3. Numeryczne modeowanie roceów krzenięcia Modeowanie numeryczne rzeływów, którym towarzyzą rzemiany fazowe ub rzeływy ze wobodną owierzchnią, wciąż tanowi wyzwanie da naukowców zajmujących ię mechaniką łynów. Jet to łównie związane z trudnościami rozwiązywania nieiniowych układów równań tranortu momentu i enerii da zmieniającej ię w czaie domeny obiczeniowej. Dotychczaowe oiąnięcia w tym zakreie nie ą zadawaające. Główną rzyczyną jet brak efektywneo aorytmu wyznaczenia ołożenia frontu krzenięcia. Jet to robem, który można uznać za jeden z odtawowych w całym zaadnieniu, owodujący konieczność imementacji dratycznych urozczeń w wieu komercyjnych roramach odewniczych. Dodatkową komikacją, omijaną w więkzości modei ymuacyjnych rocey rzemyłowe, jet owtawanie ęcherzy owietrznych, tworzenie ię mikro-truktur w zakrzełej fazie tałej, czy nienewtonowkie właności łynów. Itnieją dwie odtawowe metodooie ozwaające na numeryczne rozwiązywanie robemu krzenięcia. Pierwza metoda oarta jet na odziae domeny obiczeniowej na dwie niezaeżne i zmieniające ię w czaie domeny, jednej da cieczy (iquidu) oraz druiej da zakrzełej fazy (oidu). Rozwiązywanie wymaa dokładneo śedzenia owierzchni międzyfazowej, wyznaczającej ranicę tych domen (an. front trackin method, Crank [9]). Podtawową wadą tej metody jet racochłonny numerycznie roce reeneracji iatki obiczeniowej w każdym kroku czaowym. Drua metoda oea na takiej modyfikacji równań tranortu i enerii, aby oiywały odtawowe właności obu faz, co ozwaa na rozwiązywanie robemu krzenięcia da jednej, nieruchomej domeny obiczeniowej. Praktyczną reaizacją tej metody jet tzw. metoda entaowa (an. fixed rid enthay oroity method), jedna z najouarniejzych obecnie metod ymuacji rzeływu z krzenięciem cieczy (Ni, Beckermann [43]). Obok rototy rocedury numerycznej, dodatkową zaetą metody entaowej jet brak otreo rzejścia z fazy ciekłej do tałej, co ozwaa na modeowanie nie-izotermicznych roceów krzenięcia. ytematyczne orównanie obu tych metod, wkazujące na ich zaety i mankamenty, zotało rzedtawione w racy Voera [61]. Intereujące jet także orównanie wyników ymuacji numerycznych rzerowadzonych tymi metodami z rzebieiem ekerymentów (Giani [17, 18], Banazka [4] oraz Kowaewkieo, Rebowa [33]), okazujące rozbieżności w uzykanych rezutatach i wkazujących na iny wływ na uzykane rozwiązanie zarówno termicznych warunków brzeowych, jak i zaeżnych od temeratury właności cieczy. Nieizotermiczne rzejścia fazowe, zczeónie da ubtancji wieokładnikowych, wiążą ię z roceem mikroereacji i tworzenia ię na owierzchni międzyfazowej koumnowych truktur (dendrytów), oważnie modyfikujących wymianę cieła i may w tym obzarze. Uwzędnienie takich roceów wymaa toowania ecjanych metod okanych, n. tzw. metody ó fazowych (an. Phae Fied Metod, Fabbri, Voer [13]). Nietety, do tej ory nie odano żadnej imementacji tej metody wykraczającej oza mode dynamiki wzrotu ojedynczych dendrytów. Oobną kateorię tanowi równie trudny robem modeowania ranicy rozdziału faz rzy uwzędnieniu wływu naięcia owierzchnioweo. Teo tyu modeowanie jet konieczne da rawidłoweo oiu wobodnej owierzchni cieczy odcza roceu wyełniania form odewniczych. Obecnie tandardową metodą, wykorzytującą nieruchomą iatkę do modeowania rozdziału faz ciekłej i azowej, jet tzw. metoda VoF (an. Voume of Fuid). Jej odtawy zotały rzedtawione w racy Hirta [4], a zczeóły imementacji z uwzędnieniem naięcia owierzchnioweo oiano w racy Brackbia i wółautorów [8]. W niniejzym rozdziae zebrano odtawowe informacje na temat numeryczneo modeowania roceów krzenięcia w obecności rzeływu konwekcyjneo oraz rzeływu z owierzchnią rozdziału faz. Wzytkie wymienione metody bazują na odtawowym w mechanice łynów układzie równań różniczkowych i warunków brzeowo-oczątkowych oiujących tranort may i enerii. Uwzędnienie w ymuacjach numerycznych rzemian fazowych i owierzchni rozdziału faz wymaa jednak modyfikacji równań odtawowych. Konkretne reaizacje różnią ię również zczeółowymi założeniami oraz oobem reaizacji rocedur numerycznych. Poniżej rzedtawiono odtawowe równania i warunki brzeowo-oczątkowe oiujące omawiane rocey, a natęnie założenia i cechy toowanych w racy aorytmów. Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 18
3.1. Potawienie robemu da ceów numerycznej mechaniki łynów ymuacje krzenięcia w obecności konwekcji naturanej i/ub rzeływów z owierzchnią rozdziału wymaają rozwiązania rzężoneo układu równań oiujących wymianę cieła i may da dwóch faz oraz równania Naviera-toke a. Da łynów nieściśiwych układ ten kłada ię z: zaady zachowania may + + 0 zaady zachowania ędu (3.1.1) ρ + ρu + ρv + ρw + div + t ρ + ρu + ρv + ρw + div µ v + Gy + v + F t ρ + ρu + ρv + ρw + div µ w + Gz + w + F t ( µ u) + Gx + u Fσ x ( ) σy ( ) σz (3.1.) (3.1.3) (3.1.4) zaady zachowania enerii ( c T ) ( c T ) ( c T ) ( c T ) ρ + u + v + w div( k T ) + T t x y z (3.1.5) dzie wytęujące o rawej tronie ymboe G,, F σ, oraz T oznaczają człony źródłowe. Równania różniczkowe (3.1.1)-(3.1.5) wraz z odowiednimi warunkami brzeowymi oraz warunkami oczątkowymi okreśającymi rędkość i temeraturę w anaizowanym obzarze w chwii tt 0 tanowią robem oczątkowo brzeowy, który jet rzedmiotem rozważań numerycznej mechaniki łynów. Jeo rozwiązanie rowadzi do wyznaczenia kładowych rędkości u, v, w, temeratury T, ciśnienia oraz ołożenia ranicy faz. W rozatrywanych rzeływach członem źródłowym, odowiedzianym za enerację rzeływu konwekcyjneo, jet człon wyornościowy G. Przy modeowaniu konwekcji naturanej najczęściej człon ten jet urazczany rzez rzyjęcie tałej wartości wółczynnika rozzerzaności objętościowej cieczy β i wyraża ię iniową zaeżnością iły wyoru od temeratury: G ρβ(t-t 0 ) (3.1.6) dzie oznacza wektor rzyiezenia ziemkieo. W wieu rzyadkach takie urozczenie rowadzi do dużych błędów, a rzy modeowaniu konwekcji naturanej wody w obiżu unktu anomaii ętości jet niedouzczane. W niniejzej racy uwzędniano nieiniową charakterytykę członu wyornościoweo rzyjmując funkcyjną zaeżność ętości łynu od temeratury: G (ρ(t)-ρ(t 0 )) (3.1.7) Człony źródłowe w równaniu tranortu may wykorzytywane ą rzy modeowaniu roceów rzemiany fazowej i zotały omówione w oniżej. Człon źródłowy F σ ojawia ię natomiat rzy modeowaniu rzeływu ze wobodną owierzchnią (rozdział 3.1.3) i odowiada za iły naięcia owierzchnioweo. Dodatkowy trumień cieła związany z rzemianą fazową oiuje człon źródłowy równania enerii T. Itnieje zere metod dykretyzacji i rozwiązywania równań Naviera-toke a (3.1.1)-(3.1.4), każda z nich ma woje wady i zaety. Ze wzędu na robemy numeryczne z członem ciśnieniowym, częto toowanym odejściem jet tranformacja tych równań do równań tranortu wirowości Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 19
