Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH wersja z dnia II 06 A Majhofer i R Nowak UWAGA! To ćwiczenie zarówno poiary jak i część rachunkowa wykonywane jest w trakcie jednego spotkania na Pracowni WYMAGANIA TEORETYCZNE Definicja gęstości asy i prawo Archiedesa Definicja niepewności standardowej wyniku pojedynczego poiaru i niepewności standardowej średniej arytetycznej i ich interpretacja WyraŜenie na wartość oczekiwaną i wariancję wielkości ierzonej pośrednio w warunkach poiarów z ałyi błędai WSTĘP W ćwiczeniu WAHADŁO MATEMATYCZNE rozpatrywaliśy sytuację gdy powtarzanie poiarów prowadziło do róŝnych wyników inaczej ówiąc badaliśy wpływ przypadkowych zaburzeń na rozkład wyników poiarów a zate i na dokładność wyniku końcowego Zdarza się jednak Ŝe powtarzając poiary uzyskujey ten sa wynik Nie naleŝy stąd wyciągać wniosku Ŝe w takiej sytuacji nie występują czynniki losowe Oznacza to jedynie Ŝe spowodowany przez nie rozrzut wartości badanej wielkości jest istotnie niejszy niŝ rozdzielczość przyrządu W ty ćwiczeniu dowiey się Ŝe istotną rolę odgrywają takŝe dokładność uŝywanych przyrządów oraz stosowane etody poiaru Naszy zadanie będzie wyznaczenie średniej gęstości etalowej próbki w kształcie walca jak równieŝ ustalenie jak dokładnie tę wartość ierzyy Do wyznaczania as próbki posłuŝyy się wagą elektroniczną natoiast objętość próbki będziey wyznaczali trzea róŝnyi etodai pośrednii: A) ierząc średnicę i wysokość walca suwiarką i korzystając ze wzoru na objętość walca; B) za poocą wyskalowanej enzurki; C) za poocą wagi wykorzystując przy ty prawo Archiedesa Zadanie (obowiązkowe do dou przed wykonanie poiarów) a) Wyprowadź wzory () () oraz (4) na wyznaczanie gęstości etodai A B oraz C b) Korzystając z inforacji o dostępnych przyrządach poiarowych (patrz poniŝej) oraz wiedząc Ŝe średnica i wysokość próbki ieści się w przedziale -5 c spróbuj ocenić która z etod poiarowych pozwoli najdokładniej wyznaczyć gęstość próbki Zaryzykuj uszeregowanie etod od najdokładniejszej do najniej dokładnej Jak rozpoznasz czy wyniki uzyskane róŝnyi etodai są ze sobą zgodne? POMIARY Masz do dyspozycji: próbkę w kształcie walca wykonaną z nieznanego etalu; wagę elektroniczną wyświetlającą wartość asy z dokładnością do 00 g; suwiarkę z wyświetlacze pozwalający na odczyt długości z dokładnością do 00 ; enzurkę z naniesioną skalą objętości podziałka skali co c ; duŝą zlewkę o pojeności ok 00 c ; wodę destylowaną; teroetr do poiaru teperatury wody; statyw i cienką nić Wykonanie poiarów Podczas wykonywania poiarów paiętaj o szczegółowej dokuentacji tj notuj wszystkie ierzone wartości jak równieŝ wszystkie inforacje ogące ieć znaczenie podczas analizowania uzyskanych wyników
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH Poiar as próbki W pierwszy kroku wyznacz asę próbki Rozpocznij od wypozioowania i tarowania wagi Poiar asy próbki powtórz co najniej razy Jeśli wyniki będą róŝne to kontynuuj serię poiarów w celu wiarygodnego ocenienia paraetrów rozkładu wyników (wartości średniej i jej niepewności standardowej) Jeśli wyniki będą się powtarzały to oŝesz uznać Ŝe odchylenia przypadkowe są niejsze niŝ wartość odpowiadająca najniejszej podziałce skali i nie a potrzeby wydłuŝać serii poiarów Wyznaczanie objętości próbki Metoda