Ćwiczenie nr 3 PRAWO OHMA I KIRCHHOFFA Instrukcja dla studenta - IN, EChJ (wer , na podstawie materiałów z Pracowni Wstępnej - ANiPW)

Transkrypt

1 Ćwiczenie nr 3 PRAWO OHMA I KIRCHHOFFA Instrukcja dla studenta - IN, EChJ (wer , na podstawie materiałów z Pracowni Wstępnej - ANiPW) WSTĘP Celem ćwiczenia jest doświadczalne zweryfikowanie, według zasad rachunku błędów, podstawowych praw rządzących przepływem prądu stałego w obwodach elektrycznych prawa Ohma i Kirchhoffa. Ćwiczenie zawiera rozszerzenie umiejętności posługiwania się miernikami napięcia, oporności i natężenia prądu przez poznanie dokładności, z jakimi przyrządy te pozwalają mierzyć te trzy wielkości fizyczne. Analiza wyników pomiarów opiera się na zastosowaniu testu 3- sigma (3σ). Dodatkowo mierzony będzie rozkład wartości serii nominalnie identycznych oporników i na tym przykładzie wykonany zostanie histogram z porównaniem uzyskanych wyników z rozkładem Gaussa. Zgodnie z prawem Ohma różnica potencjałów U, czyli napięcie elektryczne między dwoma końcami przewodnika, jest proporcjonalne do natężenia I prądu płynącego przez przewodnik, czyli U gdzie współczynnik proporcjonalności R zwany jest oporem lub opornością przewodnika. Jednostką oporności w układzie SI jest 1 Ohm (1 Ω). Opór jednorodnego przewodnika w kształcie drutu o jednakowym przekroju wzdłuż całej jego długości L jest proporcjonalny do długości odcinka drutu i odwrotnie proporcjonalny do pola jego przekroju poprzecznego S L 1 = RI, R = ρ. S Wielkość ρ nazywamy opornością właściwą i wyrażamy ją w jednostkach Ω m. Zależy ona od rodzaju materiału, z jakiego wykonany jest opornik i temperatury. I prawo Kirchhoffa dotyczy węzłów obwodu elektrycznego, tzn. punktów, w których zbiega się kilka przewodów. Stwierdza ono, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z niego wypływających i wynika z zasady zachowania ładunku elektrycznego: w węzłach sieci ładunek nie znika i nie gromadzi się w trakcie przepływu prądu. Dla sytuacji przedstawionej na Rysunku 1 ma ono postać: I + I = I + I + I II prawo Kirchhoffa dotyczy obwodów zamkniętych, czyli tzw. oczek. Słownie treść tego prawa można wyrazić następująco: w dowolnym obwodzie zamkniętym (oczku) algebraiczna suma sił elektromotorycznych (tj. napięć generowanych np. przez znajdujące się w obwodzie baterie lub zasilacze) jest równa sumie spadków napięć na elementach obwodu. W przypadku obwodów złożonych, II prawo Kirchhoffa stosuje się dla każdego oczka tego obwodu. Dla obwodu przedstawionego na Rysunku mamy 3 oczka: a) siła E 1 opór R 1 opór R siła E 1, b) siła E 1 opór R 1 opór R 3 siła E siła E 1, I 1 I c) siła E opór R 3 opór R siła E. Istnieje kilka technik rozwiązywania oczek, tj. R 1 R R 3 formułowania równań na nieznane prądy. Jedna z nich polega na ustaleniu kierunku przepływu prądów E 1 E w każdym z oczek, jak np. na Rysunku i wypisaniu równań Kirchhoffa dla każdego z nich. I tak, Rysunek odpowiednio dla oczek a), b) i c) otrzymujemy: I 1 I I 3 I 5 I 4 Rysunek 1

