ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego? A. B. C. D. Zad.2. ( 1pkt) Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy A. 50 B. 40 C. 30 D. 10 Zad.3. ( 1pkt) Punkty A, B, C, D, E, F, G, H dzielą okrąg na 8 równych łuków. Miara kąta GAD zaznaczonego na rysunku jest równa A. B. C. D. Zad.4. ( 1pkt) Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarę Wówczas A. B. C. D. Zad.5. ( 1pkt) Na okręgu o środku S leżą punkty A, B, C i D. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą AC jest równy (zobacz rysunek). Kąt między cięciwami AD i CD jest równy A. B. C. D. Opracowała D. Brzezińska 1

Zad.6. ( 1pkt) Dane są dwa okręgi o promieniach 10 i 15. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa A. 2,5 B. 5 C. 10 D. 12,5 Zad.7. ( 1pkt) Drut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy ma najkrótsza z tych części? A. 4,5 m B. 6 m C. 6,75 m D. 9 m. Jaką długość Zad.8. ( 1pkt) Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 6. Wysokość tego trójkąta jest równa A. B. 18 C. 9 D. Zad.9. ( 1pkt) Wysokość CD trójkąta równoramiennego ABC jest równa 8, a ramię AC ma długość 10. Podstawa AB tego trójkąta ma długość A. 12 B. 6 C. D. Zad.10. ( 1pkt) Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości 20 tworzy z podstawą kąt. Pole tego trójkąta jest równe A. B. C. D. Zad.11. ( 1pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe A. 64 cm 2 B. 32 cm 2 C. 16 cm 2 D. 8 cm 2 Zad.12. ( 1pkt) Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30. Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy A. 105 B. 115 C. 125 D. 135 Zad.13. ( 1pkt) Długość ramienia BC trapezu prostokątnego jest dwa razy większa od różnicy długości jego podstaw. Kąt ABC ma miarę A. B. C. D.. Zad.14. ( 1pkt) Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa. Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa A. B. C. D. Zad.15. ( 2pkt) Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym. Zad.16. ( 2pkt) Liczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zad.17. ( 2pkt) Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Opracowała D. Brzezińska 2

Zad.18. ( 2pkt) Liczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c. Zad.19. ( 2pkt) Liczby x 1, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x. Zad.20. ( 2pkt) W trójkącie równoramiennym ABC, w którym, wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach. Zad.21. ( 2pkt) Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma miarę. Oblicz miarę kąta CAB. Zad.22. ( 2pkt) Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB, taki że i. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. Zad.23. (2 pkt) Okrągły obrus został w całości wykrojony z materiału w kształcie kwadratu o boku długości 4 m. Wiedząc, że materiał został maksymalnie wykorzystany, oblicz ile metrów ozdobnego sznura potrzeba na obszycie brzegu tego obrusa. Podaj wynik z dokładnością do 0,1 m. Zad.24. ( 3 pkt ) Z drutu miedzianego o długości 11 metrów odcięto kawałek, którego długość mierzona w centymetrach jest równa pozostałej części drutu mierzonej w decymetrach. Oblicz długość odciętego kawałka drutu. Zad.25. ( 2 pkt) Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 wiedząc, że różnią się one o 9 m. 2 m. Oblicz wymiary tej działki Zad.26.( 3pkt) Maszyna wycina z krążków kwadraty w ten sposób, że wykorzystuje materiał maksymalnie. Gdyby promień danego krążka zwiększono o 1, to pole wyciętego kwadratu zwiększyłoby się czterokrotnie. Oblicz pole danego krążka. Zad. 27. ( 6 pkt ) Średnica koła o promieniu r = 6 jest podstawą trójkąta równobocznego. Wykonaj odpowiedni rysunek. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła. Zad.28. ( 4 pkt) Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą 21 cali powiększymy do 32 cali zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%. Opracowała D. Brzezińska 3

Zad.29. ( 5 pkt ) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01 m. Zad.30. ( 5 pkt) Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, 0 na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z kątów ma miarę 120. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru. Zad.31. ( 7 pkt) Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P 2 Opracowała D. Brzezińska 4

Zad. 32.( 5 pkt ) W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH, jak pokazano na poniższym rysunku. Wiedząc, że 2 AB 1 oraz tangens kąta AEH równa się, oblicz pole kwadratu EFGH. 5 Zad.33. ( 4 pkt) W architekturze islamu często stosowanym elementem był łuk podkowiasty. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuk okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając z danych na rysunku oblicz wysokość okna h i największy prześwit d. Zad. 34. ( 4 pkt ) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 12, a cosinus jednego z kątów ostrych wynosi 2. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. 3 Opracowała D. Brzezińska 5

