1 Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera. Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych Szereg czasowy obserwacji zmiennej ekonomicznej traktujemy jako część realizacji procesu stochastycznego: załóżmy, że proces taki jest indeksowany indeksem t = 1,2,...,n,... Dla każdego t istnieje pewna zmienna losowa X t o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. Obserwacja zmiennej ekonomicznej o numerze t może być traktowana jako wartość wylosowana z tego rozkładu. Proces jest stacjonarny, jeśli łączne rozkłady zmiennych X t Xt,..., X 1, 2 tk są takie same jak łączne rozkłady zmiennych czasie. Xt h Xt h,..., X 1, 2 tk h tzn. nie zależą od przesunięcia w Definicja stacjonarności według momentów do rzędu 2 włącznie: Proces nazywamy stacjonarnym, jeśli są spełnione warunki: (1) Wartość oczekiwana jest stała niezależna od czasu: E( X t ) const, (2) Wariancja jest stała, niezależna od czasu: D( Xt ) 2 (3) Kowariancja między zmiennymi dla różnych indeksów zależy jedynie od różnicy numerów obserwacji, jest niezależna od czasu: Cov( Xt, X s) E( Xt E( Xt ))( X s E( X s)) γ t s. Przykład: Typowe dla zmiennych makroekonomicznych jest występowanie trendu. Wartość oczekiwana jest więc zmienna w czasie, zmienna taka jest niestacjonarna. Estymacja modelu liniowego dla takich zmiennych może spowodować wystąpienie tzw. regresji pozornej: ponieważ obie zmienne podlegają trendowi wzrostowemu, więc model wydaje się dobry (na co zdają się wskazywać wyniki weryfikacji); jednak tylko pozornie np. jakość prognoz na podstawie takiego modelu jest kiepska zmienne oddalają się od siebie C.W.J. Granger (Nobel z ekonomii wraz z R. Englem): podał wyjaśnienie tego zjawiska. Niekiedy można przekształcić szereg obserwacji do szeregu stacjonarnego poprzez obliczanie przyrostów.
2 Testy pierwiastka jednostkowego Definicja Mówimy, że zmienna Y jest zintegrowana stopnia d, co oznaczamy: Y~I(d), jeśli sama zmienna jest niestacjonarna, lecz jej przyrosty są stacjonarne, przy czym d jest najmniejszą liczbą całkowitą, dla której d y t jest stacjonarne. Niech t będą niezależnymi zmiennymi stacjonarnymi o jednakowym rozkładzie, o wartości oczekiwanej równej zeru. Wtedy yt y t 1 t (1) byłaby zmienną zintegrowaną stopnia 1. Jeśli jednak chcemy sprawdzić, czy pewna zmienna jest generowana przez proces postaci (1), nie możemy zastosować sposobu polegającego na oszacowaniu regresji (1) metodą najmniejszych kwadratów i zastosowaniu zwykłego testu t-studenta. Zmienne występujące w równaniu przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej są bowiem niestacjonarne. Test Dickeya-Fullera (por. Dickey i Fuller [DF1,DF2] ) jest chyba najłatwiejszym testem pierwiastka jednostkowego. Hipoteza zerowa i alternatywna są sformułowane tak: H 0 : zmienna y jest niestacjonarna wskutek występowania pierwiastka jednostkowego, H 1 : zmienna y jest stacjonarna. Odpowiadają one przypadkom, gdy w równaniu odpowiednio, równy 1 lub mniejszy co do modułu od 1. yt y t 1 t (2) parametr jest, Metodą najmniejszych kwadratów należy oszacować równanie yt y t 1 t (3). Hipoteza zerowa odpowiada przypadkowi, gdy parametr w równaniu (3) jest równy zeru, alternatywna gdy jest mniejszy od zera. Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej równanie (3), w przeciwieństwie do (2), ma po lewej stronie zmienną stacjonarną. Statystyka testu Dickeya-Fullera jest obliczana jako, czyli analogicznie jak statystyka t-studenta. Ma jednak inny rozkład: asymetryczny i o ujemnej wartości oczekiwanej. Nie wolno więc stosować tablic rozkładu t-studenta! Tablice wartości krytycznych testu Dickeya-Fullera można znaleźć między innymi w książkach Charemzy i Deadmana [CD1], a także w pracy MacKinnona [JMK]. Sam test i jego wartości krytyczne są oczywiście uwzględnione w pakietach ekonometrycznych (takich jak PcGive, Eviews, również w GAUSSIE). Zob. darmowy program GRETL, dostępny również w języku polskim.
