Wykład 11 14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i iota-savarta c.d. 14.5 Prądy polaryzacyjne w dielektrykach. 15. Magnetyczne własności materii 15.1 Momenty magnetyczne atomów i cząsteczek 15. Zależność pomiędzy magnetyzacją M a prądem cząsteczkowym j mol. 15.3 Wektor natężenie polamagnetycznego H. 15.4 Zdolność magnetyzacji materii 15.5 Pole magnetyczne na granicy ośrodków. 15.6 Obwody magnetyczne - Elektromagnes 16. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej 16.1 Prawo indukcji Faraday a 16. Prądy indukcyjne, reguła Lenza Reinhard Kulessa 1
16.3 Prądy wirowe 16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej 16.5 Zjawisko samoindukcji Reinhard Kulessa
14.5 Prądy polaryzacyjne w dielektrykach. Na ostatnim wykładzie stwierdziliśmy, że udział w powstawaniu pola indukcji magnetycznej mają wszystkie możliwe prądy. Rozważaliśmy jednak do tej pory jedynie prądy stacjonarne, czyli niezależne od czasu. Różniczkowe prawo Ampera możemy sformułować następująco: Zastanówmy się co dzieje się w dielektryku przy włączaniu pola elektrycznego. rot µ ( j + j + j 0 przew mol pol ) E 0 neutralne atomy Włączenie pola powoduje przesunięcie ładunku de/dt 0 - + - + - + - + E const - + - + - + - + uszeregowane dipole - + - + - + - + ł adunek powierzchniowy σ Reinhard Kulessa 3
W chwili gdy włączamy pole w czasie dt przepływa przez jednostkę powierzchni ładunek σ. Możemy więc powiedzieć, że przepływa wtedy prąd związany z polaryzacją o natężeniu; j pol σ t σ P P t Możemy więc napisać, że gęstość prądu polaryzacyjnego wynosi: P j pol t Wektor polaryzacji związany jest z wektorem natężenia pola elektrycznego zależnością (8.5), czyli P ( ε 1) E ε (8.5) 0. Reinhard Kulessa 4
Wprowadzając tą zależność do naszych rozważań, otrzymujemy równanie; j pol E εε0 t E W próżni prawa część równania powinna zniknąć. Doświadczenie pokazuje, że również w próżni istnieje człon E t. Różniczkowe prawo Ampera przyjmuje więc ogólnie postać: rot t próż 0( jprzew+ jmol + ε0ε. E ) t µ (14.1) Powyższe równanie jest równocześnie I prawem Maxwella. Reinhard Kulessa 5
15. Magnetyczne własności materii 15.1 Momenty magnetyczne atomów i cząsteczek W równaniu (14.16) podaliśmy definicję orbitalnego momentu magnetycznego. p M gl Moment pędu (rysunek obok) jest z L z wielkością skwantowaną. ω Lz me r ω m r m 0, ± 1, ±,... e 1.0546 10-34 Js Orbitalny moment magnetyczny jest równy: p l M z e m e m Reinhard Kulessa 6
Do tego dochodzi własny-spinowy moment magnetyczny; p ± µ s M z W atomach wieloelektronowych momenty orbitalny i spinowy dodają się do wypadkowego momentu magnetycznego p M. Wartość tego momentu definiuje własności magnetyczne materiału. Gdy p M 0 ----- materiał jest paramagnetykiem, Gdy p M 0 ----- materiał jest diamagnetykiem. Przyłożenie do jakiegoś materiału zewnętrznego pola indukcji magnetycznej, powoduje polaryzację dipoli magnetycznych występujących w tym materiale. Pojawia się wtedy wielkość, którą nazywamy magnetyzacją M. magn. mom. dip. M jedn. obj. Reinhard Kulessa 7
l 15. Zależność pomiędzy magnetyzacją M a prądem cząsteczkowym j mol. Załóżmy, że mamy jednorodnie namagnesowany cylinder. I M A Cały cylinder posiada magnetyczny moment dipolowy p M M l A. Magnetyzacja ma miejsce dlatego, że atomowe momenty dipolowe są ustawione równolegle do osi cylindra. Wewnątrz cylindra prądy atomowe kompensują się. Na powierzchni powstaje nie skompensowana składowa prądu powierzchniowego I. Reinhard Kulessa 8
Jeśli podzielimy cylinder na dyski o wysokości l, to opływa go prąd I l/l, dając moment magnetyczny; l p M I A A p M l I l/l l Magnetyzacja tej płytki wynosi; p M M A l Reinhard Kulessa 9 I l (15.) Znaleźliśmy więc związek pomiędzy prądami molekularnymi a magnetyzacją. Przyczyniają się do niej składowe powierzchniowe tych prądów. Można pokazać, że ogólna postać zależności pomiędzy prądami molekularnymi a magnetyzacją, ważna również dla niejednorodnej magnetyzacji ma postać: j mol rot M (15.3)
M l I M s l A 1 Γ 1 Γ A A Prawdziwość równania (15.3) możemy wykazać następująco. Dla równania (15.3) możemy definiując powierzchnię A s l napisać: A j mol da A rot M da Lewa całka w tym równaniu jest 0 dla powierzchni A 1, lecz jest równa I dla powierzchni A. Prawa całka jest zgodnie z twierdzeniem Stokes a równa: Γ Γ 1 Mamy wtedy: M M ds ds M M A l l rot M M 0 l da l Reinhard Kulessa 10 I Γ 0 M ds II cbdo.
