Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do jedynki i taki, że dla wszystkich. Bez uszczerbku dla ogólności rozważań, możemy przyjąć, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji, zamiast obliczać (1) musimy znaleźć (2) Będziemy zatem przekształcać powyższe wyrażenie: (3) Ponieważ, więc otrzymujemy następującą wartość granicy: (4) O ciągu nie zakładaliśmy nic ponad to, że jest zbieżny do jedynki, więc, na mocy definicji Heinego, taką samą wartość ma granica (1). Zadanie 2 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (5) Należy skorzystać z faktu, iż (6)
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 2 Weźmy dowolny ciąg i dobierzmy ciąg liczb naturalnych taki, że oraz (7) Dla dowolnych liczb spełniających zachodzą nierówności: (8) Podobnie dla liczb spełniających mamy: (9) W efekcie uzyskujemy układ nierówności: (10) Wykorzystamy je poniżej podstawiając:, oraz : (11) Ale:, co pozwala nam przepisać (11) w formie: (12) Skorzystamy teraz z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu wykażemy, że zarówno ciąg po lewej jak i po prawej stronie zbiega do. Ponieważ, więc (13) O ciągu wiemy, że zbieżny jest do liczby, co z definicji oznacza, iż (14) Biorąc otrzymujemy wniosek, iż istnieje takie, że a zatem: (15) Przechodząc teraz w (12) z do nieskończoności otrzymujemy wniosek, że także (16) Na mocy definicji Heinego wnosimy stąd, iż (17) Z kolei dla możemy przekształcić nasze wyrażenie w następujący sposób: (18) i po podstawieniu oraz skorzystaniu z (17), otrzymujemy:
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 3 (19) Zadanie 3 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (20) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do zera. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla dowolnego mamy:, a zatem funkcja tangens jest dobrze określona. Jak wiemy, zgodnie z definicją Heine'go, w miejsce (20) obliczyć należy: (21) Wyrażenie pod znakiem granicy przekształcimy w następujacy sposób: (22) gdzie wykorzystaliśmy wzory: (23) Prawa strona (22) dąży do, gdyż (to samo oczywiście dotyczy ), co łatwo wykazać posługując się oszacowaniem: (24) Na mocy definicji Heinego widzimy więc, że (25) Zadanie 4 Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (20) z poprzedniego zadania równa jest. Należy oszacować wyrażenie: (26)
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 4 Wykorzystując przekształcenia poprzedniego zadania, a w szczególności końcowe wyrażenie w (22) możemy napisać: (27) Możemy przyjąć, że w interesującym nas obszarze zmienności (tj. małe i ) zachodzi: (28) Wiemy bowiem z (24), że dla bliskich zeru spełnione są nierówności: (29) W konsekwencji: (30) Jeśli teraz - zgodnie z definicją Cauchy'ego - wziąć dowolnie małe, to zawsze możemy dobrać na przykład w następujący sposób: i nierówność pociągnie za sobą: (31) co kończy dowód. Zadanie 5 Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (32) równa jest. Należy oszacować wyrażenie: (33) Wybierzmy dowolne i zażądajmy aby (ale ), gdzie za chwilę odpowiednio dobierzemy. Znajdziemy górne ograniczenie na wyrażenie (33) przepisując je w formie: (34) Jeśli teraz wybierzemy, to otrzymamy oczekiwany wynik:
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 5 (35) z którego wynika, że granica (32) rzeczywiście równa jest. Zadanie 6 Zbadać, czy istnieje granica: (36) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw: (37) Następnie: (38) Jak widzimy, granice jednostronne istnieją, ale są różne: (39) skąd wynika, że granica (36) nie istnieje. Zadanie 7 Zbadać, czy istnieje granica: (40) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw: (41) Podobnie: (42) Jak widać, granice jednostronne istnieją, ale są różne: (43) czyli granica (40) nie istnieje.
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 6 Zadanie 8 Zbadać, czy istnieje granica: (44) gdzie (45) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw prawostronną granicę funkcji : (46) gdzie wykorzystaliśmy pierwszy z wzorów (23). Granicę lewostronną znajdziemy w podobny sposób: (47) gdzie tym razem skorzystaliśmy z faktu, że (48) Ponieważ granice lewo- i prawostronna są różne, więc granica (44) nie istnieje. Zadanie 9 Znaleźć granicę: (49) W argumencie funkcji sinus należy wydzielić czynnik. Najpierw przekształcimy argument sinusa pisząc: (50) Ułamek ma dla granicę równą, czyli różną od zera. Wykorzystamy to pisząc:
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 7 (51) Skorzystaliśmy przy tym z faktu, że (52) oraz (53) gdzie w pierwszym przypadku podstawiliśmy, a w drugim. Zadanie 10 Znaleźć granicę: (54) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Wyrażenie można przepisać w postaci: (55) Teraz wykorzystamy wzór: (56) Kładąc mamy: (57) i, po wstawieniu do (55), uzyskujemy wynik końcowy: (58)
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 8 Zadanie 11 Zbadać, dla jakiej wartości parametrów istnieje granica: (59) i równa jest. Należy doprowadzić wyrażenie do postaci ilorazowej. Rozpatrywana granica ma charakter. Aby więc wynik był skończony, to na pewno musi zachodzić:. Wyrażenie pod znakiem granicy przepiszemy w postaci ilorazu, mnożąc je i dzieląc przez ten sam czynnik: (60) Istnienie granicy z powyższego wyrażenia wymaga, aby i, czyli. Ponadto aby (61) musimy mieć, czyli.
Źródła i autorzy artykułu 9 Źródła i autorzy artykułu Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=13023 Autorzy: Torado Licencja Attribution-Share Alike 3.0 PL http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl