Wydział Fizyi UW (wersja instrucji 04.04a) Pracownia fizyczna i eletroniczna dla Inżynierii Nanostrutur oraz Energetyi i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 6 Elementy testowania hipotez (z błędami złożonymi) oraz statystycznej analizy wyniów, - propagacja małych błędów - test zgodności 3-sigma - histogram rozładu statystycznego parametrów serii diod. Cel Celem części (a) ćwiczenia jest zastosowanie metod rachunu błędów do wyznaczania błędów złożonych w przypadu, gdy zależność wyniu jest dowolną znaną funcją mierzonych wielości. Metoda propagacji małych błędów będzie zastosowana przy testowaniu zgodności hipotez metodą testu 3-sigma. Metoda propagacji małych błędów jest rozszerzeniem metody szacowania błędu złożonego poznanej w ćwiczeniu C jedynie dla sumy i różnicy wielości mierzonych. Celem części (b) ćwiczenia jest zbadanie statystycznego rozładu wartości napięcia przewodzenia U p dla diody półprzewodniowej w warunach stałego prądu dla długiej serii nominalnie identycznych diod. Poprawne wyonanie zadania wymaga starannego i szczegółowego zbadania efetów systematycznych związanych z doładnością przyrządów i metodą pomiarową. Wynii przedstawione zostaną na histogramie, tóry będzie następnie porównany z rozładem Gaussa o parametrach (wartości średniej i dyspersji) wyznaczonych z pomiarów serii diod. Przypomnienie. Propagacja małych błędów W ćwiczeniu C poznaliśmy zasadę obliczania niepewności dla sumy lub różnicy dwu niezależnie mierzonych wielości, tóra była następująca. Jeśli znane są wartości mierzone i ich niepewności x0 ± σ x oraz y0 ± σ y, to niepewność sumy x 0 + y0 lub różnicy x0 y0 wynosi σ = σ x + σ y, jeśli niepewności wielości mierzonych możemy tratować jao niezależne. Uogólnienie tego wzoru na dowolną funcję wielości mierzonych x oraz y daną wzorem z = f ( x, y) ma następującą postać: f f σ z σ = x + σ y, x x0, y y 0 x0, y0 i wyni wyznaczenia wartości funcji f wynosi: f ( x0, y0) ± σ z. I analogicznie dla więszej ilości zmiennych. Taa metoda obliczania niepewności pomiaru nosi nazwę metody propagacji małych błędów.. Test zgodności 3 σ Test 3 σ jest jedną z metod sprawdzania hipotez. otyczy sprawdzenia zgodności wyniów doświadczeń z przewidywaniami teoretycznymi lub sprawdzania wzajemnej zgodności wyniów różnych pomiarów. Test 3σ, spotyany w dwóch typach zagadnień:
Hipoteza teoretyczna głosi, że wielość mierzona ma wartość µ. Wyni pomiaru x tej wielości jest oreślony z dyspersją (niepewnością pomiaru) σ, gdzie σ jest pierwiastiem wadratowym z wariancji σ. Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy wartość x µ i sprawdzamy, ja uzysana wartość ma się do wartości 3σ. Jeśli x µ > 3σ, to odrzucamy hipotezę teoretyczną o wartości µ wielości mierzonej. Jeśli zaś x µ 3σ, to onludujemy, że hipoteza ta nie jest sprzeczna z danymi z pomiaru. Hipoteza teoretyczna głosi, że dwa pomiary uzysane różnymi metodami (w różnych warunach) dają tą samą wartość. Niech wyni x uzysany jedną metodą będzie oreślony z dyspersją σ x, zaś wyni y uzysany drugą metodą będzie oreślony z dyspersją σ y. Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy wartość x y i sprawdzamy, ja wartość ta ma się do wartości 3σ, gdzie σ = σ + σ. Jeśli x y x y > 3σ, to odrzucamy hipotezę, że oba pomiary dają tę samą wartość. Jeśli zaś spełniony jest warune x y 3σ, to onludujemy, że hipoteza ta nie jest sprzeczna z danymi. Przypominamy, że w przypadu, gdy test 3σ nie odrzuca hipotezy, nie oznacza to, że udowodniliśmy jej słuszność, a jedynie godzimy się z nią, gdyż nie jest sprzeczna z danymi z pomiaru. Jeśli pomiary opisywane się rozładem Gaussa, to testowi można nadać interpretację probabilistyczną: dopuszczamy odrzucenie prawdziwej hipotezy nie częściej niż 3 razy na 000 decyzji. Zastąpienie testu 3σ analogicznym testem σ oznacza odrzucanie prawdziwej hipotezy nie częściej niż raz na 0 decyzji. 3. Niepewności pomiarowe miernia uniwersalnego Brymen 805. Mierni uniwersalny Brymen 805 charateryzują następujące parametry dotyczące pomiarów natężenia prądu stałego, napięcia stałego i oporności (w temperaturze 3ºC ± 5ºC, wilgotności względnej poniżej 75% i miejscu użycia poniżej 000 m nad poziomem morza wpływ ciśnienia): Natężenie prądu stałego (C) zares amperomierza oładność: w + nc Oporność wejściowa 400,0 µa,0% + 5c 50 Ω 4000 µa,% + 3c 50 Ω 40,00 ma,0% + 5c 3,3 Ω 400,0 ma,% + 3c 3,3 Ω 4,000 A,0% + 5c 0,03 Ω 0,00 A,% + 3c 0,03 Ω Napięcie stałe (C) zares woltomierza oładność: w + nc Oporność wejściowa 400,0 mv 0,3% + 4c GΩ 4,000 V; 40,00 V; 400,0 V 0,5% + 3c 0 MΩ 000 V,0% + 4c 0 MΩ
Oporność zares omomierza oładność: w + nc 400,0 Ω 0,8% + 6c 4,000 Ω; 40,00 Ω; 400,0 Ω 0,6% + 4c 4,000 MΩ,0% + 4c 40,00 MΩ,0% + 4c Tabela. opuszczalny błąd graniczny wsazań miernia uniwersalnego Brymen 805. Zares pomiarowy miernia rozpoznajemy po formacie liczbowym wyświetlanego wyniu. Przypominamy: dopuszczalny błąd graniczny wsazania miernia na danym zaresie pomiarowym wyznacza się na podstawie wzoru: w = x + nc, 00 gdzie poszczególne wielości oznaczają: w doładność wsazanej wartości x wyrażona jao ułame wartości zmierzonej na wybranym zaresie pomiarowym (w tabeli powyżej uazana w formie procentu odczytu). Przyład. Jeśli producent podaje doładność w = 0,5% na wybranym zaresie pomiarowym, to dla wsazania 30,00 V wyniesie ona 30,00 V 0,005 = 0,5 V. nc doładność cyfrowa oreślana jao liczba n najmniej znaczących jednoste c odczytu zależy ona od wybranego zaresu pomiarowego i jaości przetwornia A/C, a nie zależy od wartości uzysanej w pomiarze. Przyład. Jeśli producent podaje, że na zaresie pomiarowym 40,00 V C doładność wynosi 3c, to znaczy, że wartość doładna może się różnić masymalnie dodatowo o ± 0,03 V od odczytanej wartości. Sumując obie wartości otrzymamy dopuszczalny błąd graniczny pomiaru przy wsazaniu 30 V równą: = 0,5V + 0,03V = 0,8 V (co stanowi 0,6%) dla zaresu 40,00 V C. Wyonując analogiczne obliczenia dla tej samej wartości mierzonej na niewłaściwie dobranym zaresie 400,0 V C, przy tych samych parametrach doładności, otrzymamy dopuszczalny błąd graniczny: = 0,5 V + 0,3 V = 0,45 V, co stanowi,5% wartości. Zestaw doświadczalny do dyspozycji Częśc (a): - płyta pomiarowa do badania diody (z lutowaniem) - zestaw 5 oporniów o wartościach iloomowych, w tym oporni Ω, - zasilacz stałego napięcia, - mierni uniwersalny Brymen 805, - acesoria pomocnicze: able łączeniowe, chwytai pomiarowe, cyna i olba lutowniczą. Częśc (b) - dodatowo zestaw 00 diod eletroluminescencyjnych (LE) (wspólny z innymi zespołami w sali) 3