Zad. 35. ( 6 pkt ) Obwód trapezu równoramiennego jest równy 44 cm, a długość dłuższej podstawy jest równa 20 cm. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiadomo, że przekątna dzieli kąt ostry trapezu na połowy. Zad.36. ( 2 pkt ) Dany jest czworokąt ABCD, w którym. Na boku wybrano taki punkt, że i. Wykaż, że kąt jest prosty. Zad. 37. ( 2 pkt ) W trapezie ABCD, w którym oraz przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta. Wykaż, że. Zad. 38.( 2 pkt ) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zad. 39. ( 2 pkt ) Dany jest prostokąt. Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty i leżą na jednej prostej. Zad. 40.( 2 pkt ) W trójkącie prostokątnym w którym długość przyprostokątnej jest równa 12, na drugiej przyprostokątnej obrano punkt oddalony od punktu o 6 i od punktu o 4. Przez punkt poprowadzono prostą równoległą do boku, przecinającą przeciwprostokątną w punkcie. Oblicz długość odcinka. Zad. 41.( 4 pkt ) Opracowała D. Brzezińska 6

Zad. 42.( 2 pkt ) Zad. 43.( 2 pkt ) Zad. 44.( 4 pkt ) Zad. 45. ( 2 pkt ) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta ( zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kata wypukłego SBC Opracowała D. Brzezińska 7

Zad. 46.( 4 pkt ) Zad. 47.( 2 pkt ) Zad. 48. ( 2 pkt ) Zad. 49.( 3 pkt ) Opracowała D. Brzezińska 8

Zad. 50.( 2 pkt ) Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że Zad. 51.( 4 pkt ) Zad. 52.( 4 pkt ) Zad. 53. ( 4 pkt ) W trapezie ABCD (AB CD) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72. Zad. 54. ( 5 pkt ) Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że Opracowała D. Brzezińska 9

Zad. 55. (5 pkt ) Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że Zad. 56.( 2 pkt ) Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że. Zad. 57.( 2 pkt ) Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym. Udowodnij, że Zad. 58. ( 2 pkt ) Na trójkącie o bokach długości opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zad. 59. ( 2 pkt ) Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%. Wyznacz stosunek, jeśli wiadomo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy. Zad. 60.( 2 pkt ) Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%. a) O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta? b) Wyznacz długość boku b, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeśli wiadomo, że bok a ma długość 30 cm. Zad. 61.( 2 pkt ) Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d. Zad. 62.( 1 pkt ) Miara kąta wpisanego w okrąg jest o mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. B. C. D. Opracowała D. Brzezińska 10

Zad. 63.( 2 pkt ) Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że i równy 1:3. ( zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu jest Zad. 64.( 2 pkt ) W trapezie ABCD ( ) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72. Zad. 65.( 2 pkt ) Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu ( zobacz rysunek). Udowodnij, że. Opracowała D. Brzezińska 11

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. ( 3 pkt ) Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby 3, 5, mogą być długościami boków trójkąta. Zad. 2. ( 5 pkt ) Pole trójkąta rozwartokątnego jest równe 8. Dwa boki tego trójkąta mają długość 4 cm i 5 cm. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta. Wynik podaj z zaokrągleniem do 0,01 mm. Zad.3. (4 pkt ) Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 8 oraz. Oblicz długość środkowej tego trójkąta. Zad. 4. ( 4 pkt) Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę 0 120. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.5. (5 pkt) Odcinki o długościach: 2 3, 3 3, 3 2 są bokami trójkąta. a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta. b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.6. 0 W trójkącie jeden z kątów ma miarę 120. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.7. ( 4 pkt) W trójkącie ABC, o kącie rozwartym przy wierzchołku C dane są długości boków BC 12cm. Oblicz długość boku AB wiedząc, że pole trójkąta jest równe 24 2 cm. AC 5cm i Zad. 8. ( 4 pkt ) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by. Oblicz wartość x =, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze. Zad. 9. ( 4 pkt ) W trójkącie prostokątnym ABC ( ) dane są długości przyprostokątnych: BC a i CA b. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D. Wykaż, że długość odcinka CD jest równa a b a b 2. Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia. Opracowała D. Brzezińska 12

