Problem 1 [Sieć telekomunikacyjna routing] Sieć z komutacją pakietów (packet switched newtork) z dwoma różnymi klasami danych: A packet switched network is a digital communications network that groups all transmitted data, irrespective of content, type, or structure into suitably sized blocks, called packets. The network over which packets are transmitted is a shared network which routes each packet independently from all others and allocates transmission resources as needed. Klasa 1 jest transmitowana ze źródła 1 do punktu docelowego 1, a klasa 2 jest transmitowana ze źródła 2 do punktu docelowego 2. Rozdzielniki sieciowe kierują pakiety na podstawie tabel routingowych. Każde połączenie ma stałą przepustowość, która jest dzielona przez dwie klasy informacji. Jeśli połączenie jest zapchane, losowo wybrany pakiet, który jest kierowany tym połączeniem jest wyrzucany. Cel: Maksymalizuj całkowitą przepustowość sieci. Tabela maksymalnych przepływów podana jest na wykresie poniżej: a) Stwórz problem optymalizacji liniowej dla podanego przykładu b) Rozwiąż problem w excelu c) Przypuśćmy, że informacja transmitowana ze źródła 1 do punktu docelowego 1 ma wyższy priorytet niż ta transmitowana ze źródła 2 do punktu docelowego 2. W szczególności maksymalizować byśmy chcięli przepustowość 2 2 plus 4 razy przepustowość 1 1. Zmodyfikuj funkcję celu i rozwiąż ponownie.
d) Załóżmy, że zmiany z punktu c) pozostają w mocy. Wprowadzono zmiany do sieci: Połączenie (3,7), (8,10), oraz (9,13) przestało istnieć. Wprowadzono nowe połączenia: (3,8) i (8,13) z przepustowością kolejno 4 i 2. Wreszcie przepustowość łącza (8,11) wzrosła do 2 a łącza (10,13) do 4. Wprowadź zmiany i rozwiąż. Problem 2 [Problem pustych przebiegów] Przedsiębiorstwo transportowe odnajmuje ciężarówki o jednakowej ładowności, które przewożą towary pomiędzy siedmioma miastami. Przewidywany przewóz masy towarowej pomiędzy tymi miastami (wyrażony liczbą pełnych ciężarówek) oraz odległości pomiędzy miastami (w km) podano w tabelach poniżej. pij 1 2 3 4 5 6 7 dij 1 2 3 4 5 6 7 1 0 5 8 11 4 6 16 1 0 18 34 55 10 21 50 2 10 0 8 7 6 5 12 2 0 53 29 64 19 10 3 9 4 0 5 5 10 7 3 0 18 33 22 14 4 4 3 3 0 6 9 17 4 0 54 9 36 5 20 15 4 9 0 8 6 5 0 13 15 6 10 9 7 8 11 0 11 6 0 19 7 8 7 6 5 7 9 0 7 0 a) Znaleźć taki plan przewozu pustych ciężarówek, przy którym samochodokilometraż pustych przebiegów będzie minimalny. Problem 3 [Kuny Tuckera] Tucker ma nie lada problem. Na jego rozległej farmie zalęgły się kuny i wyrządzają szkody wśród drobiu. Postanowił, że wraz z dwoma synami przepędzi jak najwięcej kun. Zaplanował, że wyruszą z głównego budynku gospodarczego (węzeł 1) i z kołatkami będzie przemieszczać się w stronę węzłów reprezentujących granice farmy (węzły 11, 12 i 13) wszystkie końcowe węzły muszą zostać zajęte. Na grafie poniżej zaprezentowano możliwe drogi przejścia obławy. W tabeli przedstawiono oczekiwaną liczbę kun mieszkających na trasie między poszczególnymi węzłami, które zostaną wygnane po przejściu tą drogą. Tucker postanowił, że wszyscy członkowie
rodziny powinni iść innymi drogami (choć mogą spotykać się w pojedynczych punktach). Pomóż wygnać kuny Tuckera! a) Podaj definicję zmiennych decyzyjnych użytych do rozwiązania zadania. b) Zapisz funkcję celu używając definicji zmiennych decyzyjnych (i ewentualnych pomocniczych oznaczeń w celu skrócenia zapisu). c) Jakie jest maksymalna możliwa liczba przepędzonych kun? d) Załóż, że więcej niż jedna osoba może iść daną drogą i każde przejście powoduje przepędzenie jednej trzeciej spośród początkowej liczby kun zadanej tabelą poniżej. Jakie jest maksymalna liczba przepędzonych kun? e) Załóż, że więcej niż jedna osoba może iść daną drogą, lecz pierwsze przejście powoduje przepędzenie wszystkich kun, a kolejne przejścia nic nie dają. Jakie jest maksymalna możliwa liczba przepędzonych kun? łuk kun łuk kun łuk kun 1 2 9 4 7 6 7 6 9 1 3 3 4 8 0 7 12 3 1 4 3 4 9 3 7 13 9 1 5 3 5 8 15 8 7 6+3k/2 2 6 3 5 9 18 8 10 3 2 7 12 6 11 3 9 10 3 3 7 3 6 12 3 10 13 6
11 6 2 7 3 12 1 8 13 4 10 9 5 Problem 4 [Firma Ariadna] Firma ARIADNA przewozi jednorodny i doskonale podzielny towar w sieci transportowej danej schematem. Przy łukach sieci dane są jednostkowe koszty transportu. W początkowej wersji problemu brak ograniczeń w przepustowości wyróżnionych tras i węzłów.
a) Prim: Znajdź plan transportu o minimalnym łącznym koszcie przepływu towaru. Rozpatrz odrębnie, wychodząc z zadania podstawowego, dwa przypadki: b) Bis: Znajdź plan transportu o minimalnym łącznym koszcie przepływu towaru w przypadku, gdy przepustowość łuku (4,7) wynosi co najwyżej 250 jednostek towaru a gdy przepustowość łuku (7,8) wynosi co najwyżej 200 jednostek towaru. c) Ter: Znajdź plan transportu o minimalnym łącznym koszcie przepływu towaru w przypadku, gdy przepustowość węzła 5 wynosi co najwyżej 50 jednostek towaru a przepustowość łuku (1,9) co najwyżej 100 jednostek towaru.