A Za poocą suwiarki wykonaj wielokrotne poiary średnicy D próbki Paiętaj Ŝe przediot wyglądający jak walec oŝe w rzeczywistości ni nie być poza przekonanie się (jak podczas poiaru asy) czy powtarzanie poiaru w ty say iejscu daje ten sa wynik wykonaj poiary kilku średnic tego saego przekroju w róŝnych iejscach i dla róŝnych wysokości W ten sposób sprawdzisz czy dopuszczalne jest załoŝenie Ŝe przekrój próbki na kaŝdej wysokości jest kołe o ty say proieniu W podobny sposób powtarzaj poiary suwiarką wysokości H próbki w róŝnych iejscach Metoda B Za poocą enzurki (o średnicy nieznacznie większej od średnicy próbki) wypełnionej wodą z kranu wyznacz objętość próbki Nalej w ty celu wody do enzurki tak aby jej pozio pokrywał się z jedną z kresek skali zwróć uwagę jaki wpływ na dokładność odczytu a kształt powierzchni wody (enisk) oraz połoŝenie Twego oka względe powierzchni cieczy (paralaksa) odczytaj objętość V Następnie podwieś próbkę na cienkiej nitce (pozwala na to ała śrubka w jednej z podstaw kaŝdej z próbek) i ostroŝnie zanurz ją całkowicie w enzurce a następnie odczytaj nowy pozio wody tj objętość V Na ogół nowy pozio nie będzie pokrywał się z Ŝadny ze znaczników skali czy oŝna wiarygodnie odczytać ułaek szerokości działki do najbliŝszego znacznika? Jeśli tak to wyznacz tę wartość i zapisz wynik Czy powtarzanie tego poiaru jest celowe? Jeśli tak wykonaj odpowiednią serię poiarów RóŜnica odczytanych objętości to poszukiwana objętość próbki Metoda C Nalej wody destylowanej do zlewki tak aby ogła się w niej całkowicie zanurzyć próbka Zanotuj teperaturę wody Wyznacz asę zw zlewki z wodą Zawieś próbkę na statywie tak aby wisząc swobodnie ogła całkowicie zanurzyć się w wodzie w zlewce stojącej na wadze Po zanurzeniu próbka nie oŝe opierać się o dno zlewki Zwróć uwagę czy do próbki nie przykleiły się (zwłaszcza od spodu) bąbelki powietrza Odczytaj wskazania wagi zwp gdy podwieszona próbka jest całkowicie zanurzona w zlewce Jeśli zdecydujesz się na wielokrotne poiary to paiętaj Ŝe iędzy poiarai naleŝy osuszyć próbkę i nitkę (np ręcznikie papierowy) i rozpoczynać kolejny poiar od poiaru asy zlewki z wodą (dlaczego?) ANALIZA DANYCH SpostrzeŜenie Ŝe wynik poiaru zaleŝy od dokładności przyrządu wyaga uogólnienia wprowadzonej w ćwiczeniu WAHADŁO MATEMATYCZNE niepewności standardowej do postaci uwzględniającej zarówno obserwowany rozrzut wyników jak i dokładności przyrządu W przypadku bezpośredniego poiaru pojedynczej wielkości fizycznej najczęściej przyjuje się Ŝe uogólniona niepewność standardowa u wyniku dana jest jako: u = s + () gdzie wielkość s to niepewność statystyczna poiaru (w szczególności jeśli wynikie poiaru jest średnia to s podaje jej niepewność) zaś oznacza dopuszczalny błąd graniczny wskazania stosowanego przyrządu W niniejszy ćwiczeniu przyjiey ze wielkość ta oznacza