(Davi [11]). Zatoowanie takiej tranformacji ozwaa wyeiminować z równań ciśnienie, co znacznie urazcza metodę rozwiązywania. Wadą tej metody jet to, iż wynikowe oa rędkości nie zawze ełniają równanie ciąłości (3.1.1), które w tej rerezentacji uea redukcji. Wśród metod bezośrednieo rozwiązywania układu (3.1.1)-(3.1.4) można wyróżnić metody rojekcyjne (Ferzier, Peric [14]), z których najbardziej rozowzechnione ą zaroonowane rzez Patankara aorytmy IMPLE i IMPLEC ([46]) oraz rzez Ia aorytm PIO ([5]). Kłooty numeryczne z członem ciśnieniowym rozwiązano tutaj droą dodatkowych korekt kładowych rędkości, tłumiących niefizyczne ocyacje ciśnienia (an. checkboard reure). 3.1.1. Modeowanie roceu krzenięcia Modeowanie roceów krzenięcia wymaa, jak womniano na wtęie, uwzędnienia w równaniach (3.1.1) - (3.1.5) dodatkowych członów źródłowych, odowiedzianych za modyfikacje tranortu enerii i may. Z fizyczneo unktu widzenia zjawiko krzenięcia można rozdzieić na dwa niezaeżne rocey: konwekcyjneo tranortu enerii i may w łynie i rzewodnictwa cieneo w fazie tałej. Te dwa rocey ą rzężone równaniem rzemiany fazowej, oiującym rzemiezczanie ię ranicy między obu fazami. Rozwiązanie tak otawioneo robemu rowadza ię do znaezienia tej ranicy i wyenerowania rozwiązań da każdej z faz. Wyznaczenie tej ranicy oea na znaezieniu owierzchni o temeraturze rzejścia fazoweo Γ(t). Oba rozwiązania, da fazy ciekłej i tałej, muzą być zodne na zmiennej ranicy. Da uzykania tej zodności rzyjmuje ię dodatkowe dwa związki: warunek zodności temeratur oraz warunek zodności bianu trumieni cieła. Ten otatni warunek, zwany warunkiem tefana, oiuje dodatkowy trumień cieła rzez owierzchnie ranicy faz związany z rzemianą fazową: r T T k k ρλ (3.1.8) n n n Γ Warunek tefana umożiwia obiczenie zmian ołożenia ranicy międzyfazowej. W obiczeniach numerycznych ociąa to za obą konieczność enerowania w każdym kroku czaowym nowej iatki obiczeniowej. Podtawy teoretyczne metody śedzenia frontu oiane ą w kiążce Cranka [9], natomiat imementacja oraz rzykłady rozwiązań da roceów krzenięcia ubtancji jednokładnikowych zotały rzedtawione m.in. w racy Yeoh a i wółautorów [67]. Na metodzie śedzenia frontu jet oarty toowany rzez autorów niniejzej racy roram ICE3D [68]. Z uwai na komikacje numeryczne metoda śedzenia frontu jet niema wyłącznie domeną badań teoretycznych w ośrodkach akademickich. W raktycznych reaizacjach najczęściej wykorzytywana jet jedno-obzarowa metoda entaowa Voer [6], Bennona i Incroery [7]. Podtawą tej metody jet założenie, że ten am układ równań różniczkowych oraz warunków brzeowych obowiązuje w całej domenie obiczeniowej Ω. Temu urozczeniu łuży wrowadzenie wółczynnika, zwaneo frakcją cieczy (an. iquid fraction), oiująceo tan kuienia materiału w danym unkcie domeny: f 0 T T T T 1 da da da T < T T < T < T T < T (3.1.9) Wartość wółczynnika frakcji zmienia ię od 0 da fazy tałej do 1 da fazy ciekłej. Da rzemiany izotermicznej odowiada to kokowej zmianie na ranicy faz. W rzeczywitości konieczne jet rzyjęcie ciąłej zmiany właności i obok fazy ciekłej i tałej ojawia ię obzar rzejściowym (T < T < T ), dzie frakcja cieczy okreśona jet rzez wartości ułamkowe. Itnienie takieo obzaru jet w wieu rzyadkach fizycznie uzaadnione, odowiada on tzw. muhy zone, orowatej trukturze oberwowanej na ranicy faz da rzemian nieizotermicznych i ubtancji wieokładnikowych. Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 0