2 ( ) R I + R I + I = E, R I R I = E E ( ) R I + R I + I = E. 3 1, Przy ustalaniu znaków w wyrażeniach określających napięcie na elementach obwodu, stosujemy się do wybranego kierunku przepływu prądu jeśli przejście przez element jest zgodne z wybranym kierunkiem przepływu prądu, stawiamy znak +, a jeśli przeciwne, to znak.widzimy jednak, że drugie równanie otrzymujemy przez odejmowanie stronami równania trzeciego od pierwszego, a więc jest liniowo od nich zależne. Rozwiązując równania liniowo niezależne wyznaczmy nieznane natężenia prądów. A B C D R 1 R E + I R 3 Rysunek 3 Z praw Kirchhoffa wynika, że całkowita oporność R przewodników połączonych szeregowo (przykład na Rysunku 3) jest równa sumie oporności R i tych przewodników R = R1 + R +L Rn, zaś całkowita oporność R przewodników połączonych równolegle (Rysunek 4), spełnia zależność: = + +L. R R1 R R n I E R 1 R R 3 Rysunek 4 TEST 3σ Ważnym elementem niniejszego ćwiczenie jest sprawdzanie zgodności wyników doświadczeń z przewidywaniami teoretycznymi (prawami Ohma i Kirchhoffa) lub też sprawdzanie wzajemnej zgodności wyników różnych pomiarów, a więc, mówiąc ogólnie, testowanie hipotez. Najprostszym testem zgodności wyników jest tzw. test 3σ, spotykany w dwóch typach zagadnień: Hipoteza teoretyczna głosi, że wielkość mierzona ma wartość µ, a wynik pomiaru x tej wielkości jest wartością zmiennej losowej o wartości oczekiwanej µ i dyspersji σ, gdzie σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy wartość x µ i sprawdzamy, jak uzyskana wartość ma się do wartości 3σ. Jeśli spełniony jest warunek: x µ > 3σ, to odrzucamy hipotezę o wartości µ wielkości mierzonej, jeśli zaś znajdujemy, że x µ 3σ, to konkludujemy, że hipoteza nie jest sprzeczna z danymi. Hipoteza teoretyczna głosi, że dwa pomiary uzyskane różnymi metodami (w różnych warunkach) są pomiarami tej samej wielkości. Niech wynik x uzyskany jedną metodą będzie wartością zmiennej losowej o dyspersji σ x, zaś wynik y uzyskany drugą metodą będzie wartością zmiennej losowej o dyspersji σ y. Test prowadzimy w ten sposób, że wyznaczamy

3 Ćwiczenie nr 3 PRAWO OHMA I KIRCHHOFFA wartość x y i sprawdzamy, jak wartość ta ma się do wartości 3σ, gdzie σ = σ x + σ y. Jeśli spełniony jest warunek: x y > 3σ, to odrzucamy hipotezę, że oba pomiary dotyczyły tej samej wielkości (odrzucamy hipotezę o równości wartości oczekiwanych zmiennych x i y). Jeśli zaś znajdujemy, że x y 3σ, to konkludujemy, że hipoteza nie jest sprzeczna z danymi. Należy z całą mocą podkreślić, że w przypadku, gdy test 3σ nie odrzuca hipotezy, nie oznacza to, że udowodniliśmy jej słuszność, a jedynie godzimy się z nią, gdyż nie jest sprzeczna z danymi. Jeśli pomiary opisywane się rozkładem Gaussa, to testowi można nadać interpretację probabilistyczną: dopuszczamy odrzucenie prawdziwej hipotezy nie częściej niż 3 razy na 1000 decyzji. Zastąpienie testu 3σ analogicznym testem σ oznacza odrzucanie prawdziwej hipotezy nie częściej niż 1 raz na 0 decyzji. UWAGA: W praktyce na ogół nie znamy wartości dyspersji σ, a jedynie jej oszacowanie u, czyli niepewność standardową wyniku pomiaru. POMIARY Do dyspozycji masz: dwa mierniki uniwersalne Brymen 805; przewody z końcówkami; oraz dwa zestawy pomiarowe: zestaw 1: płytka drukowana z otworami służąca do włączania elementów obwodu (Rysunek 5), oporniki o opornościach w zakresie od kilku do kilkudziesięciu kω, zasilacz stałego napięcia; zestaw : płytka drukowana z baterią (Rysunek 6), oporniki o opornościach w zakresie od kilkudziesięciu do 00 Ω. UWAGA W ćwiczeniu wykorzystywane