Część (a) Zadanie. Niepewność napięcia wyjściowego w dzielniu napięć. W uładzie dzielnia napięć, gdzie w obwodzie wejściowym znajdują się połączone szeregowo opornii R i r, napięcie wyjściowe jest pobierane z opornia r. Znając niepewności napięcia wejściowego σ Uwe oraz niepewności oporności σ R i σ r wyprowadź wzór na niepewność napięcia wyjściowego σuwy stosując metodę propagacji małych błędów. r Napięcie wyjściowe dzielnia jest wyznaczone wzorem: U wy = U we R + r Wyprowadzenie wzoru na niepewność jest do wyonania w domu przed ćwiczeniami. Podczas ćwiczeń zbuduj uład dzielnia napięcia z dwu wybranych oporniów, wcześniej zmierz te opornii omomierzem ja najdoładniej oraz wyznacz niepewności pomiaru oporności. Ustaw na zasilaczu napięcie z przedziału 3-6V oraz zmierz je ja najdoładniej i wyznacz niepewność jego pomiaru. Zmierz napięcie wyjściowe U ze zbudowanego zmierzone wy dzielnia. Sprawdź przy użyciu testu hipotez 3 σ czy otrzymane wartości napięcia zmierzone wyjściowego obliczonego ± σ i zmierzonego U ± σ są ze sobą obliczone U wy obl zgodne. Oblicz też moc wydzielaną na oporniu r i niepewność tej wartości dla użytych wartości oporności i napięcia wejściowego orzystając z propagacji małych błędów. wy zm Zadanie. Przy łączeniu równoległym oporniów oporność wypadowa jest oreślona wzorem: R = + wyp R R. Oblicz z tego wzoru, orzystając z metody propagacji małych błędów, jaa jest niepewność oporności wypadowej znając niepewności wartości R i R. Wyprowadzenie wzoru na niepewność jest do wyonania w domu przed ćwiczeniami. Wybierz z zestawu oporniów dwa dowolne opornii, zmierz ja najdoładniej ich wartości oraz wyznacz niepewności ich pomiaru. Następnie połącz opornii równolegle i zmierz oporność wypadową oraz wyznacz niepewność pomiaru. Sprawdź przy użyciu testu 3 σ czy wartości oporności wypadowej obliczona i zmierzona są ze sobą zgodne. Zadanie 3. zielni napięcia z diodą LE. W dzielniu napięć wlutuj jao oporni wejściowy R oporni Ω oraz zastąp oporni wyjściowy r diodą LE włączoną w ierunu przewodzenia. Wiedząc, że napięcie przewodzenia dla diody LE świecącej w olorze czerwonym (wyonanej z GaAsP, typ diody L-53IT lub LI-53LI firmy Kingbright) wynosi:.7 V przy prądzie diody ma, dla opornia R= Ω dobierz przez obliczenie taie napięcie z zasilacza, aby prąd diody wynosił ± 0. ma. o oceny napięcia z zasilacza spełniającego ten warune przyjmij, że napięcie panujące na diodzie LE gdy płynie przez nią prąd ma jest równe powyższej wartości napięcia przewodzenia. Najpierw wyonaj obliczenia napięcia z zasilacza, potem zbuduj uład i dopiero włącz napięcie w zasilaczu. 4
Nie należy: () podłączać diody bezpośrednio (tj. bez opornia) do zasilacza, () podłączać diody do wyższego napięcia niż 5V w ierunu zaporowym, gdyż może spowodować to zniszczenie diody. Przepuszczenie przez diodę LE prądu o natężeniu zbyt dużym (dopuszczalne oreślane przez producenta diody LE typu L-53IT lub LI-53LI masymalne natężenie prądu w ierunu przewodzenia wynosi 30mA) powoduje zniszczenie diody. Zmierz amperomierzem ja najdoładniej jaie natężenie prądu płynie przez diodę oraz wyznacz niepewność zmierzonej wartości, pomiar wyonaj na zaresie amperomierza 40.00 ma (na tym zaresie omomierz ma małą oporność wejściową). Zmierz taże ja najdoładniej wartość napięcia panującego na diodzie i wyznacz jego niepewność. Czy obliczenia załadające, że na diodzie panuje napięcie równe napięciu przewodzenia było poprawne? Załadamy słuszność dla badanej diody LE wzoru diodowego Shocley a e U M T I = I0 e, gdzie U napięcie panujące na diodzie, w wyładniu wartość e to T ładune elementarny, = R/N A to stała Boltzmanna, wartość = 5 mv dla temperatury e poojowej o C, I 0 to prąd wsteczny nasycenia diody, M to współczynni nieidealności diody, o tórym załadamy, że wynosi w przybliżeniu.3. Oblicz