W metodzie jedno-domenowej rzeływ cieła wyodnie jet oiywać zmianami entaii ośrodka. Przyjmując założenie o iniowej zmienności cieła rzemiany fazowej między temeraturami oidu i iquidu, entaię h(t) w dowonym unkcie obzaru Ω można okreśić wzorem: T h( T ) c dt + f λ (3.1.10) T 0 Frakcja cieczy łuży także do okreśenia ciąłej zmiany właności termofizycznych ośrodka (cieła właściweo c oraz rzewodności cienej k) oraz wyazania rędkości na ranicy z fazą tałą. Potrzebne związki w formie iniowej kombinacji wiekości odowiadających fazie tałej i ciekłej mają otać: u f u (3.1.11) v f v (3.1.1) w f w (3.1.13) c f c + ( 1 f ) c (3.1.14) k f k + ( 1 f ) k (3.1.15) Odrębneo omówienia wymaa otać dodatkowych członów źródłowych, wytęujących w równaniach (3.1.)-(3.1.4). Człony te łużą do modyfikacji tych równań, tak by ich otać da łynu (f 1) odowiadała równaniom Naviera-toke a, a da fazy tałej warantowała zerowanie ię oa rędkości. Praktycznie oznacza to dobór odowiednich funkcji, zaewniających ciąłość ochodnych i tabiny roce numeryczny: u (1 f ) C u (3.1.16) 3 f + 0.001 v (1 f ) C v (3.1.17) 3 f + 0.001 w (1 f ) C w (3.1.18) 3 f + 0.001 Można zauważyć, że da temeratur owyżej unktu tonienia (f 1) te człony źródłowe znikają w równaniach rzeływu. Da fazy tałej ich wyoka wartość owoduje natomiat zerowanie oa rędkości. Gdy temeratura ośrodka T rzyjmuje wartości ośrednie z rzedziału [T, T ] otrzymuje ię niezerowe wartości członów źródłowych. Dzięki temu równania rzeływu oiują oe rędkości na ranicy faz, tak jak w ośrodku orowatym. Takim ośrodkiem w zaadnieniach odewniczych jet obzar rzejściowy zajęty rzez krzenący meta i tworzące ię w nim dendryty. Metoda entaowa z uwai na rototę i rzydatność do modeowania nieizotermicznych roceów krzenięcia toowana jet bardzo częto w kodach komercyjnych i uniweryteckich. Przykładami moą być m.in. roramy Fuent [16], Fida [15] i Nc4mar [18]. Do ouarności metody entaowej rzyczynia ię brak konieczności reeneracji iatki obiczeniowej w każdym kroku czaowym ymuacji numerycznej, co itotnie zwiękza wydajność obiczeń. Ponadto, metoda ta daje eze rezutaty w orównaniu z metodą śedzenia frontu rzy modeowaniu krzenięcia materiałów anizotroowych, takich jak toy metai. Porzez imementacje odowiednich członów źródłowych, itnieje możiwość modeowania innych, dodatkowych roceów, takich jak Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 1
rzechłodzenie i owtawanie tzw. muhy zone. Mankamentem metody entaowej ą trudne do uniknięcia ocyacje oa temeratury ojawiające ię w obiżu frontu międzyfazoweo, rzy toowaniu niewytarczająco ętych iatek obiczeniowych. 