jest miernik typu Brymen 805. Zapoznaj się z jego obsługą (instrukcji udzieli Ci asystent) nim przystąpisz do wykonania pomiarów. Pamiętaj, że miernik Brymen 805 ma, przy pomiarze oporności, napięcia i natężenia prądu, dwa tryby pracy: automatyczny i ręczny wybór zakresu pomiarowego. Jeśli zdecydujesz się na ręczny wybór zakresu, to wybór mierzonej wielkości i zakresu pomiaru powinien nastąpić przed podłączeniem miernika. Podłączenie do obwodu miernika z nieodpowiednio wybranym zakresem może spowodować jego uszkodzenie. Podobne skutki może mieć zmienianie zakresu w trakcie pomiaru zwróć uwagę, że w tym typie miernika przekręcenie pokrętła do pozycji wyłączony wymaga przejścia pokrętłem przez kilka różnych zakresów pomiarowych i w trakcie tej operacji miernik może ulec uszkodzeniu, jeżeli jest podłączony do obwodu. Zalecamy stosowanie automatycznego trybu wyboru zakresu. Miernik Brymen 805 charakteryzują następujące parametry dotyczące pomiarów oporności, napięcia stałego i natężenia prądu stałego (w temperaturze 3ºC ± 5ºC, wilgotności względnej poniżej 75% i miejscu użycia poniżej 000 m nad poziomem morza): 3

4 Natężenie prądu stałego (DC) zakres Dokładność: w + nc Oporność wejściowa 400,0 µa,0% + 5c 150 Ω 4000 µa 1,% + 3c 150 Ω 40,00 ma,0% + 5c 3,3 Ω 400,0 ma 1,% + 3c 3,3 Ω 4,000 A,0% + 5c 0,03 Ω 10,00 A 1,% + 3c 0,03 Ω Napięcie stałe (DC) zakres Dokładność: w + nc Oporność wejściowa 400,0 mv 0,3% + 4c 1 GΩ 4,000 V; 40,00 V; 400,0 V 0,5% + 3c 10 MΩ 1000 V 1,0% + 4c 10 MΩ Oporność zakres Dokładność: w + nc 400,0 Ω 0,8% + 6c 4,000 kω; 40,00 kω; 400,0 kω 0,6% + 4c 4,000 MΩ 1,0% + 4c 40,00 MΩ,0% + 4c Wielkość dopuszczalny błąd graniczny wskazania miernika na danym zakresie pomiarowym wyznacza się na podstawie wzoru: w = x + nc, 100 gdzie poszczególne wyrazy oznaczają: w dokładność wskazanej wartości x wyrażona jako ułamek wartości zmierzonej na wybranym zakresie pomiarowym (w tabeli powyżej ukazana w formie procentu odczytu). Przykład. Jeśli producent podaje dokładność 0,5% na wybranym zakresie pomiarowym, to dla wskazania x = 30,00 V otrzymujemy w = 30,00 V 0,005 = 0,15 V. nc dokładność cyfrowa określana jako liczba n najmniej znaczących jednostek c odczytu zależy ona od wybranego zakresu pomiarowego i jakości przetwornika analogowo-cyfrowego A/C, a nie zależy od wartości uzyskanej w pomiarze. Przykład. Jeśli producent podaje, że na zakresie pomiarowym 40,00 V DC dokładność wynosi 3c, to znaczy, że wartość dokładna może się różnić maksymalnie dodatkowo o ± 0,03 V od odczytanej wartości. Sumując obie wartości otrzymamy dopuszczalny błąd graniczny pomiaru przy wskazaniu 30 V równą: = 0,15V + 0,03V = 0,18 V (co stanowi 0,6%) dla zakresu 40,00 V DC. Wykonując analogiczne obliczenia dla tej samej wartości mierzonej, ale na niewłaściwie dobranym zakresie 400,0 V DC, przy tych samych parametrach dokładności, otrzymamy dopuszczalny błąd graniczny: = 0,15 V + 0,3 V = 0,45 V, co stanowi 1,5% wartości. Wykonanie pomiarów Podczas wykonywania pomiarów pamiętaj o szczegółowej dokumentacji, tj. o notowaniu wszystkich informacji mogących mieć znaczenie podczas analizowania uzyskanych wyników. W szczególności notuj dokładnie format liczb, w jakim miernik wyświetla wartości (także 4

5 w przypadku wyboru automatycznego), gdyż format ten definiuje zakres, na którym wykonano pomiar. Na zasilaczu nie przekraczaj napięcia 5 V. Pomiary z wykorzystaniem zestawu 1 (badanie praw Ohma i Kirchhoffa). Rysunek 5. Płytka drukowana do badania praw Ohma i Kirchhoffa Obwód drukowany, służący do pomiarów przedstawiony jest na Rysunku 5. Przerwy w obwodzie, zaznaczone jako R1, R oraz R3, to złącza ze sprężynującym uchwytem, gdzie można wpiąć oporniki, zaś przerwy z1 do z7 służą do łączenia ścieżek przewodzących zworkami, pozwalającymi uzyskać połączenia szeregowe lub równoległe tych oporników, lub do przyłączania mierników. Punkty E oraz E+ to miejsce przyłączenia zasilania. a) Używając miernika uniwersalnego jako omomierza (tę część pomiarów potraktuj jako wprawkę w używaniu miernika): zmierz opór kilku przewodów o różnej długości i porównaj wynik z dokładnością stosowanego przyrządu; spróbuj zmierzyć opór swojego ciała, mierzony od jednej dłoni do drugiej; zwróć uwagę na fakt, że wskazania miernika zależą od siły, z jaka ściskasz końcówki przewodników; sprawdź, czy wilgotność palców wpływa na wynik pomiaru; zmierz kilkakrotnie opór każdego z oporników znajdujących się w zestawie; b) Zbuduj obwód jak na Rysunku 3. Wykorzystaj zasilacz jako źródło napięcia. Uwaga praktyczna: do dobrej praktyki (wymaganej przez normy) należy przestrzeganie zasady: czerwony kabel podłączamy zawsze do gorącego zacisku na zasilaczu. c) Włącz zasilacz i zmierz napięcia V AB, V BC, V CD na każdym z oporników oraz na wszystkich trzech opornikach łącznie (pomiar między punktami A i D). d) Wybierz dowolny z oporników z zestawu 1 i zmierz jego oporność, wykorzystując miernik jako omomierz. Wykonaj pomiary napięcia U oraz natężenia I prądu płynącego w obwodzie dla różnych napięć zasilania dla wybranego poprzednio opornika. e) Zbuduj obwód jak na Rysunku 4. Zastosuj zasilacz jako źródło napięcia. f) Przed podłączeniem zasilacza, zmierz za pomocą omomierza całkowitą oporność oporników. Uwaga praktyczna: aby pomiar oporności opornika wmontowanego w układ nie był zafałszowany, musi on być wykonywany przy odłączonym zasilaczu. W przeciwnym razie będzie mierzona oporność wypadkowa tego opornika i podłączonej do niego równolegle całej reszty układu wraz z opornością wyjściową zasilacza. 5

6 g) Po podłączeniu zasilacza zmierz natężenia prądu w kolejnych gałęziach obwodu, aby sprawdzić zgodność wyników z I prawem Kirchhoffa dla jednego z węzłów obwodu z równoległym połączeniem. Rysunek 6. Układ do wyznaczania oporu wewnętrznego baterii Pomiary z wykorzystaniem zestawu (wyznaczanie oporu wewnętrznego baterii). h) Korzystając z elementów zestawu pomiarowego zbuduj układ jak na Rysunku 7 obok, w którym źródłem siły elektromotorycznej E jest bateria o nieznanym oporze wewnętrznym r, a opór R z to jeden z oporników z zestawu. Za pomocą mierników, zmierz napięcie na E Α I zaciskach baterii oraz natężenie prądu płynącego w obwodzie. V Wykonaj pomiar dla wszystkich oporników zestawu. Czy obserwujesz zmiany mierzonego napięcia? Czy w tym r doświadczeniu zmienia się siła elektromotoryczna baterii? Uwaga: czerwony, okrągły przycisk służy do zamykania obwodu; wykorzystuj go tylko na czas odczytywania wskazań mierników Rysunek 7 nigdy nie trzymaj baterii podłączonej do obwodu dłużej niż przez