Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy drugie poziom rozszerzony _R Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa str _R Ciągi str _R Wielomiany i funkcje wymierne str 5 _R4 Geometria analityczna str 6 _R5 Geometria płaszczyzny str 9
_R Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa Zad W wyścigu Tour de France grupa kolarzy ma do mety jeszcze 0 km i jedzie ze średnią prędkością 40 km/h Przedstaw odległość tej grupy od celu jako funkcję czasu Narysuj wykres tej funkcji Zad Wyznacz wzór funkcji liniowej f wiedząc,że ( ) = 6 f ( x) > 0 x, f i ( ) Zad Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji liniowych f oraz g są równoległe: a) f ( x) = x + m oraz g( x) = x + 5 m m + b) f ( x) = x + oraz g( x) = x + 5 m Zad4 Wyznacz funkcję liniową dla,której spełniony jest warunek f ( x ) = x + dla każdej liczby rzeczywistej Zad5 Wykaż, że funkcja y = ( π ) x + jest rosnąca w R Zad6Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji f i g są prostopadłe f ( x) = x + oraz g( x) = ( m ) x m Zad7 Znajdź wszystkie funkcje f : R R spełniające równanie f ( x) + f ( x) = 4x Zad8 Sporządź wykres funkcji f : R R określonej wzorem : a) f ( x) = max(x, x + ) b) f ( x) = min(x, x + ) x 5, dlax (, 5 > Zad9 Sporządź wykres funkcji f : R R określonej wzorem f ( x) = x + + dlax ( 5,) Zad0 Dla jakich wartości b prosta o równaniu y = - x + b ma dokładnie jeden punkt wspólny z wielokątem wyznaczonym przez układ nierówności x i0 y Zad Wykresy funkcji f ( x) = x + a i g ( x) =,5 x + 0,(6) a przecinają się na osi OX w punkcie P oraz przecinają oś OY odpowiednio w punktach Q i R Wyznacz a oraz punkty P,Q,R i pole trójkąta PQR x + y 0 Zad Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań układu: y + 5x 0 5x y 0 0 Zad Napisz układ nierówności, którego rozwiązaniem są punkty trójkąta A(-,0), B (,-) C(,4) Zad4 Rozwiąż układ równań ( a ) x 4y = m i przeprowadź dyskusję rozwiązań ze względu na parametry a oraz m 9x + ( a + ) y = 9 Zad5 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań x y = k spełnia warunek x y = k x + y = + k Zad6 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań x + y = k spełnia warunek x 0, 5 i y 0, 5 x y = k Zad7 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań x + y = k jest parą liczb dodatnich x y = k Zad8 Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań x + y = m + x + y = Zad9 Zilustruj zbiór punktów płaszczyzny,których współrzędne spełniają równanie(nierówność) a) x + y = b) x y = c) y = x 4x + 4 + x Zad0 Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają układ nierówności: a ) y x y > b) x + y y c) y x + y x + spełnia warunek x y 6 x i y
_R Ciągi Zad Liczby a, b, c, d, różne od zera, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego a) Wyznaczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest dwa razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu b) Obliczyć a, b, c, d, jeżeli wiadomo, że suma trzech pierwszych wyrazów równa się 6 oraz, że liczby a +, b + 6, c + tworzą ciąg arytmetyczny Zad Suma n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (a n ) określona jest wzorem S n =n -4n (n N + ) a) Obliczyć trzydziesty