykazać, że zmienna losowa U = 1 X + Y Z ma rozkład normalny N(0, 1). + Z 2 Zad. 63. Niech (Y, X 1,..., X n ) będzie wektorem normalnym, gdzie zmienne losowe X 1,..., X n są niezależne. Wykazać, że n cov(y, X i ) E(Y X 1,..., X n ) = EY + (X i EX i ). var(x i )

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 12 Wsk. Udowodnić najpierw, że E(Y EY X 1,..., X n ) = n a i (X i EX i ), gdzie a i IR dla i = 1, 2,..., n. Zad. 64. Zmienna losowa X ma rozkład gamma G(a, p) jeśli jej gęstość wynosi 0 dla x 0, f(x) = a p Γ (p) xp 1 e ax dla x > 0, gdzie a > 0, p > 0 oraz Γ (p) jest funkcją gamma. Wykazać, że E(X) = p a, Var(X) = p a 2. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych X i } n o rozkładzie normalnym N(0, 1). Wykazać, że zmienna losowa Y = X1 2 + + Xn 2 ma rozkład gamma G(1/2, n/2). Mówimy wtedy, że zmienna losowa Y ma rozkład χ 2 (chi-kwadrat) o n stopniach swobody. Zad. 65. Zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody jeśli jej gęstość wynosi ( ) n+1 1 f(x) = 1 + x2 2, nb(1/2, n/2) n gdzie B(1/2, n/2) jest funkcją beta. Dane są niezależne zmienne losowe X i Y o rozkładach (odpowiednio) N(0, 1) i G(1/2, n/2). Wykazać, że zmienna losowa Z = X Y/n ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody. Korzystając ze wzoru Stirlinga dla funkcji gamma (patrz np. G. M. Fichtenholz rachunek różniczkowy i całkowy tom II) wykazać, że ln Γ(a) = ( 2π + a 1 ) ln a a + θ, a > 0, 0 < θ < 1. 2 12a f(x) n 1 2π exp ( x2 ), x IR. 2

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 13 Zad. 66. Zmienna losowa X ma rozkład beta B(p, q) jeśli jej gęstość wynosi 0 dla x 0 x 1, f(x) = 1 B(p, q) xp 1 (1 x) q 1 dla 0 < x < 1, gdzie p > 0, q > 0 oraz B(p, q) jest funkcją beta. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody to zmienna losowa ma rozkład beta B(n/2, 1/2). Y = 1 1 + X 2 /n Zad. 67. Wykazać, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne o rozkładach gamma odpowiednio G(1, p 1 ) i G(1, p 2 ) to zmienna losowa ma rozkład beta B(p 1, p 2 ). Z = X X + Y Zad. 68. Zmienna losowa X ma rozkład F Snedecora o (n, m) stopniach swobody jeśli jej gęstość wynosi 0 dla x 0, f(x) = 1 ( n ) n ( 2 x n 2 1 1 + n ) n+m B(n/2, m/2) m m x 2 dla x > 0, gdzie B(n/2, m/2) jest funkcją beta. Wykazać, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład χ 2 (patrz zad. 2) o n stopniach swobody i zmienna losowa Y ma rozkład χ 2 o m stopniach swobody i zmienne te są niezależne to zmienna losowa F = X/n Y/m ma rozkład F Snedecora o (n, m) stopniach swobody. Zad. 69. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody, to zmienna losowa Y = X 2 ma rozkład F Snedecora o (1, n) stopniach swobody. Zad. 70. Wykazać, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład F Snedecora o (m, n) stopniach swobody to zmienna losowa Y = mx n + mx

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 14 ma rozkład beta B(m/2, n/2). Zad. 71. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ 2 ). Wykazać, że statystyki: X = 1 n n X i i S 2 = 1 n n (X i X ) 2 są niezależne (jako zmienne losowe) oraz X ma rozkład normalny N(m, σ 2 /n), a statystyka ns 2 /σ 2 ma rozkład χ 2 o n 1 stopniach swobody. Zad. 72. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ 2 ). Wykazać, że statystyka t Studenta określona wzorem t n = X m n 1 S ma rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody. Definicja X i S jest w zadaniu powyżej. Zestaw 7 Zad. 73. Niech X= (X 1,..., X n ) i Y= (Y 1,..., Y k ) będą dwiema niezależnymi próbami prostymi z rozkladu normalnego N(m, σ 2 ). Wykazać, że statystyka Z = X Y nk (n + k 2), nsx 2 + ks2 n + k Y gdzie X = 1 n n X i, Y = 1 k k Y i, S 2 X = 1 n n (X i X ) 2, SY 2 = 1 k k (Y i Y ) 2 ma rozkład Studenta o n + k 2 stopniach swobody. Zad. 74. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu symetrycznego (E X 3 < ). Udowodnić, że statystyki X = 1 n n X i i S 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 15 są nieskorelowane. Zad. 75. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład gamma G(a, p). Wyznaczyć rozkład statystyki X. Zad. 76. Niech t n będzie statystyka Studenta o n 1 stopniach swobody. Wykazać słabą D zbieżność t n N(0, 1), gdy n. Zad. 77. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(1, 2). Obliczyć E[F 10 (1.2; X)] i Var(F 10 (1.2; X)). Zad. 78. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametrem α = 1. Wykazać, że dla każdego x IR lim P ( X (n) ln n x} ) = exp[ exp( x)]. n Zad. 79. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F. Wykazać, że zmienna losowa F (X (k) ) ma rozkład beta B(k, n k + 1). Zad. 80. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ > 0. Korzystając z definicji, udowodnić, że T (X) = n X i jest statystyką dostateczną dla parametru λ. Zad. 81. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametrem α > 0. Korzystając z definicji, udowodnić, że T (X) = n X i jest statystyką dostateczną dla parametru α > 0. Zad. 82. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego ujemnego o parametrach µ IR i σ > 0 tj. o gęstości f(x) = 1 ( σ exp x µ ) χ σ (µ,+ ) (x), x IR. a) Udowodnić, że (X (1), n X i) jest statystyką dostateczną dla wektora parametrów (µ, σ). b) Pokazać, że statystyka T (X) = min(x 1,..., X m ) jest statystyką dostateczną dla parametru µ przy ustalonej wartosci parametru σ > 0. c) Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru σ > 0 przyjmując wartość parametru µ za znaną. Zad. 83. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z z rozkładu cechy X. Wyznaczyć statystykę dostateczną dla rodziny rozkładów cechy X jeśli jest to:

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 16 1. Rodzina rozkładów gamma G(a, p), gdzie a, p > 0; 2. Rodzina rozkładów jednostajnych na (a, b), gdzie a, b IR 3. Rodzina rozkładów beta B(p, q), gdzie p, q > 0; 4. Rodzina rozkładów Pareto z parametrem α > 0 tj. o gęstości f(x) = α/x α+1 I (1, ) (x) 5. Rodzina rozkładów dwumianowych ujemnych z parametrami: p (0, 1) i znanym r IN. Zad. 84. Niech Z = ((X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n )) bedzie próbą z dwuwymiarowego rozkladu mormalnego N(m, Σ), gdzie m = (m 1, m 2 ) oraz macierz kowariancji Σ (det(σ) > 0) jest postaci ( ) σ 2 1 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2. Rozważyć wszystkie możliwe przypadki, w których niektóre z pięciu parametrów są znane (a pozostałe nieznane) i za każdym razem wyznaczyć statystyke dostateczną. Porównać wymiar statystyki z liczbą nieznanych parametrów. Zestaw 8 Zad. 85. Niech (X 1,..., X n ) będzie próbą z k-wymiarowego rozkładu normalnego N(m, Σ) (det(σ) > 0). Korzystając z tożsamości X T A X = tr(a X X T ) że wektor (X, S 2 ), gdzie X = n X i /n, S 2 = 1 n n (X i X)(X i X) T jest statystyką dostateczną dla parametru (m, Σ). Zad. 86. Pokazać, że statystyka T (X) jest dostateczna dla parametru θ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej statystyki S(X) przyjmującej wartości w IR i spełniającej warunek E θ ( S(X) ) < dla wszystkich θ, warunkowa wartość oczekiwana E θ (S(X) T (X)) nie zależy od parametru θ. Zad. 87. Losujemy bez zwracania n jednostek z partii N wyrobów, spośród których N θ jest wadliwych. Dla i = 1, 2,..., n niech X i = 1, gdy i-ta jednostka jest wadliwa oraz