wartość prądu wstecznego nasycenia I 0 diody LE na podstawie zmierzonych wartości prądu diody i napięcia na diodzie. Wyznacz niepewność obliczonej wartości prądu I 0. W niepewności uwzględnij również niepewność współczynnia nieidealności diody, załadamy, że M =.3± 0.3. Oreśl tóra z niepewności uwzględnionych wielości ma najwięszy wpływ na niepewność wyznaczonej wartości I 0. Wzór na niepewność wartości I 0 wyprowadź w domu przed ćwiczeniami. Częśc (b) WSTĘP Celem tej części ćwiczenia jest zbadanie rozładu wartości napięcia przewodzenia U p w warunach stałego prądu dla długiej serii nominalnie identycznych diod. Poprawne wyonanie zadania wymaga starannego i szczegółowego zbadania efetów systematycznych związanych z doładnością przyrządów i metodą pomiarową. Pomiaru napięcia doonuje się za pomocą uładu zbudowanego z opornia wzorcowego oraz diody. Uład zasilany jest stałym napięciem. Uład jest zbudowany wg schematu z rysunu (źródłem napięcia U Z jest zasilacz napięcia stałego). U Z R U V Rys.. Uład do pomiaru napięcia przewodzenia diody. 5
Zależność napięcia U od natężenia, I, dla diody dana jest wzorem: = BT I U ln + () e I 0 Napięcie na diodzie jest rzędu V. Tymczasem wartość B T/e w temperaturze poojowej wynosi ooło 0.05 V. Jeżeli w uładzie nastąpi zmiana prądu np. z ma na. ma, to napięcie zmieni się o 0.005 V, czyli bardzo nieznacznie. W tej sytuacji możemy przyjąć przybliżenie, że napięcie na diodzie jest pratycznie stałe. Ponieważ napięcie zasilania też jest stałe, możemy przyjąć, że na oporniu jest stałe napięcie U Z -U i płynie przez niego stały prąd I = (U Z -U )/R. Wyonanie pomiarów POMIARY. Montowanie uładu wymaga lutowania jego elementów szczegółowe wsazówi dotyczące lutowania otrzymasz na początu zajęć. Badane diody umieszczaj w zacisach na płytce montażowej. o pomiaru napięcia na diodzie U użyj abli zaończonych wtyczami bananowymi z chwytaami, tórymi należy chwycić przylutowane do płyti przewody.. Przy odłączonych ablach zasilania zmierz ja najdoładniej, za pomocą multimetru cyfrowego, wartość R oporności opornia referencyjnego o wartości ooło Ω. Czy wsazania miernia flutuują w czasie? Co to oznacza? Odnotuj zares, na tórym wyonałaś/wyonałeś pomiar. 3. Za pomocą abli zaończonych wtyczami bananowymi zasilaj uład napięciem stałym o wartości poniżej 5 V. Zmierz tą wartość multimetrem ja najdoładniej. Nie zmieniaj wartości napięcia z zasilacza w ciągu pomiarów całej serii diod. 4. Zmieniając olejno diody w zacisach, mierz napięcia U. Czy wsazania miernia zmieniają się w czasie? Co to oznacza z puntu widzenia niepewności pomiaru? 5. UWAGA. Zwróć uwagę, że po wyjęciu badanej diody z uładu, woltomierz mierzy wartość U Z - napięcia zasilania. 6. Zanotuj wartości U orzystając z tabeli poniżej. Pisząc raport oblicz też prąd diody I. Tabela Arusz pomiarowy nr pomiaru... 00 napięcie U [V] niepewność U [V] Prąd (U Z -U )/R [A] Niepewność I [A] 7. Z wyniów pomiarów wartości U będzie sporządzany histogram. Histogram to wyres słupowy zmiennej mierzonej U poazujący np. ilość pomiarów (liczebność) w przedziałach wartości U o szeroości zwanej szeroością przedziałów histogramowania (ang. : bin size, np. we własnościach histogramu w programie Scidavis). Zasady wyonywania histogramu są podane na ońcu tej instrucji. Na histogramach można przedstawiać liczebności przedziałów, częstości występowania wartości z przedziałów lub gęstości (opis poniżej). Należy sporządzić histogram liczebności wyniów pomiarów napięcia przewodzenia diod U dla ooło 7- przedziałów wartości przyjmowanych przez U. Histogram można rysować w aruszu alulacyjnym programu Excel, Open Calc lub w programie Scidavis (z menu wybrać Plot Statistical Graphs Histogram). 6