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH wartość najniejszej podziałki zwanej zdolnością rozdzielczą przyrządu W następny ćwiczeniu uogólniy tę wielkość na przypadki kiedy to nie tylko podziałka przyrządu odgrywa rolę ale istotne są takŝe dodatkowe inforacje podane przez producenta w etryczce przyrządu UWAGA Współczynnik / we wzorze () wynika z powszechnie akceptowanego odelu rozkładu błędów wskazań przyrządu Dla wszystkich rozwaŝanych tu etod gęstość wyznaczana jest pośrednio W dalszej analizie będziey więc wyznaczać niepewności poiarów pośrednich obliczając tzw złoŝoną niepewność standardową (niepewności wielkości ierzonej pośrednio) popularnie określaną jako propagacja ałych błędów Przyjijy Ŝe prawdziwa wartość η pewnej wielkości fizycznej wyraŝa się przez prawdziwe wartości µ µ µ k innych wielkości fizycznych za poocą związku η = f(µ µ µ k ) Jeśli wykonujey poiar wielkości µ i i = k to zaiast prawdziwych wartości otrzyujey wartości x i z niepewnościai u i a wtedy ocenę y wielkości η wyznaczay za poocą związku y = f(x x x k ) a niepewność u y tej oceny obliczay za poocą wzoru na przenoszenie niepewności n f ui i= x i uy = Jeśli wielkość x i wyznaczay na podstawie serii poiarów to do zaleŝności ateatycznej podstawiay wartość średnią serii Zadanie (na ćwiczeniach) a) Zierzono bok kwadratu otrzyując x = (50 ± 00) Ile wynosi ocena pola P tego kwadratu i jaka jest niepewność tej oceny? b) Podaj kilka przykładów zaleŝności fizycznych które przyjują postać: k k k η = aµ µ L µ n gdzie a oraz k i są pewnyi zadanyi stałyi zaś wielkości µ i to rozaite wielkości fizyczne podlegające poiaro Jeśli w wyniku poiaru wielkości µ i otrzyano wartość x i k k k z niepewnością u i pokaŝ Ŝe niepewność u y oceny y = ax n x Lx n wielkości η wynosi n kiu i y = y i= xi u Zadanie (na ćwiczeniach) Wysokość H dou oŝey wyznaczyć ze związku H = L tg ϕ gdzie L jest długością cienia rzucanego przez do ϕ zaś to kąt pod który widać do z końca cienia Jeśli ierzona długość cienia L 0 = 5 znana jest wystarczająco dokładnie zierzony zaś kąt ϕ 0 = 45 z niepewnością u ϕ = wyznacz niepewność u H wysokości dou ANALIZA POMIARÓW BEZPOŚREDNICH Poiar asy próbki Dysponujey zestawe n wartości i asy próbki uzyskanych za poocą wagi z dokładnością odczytu = 00 g Najlepsza ocena asy próbki to średnia n i n i = = a jej niepewność standardowa jak pokazaliśy w Ćwiczeniu to n s ( ) = i ( ) n n i= Uwzględnienie dokładności przyrządu jak to podano wyŝej prowadzi do ostatecznej niepewności oceny wartości asy próbki u = s + n
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH Wynik zapisujey w postaci: ± u wraz z iane np (4 ± 056) g Metoda A Poiary średnicy D i wysokości H próbki W podobny sposób znajdujey średnią średnicę D i średnią wysokość H i ich niepewności ud = s D + D uh = s H H + gdzie D = H = 00 zaś wyniki to: D ± ud oraz H ± uh Metoda B Poiar objętości V próbki Ocenę objętości V próbki V = V V wyznaczay jako róŝnicę pozioów wody w enzurce z zanurzoną próbką odczyt V i bez próbki odczyt V Dla V i V naturalnie jest przyjąć Ŝe dokładność odczytu wartości obu wielkości jest taka saa: V = V = V Jeśli uznałaś/uznałeś Ŝe potrafisz odczytać wartości V i V z dokładnością do ułaka działki skali enzurki to za wartość V przyjij wartość tego ułaka ZauwaŜ Ŝe bezpośrednio ierzone są wielkości V i V zaś wielkość V uzyskujey w sposób pośredni Czy jest istotne Ŝe w poiarze uŝyway wody z kranu a nie wody destylowanej lub innej cieczy? Ciecz o jakich własnościach fizyko-cheicznych byłaby najwłaściwsza? Metoda C Wyznaczanie objętości V próbki z wykorzystanie prawa Archiedesa Metodą tą objętość próbki wyznaczay na podstawie związku (dlaczego?) zwp zw V = ρw gdzie zw to asa zlewki z wodą destylowaną