15.3 Wektor natężenie polamagnetycznego H. Jeśli wprowadzimy znalezioną postać wektora gęstości prądu molekularnego j mol do I równania Maxwella, to otrzymamy: rot D µ j przew + µ 0 + t 0 µ 0 Równanie to możemy zapisać również jako: rot µ 0 M j przew + D t rot M (15.4) Natężeniem pola magnetycznego H nazywamy wyrażenie: Jednostką natężenia pola magnetycznego jest [A/m]. H µ 0 M (15.5) Reinhard Kulessa 11
15.4 Zdolność magnetyzacji materii Zgodnie z równaniem (15.5) możemy wyrazić wektor indukcji magnetycznej przez wetor natężenia pola magnetycznego. Otrzymamy zależność ( H ) µ 0 ( H + M ) Równanie to zawiera w sobie skomplikowane bardzo często własności materii. A). paramagnetyki Pamiętamy związek pomiędzy indukcją magnetyczną a natężeniem pola magnetycznego H analogiczny do związku między D a E w elektrostatyce. Ma on postać: µ o µ H Reinhard Kulessa 1
µ 0 jest przenikalnością magnetyczną próżni, a µ jest względną przenikalnością magnetyczną ośrodka. Z ostatnich dwóch równań możemy znaleźć zależność między magnetyzacją a natężeniem pola magnetycznego. µ 0µ H µ 0( H + M ) M ( µ 1) H M χ H Współczynnik χ (µ - 1) jest podatnością magnetyczną. Dla paramagnetyków podatność magnetyczna χ > 1 Jeśli posiadamy substancję paramagnetyczną, która posiada n atomów na jednostkę objętości, a każdy atom ma dipolowy moment magnetyczny równy m to magnetyzacja tej substancji wynosi; Reinhard Kulessa 13
M n m m 3kT n m 3kT, (15.6) Gdzie wyrażenie m/3kt oznacza ułamek dipoli magnetycznych ustawionych równolegle do pola indukcji. Stosunek µ M χ 0 (15.7) nazywamy podatnością magnetyczną substancji. W oparciu o równania (15.6) i (15.5) możemy napisać: n m χ µ 0 (15.8) 3 kt Reinhard Kulessa 14
Należy również zauważyć, że podatność magnetyczna dla paramagnetyków zmienia się z temperaturą zgodnie z prawem Curie. Dla paramagnetyków χ 10-9 10-3, a µ 1. M H H b). diamagnetyki W diamagnetykach magnetyczne momenty orbitalne i spinowe kompensują się. Zewnętrzne pole indukcji magnetycznej indukuje prądy kołowe o kierunku takim, że dipolowe momenty magnetyczne tych prądów są antyrównoległe do zewnętrznego pola. Reinhard Kulessa 15
Podatność magnetyczna χ jest dla diamagnetyków ujemna i niezależna od temperatury. M H C). ferromagnetyki Dla ferromagnetyków µ>> 1 10 4, χ>>0. Zależność (H) pokazuje zjawisko histerezy. Reinhard Kulessa 16
(M) R H K H Krzywą histerezy charakteryzują dwie wielkości, remanencja R, oraz koercja H K. T C T Ferromagnetyzm znika powyżej temperatury Curie. Temperatury Curie wynoszą przykładowo dla Gd-0 0 C, Dla Ni-358 0 C, dla Fe-770 0 C, Co- 1131 0 C. Reinhard Kulessa 17
15.5 Pole magnetyczne na granicy ośrodków. Analogicznie do rozważań nad przebiegiem wektora natężenia pola elektrycznego E, oraz wektora przesunięcia D na granicy dwóch ośrodków o różnych stałych dielektrycznych, możemy zbadać zachowanie się wektorów i H na granicy dwóch ośrodków o różnych przenikalnościach magnetycznych µ 1 i µ. Stosując dla składowych równoległych wektora natężenia pola magnetycznego H 1 i H prawo Ampera wiedząc, że w obszarze granicznym nie płyną prądy przewodnictwa, uzyskujemy następująca zależność: 1 µ 1 H 1 1 H 1 µ. (15.9) Reinhard Kulessa 18
