Moelowanie i Analiza anych Przestrzennych Wykła Anrzej Leśniak Katera Geoinformatyki i Informatyki Stosowanej Akaemia Górniczo-utnicza w Krakowie Prawopoobieństwo i błą pomiarowy Jak zastosować rachunek prawopoobieństwa i statystykę matematyczną o analizy anych śroowiskowych a w szczególności o ilościowego opisu błęów Błęy pomiarowe najłatwiej analizować (i zrozumieć) używając aparatu matematycznego. =? =.4 =? =.98 nieokreślone nieokreślone
Zmienne losowe mogą cechować się pewną systematycznością (tenencją) mogą przyjmować pewne wartości częściej niż inne. Przykła = liczba atomów euteru w cząsteczce metanu. jest zmienną losową. C C C C C = = = =3 =4 Systematyczność zmiennej losowej może być scharakteryzowana rozkłaem prawopoobieństwa P(). Wartości w % (% -%) lub w ułamkach (.-. ) Cztery różne sposoby wizualizacji prawopoobieństwa P P %. 3%.3 4%.4 3 5% 3.5 4 5% 4.5 Prawopoobieństwa sumują się o % lub o....5 3 4 P P
Jeśli zmienna losowa jest ciągła może przyjmować wartości z zaanego przeziału (skończonego lub nieskończonego) w sposób ciągły. głębokość, 5 =.37 p() area, A Szare pole powierzchni określa prawopoobieństwo, ze rybka znajuje się mięzy głębokościami i. Prawopoobieństwo, że znajuje się pomięzy i Oczywiście
Jak scharakteryzować rozkła prawopoobieństwa? p() 5 p() 5 Wartość centralna (maksymalna), szerokość rozkłau??? Istnieje kilka propozycji sposobów charakteryzowania kształtu. Zacznijmy o sposobów określania wartości typowej rozkłau (wartości oczekiwanej). p() p() p() moe 5 moe meian area= 5% 5 mean meian mean area=5% 5 Wartość maksymalna 5 meiana 5 Wartość śrenia
step : sposób obliczania wartości śreniej step : jeśli zamiast anych posługujemy się histogramem ane s histogram step 3: jeśli zastąpimy histogram rozkłaem prawopoobieństwa la zmiennej ciągłej s N s N s N p s P( s ) s s Rozkła prawopoobieństwa Obliczenie szerokości rozkłau q() = (- typical ) użyj wartości śreniej la typical Pierwiastek z wariancji jest e facto miarą szerokości rozkłau tj. Więc funkcja q()p() ma: małą wartość jeśli większość jest skupiona blisko typical, czyli rozkłap()skupiony (wąski) użą wartość jeśli większość jest zlokalizowana aleko o typical, czyli rozkłap()jest szeroki Wielkość pola powierzchni q()p() ilościowo charakteryzuje szerokość rozkłau prawopoobieństwa
wa typowe rozkłay prawopoobieństwa p() Jenorony: impuls prostokątny /( max- min ).8.6.4. min 3 4 5 max Normalny: funkcja zwonowa (gaussowska) Wariancja równa Przykłay zróżnicowania la normalnego rozkłau prawopoobieństwa Ta sama wariancja różne wartości śrenie Ta sama wartość śrenia różne wariancje 4 = 5 5 3 4 =.5 5 4
Funkcje zmiennej losowej ane zawierające błą pomiarowy przetworzenie anych wnioskowanie w warunkach losowych wartość pomierzona jenorony p..f. << m = jeen wynik, wartość moelu, m Funkcje zmiennej losowej ane:p() regułam= p(m)? metoa: = wartość bezwzglęną oano by zabezpieczyć się prze przypakiem gy m <m gym= wówczas=m / przeział:= correspons to m= = correspons to m= p..f.: p() = więc p[(m)]= pochona: / m = (/)m -/ w rezultacie: p(m) = (/) m -/ w przeziale <m<