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 17 X i = 0 gdy nie jest wadliwa. Pokazać, że statystyka T (X) = n X i jest dostateczna dla parametru θ. Zad. 88. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z pewnego rozkładu ciągłego o gęstości f. Traktując f jako parametr, pokazać, że wektor statystyk pozycyjnych (X (1),..., X (n) ) jest statystyką dostateczną dla f. Zad. 89. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu beta B(θ, θ), θ > 0. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ. Zad. 90. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu beta B(p, q), p, q > 0. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ = (p, q). Zad. 91. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o gęstości f θ (x) = 2 θ 2 (θ x) I (0,θ)(x), x IR, θ Θ = (0, ). Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ. Zad. 92. Pokazać, że rodzina rozkładów Poissona z parametrem λ > 0 należy do wykładniczej rodziny rozkładów. Podać przedstawienie rozkładu Poissona w naturalnej parametryzacji tej rodziny. Zad. 93. Sprawdzić, czy 1. Rozkłady beta tworzą dwuparametrową rodzinę wykładniczą; 2. Rodzina rozkładów Rayleigha z parametrem σ > 0 należy do rodziny wykładniczej; 3. Dwuwymiarowe rozkłady normalne tworzą pięcioparametrową rodzinę wykładniczą. 4. Rodzina rozkładów normalnych N(m, σ) należy do rodziny wykładniczej. 5. Rodzina rozkładów o gestościach f θ (x) = należy do rodziny wykładniczej. 2 (x + θ), x (0, 1), θ Θ = (0, ) 1 + 2θ Zad. 94. Niech X będzie liczba niezależnych zarzuceń wędki do pierwszego sukcesu. Wyznaczyć rozkład X (prawdopodobieństwo sukcesu przy każdym zarzuceniu wędki jest takie same). Wyznaczyć rozkład X oraz wykazać, że rodzina rozkładów n X i stanowi jednoparametrową rodzinę wykładniczą, gdzie X 1,..., X n jest próbą z X. Zad. 95. Wykazać, że rozkładay wielomianowe f θ (x) = n! x 1! x k! θx 1 1 θx k k, x = (x 1,..., x k ), x i IN 0}, i = 1,..., k, k x i = n,

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 18 gdzie θ = (θ 1,..., θ k ), θ i (0, 1), i = 1,..., k, tworzą (k 1)-parametrową rodzinę wykładniczą. k θ i = 1 Zad. 96. Niech X bedzie zmienną losowa o rozkładzie normalnym N(0, σ). Udowodnić, że X nie jest zupełną dostateczną dla σ 2, natomiast X 2 jest zupełną statystyką dostateczną dla σ 2. Zestaw 9 Zad. 97. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ). Wykazać, że dla n 2 próba X jest dostateczna, ale nie jest zupełna dla prametru θ = (m, σ). Zad. 98. Niech P = µ n } n N będzie rodziną rozkładów na prostej IR cechy X taką, że µ n = 1/n n 1. Wykazać, P jest zupełną rodziną rozkładów. 2. Wykazać, że rodzina P 0 = P \ µ n }, gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną, nie jest zupełna. δ i} Zad. 99. Udowodnić, że rodzina rozkładów µ θ } θ Θ, gdzie µ θ jest rozkładem normalnym N(θ, 1) jest zupełna. Zad. 100. Niech X oznacza czekanie na k-sukces w schemacie Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu θ Θ = (0, 1). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zmiennej losowej X. Wyznaczyć statystykę dostateczną dla θ oraz jej rozkład. Sprawdzić, czy jest zupełna. Zad. 101. Niech zmienna losowa X ma rozkład µ θ ( 1}) = P X = 1} = θ, µ θ (k}) = P X = k} = (1 θ) 2 θ k, k = 0, 1, 2,..., gdzie θ (0, 1). Udowodnić, że rodzina rozkładów µ θ } θ Θ jest ograniczenie zupełna, ale nie jest zupełna.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 19 Zad. 102. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, θ), θ Θ = (0, ). Wykazać, że statystyka T (X) = X (n) jest zupełna dla θ. Zad. 103. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem θ Θ. Pokazać, że jeśli Θ ma wiecej niż n punktów to statystyka T (X) = n X i jest zupełna. Zad. 104. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z danego rozkładu Poissona z parametrem θ Θ = (0, ). Wykazać zupełność statystyki T (X) = n X i. Zad. 105. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład normalny N(θ, θ 2 ), θ Θ = IR. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ i sprawdzić, czy jest ona zupełna. Zad. 106. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład normalny N(0, σ 2 ). Uzasadnić, że następujące statystyki T 1 (X) = (X 1,..., X n ), T 2 (X) = (X 2 1,..., X 2 n), T 3 (X) = (X 2 1 +... + X 2 m, X 2 m+1 +... + X 2 n), T 4 (X) = X 2 1 +... + X 2 n. są dostateczne dla parametru σ 2. Czy jest wśród nich minimalna statystyka dostateczna? Jeżeli jest, to czy jest ona zupełna? Zad. 107. Zbadać zupełność minimalnych statystyk dostatecznych dla parametru θ, gdy X = (X 1,..., X n ) jest próbą z rozkładu: (a) normalnego N(aθ, θ 2 ), gdzie a jest znaną stałą, θ > 0, (b) jednostajnego na przedziale (θ 1/2, θ + 1/2), θ IR. (c) jednostajnego na przedziale (a, b), a, b IR, a < b, θ = (a, b). Zad. 108. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ). Dobrać stałą k tak aby estymator n 1 T (X) = k (X i+1 X i ) 2 był nieobciążonym estymatorem parametru σ 2. Prównać wariancję tego estymatora z wariancją estymatora S 2 (skorygowana wariancja empiryczna).

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 20 Zestaw 10 Zad. 109. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowgo z parametrem θ Θ = (0, 1). Wykazać, że nie istnieją nieobciążone estymatory funkcji g 1 (θ) = θ 1 θ, g 2(θ) = 1 θ. Zad. 110. Niech cecha X ma rozkład Bernoulliego z nieznanym parametrem θ Θ = (0, 1) i znanym parametrem n 2. Wyznaczyć nieobciążony estymator funkcji g(θ) = θ 2 Zad. 111. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem θ > 0. Obliczyć obciążenie i ryzyko estymatora T (X) = ( 1 a ) n X i n funkcji g(θ) = exp( aθ), gdzie a 0 jest znaną stałą. Zad. 112. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowgo z parametrem θ Θ = (0, 1). Wykazać, że istnieje nieobciążony estymator funkcji g(θ) wtedy i tylko wtedy, gdy g(θ) jest wielomianem stopnia nie większego niż n. Zad. 113. Niech X= (X 1,..., X n ) i Y= (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów odpowiednio N(m X, σx 2 ) oraz N(m Y, σy 2 ). Który z następujących estymatorów T 1 (X, Y) = X Y, należy przyjąć za ocenę m X m Y. T 2 (X, Y) = 1 n n X i Y i Zad. 114. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o nieznanej wartosci oczekiwanej m i znanej wariancji σ 2. (a) Udowodnić, że statystyka (1) T (X) = n a i X i, gdzie n a i = 1, jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej m.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 21 (b) Obliczyć wariancję estymatora T. (c) Wykazać, że w klasie estymatorów (1), estymator T minimalizuje wariancję wtedy i tylko wtedy, gdy a i = 1/n, i = 1, 2,... Zad. 115. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, θ), θ Θ = (0, ). Wykazać, że statystyka T 1 (X) = n+1 n X (n) jest lepszym (ze względu na ryzyko) estymatorem parametru θ niż estymator T 2 (X) = 2 n n X i. Sprawdzić ich obciążenie. Zad. 116. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próba z rozkładu wykładniczego z parametrem α. Wykazać, że T n (X) = nx (1) jest nieobciążonym estymatorem parametru 1/α, jednakże ciąg estymatorów T n } nie jest zgodny. Zad. 117. Niech X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Pokazać, że statystyka 1 gdy X = 0, T (X) = 0 gdy X > 0. jest ENMW swojej wartości oczekiwanej. Zad. 118. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Wykazać, że T 1 (X) = X 2 1 n jest ENMW parametru θ 2. Pokazać, że następujący estymator T 2 (X) = max0, T 1 (X)} jest obciążony, ale ma mniejsze ryzyko niż T 1 (X) dla każdego θ IR. A jak jest z wariancją? Zad. 119. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ 2 ). Wykazać, że podane poniżej estymatory są nieobciążone. nγ ((n 1)/2) T 1 (X) = 1 n nπ (X i X) 2Γ (n/2) n 2 1 n, T 2 (X) = X i X. 2(n 1) n Który z nich jest lepszy? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 120. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem θ (0, 1). Wyznaczyć ENMW[θ m ], gdzie m n.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 22 Zestaw 11 Zad. 121. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Rozważmy problem estymacji funkcji g(θ) = P θ X 1 c} = Φ(c θ), gdzie c jest ustaloną liczbą. Uzasadnić, że ( ) c X Φ (n 1)/n jest ENMW[g(θ)]. Zbadać zachowanie graniczne tego estymatora. Zad. 122. Niech cecha X ma rozkład: P X = θ 1} = P X = θ} = P X = θ + 1} = 1 3, θ Θ = ZZ. Wykazać, że nie istnieje ENMW[θ] mimo, że istnieją nieobiążone estymatory θ. ] Wsk. Zauważyć, że T m (X) = 3[ X+1 m 3 + m dla m ZZ są nieobciążonymi estymatorami θ oraz sprawdzić, że V ar θ (T θ (X)) = 0 dla θ Θ. Zad. 123. Niech X= (X 1,..., X n ), n 2 będzie próbą z rozkładu gamma G(θ, 2), θ > 0. Wyznaczyć ENMW[θ]. Zbadać jego efektywność. Wsk. Zauważyć, że 1/X 1 jest nieobciążonym estymatorem parametru θ, ponadto statystyka T = n X i jest zupełna i dostateczna. Następnie obliczyć E(1/X 1 T ). Zad. 124. Niech X= (X 1,..., X n ) (n 2) będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład wykładniczy z parametrem θ > 0. Wyznaczyć ENMW funkcji g u (θ) = P X > u}, gdzie u > 0 jest znane. Zad. 125. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, θ), gdzie θ > 0. Wyznaczyć ENMW funkcji różniczkowalnej g(θ). Następnie podać postać estymatora dla g 1 (θ) = θ/2 = E(X 1 ) oraz g 2 (θ) = θ 2 /12 = Var(X 1 ). Zad. 126. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem θ > 0. Wyznaczyć ENMW funkcji g(θ) = i=0 a iθ i, θ > 0. Następnie podać postać estymatora dla g(θ) = θ m, gdzie m IN.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 23 Zad. 127. Niech zmienna losowa X ma rozkład µ θ. Obliczyć informację Fishera I(θ) jeśli µ θ jest rozkładem normalnym N(θ, θ 2 ), θ > 0. Zad. 128. Obliczyć informację Fishera dla rozkładu normalnego N(m, σ), gdy jeden z parametrów jest znany. Zad. 129. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ > 0. Pokazać, że X realizuje dolne ograniczenie w nierówności Cramera-Rao. Jaka własność X stąd wynika? Zad. 130. Niech X= (X 1,..., X n ) (n > 1) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem θ (0, 1). Sprawdzić, czy ENMW T (X) = n X(1 X) n 1 funkcji g(θ) = θ(1 θ) osiąga dolne ograniczenie Cramera-Rao. Zad. 131. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m, σ 2 ), gdzie m jest znane. Pokazać, że estymator nγ(n/2) U(X) = S 0, 2Γ((n + 1)/2) gdzie S 0 jest półempirycznym odchyleniem standardowym jest nieobciążonym estymatorem parametru σ, ale nie jest estymatorem efektywnym. Zad. 132. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na (0, θ). Wykazać, że statystyka T (X) = n + 1 n X (n) jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Wyznaczyć jego efektywność. Zestaw 12 Zad. 133. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Wykazać, że mediana próbkowa jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Wyznaczyć jej efektywność asymptotyczną. Zad. 134. Niech X= (X 1,..., X n ) bedzie próbą z rozkładu gamma G(1/θ, p), gdzie p > 0