Zad 10. ( 8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu długości R = 5 2, wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, Zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 8 3. Zad. 11. ( 5 pkt ) Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość a. Na bokach AB, BC, CA tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D, E, F, że 1 1 4 AD a, BE a, CF a. Oblicz długości 5 2 5 boków trójkąta DEF. Zad. 12. ( 4 pkt ) W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC 9, CA 12. Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD. Zad. 13. ( 4 pkt ) W czworokącie wypukłym ABCD dane są: AB 2, BC 3, CD 3, DA 4 i. Oblicz pole tego czworokąta. Zad. 14. ( 3 pkt ) Dany jest trójkąt o bokach długości 1, 2 3, 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta. Zad.15. ( 4 pkt ) Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi ostrego rombu. Opracowała D. Brzezińska 13 3. Wyznacz miarę kąta 8 Zad. 16. ( 6 pkt ) W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi a, zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe H i h. Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę. a) Wyraź tg w zależności od wielkości a i H. b) Wyraź cos w zależności od wielkości a i h. 2 c) Wykaż, że jeśli a H h, to sin 2 1. Zad. 17. ( 5 pkt ) W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC BC wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Zad. 18. ( 6 pkt ) Punkty M i N są środkami odpowiednio boków BC, CD prostokąta ABCD oraz AB BC. 0 ANM 90, a) Oblicz stosunek długości dłuższego do długości krótszego boku prostokąta. b) Uzasadnij, że w powstałym trójkącie prostokątnym ANM miara kąta NAM jest większa od 0 30.

Zad. 19. ( 7 pkt ) Trójkąt prostokątny ABC, w którym 0 BCA 90 i 0 CAB 30 jest opisany na okręgu o promieniu długości 3. Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek. Zad. 20. ( 4 pkt ) W trójkącie ABC są dane: AC 10, BC 10 2. Długość promienia opisanego na tym trójkącie wynosi R =10. Oblicz miarę kąta ACB. Zad. 21. ( 4 pkt ) Długości boków trójkąta ABC są równe a, b, c. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A do boku długości a. Zad. 22. (3 pkt ) Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem. Zad.23. ( 5 pkt) Latarnia morska jest w punkcie P. Statek zbliża się do brzegu. Kapitan obserwuje latarnię morską z 1 punktu A i widzi ja pod kątem takim, że tg. Po przepłynięciu 500 m w kierunku latarni 10 1 kapitan widzi ją z punktu B pod kątem takim, że tg. Oblicz odległość punktu B od punktu P 8 przy założeniu, że punkty A, B i P należą do jednej prostej. Zad. 24. ( 4 pkt ) Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy. Opracowała D. Brzezińska 14

Zad.25. ( 5 pkt ) Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość 41 cm, oblicz pole tego trapezu. Zad. 26. ( 6 pkt ) Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Zad. 27. ( 5 pkt ) Pole trójkąta ostrokątnego ABC jest równe 100. Punkt D leży na boku AB i leży na boku AC i Oblicz pole S czworokąta DBCE. E Zad. 28. ( 6 pkt ) Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli ten trapez na dwie figury o polach równych 12 i 8. Oblicz pola trójkątów, na które dzieli ten trapez przekątna trapezu. Zad. 29. ( 6 pkt ) Trapez o ramionach długości 6 i 10 jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 3:5. Oblicz długości podstaw trapezu. Zad. 30. ( 5 pkt ) Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość 12, a długość okręgu wynosi. Oblicz pole trapezu. Zad.31. ( 6 pkt) Różnica długości podstaw trapezu równoramiennego jest równa 15, a suma kwadratów ich długości jest równa 425. Długość ramienia jest średnią geometryczną długości podstaw. Oblicz długości boków i przekątnych tego trapezu. Zad.32. ( 6 pkt ) Na kole opisano trapez prostokątny ABCD AB AD AB, którego podstawy mają długości 12, CD 6. Oblicz długości ramion trapezu ABCD oraz tangens kąta ostrego trapezu. Zad.33. ( 4 pkt) W równoległoboku o polu 72 przekątne mają długości 20 i 12. Oblicz długość dłuższego boku tego równoległoboku. Zad.34. ( 4 pkt ) 0 W równoległoboku dany jest kąt ostry równy 60. Krótsza przekątna równoległoboku o długości e = 8 jest prostopadła do boków krótszych. Oblicz długość dłuższej przekątnej równoległoboku. Zad.35. (6 pkt) Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. CS 2 Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że. SB 5 a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu. b) Oblicz cosinus CBD. Opracowała D. Brzezińska 15

Zad. 36. ( 4 pkt ) Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 8 oraz. Oblicz długość środkowej tego trójkąta. Zad. 37. ( 4 pkt ) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że =. Zad.38. ( 3 pkt ) Dany jest czworokąt wypukły niebędący równoległobokiem. Punkty, są odpowiednio środkami boków i. Punkty i są odpowiednio środkami przekątnych i. Uzasadnij, że. Zad.39. ( 4 pkt ) Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny o podstawach x i 4x. Wykaż, że r = x. Zad.40.( 5 pkt ) Dany jest prostokąt ABCD, w którym i. Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b. Zad.41. ( 5 pkt ) W czworokącie ABCD dane są długości boków: Ponadto kąty oraz są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych. Zad. 42.( 4 pkt ) W czworokącie wypukłym ABCD ( zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: = oraz. Wykaż, że. Opracowała D. Brzezińska 16