pierwszy wyraz ciągu (a n ) b) Na podstawie definicji wykazać, że (a n ) jest ciągiem arytmetycznym c) Wyznaczyć trzy kolejne wyrazy tego ciągu, spełniające warunek: kwadrat środkowego wyrazu jest o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących Zad Ciąg liczbowy określony jest wzorem ogólnym a n =8/ n i n N + a) Na podstawie definicji wykazać, że (a n ) jest ciągiem geometrycznym b) Obliczyć sumę wszystkich wyrazów ciągu (a n ) należących do przedziału </79;9) c) Wiadomo, że liczby a n +, a n+, a n+ -5 są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego Wyznaczyć n Zad 4 Ciąg liczbowy (a n ) określony jest wzorem: a n =[(k -)*(n +n-)]/[(k-)*(n +4n+)] gdzie k R jest parametrem a) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których granicą tego ciągu jest liczba 4 b) Przyjmując k= obliczyć, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od,75? c) Wykazać, że dla k= ciąg (b n ) określony wzorem b n =a n +(n +n)/(4n+) jest rosnący Zad 5 Dany jest ciąg arytmetyczny gdzie Wiadomo, że dla każdego suma początkowych wyrazów wyraża się wzorem: a) Wyznacz wzór na -ty wyraz tego ciągu b) Oblicz c) Wyznacz liczbę dla której Zad 6 Wyraz ogólny ciągu liczbowego a n jest określony wzorem a n =, nєn + a) Dla jakich p, ciąg a n jest ciągiem geometrycznym? b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których ciąg a n jest malejący Zad 7 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: a) Pierwszy wyraz danego ciągu, drugi wyraz danego ciągu i liczba, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego Wyznaczyć x, dla którego znaleziony ciąg arytmetyczny jest rosnący b) Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których dany ciąg geometryczny jest ciągiem malejącym Zad 8 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których iloraz q danego ciągu spełnia warunek: q Zad 9 Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny (a n ), w którym wyrazy a, a, a spełniają warunki: a + a + a =, a = a + 5 Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (a n ) a) Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych występujących w tym ciągu b) Dla jakiej wartości n ciąg ( a n, a n+ +, a n+4 + 4) jest ciągiem geometrycznym? Zad 0 Ciąg arytmetyczny (a n ) ma dwadzieścia wyrazów Suma wyrazów o wskaźnikach parzystych jest równa 50, a suma wyrazów o wskaźnikach nieparzystych jest równa 0 Wyznacz pierwszy wyraz danego ciągu oraz jego różnicę a a 0 0 a a 6 a) Oblicz wartość wyrażenia Ile co najmniej wyrazów ciągu (a n ) o wskaźnikach podzielnych przez należy dodać, aby ich suma była większa od 58? b) Wyznacz liczbę naturalną n, dla której zachodzi zależność: 9S 4 8S 6 + S n = 0, gdzie S 4 oznacza sumę czterech, S 6 sumę sześciu, a S n sumę n początkowych wyrazów ciągu (a n ) Zad Suma pierwszych czterech wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 6 Liczba jest trzecim wyrazem tego ciągu Wyrazy pierwszy i czwarty tego ciągu są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego a) Oblicz sumę pierwszych czterech wyrazów ciągu geometrycznego b) Którymi wyrazami ciągu arytmetycznego są trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego?