zwp to as zlewki z wodą i zawieszoną w niej próbką zaś ρ w to gęstość wody W obliczeniach uwzględnij zaleŝność gęstości wody od teperatury którą oŝesz znaleźć w tablicach (zastanów się jak dokładnie naleŝy znać tę wartość aby jej niepewność nie wpływała znacząco na dokładność wyniku końcowego) WYZNACZANIE GĘSTOŚCI Średnia gęstość ρ definiowana jest związkie ρ = V gdzie jest asą próbki a V jej objętością Wartość asy wyznaczona została jedną etodą zaś objętość trzea co prowadzi do trzech ocen gęstości Metoda A Objętość V próbki wyznaczay na podstawie związku π V = D H 4 a więc gęstość wynosi 4 ρ = () π D H a jej ocenę ρ A wyznaczay podstawiając uzyskane wcześniej oceny odpowiednich wielkości to jest D oraz H (jak dokładnie naleŝy znać wartość liczby π aby jej błąd zaokrąglenia nie wpływał znacząco na dokładność wyniku końcowego?) Niepewność u A uzyskanej oceny gęstości wyznaczay za poocą związku u ud uh ua ρ = A + + D H Metoda B Ocenę gęstość wyznaczay tu ze związku 4
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH ρ B = () V V a jej niepewność za poocą wzoru u uv uv ub ρ = B + + V V V V jeśli poiar kaŝdej z objętości V i V wykonano jednokrotnie lub teŝ u uv ub ρ = B + V jeśli wykonano serię poiarów objętości V i V z których obliczano róŝnicę V z róŝnic średnią V jej statystyczną niepewność s V i ostateczną niepewność objętości próbki u = s + u + u V V V V W powyŝszych wzorach u V i u V oznaczają niepewności poiaru wielkości V i V Oceniając wielkości u V i u V postępujey jak w przypadku niepewności oceny wysokości i średnicy Metoda C Ty raze ocenę gęstości otrzyujey jako ρw ρ C = zwp zw (4) natoiast niepewność wyznaczay za poocą wzoru u u u ρ w uc = ρ C + + zwp zw ρw jeśli poiar kaŝdej z as zwp i zw był wykonany jednokrotnie lub teŝ u u u ww ρw uc = ρc + + ww ρ w jeśli wykonano serię poiarów as zwp i zw z których obliczano róŝnicę ww = zwp zw z róŝnic średnią ww jej statystyczną niepewność s ww i ostateczną niepewność ww uww = sww + PoniewaŜ poiar as zwp i zw odbywa się za poocą wagi wykorzystywanej w poiarze asy próbki wielkość znana jest z poiaru tej asy Zadanie 4 (na ćwiczeniach) Dla wszystkich trzech etod poiaru gęstości wyprowadź podane wyŝej wzory wyraŝające niepewność gęstości przez wielkości ierzone bezpośrednio oraz ich niepewności Zadanie 5 (do dou dla treningu) Aby zierzyć odległość D iędzy pewny punkte A na lądzie a boją B na jeziorze wyznaczono odległość L iędzy punkte A i wybrany takŝe na lądzie punkte C jak równieŝ kąt α iędzy odcinkai AB i AC oraz kąt γ iędzy odcinkai AC i BC Przyjij Ŝe niepewność poiaru długości L wynosi u L zaś niepewności poiarów kątów są identyczne i wynoszą u Wyznacz niepewność u D poiaru odległości D iędzy punktai A i B Zadanie 6 (do dou dla treningu) W celu wyznaczenia objętości V stoŝka oŝey zierzyć jego średnicę D podstawy i wysokości H i skorzystać ze związku V = πd H/ lub teŝ zierzyć długość L tworzącej stoŝka oraz średnicę podstawy i skorzystać ze związku V = π D L ( D / ) lub teŝ zierzyć długość 5