Zad. 43. ( 4 pkt ) Trapez równoramienny o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, że Zad. 44. ( 5 pkt ) Dany jest trójkąt, w którym i Na boku leży punkt taki, żę oraz Oblicz pole trójkąta Zad. 45. ( 4 pkt ) Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe gdzie jest długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, a i są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta. Zad. 46. ( 4 pkt ) Długość boku rombu ostrego tego rombu. jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Oblicz miarę kąta Zad. 47. ( 5 pkt ) Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. Zad. 48. ( 3 pkt ) Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe odpowiednio: i. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Zad. 49. ( 4 pkt ) Zad. 51. ( 5 pkt ) Zad. 50. ( 4 pkt ) Zad. 51. ( 2 pkt ) Zad. 52 ( 4 pkt) Długości boków czworokąta ABCD są równe: Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta. Opracowała D. Brzezińska 17

Zad. 53. ( 3 pkt ) Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BFGC. Odcinek AF przecina przyprostokątną BC w punkcie L, a odcinek BE przecina przyprostokątną AC w punkcie K ( zobacz rysunek). Udowodnij, że Zad. 54. ( 6 pkt ) Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą równości oraz. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC ( zobacz rysunek). Zad. 55. ( 4 pkt ) Wykaż, że jeżeli są kątami wewnętrznymi trójkąta i, to. Zad. 56. ( 3 pkt ) Punkt E jest środkiem boku BC prostokąta ABCD, w którym CD tego prostokąta oraz. Udowodnij, że. Punkt F leży na boku Zad.57. ( 3 pkt ) Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym. Na bokach, na zewnątrz trójkąta ABC, zbudowano kwadraty ABDE, BCFG i ACHJ. Wykaż, że pola trójkątów AHE i BEG są równe. Opracowała D. Brzezińska 18

Zad. 58. ( 3 pkt ) Zad. 59. ( 2 pkt ) Dany jest trójkąt o boku długości i kacie przyległym do tego boku. Kąt leżący naprzeciwko boku ma miarę. Oblicz długość boku leżącego naprzeciwko kąta tego trójkąta. Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad. 60. ( 2 pkt ) Jaką częścią pola koła przedstawionego na rysunku obok jest pole zacieniowanego wycinka tego koła? Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad. 61. ( 3 pkt ) Dany jest trójkąt o bokach długości 5, 8, 12. Dwusieczna największego kąta wewnętrznego tego trójkąta dzieli jeden z jego boków na dwa odcinki. Wyznacz długości tych odcinków. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego każdego z otrzymanych wyników. długość dłuższego odcinka długość krótszego odcinka Zad. 62. ( 4 pkt ) Na boku AB trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt D taki, że tangens kąta ACD.. Oblicz Zad. 63. ( 4 pkt ) W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej. Zad. 64. ( 4 pkt ) O trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem. Opracowała D. Brzezińska 19

Zad. 65. ( 4 pkt ) Dany jest trójkąt ABC, w którym. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa. Zad. 66. ( 6 pkt ) Zad. 67. ( 6 pkt ) W okrąg wpisano czworokąt, którego dwa kąty mają miary i. Przekątna czworokąta leżąca naprzeciw mniejszego z tych kątów ma długość 8 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym czworokącie oraz długość drugiej przekątnej tego czworokąta. Zad. 68. ( 5 pkt ) W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD i wyznaczono na niej taki punkt E, że przechodząca przez punkty AE przecina bok BC w punkcie P. Wykaż, że.. Prosta Zad. 69. ( 3 pkt ) Opracowała D. Brzezińska 20

Zad. 70. ( 3 pkt ) Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P, Q, R, S ( zobacz rysunek) Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg. Zad. 71. ( 3 pkt ) W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę. Okrąg przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg przechodzi przez punkt B, przecina okrąg w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trókąta ABC. Ponadto okrąg przecina bok BC trójkąta w punkcie G. Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg. Opracowała D. Brzezińska 21

Zad. 72. ( 3 pkt ) W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S. Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego trapezu w punktach odpowiednio P i Q ( zobacz rysunek). Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że Opracowała D. Brzezińska 22

Opracowała D. Brzezińska 23

Opracowała D. Brzezińska 24