4 Zad Ciąg arytmetyczny (a n ) składa się ze 00 wyrazów Suma wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 700, a suma wyrazów o numerach parzystych 7500 Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu a) Które wyrazy ciągu (a n ) spełniają warunek: a n < 6? b) Wyznacz n tak, by ciąg ( a n, a n+, a n+4 ) był ciągiem geometrycznym Zad Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego (a n ) jest równy 00, a przy dzieleniu drugiego wyrazu tego ciągu przez wyraz szósty otrzymujemy i resztę Wyznacz a oraz różnicę r tego ciągu a) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach podzielnych przez b) Czy istnieje takie n naturalne, dla którego S n = -5? Zad 4 Iloczyn drugiego i trzeciego wyrazu nieskończonego rosnącego ciągu arytmetycznego jest równy 54, a suma pierwszego i drugiego wyrazu jest równa 9 Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu (a n ) a) Liczby a, a w podanej kolejności są dwoma pierwszymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego (b n ) Sprawdź, czy istnieje wyraz ciągu (b n ) równy b) Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a n ) należących do przedziału (77; 777) Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu (a n ) spełniające nierówność: a n (a n+ - a ) a 6n Zad 6 W ciągu arytmetycznym (a n ) a + a =, a a 4 = Dla jakich n N + spełniona jest nierówność: a + a + + a n 60 Zad 7 Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ), w którym iloczyn drugiego i czwartego wyrazu jest równy 54, a suma pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu jest równa 0,5 Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu (a n ) a) Dziesiąty i czwarty wyraz ciągu (a n ) są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego (b n ) Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu (b n ) Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a n ) spełniających nierówność: a n 0b <00 b) Dla jakich wartości n spełniona jest nierówność: a n a n+ a n+8? Zad 8 Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem dla Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: Zad 9 Ciąg liczbowy jest określony dla każdej liczby naturalnej wzorem gdzie a) Wykaż, że dla każdej wartości ciąg jest arytmetyczny b) Dla oblicz sumę c) Wyznacz wszystkie wartości dla których ciąg określony wzorem jest stały Zad 0 Wykazać, że jeżeli ciąg jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg o wyrazie ogólnym określonym wzorem Zad Liczby też jest ciągiem arytmetycznym są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych Oblicz Zad Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego jest wysokością poprzedniego Oblicz sumę pól 0 tak utworzonych trójkątów, przyjmując ze bok pierwszego trójkąta ma długość a (a>0) Zad Uczeń przygotowujący się do matury z matematyki rozwiązał w ciągu tygodnia tylko trzy zadania Zaplanował jednak, że w każdym następnym tygodniu rozwiąże o dwa zadania więcej niż w poprzednim Po ilu tygodniach suma rozwiązanych zadań przekroczy tysiąc? Zad 4 Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu a n jest równy 4 Oblicz iloczyn piętnastu Zad 5 Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5 Długość promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa 0 cm, a jej objętość 00 π cm Wszystkie warstwy wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie 0,4 kg mąki do wypieku warstwy środkowej Zad 6 Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w ratach, z których każda następna jest mniejsza o 50 zł Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty
5 Zad 7 Inwestor chce uzyskać w banku kredyt, który zamierza spłacić po czterech latach Taki kredyt w banku A jest oprocentowany % w skali roku, a odsetki są dopisywane do długu co pół roku Bank B oferuje oprocentowanie roczne % z roczną kapitalizacją odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizję w wysokości 4% kwoty udzielonego kredytu Oceń, która oferta jest korzystniejsza dla kredytobiorcy Zad 8 Suma wyrazów ciągu arytmetycznego o nieparzystych indeksach jest równa 44, natomiast suma wyrazów o indeksach parzystych wynosi Dodatkowo wiadomo, że ciąg ma nieparzystą ilość wyrazów Podaj ile wyrazów ma ten ciąg i podaj środkowy wyraz ciągu Zad Wielomian ( x) = x ( k + m) x ( k m) x + nierówność W ( x) 0 _R Wielomiany i funkcje wymierne W jest podzielny przez dwumiany x oraz x Zad Dla jakich wartości parametrów m oraz n wielomian ( x) = x + mx + nx + 0 5 w zbiorze, (,)? Rozwiąż W przyjmuje wartości ujemne tylko Zad Wyznacz wszystkie całkowite wartości a oraz b, dla których liczba + jest pierwiastkiem równania x + ax + bx + = 0 Zad 4 Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba + Zad 5 Przyjmujemy następującą definicję : prostą o równaniu y ax + b wielomianowej f w punkcie P = ( x0, f ( x 0 ) ) wtedy i tylko wtedy, gdy b = nazywamy prostą styczną do wykresu funkcji ax + jest resztą z dzielenia wielomianu f ( x) przez ( x x ) 0 Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f ( x) = x + x + x w punkcie = (, 4) ta posiada z wykresem funkcji f dwa punkty wspólne Zad 6 Reszta z dzielenia wielomianu wielomianu x + px x + q x + wynosi x przez ( ) Zad 7 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu ( ) + x + x Zad 8 Dany jest wielomian W ( x) = x + 4x + p całkowity 008 x przez x x + Zad 9 Określ liczbę pierwiastków równania px + ( 9 p ) x + ( p ) x = 0 P i uzasadnij, że styczna Wyznacz pierwiastki tego, gdzie p jest liczbą pierwszą Znajdź p wiedząc, że W ( x) ma pierwiastek w zależności od parametru p Naszkicuj wykres funkcji, która każdej wartości parametru p przyporządkowuje liczbę różnych pierwiastków tego równania 4 Zad 0 Wyznacz te wartości parametru k, dla których wielomian x + ( k + ) x + k ma dokładnie dwa różne pierwiastki Zad Udowodnij, że jeśli wielomian x + ax + a x + b jest iloczynem wielomianów stopnia pierwszego, to a = b = 0 Zad Udowodnij, że wykres każdej funkcji wielomianowej stopnia posiada środek symetrii x 4 Zad Naszkicuj wykres funkcji g( x) = + x x x + Zad 4 Z równania = wyznacz y jako funkcję x i naszkicuj wykres tej funkcji y x + Zad 5 Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) = 5 4 x + x 4x x + 4x x x x + a bx + c x x Zad 6 Dobierz stałe a, b, c tak, aby funkcje F ( x) = + i G( x) = były równe x + x + x + x + x + x + Zad 7 Dla jakich wartości parametru a zbiorem rozwiązań podwójnej nierówności < x + ax < x x + jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? Zad 8 Rozwiąż nierówność + + + x x + x + x + x + 007 x + 008 0 ( ) ( )( ) ( )( )
a y = Zad 9 Wyznacz te wartości parametru a, dla których układ równań x ma dokładnie jedno rozwiązanie Znajdź to y = x + a rozwiązanie Zad 0 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + x < x 8x 6 _R4 Geometria analityczna ) Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu: A= 4 ; -) wierzchołków ) Znając dwa wierzchołki rombu A= 8 ; - ) że bok rombu równa się 0 ( i C= 0 ;) ( i C= ; 0) ) Obliczyć pole kwadratu ABCD i trójkąta równobocznego ABC, jeśli a) A= ( ; 5) i C= ( ; ), b) A= ; ) ( i C= ( ; 6) 4) Oblicz pole rombu mając dane dwa jego przeciwległe wierzchołki A= ; ) równą 5 0 5) Dane są dwa punkty A= ( 5 ;) i C= ( ; ) ( Wyznacz współrzędne pozostałych (, znaleźć dwa pozostałe wierzchołki B i D, wiedząc, ( i C= ( 4 ; 9) i długość boku Na osi odciętych znaleźć taki punkt C, aby ACB=90 6) Przez punkt A= ( 4 ;6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach współrzędnych