Większość zadań zamieszczonych na tej liście pochodzi z książki Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, autorstwa Alicji Jokiel-Rokity

Transkrypt

1 Większość zadań zamieszczonych na tej liście pochodzi z książki Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, autorstwa Alicji Jokiel-Rokity i Ryszarda Magiery. W tym zbiorze można również znaleźć rozwiązania wielu spośród tych problemów. 1

2 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 1. 2 Lista 1. Rozkłady. 1. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 2. Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X > 1), P (X 3), P (1 X < 3), P ( 5 < X < 2). 2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(10, 2 2 ). Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X < 13), P (X > 9), P (6 < X < 14), P (2 < X < 4). 3. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(900, ). Jaki powinien być okres gwarancji, aby z prawdopodobieństwem 0.95 miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 4. Niech X, Y i Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(6, 1), N(7, 1) i N(13, 1). Obliczyć P (X + Y > Z). 5. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie (oznaczenie: i.i.d.) N(µ, σ 2 ). Wyznaczyć rozkład średniej arytmetycznej X = X 1,..., X n. n Ile pomiarów należy wykonać, aby prawdopodobieństwo, że X odchyli się od µ o mniej niż 0.1 było większe od 0.99, jeśli σ 2 = 1/4? 6. Dla dwóch niezależnych prób X 1,..., X m i.i.d. N(µ, σ 2 1) i Y 1,..., Y n i.i.d. N(µ, σ 2 2) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X Y. Następnie obliczyć gdy m = 2n = 12 i σ 2 1 = σ 2, σ 2 2 = 3σ 2. P ( X Y < 0.4σ), 7. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi rozkładach gamma G(α 1, β),..., G(α n, β), tzn. niech X i ma gęstość Znaleźć rozkład sumy X X n. β α Γ(α) xα 1 e βx 1 (0, ) (x). 8. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N(0, 1). Wówczas zmienna losowa χ 2 n := X X 2 n ma rozkład zwany rozkładem chi-kwadrat z n stopniami swobody. Znaleźć gęstość tego rozkładu i uzasadnić, że jest ona równa gęstości rozkładu Gamma(n/2, 1/2). 9. Niech Z i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1) i chikwadrat z n stopniami swobody. Wówczas zmienna losowa t n := Z Y/n ma rozkład zwany rozkładem t-studenta z n stopniami swobody. Wyznaczyć gęstość tego rozkładu i udowodnić, że dla n t n jest zbieżny według rozkładu do N(0, 1).

3 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista Wykorzystując odpowiednie tablice wyznaczyć kwantyle rzędu 1 α dla rozkładu (a) N(0, 1); (b) chi-kwadrat z v stopniami swobody; (c) t-studenta z v stopniami swobody. Przyjąć, że α {0.005, 0.025, 0.05} i v {1, 10, 20}. 11. Udowodnić, że jeśli X 1,..., X n+m będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N(0, 1), to zmienna Y = X X 2 n X X 2 n+m ma rozkład beta Be(n/2; m/2). 12. U i V będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z m i n stopniami swobody, odpowiednio. Jaki rozkład mają zmienne losowe U + V oraz U. Odpowiedzieć na te pytania nie obliczając gęstości, a wykorzystując jedynie U + V definicję rozkładu chi-kwadrat i jedno z poprzednich zadań. 13. Niech U i V będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z m i n stopniami swobody, odpowiednio. Wowczas zmienna losowa F = U/m V/n ma rozkład zwany rozkładem F-Snedecora z (m, n) stopniami swobody. Wyznaczyć gestość rozkładu tej zmiennej losowej. Jaki rozkład ma zmienna losowa 1 F?