3 Sposób przeprowadzenia testu: Obliczoną wartość statystyki Dickeya-Fullera porównujemy z odczytaną z tablic wartością krytyczną dla odpowiedniej liczby obserwacji i dla przyjętego poziomu istotności. Jeśli obliczona wartość jest mniejsza niż wartość krytyczna, odrzucamy hipotezę zerową na rzecz alternatywnej, oznaczającej stacjonarność badanej zmiennej. Jeśli jednak obliczona wartość statystyki DF jest większa niż wartość krytyczna, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Test ADF - ang. Augmented Dickey-Fuller Test (stąd skrót w nazwie): Test DF ma niską moc i jest wrażliwy na odstępstwa od założeń dotyczących składnika losowego, stąd konieczność modyfikacji. Jeśli składnik losowy równania (3) wykazuje autokorelację, można wykorzystać dwa sposoby: * wprowadzić odpowiednią korektę do wzoru na statystykę testu, na przykład taką jak w teście Phillipsa i Perrona [PP1] czyli polegającą na zastosowaniu estymacji gęstości spektralnej w celu uzyskania oceny błędów oszacowań odpornej na autokorelację i heteroskedastyczność o nieznanej postaci; * uzupełnić równanie regresji o dodatkowe składniki, co powoduje eliminację autokorelacji. Ta druga metoda prowadzi do tzw. rozszerzonego testu Dickeya-Fullera, od nazwy angielskiej zwanego w skrócie testem ADF. Szacujemy regresję postaci y t y k y t 1 j t j t (4) j 1 i obliczoną podobnie jak poprzednio na podstawie oceny parametru porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic. statystykę Dygresja: Problemy z testowaniem niestacjonarności: Testy DF mają niską moc (por. np. Enders [E1], Mills [M2]). Opracowano rozmaite warianty testów sprawdzających niestacjonarność zmiennych, większość jest uogólnieniem lub modyfikacją testów DF, jednak część jest konstruowana w inny sposób (por. przegląd testów w [S1]). Inny problem jest związany z tym, że wnioskowanie na podstawie testu DF może być błędne, jeśli w rzeczywistości zmienna jest stacjonarna względem trendu liniowego, ale występuje zmiana strukturalna (przesunięcie wywołane zmianą wyrazu wolnego, lub zmiana nachylenia trendu por. Perron [PE1, PE2] lub Mills [M2]). Aby zaradzić niskiej mocy testów pierwiastka jednostkowego, opracowano kilka testów, w których hipoteza zerowa zakłada stacjonarność badanej zmiennej. Jednym z nich jest test KPSS - Kwiatkowskiego, Phillipsa, Schmidta i Shina. Testy tego typu są mniej liczne niż testy pierwiastka jednostkowego i również niepozbawione wad.