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH tworzącej i wysokość i odwołać się do związku π ( ) 6 V = L H H Przypuśćy Ŝe wielkości D H oraz L ierzyy z tą saą niepewnością u Która z etod zapewni najniejszą niepewności oceny objętości? Zadanie 7 (do dou dla treningu) Dwaj studenci otrzyali jako zadanie poiar asy dwóch ciał za poocą szalkowej wagi laboratoryjnej wyposaŝonej w koplet odwaŝników z których najniejszy iał asę = g Student A zierzył asę kaŝdego z ciał bezpośrednio tj kładąc kaŝde z nich oddzielnie na jedną szalkę a odwaŝniki na drugą Student B natoiast najpierw zierzył suę as obu ciał łącznie a następnie połoŝył jedno ciało na jednej szalce a drugie na drugiej szalce i wyrównał wagę dokładając odpowiednie odwaŝniki na tej szalce na której leŝało ciało o niejszej asie Układając stosowne równania student B ógł obliczyć asę kaŝdego z ciał Jaką dokładność poiaru asy kaŝdego z ciał uzyskali studenci? Zadanie 8 (do dou dla treningu) Sferoetr to trzy pionowe sztywno połączone nóŝki uieszczone w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku L= 6 c W środku tego trójkąta znajduje się śruba ikroetryczna której koniec oŝna przesuwać w kierunku prostopadły do płaszczyzny trójkąta w kontrolowany sposób z oŝliwością poiaru pozycji tego końca Ustawiając sferoetr na powierzchni kuli dolne krawędzie nóŝek wyznaczają płaszczyznę odcinającą część kuli w postaci czaszy której wysokość H oŝna zierzyć za poocą śruby ikroetrycznej Dysponując wielkościai H oraz L oŝna H L znaleźć proień R kuli: R = + Jak dokładnie powinniśy znać rozstaw L nóŝek sferoetru 6H jeśli wielkość H = jest ierzona z niepewnością u H = 00? Zadanie 9 (do dou dla treningu) Przy poiarze ogniskowej f cienkiej soczewki skupiającej przediot uieszczay w odległości x od niej a obraz uzyskujey w odległości y od soczewki po jej drugiej stronie przy czy: + = x y f Wielkość x oraz y ierzyy z tą saą niepewnością u a) Podaj wyraŝenie na niepewność u f ogniskowej b) RozwaŜ jak zienia się niepewność wyznaczanej wartości ogniskowej jeśli zieniay odległość x Podaj wyraŝenie które będzie opisywało zaleŝność niepewności u f od wielkości x Paiętaj Ŝe przy zianie odległości x zienia się odległość y! c) Naszkicuj wykres tej zaleŝności d) W jakiej odległości x od soczewki powinniśy uieścić przediot aby niepewność ogniskowej była najniejsza? e) Ile wtedy wynosi ta niepewność? Zadanie 0 (do dou dla treningu) Ogniskową f okrągłej soczewki rozpraszającej o średnicy D oŝna zierzyć w pogodny dzień ierząc zewnętrzną średnicę P jasnego pierścienia jaki soczewka ta skierowana na słońce wytwarza na ekranie Jeśli L jest odległością ekranu od soczewki to: LD f = D P + al gdzie a = tgϕ = 00094 i kąt ϕ jest średnicą kątową Słońca i jest on znany dokładnie Przyjij Ŝe wielkości D P oraz L ierzone są z niepewnościai odpowiednio u D u P oraz u L a) Ile wynosi niepewność u f oceny długości ogniskowej soczewki? b) Jak niepewność u f zaleŝy od odległości L ekranu od soczewki (paiętaj Ŝe przy zianie odległości L zienia się średnica P jasnego pierścienia)? PoniewaŜ chcey zierzyć ogniskową zadanej soczewki przyjij Ŝe jej średnica D jest znana dokładnie c) Naszkicuj postać tej zaleŝności d) W jakiej odległości L od soczewki powinniśy ustawić ekran aby niepewność naszego poiaru