4 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 2. 4 Lista 2. Rozkłady normalne Oznaczenia: y 1,..., y n zmienne losowe, E(y i ) = µ i, Cov(y i, y j ) = σ ij, Y = (y 1,..., y n ) T, µ = E(Y ) = (µ 1,..., µ n ) T. macierz kowariancji dla Y : Cov(Y ) = E [ (Y µ) T (Y µ) ] = [σ ij ] n n 1. Uzasadnić, że dla dowolnej macierzy deterministycznej A r n i dla dowolnego deterministycznego wektora b R r E(AY + b) = AE(Y ) + b, Cov(AY + b) = ACov(Y )A T. 2. Załóżmy, że n-wymiarowy wektor losowy Y ma rozkład N(µ, Σ), czyli rozkład o gęstości 1 f(y) = (2π) n/2 Σ exp { (y µ) Σ 1 (y µ) }. 1/2 Znaleźć E(Y ) i Cov(Y ). Jaki rozkład ma (a) wektor losowy Σ 1/2 (Y µ); (b) zmienna losowa (Y µ) Σ 1 (Y µ). Uwaga: Jeśli A jest nieujemnie określoną macierzą symetryczną, to A 1/2 oznacza pierwiastek kwadratowy z macierzy A, czyli symetryczną i nieujemnie określoną macierz, taką że A 1/2 A 1/2 = A. Gdy A jest dodatnio określona, to A 1/2 ozn. = (A 1/2 ) Pokazać, że jeśli Y jest n-wymiarowym wektorem losowym, takim że Y D = N(µ, Σ), to dla dowolnej macierzy B wymiaru m n, BY D = N(Bµ, BΣB T ). 4. Udowodnić, że jeśli Y D = N(µ, σ 2 I), a Z = UY, gdzie U jest macierzą ortonormalną, to Z D = N(Uµ, σ 2 I) W szczególności Z 1,..., Z n są niezależne i mają rozkłady normalne. 5. Przypuśćmy, że X ma rozkład N(µ, σ 2 I n ), czyli X = (X 1,..., X n ) T jest wektorem, którego współrzędne są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie N(µ, σ 2 ) (próba rozmiaru n z rozkladu N(µ, σ 2 )). Niech Y = UX, gdzie U jest macierzą ortonormalną, której pierwszy wiersz ma postać Uzasadnić kolejno, że (a) taka macierz U istnieje; (b) Y 1 = nx; ( 1 n,..., (c) Y Yn 2 = n i=1 (X i X) 2 + nx 2 ; (d) Y Yn 2 = (n 1)S 2, gdzie S 2 oznacza wariancją próbkową, tzn. 1 n ). S 2 = n i=1 (X i X) 2. n 1

5 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 2. 5 (e) Y D = N(Uµ, σ 2 I n ), przy czym Uµ = ( nµ, 0, 0,..., 0) T. (f) Y 1,..., Y n są niezależne, Y 1 D = N( nµ, σ 2 ), Y i D = N(0, σ 2 ), i = 2,..., n. Wykorzystując te fakty udowodnić, że n(x µ)/σ i (n 1)S 2 /σ 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1) i chi kwadrat z (n 1) stopniami swobody. 6. Zużycie wody (w hektolitrach) w pewnym osiedlu w ciagu dnia ma rozkład N(µ, 11). Obliczyć prawdopodobieństwo, ze wariancja próbkowa (empiryczna wariancja) zużycia wody w losowo wybranym kwartale nie przekroczy 100 hl. 7. Dla dwóch niezależnych prób X 1,..., X m i.i.d. N(µ 1, σ 2 ) i Y 1,..., Y n i.i.d. N(µ 2, σ 2 ) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej SX 2. SY 2 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykladniczego Exp(1). Udowodnić, że dla każdego x R, lim Pr(X (n) log n x) = exp [ exp ( x)]. n 9. Niech U = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, 1]. Znaleźć gęstość pary statystyk pozycyjnych (X (i), X (j) ), gdzie 1 i < j n.

6 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 3. 6 Lista 3. Rodziny wykładnicze. 1. Pokazać, że jeżeli P jest rodziną z parametrem skali na R +, to jej obraz przez przekształcenie Y = log X jest rodziną z parametrem położenia na R. 2. Niech P będzie jednoparametrową rodziną rozkładów gamma G(α, β), gdzie α jest ustalone, a β > 0. Pokazać, że obraz P w przekształceniu Y = σ log X, σ > 0, jest rodziną z parametrami położenia i skali (log β, σ). 3. Niech P będzie rodziną wykładniczą o gęstościach względem pewnej miary µ: [ s ] f(x; η) = exp η i T i (x) A(η) h(x), i=1 Niech Σ będzie zbiorem tych wszystkich η = (η 1,..., η s ) R s, dla których [ s ] exp η i T i (x) h(x)dµ(x) <. i=1 Stosując twierdzenie Lebesgue a o zbieżności ograniczonej udowodnić, że zachodzą wzory E η (T j ) = A(η); Cov η (T j, T k ) = 2 A(η). η j η j η k Co w tym dowodzie trzeba założyć o zbiorze Σ i o punkcie η Σ? 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Rayleigha R(σ), czyli z rozkładu o gęstości f(x; σ) = x σ 2 e x/(2σ2) 1 0, ) (x). Korzystając z poprzedniego zadania wyznaczyć E(Y ) i Var(Y ), gdzie Y = n i=1 X2 i. 5. Zbadać, czy następujące rodziny rozkładów są rodzinami wykładniczymi: (a) Poissona P (λ) z parametrem λ > 0; (b) beta B(α, β) z parametrami α > 0 i β > 0 o gęstości Γ(α + β) f(x; α, β) = Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 1 (0,1) (x); (c) o gęstości f(x; θ) = 1 9 dla x {0.1 + θ, θ,..., θ}, θ > 0; 2(x + θ) (d) o gęstości f(x; θ) = 1 + 2θ 1 (0,1)(x), θ > 0; (e) dwuwymiarowych rozkładów normalnych (pięcioparametrowa); (f) wielomianowych M(n; p 0,..., p s ); gdzie p i > 0, i = 0,..., s, p p s = 1. (g) lognormalnych L(µ, σ 2 ), gdzie [ (µ, σ) R ] R +, o gęstości f(x; µ, σ 2 1 (log x µ) 2 ) = exp 1 2πσx 2σ 2 (0, ) (x). Jeśli tak, to która jest naturalną rodziną wykładniczą, rodziną z naturalną parametryzacją, rodziną pełnego rzędu? 6. Czy któraś z poniższych rodzin rozkładów jest rodziną wykładniczą?