kilka sekund. R z R Pomiary serii oporników dla sporządzenia histogramu rozkładu wartości oporności Celem tej części ćwiczenia jest zbadanie rozkładu wartości oporności serii nominalnie identycznych oporników o oporności nominalnej ρ 0 oraz sporządzenie histogramu i porównanie z rozkładem Gaussa. W zależności od ilości czasu na wykonanie tej części ćwiczenia prowadzący może dla wykonaniu histogramu podać dane zmierzone wcześniej dla pewnej serii oporników. Pomiaru oporności dokonuje się za pomocą dzielnika napięcia zbudowanego z opornika wzorcowego o niezależnie mierzonej oporności R oraz opornika o poszukiwanej oporności r. Dzielnik jest zbudowany wg schematu (źródłem napięcia V jest zasilacz): V R r U V 6

7 Przy zadanym napięciu zasilania V oraz napięciu wyjściowym U na dzielniku, poszukiwany opór r wyznacza się za pomocą wzoru: r R U =. V U Masz do dyspozycji: 100 oporników o tej samej nominalnej wartości ρ 0 = 10 kω (lub innej zależnie od zestawu), opornik wzorcowy R, zasilacz stałego napięcia, akcesoria pomocnicze: kable łączeniowe, chwytaki pomiarowe, miernik uniwersalny (Brymen 805) Wykonanie pomiarów: Zbuduj układ pomiarowy wg podanego wyżej schematu dzielnika napięcia. Użyj płytki z Rys. 5, odpowiednio łącząc zworki aby uzyskać dzielnik napięcia z opornikami wzorcowym i mierzonym w uchwytach np. R1 i R płytki. Przy odłączonych kablach zasilania zmierz, za pomocą multimetru cyfrowego, wartość R oporności opornika referencyjnego. Czy wskazania miernika fluktuują w czasie? Co to oznacza? Odnotuj zakres, na którym wykonałaś/wykonałeś pomiar. zasilaj układ napięciem stałym o wartości kilku woltów. Napięcie zasilania dobierz tak, aby jego pomiar był wykonywany na innym zakresie miernika niż pomiar napięcia na oporniku. Zmieniając kolejno oporniki w chwytakach pomiarowych, mierz napięcia V i U. Czy wskazania miernika fluktuują w czasie? Co to oznacza? UWAGA. Zwróć uwagę, że po wyjęciu badanego opornika z układu, woltomierz mierzy wartość V napięcia zasilania. Zanotuj niezbędne wartości korzystając np. z tabeli poniżej. nr pomiaru napięcie V [V] zakres pomiarowy V napięcie U [V] zakres pomiarowy U Zadanie 1 (do domu do wykonania przed ćwiczeniami rachunkowymi) Sporządź wykres zależności: napięcia od natężenia prądu dla danych uzyskanych w punkcie d); napięcia na baterii od natężenia prądu dla danych uzyskanych w punkcie h). W obu przypadkach wyznacz prostą najlepiej Twym zdaniem pasującą do danych na wykresie. Odczytaj z wykresów przybliżone wartości parametrów równań tych prostych. Zadanie - nieobowiązkowe (do domu do wykonania przed ćwiczeniami rachunkowymi) Oporność właściwa wkładu do ołówka jest rzędu 10 5 Ω m. Zaproponuj sposób pomiaru tej wielkości, jeśli dysponujesz przyrządami i miernikami jak w pomiarowej części niniejszego ćwiczenia laboratoryjnego. Przyjmij, że wkład ma średnicę 0,5 0,7 mm i długość około 6 cm. 7