Ćwiczenie nr WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH była inialna jeśli dysponujey wstępną oceną f 0 wartości ogniskowej? e) Ile będzie wynosiła niepewność ocenianej długości ogniskowej w warunkach optyalnego poiaru? Zadanie (do dou dla treningu) Wielkość fizyczną µ wyznaczay w sposób pośredni korzystając ze związku postaci µ = cµ α µ β gdzie c α i β to stałe liczbowe zaś µ x oraz µ y to nieznane wartości dokładne x y bezpośrednio ierzonych wielkości fizycznych które w niezaleŝnych poiarach znajdujey jako x oraz y o znanych niepewnościach u x i u y co prowadzi do oceny ˆ cx α β µ = y Jakie warunki uszą spełniać potęgi α i β aby znając wstępną ocenę µ 0 wielkości µ wielkość tę oŝna było ocenić w wyniku jednokrotnego poiaru wielkości µ x oraz µ y z inialną oŝliwą niepewnością? RAPORT KOŃCOWY Wyniki poiarów w postaci pliku tekstowego pliku do prograu Excel pakietu MS Office lub pliku do prograu Calc pakietu Open/Libre Office prześlij e-aile prowadząceu zajęcia niezwłocznie po złoŝeniu raportu Twój raport będzie czekał na sprawdzenie aŝ to uczynisz Na stronie z której pobrałaś/pobrałeś niniejszą Instrukcję znajduje się arkusz kalkulacyjny do prograu Calc pakietu Open Office/Libre Office przygotowany do przeprowadzenia obliczeń koniecznych do przygotowania opisu W przeciwieństwie do arkusza do Ćwiczenia Wahadło ateatyczne nie zawiera on Ŝadnych zaprograowanych wzorów i obliczenia usisz sporządzić saodzielnie Nie jest on niezbędny do ćwiczeń rachunkowych więc nie usisz go przynosić na zajęcia Co więcej nie usisz go w ogóle uŝywać MoŜesz przygotować własny lub wykorzystać swój inny ulubiony progra od obliczeń nuerycznych Arkusz ten jest niczy inny jak tylko próbą podpowiedzenia Ci jak zorganizować obliczenia które usisz wykonać do swojego opisu i ewentualnie dostarczyć Ci wzoru jak takie obliczenia oŝna przeprowadzać w przyszłości Przygotuj raport końcowy zgodnie z ogólnyi zasadai podanyi w Instrukcji do Ćwiczenia (WAHADŁO MATEMATYCZNE) W szczególności raport powinien zawierać: w kilkuzdaniowy streszczeniu: stwierdzenie o zastosowaniu róŝnych etod oraz wartości uzyskanych tyi etodai ocen gęstości wraz z niepewnościai tych ocen zapisanyi wg reguł przedstawionych w Instrukcji do Ćwiczenia ; we wstępie: sforułowanie zadania przedstawienie zagadnienia poiaru gęstości róŝnyi etodai wraz ze stosownyi wzorai niezbędnyi do rozwiązania postawionego probleu; w części odnoszącej się do pracy eksperyentalnej: opis etod poiaru uŝywanych przyrządów i przebiegu poiarów; paiętaj raport to nie dziennik laboranta w który prezentowana jest czasowa sekwencja poiarów w raporcie prezentowane kroki poiarowe ają uzasadnienie erytoryczne wynikające z postawionego probleu; w części odnoszącej się do analizy danych: oówienie analizy poiarów bezpośrednich i pośrednich wraz z wynikai liczbowyi; w dyskusji i wnioskach końcowych: oówienie dokładności wyników z róŝnych etod; tu oŝesz takŝe przedstawić własne refleksje na teat probleu; w szczególności powinna się tu pojawić inforacja o ty z jakiego etalu ogła być wykonana próbka; w spisie literatury: poprawnie zredagowane wykorzystane w raporcie źródła Raport powinien zawierać wszystkie surowe wyniki poiarów aby oŝna było bez odwoływani się do zapisków sporządzonych w trakcie wykonywani doświadczenia powtórzyć wszystkie obliczenia i sprawdzić ich poprawność Raport naleŝy oddać w sekretariacie Pracowni na następnych zajęciach po zakończeniu ćwiczeń rachunkowych do niniejszego doświadczenia W raporcie oŝesz wykorzystać jedynie własne dane 7