odcinki o równej długości 7) Proste y=x-9, y=-x+, y=-x+ są bokami trójkąta Znaleźć pole tego trójkąta 8) Pole trójkąta jest równe 8 Dwa jego wierzchołki są równe A= ; ) wiedząc, że leży on na prostej x+y =0 ( i B= ; ) ( Znaleźć trzeci wierzchołek 9) Przez punkt A= ( ;) przeprowadzić prostą tak, by jej punkty wspólne z prostymi x+y=0 i x y =0 były końcami odcinka, którego środkiem jest punkt A 0) Dane są równania dwóch środkowych trójkąta 4x+5y=0, x y=0 i wierzchołek A= ( ;) Znaleźć równania boków i pozostałe wierzchołki ) W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A= ; 4) x =0 Znaleźć równania boków tego trójkąta ( i równania trzech środkowych 4x+y 6=0, x+y =0, ) Udowodnić, że odległość między prostymi równoległymi o równaniach Ax+By+C =0 i Ax+By+C =0 jest równa C C A + B ) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A= ( ; ) względem prostej x+y =0 4) Dla jakich wartości parametru m R, proste (m )x+my 5=0, mx+(m )y 0=0 przecinają się w punkcie leżącym na osi Ox? 5) Dany jest wierzchołek kwadratu A= ; ) kwadratu ( i jedna z jego przekątnych y=x Znaleźć równania boków 6) Przez początek układu współrzędnych poprowadzić proste odległe od punktu A= ( ;4) o 5 7) Znaleźć równania dwusiecznych kątów zawartych między prostymi x+y+7=0, 7x+y 4=0 8) Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach x+y+=0, 7x+y=0, 7x y+8=0 9) Napisać równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty A= ( ;), B= ( 5 ; 5), C= ( ; 5) 0) Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej x+y =0 i przechodzącego przez punkty A= ( ; ), B= ( ; )
7 ) Wyznaczyć takie wartości parametru m R aby prosta o rówaniu m(x 8y+0)+x+5y =0 była sieczną okręgu x +y x+y 4=0 i wyznaczyła cięciwę o długości ) Znaleźć środek okręgu o promieniu r=50 wiedząc, że okrąg ten odcina na osi Ox cięciwę o długości 8 i przechdzi przez punkt A= ( 0 ;8) ) Dany jest okrąg (x ) +y =4 Przez punkt A= ; ) poprowadzić prostą wyznaczającą cięciwę o środku w punkcie A ( 4) Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań równania: (4x+y 4)(x +y 6x 8y)=0 Naszkicuj wykres funkcji y=f(m) przedstawiający ilość rozwiązań układu (4x + y 4)( x + y 6x 8x) = 0 w zależności od y = m parametru m 5) Dane jest równanie okręgu x +y =5 Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu tak, aby odcinek tej stycznej, zawarty między punktem styczności a punktem przecięcia z dodatnią częścią osi Ox, miał długość 0 d = 6) Dane są parabole opisane równaniami: y=x +(m+)x+m, y=( m )x +mx+m+p, gdzie m,p R są parametrami Wyznacz m i p dla których parabole te przecinają oś Ox w tych samych punktach Dla otrzymanych wartości parametrów oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są wierzchołki parabol 7) Obliczyć pole i obwód figury ograniczonej linią o równaniu y= x + x+, x R, osią Ox i prostymi o równaniach x=, x= 8) Dla jakich wartości parametru p punkt przecięcia się prostych o równaniach x py 5=0 i 6x+y 5=0 należy do kwadratu o wierzchołkach A= ( 0 ;0), B= ( ;0), C= ( ;), D= ( 0 ;) 9) Wyznaczyć równanie które spełniają środki wszystkich cięciw okręgu, które przechodzą przez ustalony punkt tego okręgu 0) Znaleźć równanie zbioru środków wszystkich cięciw paraboli y=x zawartych w prostych y=mx+, gdzie m (- ;+ ) ) Przez punkt przecięcia prostychx 5y =0 i x+4y 7=0 przeprowadzić prostą dzielącą odcinek o końcach A= ( 4 ; ), B= ( ;) w stosunku k = ) Dane są punkty A= ( ; ) na okręgu o równaniu x +y =, B= ( ; ) Wyznacz największą wartość pola trójkąta ABC, jeżeli punkt C leży ) Dany jest okrąg x +y =0 i prosta x+y 0=0 Znaleźć równanie okręgu o najmniejszym promieniu, stycznego zewnętrznie do danego okręgu i stycznego do danej prostej 4) W trójkącie ABC dane są wierzchołki A= 4 ;) tego trójkąta Obliczyć pole trójkąta ABC (, B= ( 5 ; ) oraz punkt M= ;) ( przecięcia wysokości 5) Znaleźć równanie okręgu przecinjącego pod katem prostym trzy okręgi: x +y +x+y=0, x +y x+y 9=0, x +y +x+y =0 (Kątem między dwoma okręgami nazywamy kąt między stycznymi w punkcie przecięcia) 6) Wykazać, że okręgi x +y mx ny m +n =0, x +y nx+my+m n =0 przecinają się pod kątem prostym 7) Przez punkt A = ( ;) poprowadzić okrąg o promieniu r= i przecinający okrąg x +y = pod kątem prostym 8) Dany jest punkt o współrzędnych A = (;) a) Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkt A i stycznego do osi Oy w punkcei ( 0 ;) b) Wyznaczyć punkty B i C należące do znalezionego okręgu tak, by trójkąt ABC był równoboczny 9) Punkty A = (0 ;4) D = (;5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego podstawy są prostopadłe do prostej o równaniu y=x Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków wiedząc, że wierzchołek C należy do danej prostej 40) Na paraboli x =y znaleźć punkt, którego odległość od punktu A = (; ) jest najmniejsza
4) Dla każdej liczby rzeczywistej m niech L m = { x ; y) : x R y R x + y = m} 8 ( W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczyć zbiór A L6, gdzie 5 A = ( x ; y) : x R y R x 0 y 0 y x + y x + 6 Dla jakich m zbiór A Lm jest niepusty? 4) Dany jest okrąg o środku w punkcie A = (0 ;0) i promieniu r oraz prosta y=m gdzie m >r Wyznacz równanie które spełniają środki okręgów stycznych do danej prostej oraz stycznych do danego okręgu 4) Dla jakich wartości parametru m parabola y= mx +4 ma z okręgiem x +y =6 dokładnie jeden punkt wspólny 44) Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A = ( ; ) i tworzącej z ujemnymi półosiami prostokątnego układu współrzędnych, trójkąt o najmniejszym polu 45) Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt A = (;) i stycznego do prostych x+y=0 i x +y=0 46) W prostokątnym układzie współrzędnych dany jest zbiór A = {( x ; y) : x R y R x y 0} Wyznacz współrzędne punktu zbioru A, który jest położony najbliżej punktu K = (;) 47) Dany jest punkt = ( ; ) A = x ; y) : x R y R y = x + m m B = ( x ; y) : x R y R y = nx n ; Zbadaj, czy K należy do zbioru Przedstaw ilustrację graficzną zbioru K oraz zbiory {( ; }, A B 48) Dana jest parabola y =8x i odcinek o końcach A = ( ;4), B = ( ; 4) Rozważmy te wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki należą do danego odcinka, zaś dwa pozostałe należą do danej paraboli Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największe pole 49) Podaj, na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych, ilustację zbioru A B, jeśli A = {( x ; y) : x R y R x + x = y+ y }, B = {( x ; y) : x R y R x + y } 50) Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y= x +6x Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta A B
9 _R5 Geometria płaszczyzny Zadanie W trójkącie ABC rzuty prostokątne boków AC i BC na bok AB wynoszą odpowiednio cm i 4 cm Ponadto BC = 45 cm Na jakie części dzieli bok BC symetralna boku AB? Zadanie W trójkącie ABC symetralna boku AB podzieliła bok BC na odcinki długości 4 cm i cm Wiedząc, że kąt ABC ma miarę 45, oblicz długości pozostałych boków trójkąta Zadanie W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r = cm Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach cm i 4 cm Zadanie 4 Dwusieczna kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego odcina trójkąt do niego podobny Oblicz miary kątów danego trójkąta Zadanie 5 Wysokość trójkąta prostokątnego, opuszczona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwległy bok na odcinki o długościach cm i cm Oblicz długości boków tego trójkąta Zadanie 6 Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta Zadanie 7 