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 24 jest znane. Udowodnić, że jeżeli np > 2, to statystyka T n (X) = np 1 nx jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem funkcji g(θ) = 1/θ, a jego efektywność wynosi ef(t n ) = 1 2 np. Zad. 135. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem θ (0, 1). Uzasadnić, że wszystkie estymatory funkcji g(θ) oparte na metodzie podstawienia częstości mają postać g(x). Zad. 136. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu, którego gęstość jest postaci f(x) = (ax + b)i [0,1] (x). Wyznaczyć estymatory parametrów a i b metodą momentów. Zad. 137. Niech X= (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu geometrycznego z parametrem θ (0, 1). Wyznaczyć estymator parametru θ metodą największej wiarogodności. Zad. 138. Niech X= (X 1,..., X n ), n > 1 będzie próbą z populacji w ktorej cecha X ma rozkład: P X = 1} = θ 2, P X = 2} = 2θ(1 θ), P X = 3} = (1 θ) 2, θ (0, 1). Wyznaczyć estymator parametru θ metodą momentów oraz metodą podstawiania częstości. Zad. 139. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N zlowiona m ryb oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie złowiono ponownie m ryb i okazało się, że k z nich jest oznakowanych. Podać oszacowanie N uzyskane metodą największej wiarogodności. Zad. 140. Niech X= (X 1,..., X n ), n > 1 będzie próbą z populacji w ktorej cecha X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, θ), θ Θ = (0, ). Udowodnić, że następujące przedziały (T (1) L, T (1) (2) U ) oraz (T L, T (2) U ), gdzie T (1) L = 2X 2 α, T (1) U = 2X, T (2) α L = X (2), T (2) U = X (2) α są przedziałami ufności dla parametru θ na poziomie ufności 1 α. Zad. 141. Niech Zmienna losowa Y n, n 1 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody. Korzystając z centaralnego twierdzenia granicznego uzasadnić, że dla dużych n, zmienna losowa Y n ma w przybliżeniu rozkład normalny N(n, 2n). Korzystając z tego przybliżenia

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 25 podać asymptotyczny (dla dużych rozmiarów próby) przedzedział ufności na poziomie ufności 1 α dla wariancji σ 2 rozkładu normalnego N(m, σ 2 ), gdy m jest nieznane. A jak będzie wyglądał ten przedział, gdy wykorzystamy następującą aproksymację 9n 2 [ (Yn n ) ] 1/3 9n 7 N(0, 1)? 9(n 1) Zad. 142. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0. Uzasadnić, że 2 n ( X λ ) N(0, 1). Następnie korzystając z powyższego przybliżenia podać asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności 1 α dla parametru λ. Zad. 143. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład normalny N(m, 9). Wyznaczyć najmniejsze n takie, że P X 1 < m < X + 1} 9 10. Zad. 144. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą i T (X) statystyką o rozkładzie Q P = Q m : m IR} z parametrem położenia m. Korzystając ze statystyki T (X), skonstruować przedział ufności na poziomie ufności 1 α dla parametru m i obliczyć wartość oczekiwaną długości otrzymanego przedziału ufności. Zestaw 13 Zad. 145. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład normalny N(m, σ 2 ), gdzie m jest znane, a σ 2 jest nieznanym parametrem. Niech 0 < a < b. Pokazać, ze wartość oczekiwana długości przedziału losowego [ n ] (X i m) 2 n (X i m) 2, b a jest równa nσ 2 (b a)/ab.

