ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)

ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je w postaci intensywnej i narysuj odpowiedni wykres. (a) Y=AKN (b) Y=A(K+N) a, a>0 (c) Y=A K N (d) Y=AK N,a,b>0 (e) Y=K AN,α 0,1 (f) Y= (g) Y= + Zadanie 5.2 Przyjmijmy, że funkcja produkcji ma postać funkcji Cobb-Douglasa, przy czym parametr α=0.3: =... (a) Korzystając z dekompozycji wzrostu wyprowadź wzór na zmianę wieloczynnikowej produktywności w tej gospodarce (TFP). (b) Przyjmijmy, że w ciągu ostatnich dziesięciu lat w pewnej gospodarce całkowita produkcja zwiększyła się z 1000 do 1300, zasób kapitału fizycznego zwiększył się z 2500 do 3250, zasób siły roboczej zwiększył się z 500 do 575. Wszystkie wartości podano w ujęciu realnym. Oblicz wartość TFP dla tej gospodarki. Zadanie 5.3 Rozważmy prostą funkcję produkcji Cobb-Douglasa: =A, =,,. Dla uproszczenia załóżmy, że poziom zaawansowania technologicznego wynosi 1 i nie zmienia się w czasie (brak postępu technologicznego). Załóżmy także, że zasób siły roboczej jest stały (n=0). Niech s oznacza stopę oszczędności w gospodarce, a d - stopę deprecjacji kapitału fizycznego. Załóżmy też, że popyt całkowity w gospodarce składa się tylko z konsumpcji i inwestycji (pomijamy sektor rządowy). (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, a następnie zapisz funkcję popytu zagregowanego w postaci intensywnej. (b) Wiemy, że y=f(k), zatem zmiany kapitału na zatrudnionego będą decydowały o zmianach y. Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału per capita k K/N. Jaki warunek musi być spełniony, aby kapitał per capita nie ulegał zmianie? (c) Wyznacz poziom kapitału w stanie ustalonym i oblicz poziom produkcji w stanie ustalonym. Zadanie 5.4 W pewnej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK 1/3 N 2/3, stopa oszczędności s=0.2, stopa deprecjacji d=5% (przyrost naturalny wynosi 0, n=0). Oblicz poziom kapitału, dochodu i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1. Zadanie 5.5 W innej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK 1/2 N 1/2, stopa oszczędności s=0.3, stopa deprecjacji d=10%. Stopa przyrostu naturalnego wynosi 0. 1

(a) Oblicz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1. (b) Dla k t =4 oblicz przyrost kapitału na zatrudnionego w danym punkcie czasu t. Ile wynosi tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego dla k t =4? Ile wynosi tempo wzrostu dochodu na zatrudnionego? Zadanie 5.6 W gospodarce z zadania 5.5 stopa oszczędności wzrosła z 0.3 do 0.5. (a) Ile wynosi teraz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym? (b) Wyjaśnij, jak zmiana stopy oszczędności wpłynie na zmiany k oraz y. Naszkicuj wykresy obrazujące dynamikę obu zmiennych. (c) Co by było z tymi zmiennymi, gdyby stopa oszczędności wzrosła do 0.6? Czy możesz intuicyjnie wyjaśnić, dlaczego obserwujemy taką zmianę w konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym? Zadanie 5.7 Załóżmy, ze funkcja produkcji w modelu Solowa-Swana ma postać Cobba-Douglasa: Y = A K N, poziom technologii pozostaje niezmieniony w czasie A t =A, natomiast liczba zatrudnionych rośnie w stałym tempie n, N t+1 = (1 + n)n t. (a) Wyraź funkcję produkcji w postaci intensywnej uzależniającej wielkość produkcji na zatrudnionego y = Y/N od kapitału na zatrudnionego k = K/N. (b) Zapisz równanie opisujące zmianę kapitału na zatrudnionego jako funkcję kapitału na zatrudnionego k t. (c) Znajdź wyrażenia opisujące wartości kapitału, produkcji oraz konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym jako funkcję parametrów s, n, d, α oraz A. (d) Oblicz jaka wartość stanu ustalonego k* zapewnia maksymalizację konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym. (e) Jeżeli w stanie ustalonym s<α, to co można powiedzieć na temat dynamicznej efektywności tej gospodarki? (f) Znajdź elastyczność produktu na zatrudnionego y względem tempa przyrostu pracowników n w stanie ustalonym. Zadanie 5.8 Załóżmy, ze pewnego dnia wprowadzono swobodny przepływ pracowników między dwoma integrującymi się gospodarkami, co spowodowało znaczne migracje pomiędzy krajami. Funkcja produkcji w jednym z tym krajów spełnia założenia stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Naszkicuj zmiany w czasie zmiennych: kapitału i produkcji na zatrudnionego k i y, zasobu siły roboczej N, kapitału K oraz produkcji Y, gdy: (a) Zasób siły roboczej w analizowanej gospodarce zmniejszył się skokowo z N 0 do N 1, (N 0 >N 1 ). (b) Tempo wzrostu siły roboczej wzrosło z n 0 do n 1 (n 0 < n 1 ). (c) Zaszły obie te zmiany jednocześnie. Zadanie 5.9