METOY ANALIZY ANYCH Celem zadań rachunowych rozważanych poniżej jest opanowanie i zrozumienie metod analizy rozładów wyniów doświadczalnych. Wynii napięć U z Tabeli zostaną przedstawione na histogramie. Uzysany rozład wartości U zostanie porównany na wyresie z rozładem Gaussa wyreślonym dla parametrów: µ = U (wartość średnia zmierzonych wartości U ) oraz niepewności pojedynczego pomiaru σ = s U. Opis metody sporządzania histogramu znajduje się w ońcowej części tej instrucji. Wzory, z tórych orzystamy w obliczeniach: N n - wartość średnia z serii N pomiarów U i : U = Ui nu[ ] = U, N i= N = gdzie =... n numeruje n przedziałów histogramowania, U [] oznacza wartość środową napięcia w -tym przedziale histogramowania, n oznacza ilość wartości w -tym przedziale histogramowania (liczebność przedziału), przy czym ilość wszystich pomiarów n N = n jest równa sumie liczebności wszystich przedziałów histogramowania, = - wartość niepewności pojedynczego pomiaru (tóra taże może być liczona z liczebności i wartości średniej w przedziałach histogramowania): N n ( ) ( [ ] ) su = Ui U n U U = sɶ U N N i= = Na histogramach można przedstawiać: - liczebności n w przedziałach histogramowania (ilość wyniów pomiaru wartości U mieszczących się w ażdym przedziale histogramowania = n ). Aby porównać tai histogram z gęstością prawdopodobieństwa należy gęstość prawdopodobieństwa pomnożyć przez N. n - ułame liczebności przedziału do ilości wszystich pomiarów, zwany częstością N zliczeń. Aby porównać tai histogram z gęstością prawdopodobieństwa należy gęstość pomnożyć przez - szeroość przedziału histogramowania. n - ułame zwany gęstością zliczeń. Tai histogram jest unormowany i może być N bezpośrednio porównywany z gęstością prawdopodobieństwa np. z rozładu Gaussa. PORÓWNANIE GRAFICZNE ROZKŁAU GAUSSA I OŚWIACZALNEGO Zadanie 4 Załadając, że wynii U pomiarów napięcia przewodzenia można opisać rozładem Gaussa (gęstości prawdopodobieństwa): ( U µ ) G( U ; µ, σ ) = exp, σ π σ z wartościami parametrów µ = U =.7763 V (wartość średnia) oraz σ = s U = 0.084 V (dyspersja) obliczonymi dla indywidualnych zmierzonych danych (podane tu liczby pochodzą z przyładowego pomiaru napięć przewodzenia serii diod), naszicuj ten rozład na histogramie liczebności. Sorzystaj z tabeli 3. 7
rawędź dolna przedziału histogramowania U, [V] rawędź górna przedziału histogramowania U + [V] środe przedziału U [] [V] Liczba n wyniów w przedziale (liczebność przedziału) gęstość esperymentalna n N [V ] Spodziewana ilość zliczeń w przedziale obliczona z rozładu Gaussa N ;U, = N G U [ ] su ( ) Tabela 3.7.7.74.76.78.8.8.84.7.74.76.78.8.8.84.86.7.73.75.77.79.8.83.85 suma 0 5 43 9 63 3 0 N = 6 0.5 9.95.075 4.575 3 0.5 0 0,3 3,76 33,36 7,3 7,8,4 0,03 Przypominamy wzór służący do wyznaczenia oczeiwanej liczby N pomiarów w przedziale: U + N = N G( U ; µ, σ ) du, U gdzie jest szeroością przedziału histogramowania. Najprostsza, i przybliżona, metoda obliczenia całi polega na zastąpieniu jej wyrażeniem G( U [ ]; µ, σ ) oreślającym pole powierzchni prostoąta o wysoości G( U [ ]; µ, σ ) i podstawie, gdzie U [] wyznacza środe przedziału histogramowania, a wtedy N N = N G( U ; µ, σ ). ' [ ] Jeśli chcemy wyznaczyć całę doładnie, wprowadzamy nową zmienną całowania U µ z =, σ zwaną standaryzowaną i wartość N wyznaczamy za pomocą z+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N = N P z z < z = N N z dz = N F z F z, + + z z U µ U gdzie z = + µ x, z+ =, F( z) = σ σ exp dx π Wartości przydatnych całe F(z) rozładu Gaussa znajdują się w tabeli 4 na ońcu instrucji. Funcję, tórą tu całujemy: z N ( z) = exp π nazywamy standaryzowanym rozładem Gaussa. 8