8 ANALIZA DANYCH Zadanie 3 (na ćwiczeniach) Dla zrozumienia zagadnienia dokładności przyrządu pomiarowego, np. linijki lub woltomierza, rozważmy następujący model procesu produkcji. W fabryce, w taśmowej produkcji wytwarzane są identyczne przyrządy. Jak każdy proces fizyczny, proces technologiczny nie jest kontrolowany absolutnie dokładnie. Na skutek przypadkowych zakłóceń w jego przebiegu wskazania produkowanych przyrządów różnią się nieznacznie podczas mierzenia tego samego obiektu. Przyjmijmy, że producent gwarantuje, iż wartość oczekiwana wskazań produkowanych przyrządów jest poprawna, a maksymalny błąd wskazań, czyli różnica między wskazaniem x a wartością dokładną µ, nie przekracza, co do wartości bezwzględnej, wartości > 0. Zastanówmy się, co to oznacza w odniesieniu do używanego przez nas miernika. Najprostszym modelem matematycznym jest przyjęcie, że uzyskana w wyniku pomiaru wartość x zawiera się przedziale (µ, µ + ), każdy wynik z tego przedziału jest jednakowo prawdopodobny. Przyjmując powyższe założenia: Wyznacz wariancję σ zmiennej x. Jaka część przyrządów wskaże wartość w przedziale [µ σ, µ + σ]? Porównaj z analogiczną wartością, która pojawi się, gdy rozkład jednostajny zastąpimy rozkładem Gaussa. Zadanie 4 (na ćwiczeniach) Wyznacz niepewności dla danych uzyskanych w pomiarach w punkcie a). Zadanie 5 (na ćwiczeniach) Dla danych uzyskanych w punkcie c), określ niepewności napięć V AB, V BC, V CD i V AD oraz wartość i niepewność sumy V = V AB +V BC + V CD. Czy wartości V i V AD są zgodne? Skorzystaj z testu 3σ. Zadanie 6 (na ćwiczeniach) Przyjrzyj się dokładnie wykresowi danych (Zadanie 1) uzyskanych w punkcie d). Czy punkty pomiarowe układają się na prostej? Jeśli widzisz odstępstwa, to która część wykresu odpowiada bezpośredniemu pomiarowi oporu? Porównaj wartość współczynnika kierunkowego prostej dopasowanej do danych z bezpośrednio zmierzoną wartością oporności. Czy różnica tych wartości mieści się w zakresie wyznaczonym niepewnością pomiaru oporu? Zadanie 7 (na ćwiczeniach) Dla danych uzyskanych w pomiarach w punkcie f), wyznacz ich niepewności i porównaj zmierzoną wartość oporności oporów połączonych równolegle z opornością, którą możesz obliczyć wykorzystując wcześniej zmierzone oporności pojedynczych oporników. Skorzystaj z testu 3σ. Zadanie 8 (na ćwiczeniach) Dla danych uzyskanych w pomiarach w punkcie g), wyznacz ich niepewności i sprawdź zgodność wyników z I prawem Kirchhoffa. Skorzystaj z testu 3σ. Zadanie 9 (na ćwiczeniach) Pokaż, że z praw Kirchhoffa wynika, iż jeśli do zacisków baterii o sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym r podłączymy opór zewnętrzny R (Rysunek 7), to natężenie I prądu płynącego przez baterię i napięcie U na jej zaciskach spełniają zależność: U = E ri. Zakładając, że siła elektromotoryczna i opór wewnętrzny badanej baterii są stałe, wykorzystaj dane uzyskane w punkcie h) w celu wyznaczenia obu wielkości. Wykonaj wykres U(I) i odczytaj z niego oceny wartości E oraz r. Zadanie 10 (na ćwiczeniach) Zaciski baterii o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej r zwarto opornikiem o oporności R. Wyprowadź wyrażenie na moc czynną P wydzielaną na oporności R i naszkicuj 8