3.1.. Modeowanie rzeływów ze wobodną owierzchnią Modeowanie wobodnej owierzchni w rzeływach oiera ię najczęściej na metodzie VoF (an. Voume of Fuid, Hirt [4]), ozwaającej na uwzędnienie w modeach numerycznych ił naięcia owierzchnioweo. Metoda VoF wyznacza owierzchnię rozdziału omiędzy fazami (na oół cieczą i azem) na odtawie rozwiązania równania ciąłości da objętościowej frakcji jedneo ze kładników. Równanie to ma natęującą otać: f t f + u f + v f + w 0 (3.1.19) Objętościowa frakcja jet dodatkową zmienną da fazy ciekłej okreśającą jej ułamkowy udział w każdej komórce obiczeniowej, rzy czym zachowany jet natęujący warunek: f f 1 (3.1.0) + Zakłada ię, odobnie jak w metodzie entaowej, że wiekości oiujące właściwości termo-fizyczne ubtancji zaeżą iniowo od ułamka każdej z frakcji objętościowej: ρ f ρ + f ρ (3.1.1) µ f µ + f µ (3.1.) c f c + f c (3.1.3) k f k + f k (3.1.4) Podobnie rędkości łynu w równaniach ruchu wyrażają ię rzez ułamki frakcji faz: u f u + f u (3.1.5) v f v + f v (3.1.6) w f w + f w (3.1.7) Dzięki takiej definicji możiwe jet oianie tymi amymi równaniami ruchu zachowania ię obydwu faz w całym obzarze obiczeniowym Ω. Oddziaływanie między fazami na ranicy rozdziału jet modeowane w równaniach (3.1.)-(3.1.4) za omocą dodatkoweo członu źródłoweo F σ w otaci: F σ σ 1 ργ f1 (3.1.8) ( ρ + ρ ) Człon ten zaeży od naięcia owierzchnioweo σ, radientu frakcji objętościowej f, okanej krzywizny owierzchni wobodnej γ oraz ętości ρ. Łatwo zauważyć, że da wzytkich komórek obiczeniowych wyełnionych tyko rzez jedną z faz, człon frakcji objętościowej. znika z owodu zeroweo radientu Podobnie jak w metodzie entaowej, metoda VoF wymaa toowania bardzo ętych iatek obiczeniowych na ranicy faz. Jej efektywne wykorzytanie w rzeływie z ruchomą ranicą (wyełnianie naczyń) wiąże ię z koniecznością dodatkoweo zaęzczania iatki obiczeniowej w F σ f Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych
obiżu zybko rzemiezczająceo ię frontu fazoweo. Taka imementacja metody wraz z dynamicznym zaęzczaniem iatki jet dotęna w toowanym w tej racy roramie numerycznym FLUENT 6. [16]. 3.. Modee fizyczne i metody wykonywania ymuacji roceów odewniczych Z uwai na konieczność rozwiązywania robemów o komikowanej eometrii i itotne da raktyki oraniczenie czau obiczeń, roramy odewnicze w wojej najrotzej otaci częto rowadzały ię do rozwiązania robemu rzewodnictwa cieła i krzenięcia tou w formie. Matematycznie roce ten oiany jet zaadnieniem oczątkowo-brzeowym da równania różniczkoweo rzewodzenia cieła (3.1.5), rzy czym ozukiwanym rozwiązaniem jet rozkład temeratury TT(x,y,z,t) w funkcji ołożenia x, y, z i czau t. Anaizowany obzar rzewodzenia cieła dziei ię na odobzary Ω, Ω, zajęte rzez fazę ciekłą i tałą tou, oraz dodatkowo wydzieony odobzar Ω f zajęty rzez formę. Powierzchnia brzeowa Ω f, oraniczająca obzar Ω f, jet tała, natomiat owierzchnie brzeowe Ω, Ω obzarów Ω i Ω zmieniają ię wraz ze adkiem temeratury, dy faza ciekła kurczy ię, a tała owiękza. Da materiałów tyowych da odewnictwa obzary Ω i Ω rozranicza obzar rzejściowy, dzie oberwuje ię toniową rzemianę fazy ciekłej w tałą. W najwiękzym urozczeniu rzyjmuje ię jednak, że ranica między fazą ciekłą i tałą tanowi zmienną w czaie owierzchnię (t), wyznaczoną rzez część wóną owierzchni Ω i Ω ((t) Ω Ω ). Przy rzejściu rzez tę owierzchnię to wydziea cieło krzenięcia λ w temeraturze T, a udział fazy tałej f doznaje koku: f 0 da (x,y,z) Ω i f 1 da (x,y,z) Ω. Rozwiązania równania enerii (3.1.5), ełniająceo warunki oczątkowe i brzeowe ozukuje ię da każdej z domen obiczeniowych. Położenie ranicy międzyfazowej (t) okreśa warunek tefana (3.1.8). W ełnym