Z kolei wiedząc, że pole indukcji magnetycznej jest bezźródłowe, czyli posiada zerowa dywergencję, uzyskujemy stosując do składowych 1i prawo Gaussa, następujące zależności; 1 1 µ H µ 1 H. (15.9a) 1 α 1 µ 1 W oparciu o powyższe wzory otrzymujemy również; µ tgα 1 1 α tgα µ µ. (15.10) Reinhard Kulessa 19
15.6 Obwody magnetyczne - Elektromagnes Pole magnetyczne zwykle jest skupione w ograniczonych obszarach, tworzących elementy obwodów magnetycznych. Obwody magnetyczne posiadają swoje opory magnetyczne. Dla oporów tych można podać odpowiedniki prawa Ohma i Kirchoffa dla obwodów elektrycznych, zwanych prawami Hopkinsa. Omówmy dla przykładu pole magnetyczne w elektromagnesie ze szczeliną powietrzną o długości x. D<<r r x I 1). Prąd o natężeniu I jest źródłem pola H. H zmienia się na granicy rdzeń-szczelina. Z prawa Ampera mamy: H dl NI HFe( π r x) + H ). Pole jest bezźródłowe, tzn. µ H H pow Fe pow Fe pow Reinhard Kulessa 0 x
Otrzymujemy więc: H pow 1 µ (π r x) + H pow x NI H pow π r NI x + µ x µ H Fe H pow / µ ezźródłowość pola indukcji magnetycznej daje nam: Fe pow µ 0 H pow W związku tym: NI NI µ pow 0 µ µ 0 µ π r x + µ x π r + µ x Otrzymujemy więc silne wzmocnienie pola w szczelinie (µ>>1). Reinhard Kulessa 1
16. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej W rozdziale tym będziemy mówili o efektach towarzyszących zmianom pól elektrycznych i magnetycznych. Stwierdzimy też z zawsze należy rozważać pola elektryczne i indukcji magnetycznej nierozdzielnie. Pole elektryczne i magnetyczne są bowiem dwoma formami jednej wielkości fizycznej- pola elektromagnetycznego. 16.1 Prawo indukcji Faraday a Omawianie prawa indukcji Faradaya możemy przeprowadzić na dwa sposoby. Pierwszy opiera się na doświadczeniach demonstrujących zjawisko indukcji elektromagnetycznej, czyli wzbudzania przez pole magnetyczne prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie. Drugie podejście opiera się na rozważaniach dotyczących II równania Maxwella. Reinhard Kulessa
Tę drogę obierzemy w tym wykładzie. II równanie Maxwella mówi, że: rot E t. (16.1) Doprowadźmy to równanie do postaci całkowej. Otrzymamy wtedy: A rote da Γ E dl Występująca we wzorze (16.) całka A da Φ M t A da jest niczym innym jak definicją strumienia indukcji magnetycznej. (16.) Reinhard Kulessa 3
Z wielkością tą zapoznaliśmy się już poprzednio. Jednostką strumienia indukcji magnetycznej jest [Φ M ][1 Weber] [V s]. Przedyskutujmy równanie (16.). da A Γ dl 1. Dla jednej pętli Γ istnieje dowolnie wiele powierzchni A.. Kierunek da jest dany regułą śruby prawej, w połączeniu z kierunkiem całkowania po pętli Γ. Dla powierzchni skierowanej w dół, wektor da byłby skierowany do wnętrza powierzchni A. Reinhard Kulessa 4
3. Spotykamy się tu po raz pierwszy z wirem natężenia pola elektrycznego E, gdyż najwyraźniej E dl 0. Γ Oznacza to, że wytworzone zmienne w czasie pole E nie jest zachowawcze, tzn. nie da się go utworzyć jako gradientu skalarnego potencjału. Nie jest to jednak w sprzeczności z tym co wiemy z elektrostatyki. Mamy bowiem do czynienia z polami zmiennymi w czasie, a nie stacjonarnymi. Jeżeli we wzorze (16.) zastąpimy pętlę Γ pętlą przewodzącą, to w rezultacie otrzymamy mierzalną wielkość Γ ind E dl V0. Reinhard Kulessa 5