7 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 3. 7 (a) ujemno dwumianowych NB(r, p): Pr(X = x) = Γ(x+r) Γ(r)x! px (1 p) r, x = 0, 1, 2,...; (b) Cauchy ego C(µ, σ) o gęstości f(x; µ, σ) = 1 πσ ( x µ (c) Weibulla W e(α, β) o gęstości f(x; α, β) = α β α xα 1 exp σ ) 2 [ ( ) α ] x 1 (0, ) (x) β e (x µ)/σ (d) logistycznych LG(µ, σ) o gęstości f(x; µ, σ) = 1 σ [1 + (x µ)/σ] 2 (e) podwójnie wykładniczych DE(µ, θ) o gęstości f(x; µ, θ) = 1 [ ] 2θ exp x µ. θ

8 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 4. 8 Lista 4. Dystrybuanta empiryczna, histogram, estymator jądrowy. 1. Niech X 1,..., X n będzie próbą losową prostą z rozkładu o dystrybuancie F i niech F n (x) = F n (x; X 1,..., X n ) będzie dystrybuntą empiryczną opartą na tej próbie. Udowodnić, że (a) Dla każdej realizacji x 1,..., x n próby X 1,..., X n, Fn (x; x 1,..., x n ) jest dystrybuantą pewnego rozkładu. Wyznaczyć ten rozkład. (b) n F n (x) = D B(n, F (x)) dla każdego x R. ( ) ( ) F (x)(1 F (x)) (c) E F Fn (x) = F (x) i Var F Fn (x) = dla każdego x R. n (d) F n (x) p.n. F (x) (zbieżność z prawdopodobieństwem 1) dla każdego x R. (e) n( F n (x) F (x)) D N(0, F (x)(1 F (x))) dla każdego x R. Następnie obliczyć E F [ Fn (x) F (x)] 2 i udowodnić, że jeśli X1,..., X n jest losową próba prostą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F, to rozkłady zmiennych losowych nie zależą od F. sup x R ( F n (x) F (x)) i sup F n (x) F (x) 2. Niech f n (x) = f n (x; X 1,..., X n ) będzie estymatorem histogramowym albo estymatorem jądrowym gęstości f, opartym na próbie X 1,..., X n i.i.d. f. (a) Udowodnić, że dla każdej realizacji x 1,..., x n próby X 1,..., X n, estymator f n (x; x 1,..., x n ) jest gęstością pewnego rozkładu absolutnie ciągłego względem miary Lebesgue a. (b) Dla estymatora jądrowego i ustalonego punktu x 0 R obliczyć różnicę [ ] E fn (x 0 ) f(x 0 ). Przypuśćmy, że f jest ograniczona na R i ciągła w punkcie x 0, a szerokość pasma h n dąży do zera, gdy n. Co można wówczas powiedzieć o { [ ] } E fn (x 0 ) f(x 0 ). lim n x R