oiie robemu dochodzą dodatkowo warunki ciąłości trumienia cieła rzekazywaneo omiędzy formą a toem odewniczym i odowiednie warunki brzeowe wymiany cieła układu forma-odew z otoczeniem. Tyowe da roceów metauricznych ą ine zmiany właności materiałowych z temeraturą. Ich uwzędnienie w modeu numerycznym częto twarza kłooty z uwai na brak wytarczająco recyzyjnych informacji iteraturowych. Dazy rozwój komercyjnych roramów odewniczych koncentruje ię na dodatkowych modyfikacjach modei fizycznych, warunków brzeowych i oczątkowych, tak by możiwie ściśe oiywały rzebie fizyczneo zjawika. Na rzykład zauważono, że itotną orawę wyników można uzykać rzez uwzędnienie wływu roceu zaewania na oczątkowy rozkład temeratury tou, deformowanie ię tynąceo odewu, ereację kładników chemicznych, tworzenie ię dendrytów i kztałtowanie mikrotruktury materiału. Uwzędnianie tych dodatkowych efektów rowadzi do rozbudowanych modei, w których konieczne jet rozwiązywanie ełneo, rzężoneo układu równań may, momentu ędu oraz enerii. Zaeżnie od założeń roramu, różne rocey (zaewania formy, tworzenia mikrotruktury, deformacji, ękania odewów, itd.) rozwiązywane ą razem (rzężenie równań) ub oobno. Z uwai na złożone kztałty eometryczne, komercyjne roramy odewnicze budowane ą w oarciu o metody różnic kończonych (MR) i eementów kończonych (ME). ecyficzny da odewnictwa robem anaizy rzężeń ó temeratury i narężeń kutecznie rozwiązuje ię metodą eementów kończonych. Probem mikrotruktury materiału rozwiązuje ię używając wieu metod: ME, ME w ołączeniu z automatami komórkowymi i metodami tochatycznymi, uwzędniając w modeu fizycznym rzechłodzenie tou i dynamikę roceu tynięcia. W rzeciwieńtwie do ymuacji akademickich, obok konieczności bardzo recyzyjneo modeowania eometrii i właności materiałów, itotny da zatoowań rzemyłowych jet cza obiczeń. Wrowadzanie koniecznych z teo wzędu urozczeń modei numerycznych, jak okazano w dazej części racy, może jednak rowadzić do trudnych do rzewidzenia rozbieżności rozwiązań numerycznych i rzebieu zjawika fizyczneo. Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 3
3.3. Metody dykretyzacji Numeryczna mechanika łynów bazuje na metodach dykretyzacji domeny obiczeniowej i toowane aorytmy rozwiązywania odtawoweo zetawu równań (3.1.1 3.1.5) ą ściśe owiązane z tymi metodami. Głównym ceem numerycznej części racy była ocena możiwości i dokładności modeowania roceów krzenięcia, rzeływu konwekcyjneo oraz rzeływu dwufazoweo z owierzchnią rozdziału. ymuacje numeryczne wykonano roramami wykorzytującymi różne metody dykretyzacji obzaru obiczenioweo. Każda z itniejących metod ma woje zaety i wady. Do metod wykorzytanych w rezentowanych daej obiczeniach naeżą: metoda objętości kończonych (MO) [46] metoda różnic kończonych (MR) [11, 14] metoda eementów kończonych (ME) [14] metoda beziatkowa [3, 37] Pierwze trzy metody naeżą do kaycznych i ą toowane od wieu at zarówno w kodach akademickich jak i komercyjnych. Ich oi można znaeźć w więkzości odręczników metod numerycznych. Metody beziatkowe naeżą do nowych metod, nie mających jezcze dużeo raktyczneo zatoowania w mechanice łynów. Tym niemniej, uzykiwana dzięki uniknięciu komikowaneo enerowania iatki obiczeniowej eatyczność tych metod w oiie niema dowonych eometrii jet bardzo atrakcyjna