Dana jest funkcja produkcji Y= K AN,a 0,1, gdzie A oznacza postęp techniczny zasilający pracę, a a=1/3. Dane są: stopa oszczędności s₁=0.3, tempo przyrostu naturalnego n=-0.05, stopa deprecjacji kapitału d=0.065, tempo postępu technologicznego g=0.01. Korzystając z modelu Solowa: (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na jednostkę efektywnej pracy AN. (b) Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału na jednostkę pracy efektywnej. (c) Oblicz poziom kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym. (d) Oblicz poziom produkcji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując, że poziom zaawansowania technologicznego A=30. (e) Przedstaw warunek maksymalizacji konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym i oblicz poziom stopy oszczędności zgodny ze złotą regułą dla omawianej funkcji produkcji (f) Naszkicuj zmiany w czasie logarytmu konsumpcji na 1 zatrudnionego po wzroście stopy oszczędności do s₂=0.32. Zadanie 5.10 Załóżmy, ze w pewnym kraju stopa oszczędności s=0,24, stopa deprecjacji kapitału d=0,03, tempo przyrostu naturalnego n=0,01, tempo postępu technicznego g=0,02, a funkcja produkcji dana jest wzorem Y=K 2/3 (AN) 1/3, gdzie K oznacza zasób kapitału, N zasób siły roboczej, zaś A poziom technologii. Korzystając z modelu Solowa oblicz: (a) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego, jeżeli K=48000, A=15, N=50. (b) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po jednorazowym imporcie nowych technologii, które doprowadziły do wzrostu wartości parametru A do 320/9. (c) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po zwiększeniu tempa postępu technicznego do poziomu g 0 =0,03. Zadanie 5.11 Funkcja produkcji w pewnej gospodarce spełnia założenia neoklasycznej funkcji produkcji i jest dana przez Y = F(K,AN), gdzie K kapitał, A poziom technologii, N praca. Tempo postępu technicznego wynosi g, a przyrost naturalny wynosi n. Korzystając z modelu wzrostu Solowa, porównaj skutki zwiększenia wartości parametru A ze skutkami przyspieszenia tempa postępu technicznego, czyli wzrostu wartości g: (a) Sporządź wykresy zmian w czasie stóp wzrostu produktu na zatrudnionego w obu przypadkach (tj. wzrostu A oraz wzrostu g). (b) Sporządź wykresy zmian w czasie lny w obu przypadkach. Zadanie 5.12 W pewnym kraju funkcja produkcji ma postać Y=aK AN, gdzie a=0.5. Załóżmy, że stopa oszczędności s=0.6, tempo postępu technicznego g=0.01; stopa deprecjacji d=0.005 oraz stopa wzrostu populacji n=0.015. Załóżmy również, że w chwili badania aktualne zasoby czynników produkcji wynosiły: kapitału K₀=300, siły roboczej N₀=6, zaś poziom technologii wynosił A₀=2. W oparciu o te informacje proszę odpowiedzieć na poniższe pytania.

(a) Czy kraj ten znajduje się obecnie w stanie równowagi stacjonarnej? Czy aktualne tempo wzrostu dochodu na jednostkę pracy efektywnej będzie obecnie większe, mniejsze czy równe zero? Co można powiedzieć o tempie wzrostu dochodu na zatrudnionego? (b) Oblicz poziom kapitału na jednostkę pracy efektywnej oraz dochodu na jednostkę pracy efektywnej dla równowagi stacjonarnej. Zadanie 5.13 Pewną gospodarkę można opisać wzorem Y=K 1/3 (AN) 2/3. Tempo wzrostu technologicznego i populacji są niezmienne od lat i wynoszą odpowiednio g A =2% i g N =2%. W ostatnim okresie zaobserwowano następujące tempo wzrostu kapitału g K =5%. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony? Zadanie 5.14 W gospodarce Y=K 1/3 (AN) 2/3. Wiadomo, że stopa oszczędności s=30%, deprecjacja d=0.1, tempo przyrostu ludności n=0.03, a tempo wzrostu technologicznego g=0.02. Według ostatnich obserwacji, stosunek kapitału do produkcji K/Y=5. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony? Zadanie 5. 16 Wiemy już, że na ścieżce zrównoważonego wzrostu w modelu Solowa z postępem technologicznym tempo wzrostu PKB per capita wynosi g A. Rozważ teraz, jak zmieni się ten wynik przy dodaniu do funkcji produkcji czynnika o stałym w czasie zasobie ziemi T. Nowa funkcja produkcji przyjmuje postać: =. (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego. (b) Zlogarytmuj otrzymaną funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego. (c) Korzystając z następującej własności ścieżki zrównoważonego wzrostu: g y = g k, oblicz tempo wzrostu PKB na zatrudnionego. Czy jest ono zawsze dodatnie? Kiedy nie jest? (d) Sprawdź poprawność swojego wyniku, zakładając, że b = (1-a). Czy twój wynik jest przy tych parametrach identyczny ze standardowym modelem Solowa z postępem technologicznym? (e) Ile co najmniej powinna wynosić stopa wzrostu technologicznego, aby produkt na zatrudnionego rósł w czasie? (f) Załóżmy, że chcesz doradzić krajom najgorzej rozwiniętym (o bardzo dużym udziale sektora rolniczego), jaka powinna być ich strategia rozwoju. Jakie kroki byś zaproponował(a)? Zadanie 5.17 Rozważmy gospodarkę, w której produktywność kapitału K zależy od zużycia energii E zgodnie z następującą funkcją produkcji: Y=K Eα (AN) 1-Eα, gdzie 0<Eα<1, zaś A oznacza poziom zaawansowania technologicznego. Stopa oszczędności jest stała i wynosi s, stopa deprecjacji kapitału jest równa d, a tempo przyrostu naturalnego wynosi n. Tempo poprawy TFP jest dane: =. (a) Użyj modelu Solowa do obliczenia stopy oszczędności zgodnej ze złotą regułą. (b) Pewnego dnia wszystkie zasoby energii zostały wyczerpane, E=0 i funkcja produkcji przyjmuje postać Y=AN. Oblicz tempo wzrostu produkcji na 1 zatrudnionego. (c) Korzystając z odpowiedzi w (b) wyjaśnij, czy będziemy obserwować konwergencję dochodów miedzy krajami, które różnią się jedynie początkowym poziomem zaawansowania technologicznego A.