9 wykres zależność P(R). Dla jakiej wartości R moc wydzielana na tym oporze jest największa? Zadanie 11 (na ćwiczeniach) Ι 1 V R V Ι 1 V R V Ι R A R A Ι Α R A R A Ι Α1 Dysponując woltomierzem o oporności wewnętrznej R V oraz amperomierzem o oporności wewnętrznej R A pomiar wartości R oporu elektrycznego opornika można wykonać dwiema metodami ukazanymi na rysunku powyżej: dokładnego pomiaru napięcia na oporniku R metoda 1 i dokładnego pomiaru prądu płynącego przez opornik R metoda. Wykaż, że przy zastosowaniu metody 1 poszukiwana oporność R wynosi R UV 1RV =, R I U V A1 V 1 podczas gdy metoda prowadzi do wyrażenia UV R = RA, I A gdzie U Vi oznaczają wskazania woltomierza, zaś I Ai wskazania amperomierza przy zastosowaniu odpowiednio metod 1 i. Porównaj otrzymane wyniki z wynikami, jakie otrzymano by, gdyby każdorazowo stosowano uproszczony wzór R = U V /I A. Dla każdej z metod podaj warunek, jaki musi spełniać badany opór R, aby uproszczony wzór dawał rozsądne przybliżenie poszukiwanej wartości. (Dla ambitnych) Wyznacz graniczną wartość oporności R, przy której stosowanie uproszczonego wzoru, daje dokładniejsze przybliżenie w pomiarach metodą 1 niż metodą. Ile ta wartość wynosi dla miernika Brymen 805? Zadanie 1 (na ćwiczeniach) W poniższym wzorcowym opisie wartość mierzona oznaczona została literą T, wartość średnia pomiarów literą µ, a podane liczby są wartościami przykładowymi. Rozwiązanie zadania polega na wykreśleniu histogramu dla zmierzonej serii 100 oporników, opierając się na poniższym przykładzie patrz punkt 3 Analizy danych pomiar 100 oporników poniżej. Zakładając, że wyniki T pomiarów oporności oporników można opisać rozkładem Gaussa 1 ( T µ ) G ( T; µ, σ ) = exp, T < <, πσ σ z wartościami parametrów µ = T = Ω oraz σ = s T = Ω, naszkicuj ten rozkład na histogramach gęstości i liczebności (poniżej). Skorzystaj z Tabeli 1. Porównaj przybliżone wartości N z dokładnymi wartościami N k. k metoda 1 metoda 9

10 Tabela 1 krawędź dolna T k [Ω] 3,5 3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 krawędź górna T k + [Ω] 3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 środek przedziału T [k] [Ω] 3,75 3,35 3,375 3,45 3,475 3,55 3,575 3,65 suma liczba n k danych N = 16 gęstość eksperyment. [Ω 1 ] 0,00 0,46 3,98 8,43 5,83 1,0 0,09 0,00 gęstość ( ;, [ k ] T ) N ( ;, k NG T[ k ] T st ) G T T s [Ω s -1 ] 0,01 0,35 3,09 6,60 1,59 0,1 0,00 = 0,13 3,76 33,36 71,3 17,18 1,4 0,03 z k 4,18 3,09 1,99 0,0 1,30,39 3,49 F(z k ) 0,0000 0,0010 0,033 0,5793 0,903 0,9916 0,9998 z k + 1 3,09 1,99 0,89 1,30,39 3,49 4,59 F(z k + 1 ) 0,0010 0,033 0,1867 0,903 0,9916 0,9998 1,0000 p k = F(z k + 1 ) F(z k ) 0,0010 0,03 0,1634 0,339 0,0884 0,008 0,000 N k = Np k 0, 4,8 35,30 69,96 19,09 1,76 0,04 Histogram wartości zmierzonych w 16 pomiarach Wartość zmierzona oporności [Ω] 10

11 Histogram gęstości (w jednostkach [1/ Ω] ) z 16 pomiarów Wartość zmierzona oporności [Ω] Przypominamy wzór służący do wyznaczenia oczekiwanej liczby N k pomiarów w przedziale: ( ) ( ; µ, σ ) k k k 11 Tk + N = NP T T < T + = N G T dt, gdzie jest szerokością przedziału histogramowania. Najprostsza, i przybliżona, metoda obliczenia G T ;, [ k ] µ σ określającym pole powierzchni całki polega na zastąpieniu jej wyrażeniem ( ) prostokąta o wysokości G ( T ;, [ k ] ) histogramowania, a wtedy Tk µ σ i podstawie, gdzie T [k] wyznacza środek przedziału k k k ( ;, [ ] ) N N = NG T µ σ. Jeśli chcemy wyznaczyć całkę dokładnie, wprowadzamy nową zmienną całkowania T µ z =, σ zwaną standaryzowaną i wartość N k wyznaczamy za pomocą zk + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N = NP z z < z = N N z dz = N F z F z, k k k + 1 k+ 1 k zk z Tk µ Tk + µ 1 x gdzie zk =, zk + 1 =, F ( z) = exp dx σ σ π. Wartości przydatnych całek F(z) rozkładu Gaussa znajdują się w Tabeli na końcu instrukcji. Funkcję, którą tu całkujemy 1 z N ( z) = exp π