da zatoowań rzemyłowych. Metody beziatkowe ozwaają na zybze wyznaczenie wółczynników układu równań aebraicznych da całeo obzaru obiczenioweo rzy użyciu dowonie rozłożoneo zbioru unktów. Punkty te moą być enerowane wewnątrz domeny obiczeniowej równomiernie ub oowo. Dodatkowo unkty można w łatwy oób zaęzczać w najbardziej intereujących rejonach rzez dodawanie koejnych, uzykując dzięki temu odowiednik iatek adatacyjnych. Itnieje wiee odmian metod beziatkowych z różneo tyu arokymacjami obzerny ich rzeąd można znaeźć w kiążkach Liu [37] ub Aturi [3]. Do tej ory jedynie kika z nich zotało zatoowanych do rozwiązywania robemów tranortu cieła i rzeływu [55], w tym także z rzemianą fazową [7]. W ramach obecnej racy tworzono oarty o metodę beziatkową roram numeryczny OLVMEF, rozwiązujący zaadnienie rzeływu konwekcyjneo. W imementacji metody zdecydowano ię wykorzytać odejście oarte o mode DAM (z an. Diffue Aroximation Method), będący średniokwadratową arokymacją najmniejzych kwadratów ó kaarnych i ich ochodnych. Dokładny oi metody w zatoowaniu do rzeływów ekich i termicznych można znaeźć w racach adat [54] oraz Prax [48]. Metoda może być zatoowana do dowoneo rozmiezczenia unktów kookacyjnych. Da urozczenia rocedury tetowej w nazych obiczeniach, rezentowanych w dazej części niniejzej racy, oraniczono ię do równomierneo rozkładu unktów. Przy tak urozczonym odejściu i rzy zatoowaniu rotej otaci tzw. funkcji bazowych: (1, x, y, x, xy, y ), wzory różnicowe na ierwze i druie ochodne dowonej funkcji można wyrowadzić anaitycznie. Arokymacja DAM ierwzych i druich ochodnych kaarnej funkcji Φ w dowonym unkcie P wyraża ię rotymi wzorami, rzyominającymi wzory różnicowe: m1 x Φ m1 y Φ ( Φ Φ ) + m ( Φ Φ ) + m ( Φ Φ ) E W NE hm + 4hm 1 ( Φ Φ ) + m ( Φ Φ ) + m ( Φ Φ ) N NW hm + 4hm 1 NW W NE E E W (3.3.1) (3.3.) Φ Φ E Φ h P + Φ W (3.3.3) Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 4
Φ Φ N Φ P h + Φ (3.3.4) Φ Φ W + Φ NE Φ 4h NW Φ NE (3.3.5) We wzorach h oznacza odełość omiędzy ąiednimi unktami, tak jak na ry. 10, a Φ P, Φ N, Φ, Φ W, Φ E, Φ NW, Φ NE, Φ W, Φ E oznaczają wartości funkcji arokymowanej w unktach będących w bezośrednim ąiedztwie unktu P, m 1, m oznaczają wartości tzw. funkcji waowej. Funkcja waowa okreśa zakre oddziaływania arokymacji i najczęściej jet rzyjmowana w otaci: r ex n(10) da r h m ( P, Z) h (3.3.6) 0 da r > h dzie r jet odełością omiędzy unktem P a Z (Z jet dowonym unktem z otoczenia unktu P, m 1 m(p,n)m(p,)m(p,e)m(p,w), m m(p,ne)m(p,nw)m(p,e)m(p,w)). Macierz układu równań iniowych otrzymanych z zatoowaniem oianej arokymacji jet rzadka, a iość niezerowych wółczynników w każdym wierzu macierzy jet ściśe związana z iością unktów wziętych od uwaę da wyrowadzenia wzorów różnicowych. Każda moekuła obiczeniowa (ry. 10) kłada ię z dziewięciu unktów. Zatem w każdym wierzu macierzy otrzymano nie więcej niż dziewięć niezerowych wółczynników. Jednak z uwai na trudności efektywnej faktoryzacji tak owtałej macierzy, otrzymany układ mui być rozwiązywany kayczną metodą Gaua eida. Nie jet to efektywne i jet to też jeden z owodów oraniczających zerze toowanie metod beziatkowych. Ry. 10. Przykładowe rozmiezczenie unktów obiczeniowych w arokymacji DAM Laboratoryjne wzorce do waidacji roramów odewniczych 5