W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą a i b Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego Zadanie 8 W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku : 5 W jakim stosunku ( biorąc odcinki w tym samym porządku ) dzieli przeciwprostokątną wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego? Zadanie 9 W trójkącie ABC bok AB ma długość 6, bok AC ma długość, a kąt przy wierzchołku A ma miarę 50 Punkt D jest punktem wspólnym boku BC i dwusiecznej kąta BAC Oblicz długość odcinka AD Zadanie 0 Dany jest trójkąt o bokach długości: 4 cm, 6cm, 8cm Dwusieczna najwięk-szego kąta wewnętrznego tego trójkąta dzieli przeciwległy bok na dwa odcinki Oblicz ich długości Zadanie Wykaż, że jeżeli przekątne czworokąta dzielą się na połowy, to czworokąt ten jest równoległobokiem Zadanie Udowodnij, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest większa od połowy obwodu i mniejsza od obwodu tego czworokąta Zadanie W kwadracie o boku długości a odcięto cztery przystające trójkąty prostokąt-ne, otrzymując w ten sposób ośmiokąt foremny Oblicz długość boku tego ośmiokąta Zadanie 4 Odcinek poprowadzony z jednego z wierzchołków prostokąta prostopadle do przekątnej dzieli tę przekątną na dwa odcinki o długościach 4 i 9 Oblicz pole prostokąta Zadanie 5 Na kole opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 50 Oblicz stosunek pola koła do pola rombu Zadanie 6 Romb o boku długości 8 cm podzielono na trzy części o równych polach prostymi przechodzącymi przez wierzchołek kąta ostrego Oblicz długości odcinków, na jakie te proste podzieliły boki rombu Zadanie 7 Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego rombu i wierzchołki kątów rozwartych tego rombu dzieli przekątną rombu na dwa odcinki długości 6 cm i 8 cm Oblicz pole rombu Zadanie 8 W równoległoboku ABCD na przekątnej AC obrano dowolny punkt K Wykaż, że pola trójkątów ABK i ADK są równe Zadanie 9 W równoległobok o krótszym boku długości 5 cm wpisano dwa jednakowe koła o promieniu długości cm, każde styczne do trzech boków równole-głoboku i styczne do siebie Oblicz obwód i pole równoległoboku Zadanie 0 Środek okręgu opisanego na trapezie równoramiennym ABCD należy do podstawy AB Uzasadnij, że różnica miar kątów ADC i ACD jest równa 90 Zadanie W trapezie o polu 00 cm połączono środki kolejnych boków Oblicz pole powstałego czworokąta Zadanie Podstawy trapezu mają długości i 7 Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu
0 Zadanie Oblicz pole trapezu równoramiennego, wiedząc, że jego podstawy mają długości 6 cm i 4 cm, oraz że w ten trapez można wpisać okrąg Zadanie 4 Na okręgu opisano trapez prostokątny Odległości środka okręgu od końców dłuższej podstawy wynoszą 8 cm i 7 cm Oblicz pole trapezu Zadanie 5 Na okręgu o promieniu długości cm opisano trapez równoramienny Punkt styczności dzieli ramię trapezu w stosunku : Oblicz pole trapezu i długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie Zadanie 6 Przekątne AC i BD trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O Wiedząc, że pole trójkąta ABO równe jest 4, a pole trójkąta CDO - 9, oblicz pole trapezu ABCD Zadanie 7 Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem jest punkt przecięcia przekątnych tego trapezu, wynoszą P i P Oblicz pole trapezu Zadanie 8 Wykaż, że jeżeli w trapezie równoramiennym wysokość jest średnią geometryczną podstaw, to w ten trapez można wpisać okrąg Zadanie 9 Odległość środków dwóch kół zewnętrznie stycznych jest równa 8 dm Suma pół tych kół wynosi 4π dm Oblicz długości średnic tych kół Zadanie 0 Dwa koła, o promieniach odpowiednio cm oraz 50 cm, są styczne zewnętrznie Oblicz długość odcinka wspólnej stycznej zewnętrznej (pomiędzy punktami styczności)