9 Wstęp do statystyki. Lista 5. 9 Lista 5. Metoda momentów i metoda największej wiarogodności. 1. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie jednostajnym na (0, θ). Za pomocą metody momentów wyznacz estymator ˆθ n parametru θ. (a) Wykorzystując ten estymator oszacuj θ dla próby 0.1, 0.3, 0.7, 0.8, 0.2. (b) Oblicz obciążenie i błąd średniokwadratowy ˆθ n. (c) Zbadaj zgodność ˆθ n. Wyznacz estymator największej wiarogodności (w skrócie: estymator MLE) parametru θ i oblicz jego wartość dla próby z punktu (a). 2. Niech X 1,..., X n będzie próbą z populacji o rozkładzie trzypunktowym P (X = 1) = p, P (X = 0) = 0.4 p, P (X = 1) = 0.6. Za pomocą metody momentów wyznacz estymator p n parametru p. Wykorzystując ten estymator oszacuj p dla próby 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1. Czy to oszacowanie jest sensowne? 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu dyskretnego na zbiorze {1, 2, 3} o gęstosci p θ (1) = θ 2, p θ (2) = 2θ(1 θ), p θ (3) = (1 θ) 2, θ (0, 1). Wyznaczyć estymator parametru θ metodą momentów i metodą podstawienia. 4. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ciągłym o gęstości { (θ + 1)x f(x) = θ, gdy 0 x 1, 0, w przeciwnym razie. (a) Znajdź estymator największej wiarogodności ˆθ parametru θ. (b) Wykorzystując θ oszacuj θ na podstawie próby 0.1, 0.3, 0.7, 0.8, Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ciągłym o gęstości { c(1 + θx), gdy 1 x 1, f(x) = 0, w przeciwnym razie. (a) znajdź c, (b) za pomocą metody momentów wyznacz estymator parametru θ, (c) czy można wyznaczyć jawny wzór na estymator MLE dla θ? 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Weibulla W (α, β), gdzie α jest ustalone i znane. Znaleźć estymator MLE funkcji parametrycznej g(β) = β α. Sprawdzić, czy jest nieobciążony. Wykazać, że jest zgodny i asymptotycznie normalny. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) Gamma G(α, β), gdzie α jest znane i ustalone; (b) geometrycznego Ge(p), p (0, 1); (c) jednostajnego U(θ, θ + 1), θ R; (d) normalnego N(σ, σ 2 ), σ (0, );

10 Wstęp do statystyki. Lista (e) normalnego N(µ, σ 2 ), µ R, σ (0, ); Znaleźć estymatory MLE parametrów rozkładu. Zbadać ich nieobciążoność i zgodność. 8. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N złowiono m ryb, oznakowano i wpuszczono do jeziora. Po dłuższym czasie złowiono ponownie m ryb i okazało sie, ze k z nich jest oznakowanych. Znaleźć estymator MLE parametru N. 9. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Pareto P a(1, α), α > 1. Znaleźć estymatory parametru α metodą momentów i metodą największej wiarogodności. Wykazać, że są one estymatorami zgodnymi i, dla α > 2, asymptotycznie normalnymi. Porównać wariancje asymptotyczne tych estymatorów.

11 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista Lista 6. Dostateczność i zupełność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ), λ (0, ) i niech T = n i=1 X i. Znaleźć rozkład warunkowy Pr(X T = t) i za pomocą definicji wykazać, że T jest statystyką dostateczną dla λ. 2. Losujemy bez zwracania n jednostek z partii N wyrobów, spośród których Nθ jest wadliwych. Niech X i, i = 1,..., n, przyjmuje wartość 1, gdy i-ta jednostka jest wadliwa i wartość 0, gdy i-ta jednostka jest dobra. Pokazać, że statystyka T = n i=1 X i jest dostateczna dla parametru θ. 3. Pokazać, że jeśli T jest statystyką dostateczną dla P oraz T = g(s) dla pewnej statystyki S i odwzorowania mierzalnego g, to S jest statystyką dostateczną dla P. 4. Niech X będzie czasem czekania na k-ty sukces w schemacie Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (0, 1), gdzie k > 1 ustalone (znane). Pokazać, że rozkłady X tworzą jednoparametrową rodzinę wykładniczą. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu z tej rodziny. Korzystając z twierdzenia o rodzinach wykładniczych, podać statystykę dostateczną dla parametru p i wyznaczyć jej rozkład. 5. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu o gęstości p (θ,η) = c(θ, η)h(x)1 (θ,η) (x), gdzie h(x) jest ustaloną dodatnią funkcją całkowalną na (, ). Udowodnić, że (X (1), X (n) ) jest statystyką dostateczną dla parametru (θ, η) R R. 6. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie P P = {P θ, θ Θ}. Wykorzystując kryterium faktoryzacji znaleźć statystykę dostateczną dla θ, tego samego wymiaru co θ, gdy (a) P θ jest rozkładem Poissona P (θ), θ (0, ); (b) P θ jest rozkładem ujemno dwumianowym NB(r, θ) ze znanym r i θ (0, 1); (c) P θ jest rozkładem wykładniczym Exp(θ), θ (0, ); (d) P θ jest rozkładem Gamma G(α, β), θ = (α, β) (0, ) (0, ); (e) P θ jest rozkładem beta Be(α, β), θ = (α, β) (0, ) (0, ); (f) P θ jest rozkładem lognormalnym LN(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ) R (0, ); (g) P θ jest rozkładem Weinbulla W (α, θ) ze znanym α i θ (0, ). 7. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu beta B(α, α), α (0, ) Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru α. Uzasadnić, że jest to statystyka zupełna. 8. Udowodnić, ze rodzina rozkładów normalnych N(µ, 1) z parametrem położenia µ R jest rodziną zupełną. 9. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu normalnego N(σ, σ 2 ), σ > 0. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru σ. Pokazać, że nie jest ona zupełna.