Wir wektora natężenia pola elektrycznego E istnieje jako następstwo zmiany strumienia pola magnetycznego zawsze, niezależnie od tego, czy zmaterializujemy czy nie drogę całkowania. Możemy więc już napisać prawo indukcji Faradaya. Siła elektromotoryczne indukcji ε i wyraża się wzorem: ε i V t ind 0 A Φ da t M (16.3) Przy pomocy prostego układu możemy wykonać kilka doświadczeń demonstrujących zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Układ doświadczalny pokazany jest na następnym rysunku. Reinhard Kulessa 6
- + 3 Γ 1 4 Układ składa się z pętli połączonej z galwanometrem, oraz solenoidu połączonego ze źródłem prądu stałego.pętlę możemy: 1. poruszać zarówno w kierunku pionowym. jak i poziomym, 3. możemy również zmieniać jej kształt 4. możemy ją obracać względem osi poziomej. Jeśli chodzi o solenoid będący źródłem indukcji magnetycznej, to możemy nim też wykonywać ruchy 1 i, jak również przez zmianę natężenia prądu możemy możemy zmieniać wartość statyczną wektora indukcji magnetycznej, oraz zmieniać ją w czasie. Reinhard Kulessa 7
Przy wykonaniu wszystkich doświadczeń zmienia się strumień wektora indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnie A rozpiętą na pętli Γ. Obieg pętli Γ uważamy za dodatni, jeśli jest on związany z kierunkiem wektora indukcji regułą śruby prawej. W naszym doświadczeniu odpowiada temu odpowiednie wychylenie galwanometru. Rozważmy bliżej dwa przypadki. a) Zmiana powierzchni pętli. Dla takiego przypadku możemy siłę elektromotoryczną indukcji wyrazić wzorem; ε i da dt Reinhard Kulessa 8
b) Przypadek obracającej się pętli generator napięcia zmiennego. W tym przypadku wektor charakteryzujący powierzchnię obraca a 1/b ωt ω A 0 się wokół osi do stałego wektora indukcji 0 z prędkością kołową ω. Mamy więc: ε i d dt d dt ( A) 0 ( Acosω t) 0 oś ε i Siła elektromotoryczna indukcji wynosi więc: ε i (16.4) ( t) 0 Aω sinω t Reinhard Kulessa 9
Napięcie szczytowe osiąga wartość V 0 A ω. ε i (t) 0 Aω π/ω t Prawo indukcji Faradaya w postaci (16.3) jest ważne tylko wtedy, gdy jest jednoznacznie realizowana przez przewodnik. E dl Γ A (t) Gdy mamy zamknięte oczko wokół punktów A i, płyną w nim prądy zmieniające w sposób skomplikowany zewnętrzne pole (t).zawsze jednak prawdziwe jest równanie; rot E t Reinhard Kulessa 30
16. Prądy indukcyjne, reguła Lenza Zgodnie z prawem Ohma, siła elektromotoryczna indukcji prowadzi do przepływu prądu o natężeniu I: I Γ (t) A σ dl IR Widzimy wobec tego jednoznacznie, że: ind Φ I R ε i t Φ t ε M i. Zgodnie ze wzorem (16.) mamy bowiem: 1 E dl j dl Γ σ Γ 1 I l dl I I σ A Γ σ A M Reinhard Kulessa 31 R
Kierunek prądu indukcyjnego określa Reguła Lenza. Mówi ona, że: Kierunek prądu indukcyjnego jest taki, że powstająca w wyniku przepływu prądu indukcyjnego siła iota Savarta działa przeciwko zachodzącym zmianom strumienia magnetycznego. Możemy to zilustrować przy pomocy pętli, w której wywołujemy prąd indukcyjny przy pomocy magnesu. N I S N v S I. Pola magnesu i pętli przyciągają się. S I N N v S II. Pola magnesu i pętli odpychają się. Reinhard Kulessa 3
Rozważmy następujący układ. Mamy dwa przewodniki połączone ruchomym prętem. Całość znajduje się w polu indukcji magnetycznej prostopadłym do płaszczyzny przewodników i pręta. Zwrot wektora indukcji jest zaznaczony na rysunku. Poruszamy prętem ze stałą prędkością w lewo. W czasie dt strumień zmienia się o da l dx l v 0 dt. dx I l v 0 da I F R I V Otrzymujemy więc zgodnie z prawem Faradaya siłę elektromotoryczną indukcji równą: Reinhard Kulessa 33