Zadanie 5.18 Na podstawie: Abel i Bernanke Macroeconomics, Ch. 6, Analytical problem 7. Funkcja produkcji wyrażona w kategoriach na 1 zatrudnionego ma postać y=ak α h 1-α, gdzie A poziom zaawansowania technologicznego, parametr 0 <α<1, y produkcja na 1 zatrudnionego, k kapitał fizyczny na 1 zatrudnionego, h kapitał ludzki na 1 zatrudnionego, odzwierciedlający poziom wykształcenia, umiejętności i doświadczenia zawodowego pracowników. Stopa oszczędności wynosi s i są one w całości przeznaczane na odtworzenie i powiększanie zasobu kapitału fizycznego, którego stopa deprecjacji wynosi d. Kapitał ludzki jest akumulowany podczas uczestnictwa w procesie produkcji im większy zasób kapitału fizycznego, który przypada na 1 zatrudnionego tym szybciej rosną jego kwalifikacje: h = Bk, gdzie B jest parametrem. Tempo przyrostu naturalnego i postępu technicznego wynoszą zero. (a) Wyprowadź wzór na wartość łącznej produkcji Y w omawianej gospodarce. Oblicz wielkość całkowitych oszczędności w gospodarce, pamiętając, że stopa oszczędności wynosi s. Uwzględniając fakt, że oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powiększanie zasobu kapitału fizycznego, oblicz tempo wzrostu zasobu całkowitego kapitału fizycznego K, ludzkiego H, oraz całkowitej produkcji Y. (b) Jaki będzie wpływ wzrostu stopy oszczędności na tempo wzrostu całkowitej produkcji w omawianej gospodarce? Porównaj otrzymany wynik z wpływem wzrostu stopy oszczędności w modelu Solowa z neoklasyczną funkcja produkcji y=ak α, nieuwzględniającą kapitału ludzkiego. Z czego wynika różnica? Zadanie 5.19 Poziom produkcji zależy od kapitału fizycznego K oraz kapitału ludzkiego H, co opisuje następująca funkcja produkcji: Y=K α (lh) 1-α. Czas może być przeznaczony albo na uczestniczenie w produkcji, albo na gromadzenie kapitału ludzkiego. Parametr l mierzy część czasu przeznaczoną na pracę (uczestniczenie w produkcji). Stopa oszczędności i stopa deprecjacji kapitału fizycznego są stałe i wynoszą, odpowiednio, s oraz d. Do akumulacji kapitału ludzkiego wykorzystywana jest edukacja, czyli czas niepoświęcony na działalność produkcyjną. Efektywność systemu kształcenia wynosi μ i tempo przyrostu kapitału ludzkiego jest dane przez = 1. (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, z kapitałem na jednostkę kapitału ludzkiego jako argumentem (k K/H). (b) Wyprowadź równanie opisujące dynamikę k. (c) Znajdź poziom k w stanie ustalonym. (d) Zapisz wartość całkowitego produktu Y jako funkcję k. (e) Oblicz tempo wzrostu Y w stanie ustalonym. Wiedząc, że część czasu poświęcana na działalność produkcyjną l jest ustalana przez podmioty, czy rozważany model można określić jako model wzrostu egzogenicznego? (f) Porównaj dwa kraje identyczne pod każdym względem poza poziomem kapitału ludzkiego (ale z identycznym tempem jego wzrostu). Czy dojdzie między nimi do konwergencji poziomów dochodu?