12 Wstęp do statystyki matematycznej. Lista Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, θ], θ (0, ). Pokazać, że T (X) = X (n) jest minimalną, zupełną statystyką dostateczną. 11. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego na odcinku [θ 1 2 ; θ ], θ R. Udowodnić, ze (X (1), X (n) ) jest minimalną statystyką dostateczną dla parametru θ, ale nie jest statystyką zupełną. 12. Niech P będzie rodziną wszystkich rozkładów absolutnie ciągłych na prostej. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu z tej rodziny. Wykazać, że wektor statystyk pozycyjnych jest statystyką dostateczną i zupełną, a więc również minimalną dostateczną.

13 Wstęp do statystyki. Lista Lista 7. Nieobciążoność, dopuszczalność, zgodność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu B(1, p), p (0, 1). (a) Znaleźć estymator UMVU dla funkcji g(p) = p r, gdzie r jest liczbą naturalną nie większą niż n. Dla r = 1 wyznaczyć funkcję ryzyka tego estymatora (przy kwadratowej funkcji straty!). (b) Znaleźć estymator UMVU dla funkcji g(p) = p(1 p) i zbadać jego asymptotyczne własności (zgodność, n-zgodność, asymptotyczną normalność). 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego U(α, β), α, β R, α < β. (a) Znaleźć estymatory UMVU parametrów α i β. (b) Znaleźć estymator UMVU funkcji g(α, β) = β α. 3. Pokazać, że estymator X parametru µ w rodzinie N(µ, 1) jest lepszy niż estymator T (X) = 1(X 2 (1) + X (n) ), tzn. T (X) jest niedopuszczalny; Następnie udowodnić, że w rodzinie rozkładów jednostajnych na odcinku [µ 1, µ + 1 ] jest na odwrót tzn. 2 2 X jest niedopuszczalny. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o dystrybuancie F. Pokazać, że dla każdego x R dystrybuanta empiryczna F n (x) jest nieobciążonym estymatorem F (x). 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o wartości oczekiwanej µ, wariancji σ 2 i skończonym czwartym momencie centralnym µ 4 = E(X µ) 4. Wyznaczyć Var(S 2 ). 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ). Dobrać stałą c, tak aby statystyka n 1 W 2 = (X i+1 X i ) 2 i=1 była nieobciążonym estymatorem parametru σ 2. Porównać wariancję W 2 z wariancją S 2. Który z estymatorów pozwala ocenić σ 2 z wiekszą dokładnością? 7. * Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na zbiorze trzypunktowym {θ 1, θ, θ + 1}, gdzie θ jest dowolną liczbą całkowitą. (a) Znaleźć rodzinę wszystkich nieobciążonych estymatorów zera. (b) Udowodnić, że dla żadnej niestałej funkcji g(θ) nie istnieje estymator UMVU, chociaż estymatory nieobciążone istnieją. 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale [0, θ], gdzie θ > 0. Wykazać, że w klasie wszystkich estymatorów estymator T (X) = n + 1 n X (n) jest niedopuszczalny dla L(θ, d) = (d θ) 2, chociaż jest estymatorem UMVU. Wskazówka. Rozważyć estymator T 1 (X) = n + 2 n + 1 X (n).