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 26 Zad. 146. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem θ Θ = (0, 1). Korzystając z następujących dwóch aproksymacji n(x θ) N(0, 1), X(1 X) n(x θ) θ(1 θ) N(0, 1) skonstruować przedziały ufności na poziomie ufności równym w przybliżeniu 1 α dla parametru θ. Zad. 147. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem θ Θ = (0, 1). Skonstruować przedziały ufności na poziomie ufności równym 1 α dla parametru θ w oparciu o nierówność Hoeffdinga tj. P X θ ε} 2 exp( 2nε 2 ). Jaką postać będzie miał ten przedział, gdy skorzystamy z nierówności Bernsteina tj. ] P X θ ε} 2 exp [ nε2? 2(θ + ε) Porównaj oczekiwane długości otrzymanych przedziałów ufności. Zad. 148. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład nromalny N(θ, 1), gdzie θ Θ = IR jest nieznanym parametrem. Rozpatrzmy problem weryfikowania hipotezy H 0 (θ 0) H 1 (θ > 0) przy użyciu testu ϕ = 1, gdy n X 2, 0, gdy n X < 2. Wyznaczyć moc testu ϕ przy alternatywie θ = 1/2 i obliczyć jego wartość dla n = 9 i n = 100. Wyznaczyć rozmiar testu ϕ i obliczyć jego wartość dla n = 9 i n = 100. Następnie zmodyfikować test ϕ tak, żeby dla n = 9 miał on rozmiar 0,05. Obliczyć moc tak zmodyfkowanego testu przy alternatywie θ = 1/2. Zad. 149. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem θ Θ = (0, 1). Korzystając z lematu Neymana- Pearsona, podać postać najmocniejszego testu na poziomie istotności α = 0, 02 do weryfikowania hipotezy H 0 (θ = 0, 3) H 1 (θ = 0, 2)

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 27 przyjmując n = 20. Zad. 150. Korzystając z lematu Neymana-Pearsona, podać postać najmocniejszego testu na poziomie istotności α = 0, 05 do weryfikowania hipotezy H 0 (B(10, 0, 1)) H 1 (P (1)), gdzie B(10, 0, 1) oznacza rozkład Bernoulliego z parametrami n = 10 i p = 0, 1, a P (1) oznacza rozkład Poissona z parametrem λ = 1. Zad. 151. Niech X= (X 1,..., X n ), n 1 będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0. Niech ϕ będzie najmocniejszym testem do weryfikowania hipotezy H 0 (λ = λ 0 ) H 1 (λ = λ 1 ) na poziomie istotności α. Podać postać testu ϕ. Dla n = 6, λ 0 = 1, λ 1 = 2 oraz α = 0, 05 wyznaczyć dokładną postać testu ϕ oraz obliczyć jego moc. Wyznaczyć najmniejszą liczność n próby X taką, aby moc testu dla powyższych danych wynosiła co najmniej 0, 8. Zad. 152. Ekonomista analizując dochody supermarketu zakłada, że są one zgodne z rozkładem (Pareto) o gęstości f(x) = 8 x 3 I (2, )(x), x IR. Przyjmując poziom istotności α = 0, 1 sprawdzić jego założenie o modelu na podstawie następujących danych: x i 5,2 8,8 12,9 5,3 9,5 13,2 3,1 15,3 4,1 2,4 11,0 2,9 Zad. 153. Koarzystając z testu Kołmogorowa, zweryfikować hipotezę, że następujące dane x 1 = 0, 16, x 2 = 0, 55, x 3 = 0, 87, x 4 = 1, 35, x 5 = 2, 47 pochodzą z rozkładu wykładniczego z parametrem λ = 1. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05 Zad. 154. Wyprodukowane elementy pakowane są w komplety po 16 sztuk. Wylosowano 200 kompletów i zanotowano liczby elementów wybrakowanych w każdym komplecie. Uzyskane wyniki podano w następującej tabelce:

Marek Beśka, Statystyka matematyczna 28 Liczba wybrakowanych elementów Liczba kompletów 0 7 1 18 2 45 3 60 4 46 5 19 6 i więcej 5 Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że liczba wybrakowanych elementów w komplecie ma rozkład dwumianowy z parametrem p = 0, 1. Zad. 155. Poniższa tabelka podaje częstości pojawień się cyfr 0, 1,..., 9 na pierwszych 10002 miejscach po przecinku liczby π 3. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N k 968 1026 1021 974 1014 1046 1021 970 948 1014 Korzystając z testu χ 2 zweryfikować hipotezę adekwatności tego rozszerzenia jako generatora liczb losowych. Zad. 156. Dostawca masowo produkowanego towaru sztukowego twierdzi, że liczba sztuk nizgodnych z normą nie przekracza 6%. W 100-elementowej próbce z całej dostawy stwierdzono 9 sztuk niezgodnych z normą. Czy liczba ta przeczy zapewnieniom dostawcy, czy już nie mieści się w ramach losowości. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05.