ANALIZA ANYCH Z CZĘŚCI (B) POMIAR 00 IO I SPRAWOZANIE. Oblicz podstawowe statystyi opisowe: średnią arytmetyczną U, jej statystyczną niepewność standardową s i statystyczną niepewność standardową pojedynczego U pomiaru s U uzysanego zbioru wartości U.. Narysuj histogram uzysanych wartości napięcia przewodzenia diod. Na histogramie zaznacz położenie wartości średniej oraz wartości odległe o jedną statystyczną niepewność pojedynczego pomiaru na prawo i lewo od wartości średniej. Na podstawie histogramu lub orzystając bezpośrednio z danych, oceń procent liczby pomiarów mieszczących się w tym przedziale. Porównaj z wartością wyniająca z rozładu Gaussa. 3. Załadając, że zebrane wartości napięć U przedstawiają reprezentatywną próbę wylosowaną z rozładu Gaussa o parametrach oreślonych przez wartość średnią U i statystyczną niepewność pojedynczego pomiaru s U, nanieś na histogram rzywą wyniającą z rozładu Gaussa (gęstość prawdopodobieństwa rozładu Gaussa mnożoną przez N dla przypadu histogramu liczebności). 4. Wyznacz systematyczną niepewność średniej wartości U. Porównaj ją ze statystyczną niepewnością średniej s i ze statystyczną niepewnością s U U pojedynczego pomiaru. Jaie onluzje wyniają z tego porównania? 5. Stosownie zaorąglając, podaj ostateczną ocenę oczeiwanej wartości U całej zbiorowości wszystich diod wyproduowanych w partii, z tórej pobrano badaną próbę, a taże niepewność statystyczną i niepewność systematyczną tej oceny. CAŁKI ROZKŁAU GAUSSA. Tabela poniżej podaje wartość całi standaryzowanego rozładu Gaussa z x F ( z) = P ( < x z) = + exp dx, z 0 π >. 0 Z uwagi na symetrię rozładu, wartość całi dla ujemnych wartości argumentu można wyznaczyć ze związu F( z) = F(z). Poniższy rozład został policzony wyorzystując funcję ROZKLA.NORMALNY ( ) w programie Excel. 9
Tabela 4 z 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.50 0.560 0.599 0.539 0.579 0.539 0.5359 0.0 0.5398 0.5438 0.5478 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.574 0.5753 0.0 0.5793 0.583 0.587 0.590 0.5948 0.5987 0.606 0.6064 0.603 0.64 0.30 0.679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.657 0.40 0.6554 0.659 0.668 0.6664 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.7054 0.7088 0.73 0.757 0.790 0.74 0.60 0.757 0.79 0.734 0.7357 0.7389 0.74 0.7454 0.7486 0.757 0.7549 0.70 0.7580 0.76 0.764 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.785 0.80 0.788 0.790 0.7939 0.7967 0.7995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.90 0.859 0.886 0.8 0.838 0.864 0.889 0.835 0.8340 0.8365 0.8389.00 0.843 0.8438 0.846 0.8485 0.8508 0.853 0.8554 0.8577 0.8599 0.86.0 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.8749 0.8770 0.8790 0.880 0.8830.0 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.8944 0.896 0.8980 0.8997 0.905.30 0.903 0.9049 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.93 0.947 0.96 0.977.40 0.99 0.907 0.9 0.936 0.95 0.965 0.979 0.99 0.9306 0.939.50 0.933 0.9345 0.9357 0.9370 0.938 0.9394 0.9406 0.948 0.949 0.944.60 0.945 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.955 0.955 0.9535 0.9545.