14 Wstęp do statystyki. Lista * Niech zmienna losowa X ma rozkład P (X = 1) = p, P (X = x) = (1 p) 2 p x, gdy x = 0, 1,..., z parametrem p (0, 1). (a) Udowodnić, że każdy nieobciążony estymator 0 ma postać d(x) = cx. (b) Wykorzystać (a) do udowodnienia tego, że estymator UMVU funkcji g(p) = (1 p) 2 ma postać d(0) = 0 i d(x) = 0, dla pozostałych wartości x. (c) Udowodnić, że nie istnieje estymator UMVU parametru p, choć istnieją estymatory nieobciążone dla p. 10. Niech X = (X ( 1,..., X n ) będzie ) próbą z rozkładu N(µ, 1). Udowodnić, że dla każdego c R, Φ (c X) jest estymatorem UMVU funkcji parametrycznej n n 1 g c (µ) := Pr(X 1 < c) = Φ(c µ). Zbadać asymptotyczne własności tego estymatora (zgodność, n-zgodność, asymptotyczną normalność). 11. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów U(0, θ) i U(0, η). Wyznaczyć estymator UMVU ilorazu g(θ, η) = θ/η, gdy n > 1.

15 Wstęp do statystyki. Lista Lista 8. Efektywność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Bernoulliego B(1, p), p (0, 1). Uzasadnij, że T (X) = n X(1 X) jest estymatorem UMVU funkcji parametrycznej g(p) = p(1 p). Sprawdź, czy T (X) jest efektywny lub asymptotycznie n 1 efektywny. 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(0, σ 2 ). Pokaż, że estymator T (X) = n i=1 X2 i jest nieobciążonym i efektywnym estymatorem σ *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego U(0, θ) i niech f θ (x) oznacza gęstość rozkładu statystyki X (n). Pokaż, że (a) xf θ (x) dx x θ θ f θ(x) dx, (b) estymator UMVU parametru θ nie jest efektywny w sensie Rao-Cramera. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ), gdzie µ π n jest znane. Udowodnij, że estymator T (X) = n X i µ parametru σ jest 2 i=1 1 nieobciążony i ma efektywność π Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ) z nieznaną wartością oczekiwaną µ R i znaną wariancją σ 2 > 0. Dla ustalonego t 0 znajdź estymator UMVU dla e tµ i pokaż, że ten estymator nie jest efektywny w sensie Rao-Cramera, ale jest asymptotycznie efektywny. 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu gamma G(α, β). (a) Wyznacz estymatory parametrów α, β za pomocą metody momentów. (b) Zakładając, że α jest znane i równe α 0 wyznacz estymator parametru β za pomocą metody momentów i oblicz jego efektywność (po usunięciu obciążenia).

16 Wstęp do statystyki. Lista Lista 9. Przedziały ufności. 1. Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu jednostajnego U(θ 1/2, θ+1/2), gdzie θ R jest nieznane. Pokaż, że Q(X; θ) = X θ jest funkcją centralną, a następnie udowodnij, że [X + c, X + d] jest przedziałem ufności dla parametru θ na poziomie ufności 1 α wtedy i tylko wtedy, gdy ma dlugość 1 α. 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ). Uzasadnij, że Q(X; λ) = 2nX jest funkcją centralną. Skonstruuj przedział ufności dla parametru λ na poziomie ufności 1 α. Dla n = 10 i α = 0.04 wyznacz końce tego λ przedziału. 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu z rozkładu N(θ, θ). Znajdź funkcję centralną i skonstruuj przedział ufności dla θ na poziomie ufności 1 α. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [θ 1 ; θ + 1 ], θ R. Skonstruuj przedział ufności dla parametru θ na poziomie ufności α. 5. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów N(µ 1, σ 2 1) i N(µ 2, σ 2 2). Załóżmy, że σ 2 1 = σ 2 2 = σ i oznaczmy θ = (µ 1, µ 2, σ), g(θ) = µ 2 µ 1. Uzasadnij, że Y X g(θ) (m 1)S 2 X + (n 1)SY 2 1 n + m 2 m + 1 n jest funkcją centralną dla g(θ). Skonstruuj przedział ufności dla parametru g(θ) na poziomie ufności 1 α. 6. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów N(µ 1, σ 2 1) i N(µ 2, σ 2 2). Załóżmy, że σ 2 1 = σ 2 2 = σ i oznaczmy θ = (µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 ), g(θ) = σ 2 1/σ 2 2. Skonstruuj przedział ufności dla parametru g(θ) na poziomie ufności 1 α. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), gdzie σ > 0 jest znane. Podaj postać przedziału ufności dla parametru µ na poziomie ufności 1 α. 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ. Wykorzystując CTG, twierdzenie Słuckiego oraz metodę delta udowodnij, że n(x λ) (a) D N(0, 1); X (b) 2 n( X λ) D N(0, 1). Użyj tych własności do wyznaczenia asymptotycznych funkcji centralnych i konstrukcji asymptotycznych przedziałów ufności dla parametru λ, na poziomie ufności 1 α. Zauważ, że oba przedziały mają tę samą długość i są tylko przesunięte względem siebie. 9. Niech Y n będzie zmienną losową o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody. Wykorzystując CTG, twierdzenie Słuckiego oraz metodę delta udowodnij, że