I ind R ε i V da dx l l dt dt ind 0 v 0 Napięcie to jest przyłożone do oporu R, przez który płynie prąd indukcyjny I ind. Na oporze wydziela się ciepło Joule a. Moc wydzielona w przewodniku, I zgodnie z równaniem (9.3) I jest równa: v I 0 da F dw Pe I εi I l v R 0 V dt Ze względu na zasadę zachowania energii na jednostkę czasu musi zostać wykonana praca mechaniczna związana z przesunięciem pręta. P m F v 0 Reinhard Kulessa 34
Ponieważ P e P m, otrzymujemy więc: F I l. Jest to znana nam już siła iota Savarta. Siła ta wynika więc z prawa indukcji Faradaya i zasady zachowania energii. Zgodnie z regułą Lenza siła ta sprzeciwia się zmianom strumienia pola magnetycznego. W oparciu o regułę Lenza można zbudować silnik liniowy. m Reinhard Kulessa 35
Po włączeniu prądu, pręt będzie przesuwał się w lewo, a równocześnie zmienia się strumień indukcji magnetycznej. W prosty sposób można pokazać, że prędkość przesuwu pręta równocześnie unoszącego masę m jest równa: 1 mgr (16.5) v l ( V 0 l ) V mg ε 0 i mg + ε i I l V l I 0 v R R l v l Prawo Ohma. Równowaga sił ciężkości i -S Siła elektromotoryczna indukcji Reinhard Kulessa 36
16.3 Prądy wirowe Załóżmy, że mamy pętlę z dobrego przewodnika, którą chcemy wysunąć z pola magnetycznego. N S Powstający przy wysuwaniu z pola pętli, prąd indukcyjny stara się zachować w niej stały strumień indukcji magnetycznej. Prowadzi to do tego, że linie sił pola magnetycznego są częściowo zabierane przez wysuwaną z pola pętlę. Obliczmy jaka siła jest potrzebna, aby usunąć z pola magnetycznego o natężeniu, pętlę z prądem z prędkością v. Reinhard Kulessa 37
F F -F b R v i dφ dt I ε R R Siła F, którą musimy działać w kierunku v wynosi: F b ( I ) b R Płynący w pętli prąd indukcyjny będzie miał natężenie: v (16.6) Ruch pętli w polu indukcji magnetycznej doznaje proporcjonalnej do prędkości siły hamowania. Ruch płytki przewodzącej w polu indukcji jest źródłem prądów wirowych. Reinhard Kulessa 38 bv R
16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej Rozważmy dwie zwojnice o różnych średnicach i różnej liczbie zwojów umieszczonych jedna w drugiej. 1 1 A A 1 l Pierwsza zwojnica posiada N 1 zwojów i średnicę A 1 Druga zwojnica posiada N zwojów i średnicę A Do zacisków 1 i 1 łączymy źródło zasilania dające w zwojnicy prąd o natężeniu I 1. Prąd I 1 wytwarza w cewce pole indukcji magnetycznej równe 1 równe: Reinhard Kulessa 39
N1 ( t) µ 0 µ I1( l 1 t Zmiana natężenia prądu I 1 di 1 /dt powoduje powstanie w cewce zmiennego w czasie pola indukcji d 1 /dt. To zaś powoduje w cewce pojawienie się siły elektromotorycznej indukcji V ind. d N A 1 1 µ dt 0µ ) A1 N1N l di dt V ind 1 Postępując w sposób analogiczny przyłączając źródło prądu do cewki, otrzymamy na siłę elektromotoryczną indukcji w cewce 1 wyrażenie: d N A 1 1 µ dt 0µ A1 N1N l di dt V ind 1 Reinhard Kulessa 40
Widzimy, że w obydwu wyrażeniach na siłę elektromotoryczną indukcji występuje wspólny człon zależny jedynie o geometrii zwojnic i przenikalności magnetycznej ośrodka. Otrzymujemy bowiem: ind V L di 1 1 dt ind V L di (16.7) 1 1 dt Widzimy, że A1 N1 N L1 L1 µ 0µ l. Jednostką indukcji wzajemnej jest 1 Henry [Wb/AV s A -1] Reinhard Kulessa 41