4 Kointegracja zmiennych: Jeśli zmienne występujące w modelu są niestacjonarne, ale istnieje ich kombinacja liniowa, która jest stacjonarna, mówimy, że są one skointegrowane. Dyskusja zależności między istnieniem relacji kointegrującej a równowagą długookresową: Niestacjonarność jest typową cechą zmiennych makroekonomicznych i finansowych. Jeśli wiemy, że opisywany modelem wycinek gospodarki jest w stanie ekonomicznej równowagi stabilnej, to można dla niego skonstruować model z relacją kointegrującą. Pierwsza, najprostsza metoda testowania kointegracji została opisana przez Engle'a i Grangera (zob. artykuł w Econometrice z 1987 roku). Załóżmy, że zmienne Y, X 1, X 2,...,X k są wszystkie zintegrowane stopnia 1 i podejrzewamy, że mogą być skointegrowane. Idea metody Engle'a-Grangera polega na tym, żeby 1. oszacować metodą najmniejszych kwadratów równanie regresji zmiennej Y względem zmiennych X i, i=1,2,...,k: y t = b 1 x 1t + b 2 x 2t +...+ b k x kt + t 2. do reszt e t tej regresji zastosować test Dickeya Fullera (lub test ADF). Hipoteza zerowa: reszty e t są niestacjonarne, oznacza, że wektor [1, βˆ ] otrzymany na podstawie ocen parametrów regresji, nie jest wektorem kointegrującym dla zmiennych Y, X 1, X 2,...,X k. Hipoteza alternatywna: reszty e t są stacjonarne, oznacza, że zmienne Y, X 1, X 2,...,X k są skointegrowane, a wektor [1, βˆ ] jest dla nich wektorem kointegrującym. Zaletą metody Engle'a-Grangera jest jej prostota. Wadą jest to, że a) nie mamy pewności, że oszacowania parametrów regresji rzeczywiście wyznaczą nam wektor kointegrujący dla badanych zmiennych, b) nawet jeśli tak się stanie, otrzymany wektor kointegrujący może być jednym z możliwych wektorów (tzn. będzie elementem przestrzeni kointegrującej, czyli podprzestrzeni liniowej generowanej przez wszystkie możliwe wektory kointegrujące). Nie znamy liczby wszystkich takich liniowo niezależnych wektorów kointegrujących dla badanych zmiennych. Lepsza jest metoda Johansena. Po pierwsze, pozwala na przetestowanie liczby (liniowo niezależnych) wektorów kointegrujących dla danego zestawu zmiennych, po drugie, jeśli wektory kointegrujące istnieją, w metodzie Johansena otrzymujemy wszystkie takie wektory.
5 Zadanie. Analizując związek między zmienną y i zmienną x pewien ekonometryk oszacował metodą najmniejszych kwadratów następujące równanie regresji na podstawie 25 obserwacji rocznych. (Dane wyrażone są w ujęciu realnym i w logarytmach.) yt 0,858xt ut, (5,31) R 2 = 0,80; ADF(x) = 1,75; ADF(y) = 2,55; ADF(x) = 3,58. W nawiasie podano wartość statystyki t-studenta, ADF jest wartością rozszerzonego testu Dickeya-Fullera dla odpowiedniej zmiennej. Na podstawie powyższych wyników stwierdzić, czy: (a) szeregi m i y są zintegrowane tego samego stopnia? (b) Szeregi m i y są skointegrowane? Rozwiązanie: Wartość krytyczna statystyki testu ADF jest równa 2,8. Obliczone wartości statystyki tego testu dla obu badanych zmiennych mają wartość większą niż wartość krytyczna, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o ich niestacjonarności. Statystyka testu ADF dla reszt regresji oszacowanej metodą najmniejszych kwadratów jest mniejsza niż wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,05. Hipotezę zerową o niestacjonarności reszt odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej o ich stacjonarności. Oznacza to, że zmienne x oraz y są skointegrowane, a wektor [1, 0,858] jest dla nich wektorem kointegrującym.
6 Literatura uzupełniająca [CD] Charemza, W.W. i D.F. Deadman, Nowa ekonometria, PWE, Warszawa 1997. [DF1] Dickey, D.A i W.A. Fuller, Distributions of the estimators for autoregressive time series with a unit root, Journal of the American Statistical Association, 74, 1979, str. 427 431. [DF2] Dickey, D.A i W.A. Fuller, Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root, Econometrica, 49, 1981, str. 1057 1072. [E1] Enders, W., Applied Econometric Time Series, J. Wiley, New York, 1995. [JMK] MacKinnon, J.G., Critical values for cointegration tests, w pracy: R.F. Engle i C.W.J. Granger (red.), Long-run Economic Relationships, Oxford University Press, Oxford. [M2] Mills, T.C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. [PE1] Perron, P., The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis, Econometrica, 57, 1989, str. 1361 1401. [PE2] Perron, P., Testing for a Unit Root in a Time Series with a Changing Mean, Journal of Business and Economic Statistics, 8, 1990, str. 153 162. [PP1] Phillips, P.C.B. i P. Perron, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, 75, 1988, str. 335 346. [S1] Syczewska, E.M., Analiza relacji długookresowych: estymacja i weryfikacja, Oficyna Wydawnicza SGH. [S2] Syczewska, E.M., Niestacjonarność nominalnego i realnego kursu wymiany dla danych sezonowych, Bank i Kredyt, 2002. [AW] Welfe, A., Ekonometria. Metody i ich zastosowanie, wyd. 2, PWE Warszawa 1998.