17 Wstęp do statystyki. Lista (a) Y n n 2n D N(0, 1); (b) 2Y n 2n 1 D N(0, 1); ( ) 9n 3 Yn (c) 2 n 1 D N(0, 1); Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), gdzie µ i σ są nieznane. Wykorzystaj powyższe fakty do określenia asymptotycznych funkcji centralnych i konstrukcji asymptotycznych przedziałów ufności na poziomie ufności 1 α dla funkcji parametrycznej g(θ) = σ 2. Uwaga. Ciąg zmiennych losowych z punktu c) daje lepsze przybliżenie rozkładu chi-kwadrat niż ciągi z punktów a) i b). 10. *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Weibulla o gęstości f(x; α, θ) = α θ xα 1 e xα /θ 1 (0, ) (x). Udowodnij, że Q(X; α, θ) = n i=1 (Xα i /θ) jest funkcją centralną. Wykorzystaj tę funkcję do konstrukcji zbioru ufności dla (α, θ) na poziomie ufności 1 α.

18 Wstęp do statystyki. Lista Lista 10. Testy jednostajnie najmocniejsze. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, 1). (a) Wyznacz statystykę testu Neymana-Pearsona (najmocniejszego, w skrócie NP) dla testowania hipotezy H 0 : µ = 0 przeciwko H 1 : µ = µ 0 > 0. (b) Wyznacz funkcję mocy dla ustalonego poziomu istotności α (0, 1 2 ). 2. Niech X ma rozkład U(0, θ), θ > 0. Skonstruuj test NP na poziomie istotności α dla hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ = θ 1, gdy 0 < θ 0 < θ 1 są ustalonymi liczbami. 3. Niech X ma rozkład należący do rodziny P = {B(10, 1/2), P (1)}. Wykorzystaj tablice rozkładu dwumianowego i rozkładu Poissona do skonstruowania testu NP na poziomie istotności α = 0.1 dla hipotezy H 0 : X D = B(10, 1/2) przeciwko H 1 : X D = P (1). 4. Niech X ma rozkład należący do rodziny P = {U(0, 1) {Exp(λ), λ > 0}}. Skonstruuj test NP na poziomie istotności α = 0.1 dla hipotezy H 0 : X D = B(10, 1/2) przeciwko H 1 : X D = P (1). 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(0, σ 2 ). (a) Wyznaczyć statystykę testu NP dla testowania H 0 : σ = 1 przeciwko H 1 : σ = σ 0 > 1. (b) Wyznaczyć funkcję mocy dla ustalonego α (0, 1). Dla α = 0.05 oraz σ 0 { 2, 2} obliczyć moc w zależność mocy od n. 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) gamma G(θ, 1), θ > 0; (b) Pareto o gęstości p θ (x) = θ x 2 1 (θ, ), θ > 0. Wyznacz statystykę testu NP dla testowania H 0 : θ = 1 przeciwko H 1 : θ = θ 1 > 1. Wyznacz asymptotyczną wartość krytyczną i obliczyć ją dla α = Dla jakich n dokładna wartość krytyczna różni się o mniej niż 0.1 od wartości asymptotycznej? Dla b) wyznaczyć funkcję mocy testu. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) normalnego N(0, θ 2 ), θ > 0; (b) beta Be(θ, 1), θ > 0. Uzasadnić monotoniczność ilorazu wiarogodności względem odpowiedniej statystyki i skonstruować test UMP dla hipotezy H 0 : θ θ 0 przeciwko H 1 : θ > θ 0. Wyznaczyć wartości krytyczne testów dla poziomu istotności α. 8. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie, którego gęstość należy do rodziny P = {f θ : θ Θ}, Θ R. Pokaż, że P ma monotoniczny iloraz wiarogodności względem X, gdy

19 Wstęp do statystyki. Lista (a) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu podwójnie wykładniczego z parametrem położenia θ i znanym parametrem skali σ. (b) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu wykładniczego na przedziale (θ, ) z ze znanym parametrem skali σ. (c) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu logistycznego z parametrem położenia θ i znanym parametrem skali σ. (d) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu jednostajnego U(θ, θ + 1). ( θ N θ ) (e) Θ = {1, 2,..., N}, a f θ (x) = x)( r x ( N ) dla max (r θ, 0) x min (r, θ), r gdzie r, N są znanymi liczbami naturalnymi (X ma rozkład hipergeometryczny).

