Gry w postaci normalnej

Gry w postaci normalnej

Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać prawdę, zostana obaj skazani na 5 lat. Jeżeli obaj będa w zeznaniach kłamać, to sad będzie im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji napadu i wymierzy im karę 1 roku więzienia. Jeżeli tylko jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat.

Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać prawdę, zostana obaj skazani na 5 lat. Jeżeli obaj będa w zeznaniach kłamać, to sad będzie im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji napadu i wymierzy im karę 1 roku więzienia. Jeżeli tylko jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat. P F P -5,-5 0,-10 F -10,0-1,-1

Rozgrzewka Przykład 2. (Gra w 2/3 średniej) {0,1,2,...,100} Cel: jak najbliżej 2/3 średniej.

Rozgrzewka Przykład 3. A B C X 1,0 0,2 3,1 Y 2,3 1,2 0,1 Z 1,-4 0,-2-1,4

Rozgrzewka Przykład 4. P N P -5,-2 0,0 N -10,0 2,-2

Rozgrzewka Przykład 5. Papier-nożyczki-kamień P N K P 0,0-1,1 1,-1 N 1,-1 0,0-1,1 K -1,1 1,-1 0,0

Postać normalna (strategiczna) gry

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1)

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarow a macierz wypłat W i W i : S 1... S n R

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia:

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie)

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie) brak kooperacji (do odwołania)

Postać normalna (strategiczna) gry Skończony zbiór graczy {1,...,n} (n 1) Każdy gracz i ma skończony zbiór S i strategii czystych Każdy gracz i posiada n-wymiarowa macierz wypłat W i W i : S 1... S n R założenia: zbiory strategii, macierze wypłat sa wiedza powszechna cel: wygrać jak najwięcej (każdy myśli tylko o sobie) brak kooperacji (do odwołania) Gra dwumacierzowa gra dwuosobowa w postaci normalnej

S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategie mieszane

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), t j=1 p j = 1 supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} nośnik strategii σ i

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} t j=1 p j = 1 nośnik strategii σ i M i zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i

Strategie mieszane S i = {a 1,a 2,...,a t } Strategia mieszana σ i gracza i dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze S i σ i = t j=1 σ i = (p 1,...,p t ) σ i (a j ) = p j p j a j, p j 0 (j = 1,...,t), supp(σ i ) = {s S i : σ i (s) > 0} t j=1 p j = 1 nośnik strategii σ i M i zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i S i M i

Mieszanie strategii mieszanych

Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1

Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t p j τ j M i j=1

Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii

Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii powłoka wypukła zbioru A = {a 1,...,a t }: conva = { t t j=1 p ja j : p 1,...,p t 0, p j = 1} j=1

Mieszanie strategii mieszanych τ 1,...,τ t M i, p 1,...,p t 0, t j=1 p j = 1 t j=1 p j τ j M i kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii powłoka wypukła zbioru A = {a 1,...,a t }: conva = { t t j=1 p ja j : p 1,...,p t 0, p j = 1} convs i = M i j=1

n graczy Układy strategii

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) układ strategii

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) układ strategii

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i M i = j im j

Układy strategii n graczy σ = (σ 1,...,σ n ) (σ i M i ) s = (s 1,...,s n ) (s i S i ) σ n i=1 M i, s n S i i=1 układ strategii σ i = (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...,σ n ) układ strategii przeciwników i M i = j im j σ i M i

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii:

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s)

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n )

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ):

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ): w i ( σ j ;σ j ) wypłata gracza i, gdy j stosuje σ j, a przeciwnicy gracza j stosuj a układ σ j

Wypłaty wypłata w i gracza i przy danym układzie strategii: w i ( s) = W i ( s) w i (σ 1,...,σ n ) = (s 1,...,s n ) S 1... S n σ 1 (s 1 )... σ n (s n )W i (s 1,...,s n ) Inny sposób zapisu w i ( σ): w i ( σ j ;σ j ) wypłata gracza i, gdy j stosuje σ j, a przeciwnicy gracza j stosuj a układ σ j Domyślnie: gracze chc a zmaksymalizować zysk w sensie średniej (wartości oczekiwanej)

Podstawowa własność wypłaty

Podstawowa własność wypłaty Własność. Dla τ 1,...,τ t M i i dowolnej kombinacji wypukłej p 1 τ 1 +...p n τ n zachodzi w j ( σ i ;p 1 τ 1 +...p n τ n ) = p 1 w j ( σ i ;τ 1 )+...+p n w j ( σ i ;τ n ).