12 nazywamy standaryzowanym rozkładem Gaussa. Zwracamy uwagę, że: N n N n [ ] ( ) ( [ ] ) n T = Ti nkt = T, st = Ti T nk T T = s% T, N = n k k k, N i= 1 N k= 1 N 1 i= 1 N 1 k = 1 k= 1 gdzie T i oznacza wynik i-tego indywidualnego pomiaru, n jest liczbą przedziałów histogramu, n k, k = 1,,..., n, to liczebności danych w każdym z przedziałów, N jest liczbą wszystkich danych (sumą liczebności n k ), zaś T [k] to pozycje środków przedziałów. ANALIZA DANYCH POMIAR 100 OPORNIKÓW 1. Oblicz wartość oporności r i dla każdego z oporników mierzonych przy użyciu dzielnika napięcia.. Oblicz podstawowe statystyki opisowe: średnią arytmetyczną r, jej statystyczną niepewność standardową sr i statystyczną niepewność standardową pojedynczego pomiaru s r uzyskanego zbioru wartości oporności. 3. Narysuj histogram uzyskanych oporności. Na histogramie zaznacz położenie wartości średniej oraz wartości odległe o jedną statystyczną niepewność pojedynczego pomiaru na prawo i lewo od wartości średniej. Na podstawie histogramu lub korzystając bezpośrednio z danych, oceń procent liczby pomiarów mieszczących się w tym przedziale. Porównaj z wartością wynikająca z rozkładu Gaussa. 4. Zakładając, że zebrane wartości oporności przedstawiają reprezentatywną próbkę wylosowaną z rozkładu Gaussa o parametrach określonych przez wartość średnią r i statystyczną niepewność pojedynczego pomiaru s r, nanieś na histogram krzywą wynikającą z rozkładu Gaussa. 5. Korzystając z informacji dotyczących stosowanych mierników oraz metody propagacji błędów zastosowanej do wzoru r = R U /( V U ) ze strony 7, oblicz wartości dopuszczalnego błędu granicznego pomiaru oporności wzorcowej R i napięć V oraz U i wyznacz odpowiadające im systematyczne niepewności u R, u V,i oraz u U,i. 6. Wyznacz systematyczne niepewności u r,i indywidualnych wartości oporności. Przedstaw całość swych wyników w przykładowej tabeli: pomiar V i [V] V,i [V] u V,i [V] U i [V] U,i [V] u U,i [V] r i [kω] u r,i [kω] RAPORT KOŃCOWY Raport końcowy należy oddać asystentowi na następnych zajęciach, tydzień po zakończeniu ćwiczeń rachunkowych dotyczących doświadczenia PRAWO OHMA I KIRCHHOFFA. Wykorzystaj własne dane. Stosując się do ogólnych zasad sporządzania raportów, przedstaw wyniki pomiarów wymienionych w punktach a), c), d), f), g) oraz h). Odpowiedz na zadane tam pytania i przedstaw rozwiązanie problemów ujętych w Zadaniach 4-9 wraz ze stosownymi rysunkami i wyznaczonymi z wykresów równaniami linii prostych. Wyniki pomiarów serii 100 oporników przedstaw na histogramach rozkładu wartości oporności i rozkładu gęstości wartości oporności wraz z naniesionym rozkładem Gaussa. Opisz słowami wnioski wynikające z porównania niepewności systematycznej pomiarów serii oporników, wynikającej z niedokładności przyrządów, oraz niepewności statystycznej rozkładu wartości zmierzonych oporników. 1

13 CAŁKI ROZKŁADU GAUSSA. Tabela poniżej podaje wartość całki standaryzowanego rozkładu Gaussa z 1 1 x F ( z) = P ( < x z) = + exp dx, z 0 π >. 0 Z uwagi na symetrię rozkładu, wartość całki dla ujemnych wartości argumentu można wyznaczyć ze związku F( z) = 1 F(z). Tabela z