20 Wstęp do statystyki. Lista Lista 11. Testy ilorazu wiarogodności. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Bernoulliego B(1, p). Skonstruuj test ilorazu wiarogodności (test LR) dla hipotezy H 0 : p p 0 przeciwko H 1 : p > p 0 na poziomie istotności α. Dla jakich wartości X odrzucana jest hipoteza zerowa? 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ. Skonstruuj test LR dla hipotezy H 0 : λ = λ 0 przeciwko H 1 : λ λ 0 na poziomie istotności α. Wyznacz wartość krytyczną testu dla n = 10, λ 0 = 1 i α = 0.05 oraz moc testu (niezrandomizowanego) dla λ 0 = 0.6. Wyznacz rozkład asymptotyczny statystyki testowej i asymptotyczną wartość krytyczną. 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu beta B(θ, 1). Skonstruuj test LR dla hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ θ 0 na poziomie istotności α, gdzie 4. *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(µ, σ) o gęstości f(x; µ, µ) = 1 σ e (x µ)/σ 1 (µ, ) (x), σ (0, ) i µ (0, ). (a) Załóżmy, że σ jest znane. Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ µ 0 przeciwko H 1 : µ > µ 0, gdzie µ 0 jest znane. (b) Załóżmy, że σ jest znane. Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ = µ 0 przeciwko H 1 : µ µ 0. (c) Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ µ 0 przeciwko H 1 : µ > µ 0, gdy σ także jest nieznane. (d) Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ = µ 0 przeciwko H 1 : µ µ 0, gdy σ także jest nieznane. 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), a Y = (Y 1,..., Y m ) próbą z rozkładu N(η, τ 2 ). Zakładając niezależność obu prób, skonstruuj test ilorazu wiarogodności dla hipotezy H 0 : τ = kσ przeciwko H 1 : τ kσ, gdzie k znaną liczbą (np. k = 1) na poziomie istotności α. Dla k = 1, n = 12, m = 18, α = 0.05 wyznacz wartość krytyczną, posługując się rozkładem Snedecora. Czy otrzymany test jest nieobciążony?

21 Wstęp do statystyki. Lista Lista 12. Testy chi-kwadrat zgodności i niezależności. 1. W celu sprawdzenia czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna (symetryczna), wykonano 120 rzutów tą kostką i otrzymano następujące wyniki: Liczba oczek Liczba rzutów Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że kostka jest symetryczna. 2. W pewnej fabryce zaobserwowano następujący rozkład absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej grupie 900 pracowników z absencją: Dzień tygodnia PN WT ŚR CZ PT SOB Liczba nieobecnych Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że absencja w tej fabryce jest jednakowa w każdym dniu tygodnia. 3. Zbadano 300 losowo wybranych 5 sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centrali telefonicznej i otrzymano empiryczny rozkład liczby zgłoszeń : Liczba zgłoszeń Liczba odcinków Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że liczba zgłoseń w tej centrali jest zmienną losową o rozkładzie Poissona. 4. W celu zweryfikowania hipotezy, że studentki pewnej uczelni lepiej zdają egzaminy niż studenci, wylosowano próbę 200 studentek i studentów i otrzymano następujące wyniki zaliczenia letniej sesji egzaminacyjnej: Zdany Oblany Studenci Studentki Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować, za pomocą testu chi-kwadrat, hipotezę o niezależności wyników egzaminacyjnych od płci. 5. Pewien produkt można wytwarzać trzema metodami. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji nie zależy od metody wytwarzania. Wylosowano niezależnie próbę 270 sztuk wyrobu i otrzymano następujące wyniki badania jakości dla poszczególnych metod: Jakość Metoda I Metoda II Metoda III Dobra Zła Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę o niezależności jakości produkcji od metod produkcji.

22 Wstęp do statystyki. Lista Studenci Wydziału Matematyki PWr ocenili każdego z trzech wykładowców, prowadzących zajęcia ze statystyki Beznadziejny Niezły Bardzo dobry Wykładowca nr Wykładowca nr Wykładowca nr Czy na podstawie tych danych należy odrzucić hipotezę zerową, mówiącą, że rozkład ocen dla każdego z wykładowców jest taki sam? Przyjąć poziom istotności α = 0.05.