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.9633.80 0.964 0.9649 0.9656 0.9664 0.967 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706.90 0.973 0.979 0.976 0.973 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.976 0.9767.00 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98 0.987.0 0.98 0.986 0.9830 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857.0 0.986 0.9864 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.9884 0.9887 0.9890.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.990 0.9904 0.9906 0.9909 0.99 0.993 0.996.40 0.998 0.990 0.99 0.995 0.997 0.999 0.993 0.993 0.9934 0.9936.50 0.9938 0.9940 0.994 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.995 0.995.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.996 0.996 0.9963 0.9964.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997 0.997 0.9973 0.9974.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.998.90 0.998 0.998 0.998 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.0 0.9990 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 0
KONSTRUKCJA HISTOGRAMU KONSTRUKCJA HISTOGRAMU Przy onstruowaniu histogramu przydatne jest wyznaczenie wartości najmniejszej x min i najwięszej, x max, w próbce. Wartości te pozwalają ocenić rozpiętość histogramu. Niech symbol N oznacza liczebność próbi. Sam histogram budujemy w następujący sposób. Ustalamy dolną rawędź x {} < x min histogramu oraz szeroość i przedziałów, czyli cały zares wartości wielości histogramowanej dzielimy na przedziały: od x {} do x {} = x {} +, od x {} do x {3} = x {} +, od x {3} do x {4} = x {3} + 3 itd., aŝ do ostatniego, K-tego przedziału od wartości x {K} = x {K } + K do wartości x {K + } = x {K} + K, x {K + } x max. Następnie ustalamy, do tórego przedziału naleŝy aŝda z olejnych wartości z próbi, otrzymując liczby n i danych w aŝdym z przedziałów, zwane liczebnościami bądź rotnościami. W tracie ustalania, do tórego przedziału histogramowania naleŝy włączyć daną wartość, moŝemy natnąć się na sytuację, w tórej wartość ta wypada na granicy przedziałów, a więc moŝe zostać zalasyfiowana zarówno do tego, w tórym rozwaŝana wartość stanowi górną granicę lub teŝ do następnego przedziału obejmującego więsze wartości zmiennej histogramowanej. Najczęściej przyjmujemy onwencję, w tórej przedział histogramowania jest z lewej strony otwarty zaś z prawej domnięty, ja to sugeruje opis w poprzednim puncie. W następnym rou dla aŝdego przedziału histogramu onstruujemy częstość p i := n i /N oraz wielość f i, tórą zwiemy gęstością wielości histogramowanej (w tym przypadu: gęstością oresu drgań wahadła), a tórą definiujemy jao f i := p i / i, czyli stosune częstości p i do szeroości i przedziału histogramowania. W rezultacie otrzymujemy olejne wiersze tabeli poniŝej. przedział (x {}, x {} ] (x {}, x {3} ]... (x {K}, x {K + } ] suma rotność n n... n K N częstość p i n n n... K N N N gęstość f i [s ] n n nk... N N N ZauwaŜ, Ŝe wielości f i mają wymiar w tym przypadu jest to odwrotność jednosti czasu, w tórej wyraŝamy wynii pomiaru oresu. Spełniają one taŝe oczywisty związe K fi i =, i= czyli pola powierzchni słupów histogramu sumują się do jedność co jest definicją frazy: histogram jest unormowany do jedności. Najczęściej szeroości i przedziałów histogramowania wybieramy taie same dla