p() p(m) Jeśli p() jest stałe to p(m) jest skoncentrowane wokół m= Śrenia, i wariancja Jaka bęzie m oraz m la liniowej zmiany m=c? la śreniej m=c, la wariancji m = c m Wyniki niezbyt realistyczne jeen pomiar, jena wartość. Prawopoobieństwo warunkowe Przykła: populacja ptaków na wyspie 3 brązowych gołębi tan piegons białych gołębi white piegons brązowych mew tan gulls 4 białych mew white gulls Potraktujmy gatunek i kolor ptaka jako zmienne losowe wuwymiarowy rozkła prawopoobieństwa P(s,c): P(s,c) kolor, c brązowy, t biały, w gołąb, p 3% % mewa, g % 4%
Prawopoobieństwa brzegowe mogą być policzone poprzez sumowanie wierszy lub kolumn P(s,c) Prawopoobieństwo gatunku niezależnie P(s,c) kolor, c P(s) o koloru brązowy, t biały, w gołąb, p 3% % mewa, g % 4% suma wierszy gołąb, p 5% mewa, g 5% P(c) kolor, c suma kolumn brązowy, t biały, w Prawopoo -bieństwo koloru niezależnie o gatunku 4% 6% Prawopoobieństwo warunkowe: jakie jest prawopoobieństwo jenej sytuacji, gy zachozi inna sytuacja P(s,c) kolor, c P(s) P(c s) kolor, c brązowy, t biały, w brązowy, t biały, w gołąb, p 3% % mewa, g % 4% Poziel przez gołąb, p 5% mewa, g 5% gołąb, p 6% 4% mewa, g % 8% Poziel przez P(c) brązowy, t biały, w 4% 6% kolor, c brązowy, t biały, w P(s c) gołąb, p 75% 33% mewa, g 5% 67% kolor, c Prawopoo -bieństwo gatunku la anego koloru Prawopoobieństwo koloru la anego gatunku
Twierzenie Bayesa To samo więc czyli PAMIĘTAJ!!! Wnioskowanie Bayesa sprowaza się o aktualizacji wiezy Obserwator wizi ptaka. Chce wiezieć jakie jest prawopoobieństwo, że jest to gołąb. Jeśli powie wizę jakiegoś ptaka, prawopoobieństwo że wizi gołębia wynosi: P(s=p) = 5% ponieważ połowa ptaków na wyspie to gołębie. Jeśli powie wizę brązowego ptaka, prawopoobieństwo się zmieni: P Liczymy : P(s=gołąb c=brązowy) ( ) ( c s) P( s) P s c = P( c s ) P( ) i i s i Prawopoobieństwo rośnie gy uwzglęniona jest oatkowa informacja
Statystyki wuwymiarowe la wuwymiarowej, ciągłej zmiennej losowej o gęstości prawopoobieństwa p(, ) prawopoobieństwo osiągnięcia stanu że leży pomięzy L i R zaś leży pomięzy L i R wynosi: p(, ) L L L Rozkła gęstości prawopoobieństwa może być utożsamiany z rozkłaem gęstości R Prawopoobieństwo ane powyższą całką określa masę zgromazoną wewnątrz ramki. oczywiście zachozi Brzegowe rozkłay prawopoobieństwa: p..f. zmiennej niezależna o p..f. zmiennej niezależna o p(, ) integrate over p( ) = = p (, ) p (, ) p( ) integrate over = = ( ) p(, ) ( ) p(, )
Korelacja tenencja zmiennej losowej o zmian wraz ze zmianami zmiennej losowej korelacja oatnia : waga mężczyzn wzrasta wraz z ich wzrostem korelacja ujemna : ługość życia człowieka maleje wraz z ze wzrostem ilości wypalonych papierosów oatnia korelacja ujemna korelacja nieskorelowane Ilościowe ujęcie korelacji p(, ) s(, ) s(, ) p(, ) + + oraz są w tym prostokącie ujemne więc iloczyn jest oatni, it. p..f. zmienne losowe oniesione o wartości śrenich o wartości Wymnóż i scałkuj s(, )
Wariancje i kowariancje są często zapisywane wspólnie w macierzy C C =, la większej ilości zmiennych [,, ] T, K N,,, K N = [ ] T, C =,3 L,,3 L,3,3 3 L la rozkłau normalnego wielowymiarowa i jenowymiarowa funkcja gęstości prawopoobieństwa ma rozkła: =,,, L L L L K, macierz C jest symetryczna tworzymy wektory N macierz kowariancji C na głównej przekątnej posiaa wariancje poszczególnych zmiennych Pierwiastek z wyznacznika macierzy kowariancji Macierz owrotna o macierzy kowariancji