Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Sygnatura arytmetyki: Dwuargumentowe symbole funkcyjne + i Jednoargumentowy symbol funkcyjny s Symbol staªej 0 Standardowy model arytmetyki to struktura N = N, +,, 0, s ze zwykªymi operacjami arytmetycznymi. Zbiór Th(N) wszystkich zda«prawdziwych w N to arytmetyka zupeªna.
Modele niestandardowe Fakt Dla dowolnej mocy m ℵ 0 istnieje niestandardowy model arytmetyki mocy m, tj. struktura mocy m M = M,,, 0, S która jest elementarnie równowa»na N ale nieizomorczna z N. Dowód: Na mocy Tw. Skolema-Löwenheima.
β-funkcja Gödla Lemat o β-funkcji, Gödel Istnieje funkcja β : N N N N taka,»e: Dla ka»dego ci gu ā = a 0,..., a r liczb naturalnych istniej liczby naturalne t, p takie,»e dla ka»dego 0 i r zachodzi β(t, p, i) = a i. Istnieje formuªa arytmetyki χ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) taka, ¹e (N, x 1 : t, x 2 : p, x 3 : i, x 4 : a) = χ wtw, gdy β(t, p, i) = a.
Funkcje deniowalne w N Twierdzenie (Gödel) Dla dowolnej cz ±ciowej funkcji obliczalnej f : N k N istnieje taka formuªa ϕ,»e (N, x 1 : n 1,..., x k : n k, y : m) = ϕ wtw, gdy f (n 1,..., n k ) = m
Nierozstrzygalno± Th(N) Twierdzenie Dowód: Teoria Th(N) jest nierozstrzygalna Ani zbiór Th(N), ani jego dopeªnienie nie s cz ±ciwo rozstrzygalne Dla dowolnego rekurencyjnie przeliczalnego A N istnieje ϕ(x) t.»e Zatem (N, x : n) = ϕ wtw, gdy n A ϕ(n) Th(N) wtw, gdy n A gdzie n to s n (0). St d rozstrzygalno± Th(N) implikowaªaby rozstrzygalno± problemu stopu.
Dowód, cz ± druga Nast puj cy problem A nie jest cz ±ciowo rozstrzygalny i jego dopeªnienie nie jest cz ±ciowo rozstrzygalne: Dane: Kod maszyny Turinga M Pytanie: Czy M zatrzymuje si dla ka»dego sªowa wej±ciowego? Ten problem mo»na wyrazi w arytmetyce: Dla ka»dego sªowa w istnieje kod obliczenia akceptuj cego to sªowo. Zbiór A jest deniowalny formuª arytmetyki Teoria Th(N) musi by co najmniej tak skomplikowana jak A.
Arytmetyka Peano PA Aksjomaty PA: x y (s(x) = s(y) x = y); x (s(x) = 0) x (x + 0 = x); x y (x + s(y) = s(x + y)); x (x 0 = 0); x y (x s(y) = (x y) + x); x (ϕ(x) ϕ(s(x))) (ϕ(0) x ϕ(x)), N = PA.
Twierdzenie Gödla o niezupeªno±ci Kiedy± przypuszczano,»e PA jest teori zupeªn : Th(N) = {ϕ PA H ϕ} Twierdzenie Gödla o niezupeªno±ci Istnieje takie zdanie Z w j zyku arytmetyki,»e PA H Z i PA H Z. Dowód: Zbiór aksjomatów PA jest rekurencyjny Zbiór wszystkich twierdze«teorii PA jest cz ±ciowo rozstrzygalny Th(N) nie jest cz ±ciwo rozstrzygalne Zatem te dwa zbiory s ró»ne
Twierdzenie Gödla o niezupeªno±ci Twierdzenie Gödla dziaªa dla ka»dego zbioru aksjomatów, który jest: niesprzeczny cz ±ciowo rekurencyjny zawiera PA
Oryginalny dowód Gödla Numerujemy wszystkie symbole j zyka arytmetyki: Symbol: 0 s + = ( ) Numer: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U»ywaj c β-funkcji mo»emy operowa termami, formuªami, dowodami, jako ci gami liczb. α i formuªa o numerze i.
Oryginalny dowód Gödla Niech ϕ(x) taka formuªa,»e N = ϕ(n) wtw, gdy n to numer formuªy o jednej zmiennej wolnej Niech σ(x, y) taka formuªa,»e N = σ(n, m) wtw, gdy gdy m jest numerem formuªy α(x) o jednej zmiennej wolnej, n jest numerem zdania α(m). W skrócie: N = σ(n, m) wtw, gdy n jest numerem zdania α m (m)
Dygresja: Twierdzenie Tarskiego o niewyra»alno±ci prawdy Nie istnieje formuªa π(x) speªniaj ca N = π(n) wtw, gdy n jest numerem zdania prawdziwego w N Dowód: Przypu± my,»e π(x) istnieje. Wyra»amy paradoks kªamcy. Niech τ(x) to y (σ(y, x) π(y)) Wówczas N = τ(n) wtw, gdy, gdy n jest numerem formuªy α(x) o jednej zmiennej wolnej, α(n) jest faªszywe w N.
Dygresja: Twierdzenie Tarskiego o niewyra»alno±ci prawdy cd Formuªa τ(x) te» ma numer, powiedzmy,»e k. N = τ(k) wtw, gdy N = α k (k) α k (k) to wªa±nie formuªa τ(k). A zatem: N = τ(k) wtw, gdy N = τ(k) Zdanie τ(k) stwierdza Ja jestem faªszywe
Tarskiego rozstrzygni cie paradoksu kªamcy Poj cie zdania prawdziwego jest niewyra»alne w j zyku polskim.
Oryginalny dowód Gödla cd Post pujemy jak poprzednio, u»ywaj c formuªy π (x) o wªasno±ci N = π (n) wtw, gdy n jest numerem zdania dowodliwego w PA Otrzymujemy N = τ(k) wtw, gdy PA H τ(k) Niech Z to τ(k). Je±li PA H Z to N = Z Je±li PA H Z, to z jednej strony N = Z, a z drugiej N = Z
Drugie twierdzenie o niezupeªno±ci Gödla Niech: m to numer zdania 0 = s(0) Con oznacza π (m). Otrzymujemy PA H Con Z Wniosek PA H Con.