aŝdego z przedziałów, co uprasza nieco obliczenia. Są jedna sytuacje (przyład poznamy w jednym z następnych ćwiczeń), iedy to zmuszeni jesteśmy wybrać je róŝnymi (a w srajnym przypadu sięgającymi niesończoności). Histogram rysujemy, reśląc słupi, o wysoości proporcjonalnej do wartości gęstości, na olejnych przedziałach zaznaczonych na osi odciętych, czyli wielości histogramowanej. Zwróć uwagę na nietóre elementy graficzne taiego rysunu. Histogram winien mieć tytuł, osie naleŝy opisać zarówno słownie, ja i symbolem, ja równieŝ podać, w nawiasach wadratowych lub orągłych, jednostę wielości występującej na osiach. Normy wymagają, aby znacznii na osiach zwrócone były u dodatnim ierunom osi, co powoduje Ŝe w przypadu, gdy reślone wielości wypadają w pierwszej ćwiartce, znacznii te wchodzą do rysunu, zaś prezentując wyres, tóry mieści się w trzeciej ćwiartce, znacznii będą wsazywać na zewnątrz treści rysunu. W odniesieniu do wszystich elementów graficznych prezentowanych w opracowaniach nauowych obowiązuje jeszcze jedna zasada: powinny być one ascetyczne w swym obliczu wszelie gradienty, tła, linie siate, trzeci wymiar i tym podobne dodati K
KONSTRUKCJA HISTOGRAMU powinny się pojawiać jedynie wtedy, gdy wyniają z istoty prezentowanej wielości lub teŝ intencją autora jest zwrócenie uwagi czytelnia na dany aspet. Z histogramami związana jest onwencja, tórej naleŝy bezwzględnie przestrzegać. OtóŜ, istnieją dwa typy wielości, tóre histogramujemy. RozwaŜmy taie wielości ja czas, masa, długość, temperatura, ciśnienie,... i sonfrontujmy je taimi wielościami, ja liczba rozpadających się jąder atomowych w zadanym przedziale czasowym, długość słowa czyli liczba liter w słowie, liczba ocze na ostce do gier planszowych, liczba galaty w wybranym ącie bryłowym,.... Te pierwsze maja tę własność, Ŝe a priori mogą przyjmować dowolną wartość, taŝe wyraŝoną liczbą niewymierną (nie moŝemy wyluczyć, Ŝe ula ma masę np. e π g), podczas gdy te drugie opisują się liczbą całowitą bądź zerem. Te pierwsze nazywamy wielościami ciągłymi, zaś o tych drugich mówimy, Ŝe przedstawiają sobą wielości dysretne. To rozróŝnienie znajduje swe odbicie na histogramie słupi histogramu wielości ciągłej zawsze rysujemy połączone ze sobą (nawet jeśli histogram przedstawia częstości, a nawet rotności), a słupi histogramu wielości dysretnej rozdzielone. Ilustrują to dwa rysuni poniŝej. Lewy przedstawia częstość wielości dysretnej liczby liter w słowach Pana Tadeusza (test poematu: Polsa Bibliotea Internetowa, http://www.pbi.edu.pl/) zaś prawy uazuje gęstość wielości ciągłej długości 9439 ziaren fasoli (S.J. Pretorius, Biometria,, (930), 0; dane za: M.G. Kendall i A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, Charles Gryffin & Co. Ltd., London, 958 zwróć uwagę, Ŝe słowo gęstość oznacz tu liczbę ziaren fasoli na przedział długości, a nie gęstość masy ziarna fasoli). częstość p i 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 Rozład długości słowa w poemacie Pan Tadeusz 3 5 7 9 3 5 liczba i liter w słowie gęstość f i [mm - ] 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Rozład długości ziarna fasoli 0 3 4 5 6 7 długośc ziarna [mm] O histogramach często mówimy, Ŝe przedstawiają sobą rozład wielości histogramowanej, np. rozład wartości zmierzonego oresu drgań. Termin ten równieŝ stosujemy, gdy ilustrujemy częstości, a nawet wtedy, gdy na histogramie uazujemy jedynie liczby danych (rotności n i ) w lasach.