WNIOSKOWANIE ROZMYTE FUZZY INFERENCE

Dominik Ziajka WNIOSKOWANIE ROZMYTE FUZZY INFERENCE Celem artykułu jest przedstawienie teorii zbiorów rozmytych, wnioskowania rozmytego oraz porównania ich ze zbiorami przybliżonymi. Wprowadzenie do zbiorów rozmytych ma na celu ukazanie praktycznej strony oraz zastosowania ich w obszarach życia codziennego. Autor pracy spróbuje omówić zagadnienia, bazując na wzorach matematycznych, w formie zrozumiałej dla czytelnika, przedstawiając jednocześnie konkretne przykłady umożliwiające głębsze zrozumienie. Aim of Article is present fuzzy sets, fuzzy inference and to compare them with rough sets. Introduction to fuzzy sets intend to show up practical side of them and apply them into areas of daily life. The Author tries to lay down issues, based on mathematical formulas in a form understandable to the reader, pointing out specific examples for deeper understanding. Słowa kluczowe: zbiory rozmyte, wnioskowanie, logika rozmyta, modelowanie rozmyte, zbiory przybliżone, reguły Keywords: fuzzy sets, inference, fuzzy logic, fuzzy modeling, rough sets, rules inż. Dominik Ziajka, Instytut Teleinformatyki, Wydział Fizyki Matematyki i Informatyki, Politechnika Krakowska

1. Wstęp do zbiorów rozmytych Tradycyjne podejście do obliczeń określało pojęcie niepewności jako niepożądane. Podejście klasyczne zawiera w sobie jasne ramy problemu, precyzje i liczby reprezentujące dany problem. Z biegiem czasu uczeni uznali, że nauka nie może pomijać sytuacji gdzie występuje brak precyzyjności, nieokreśloności i niespójności. Mało tego, niejednoznaczność stała się doskonałym narzędziem. Pierwszym krokiem wykorzystania niepewności było wykorzystanie mechanizmów statystyki, gdzie w końcu XIX wieku badano procesy na poziomie cząsteczek. Liczba informacji była i jest zbyt duża aby studiować to zagadnienie klasycznymi metodami, zarówno w dostępnych mocach obliczeniowych komputerów, jak i w podstawowych ograniczeniach obliczeń 1. Dwa podejścia, bezpośrednich liczb oraz wykorzystanie statystyki są skrajnymi możliwościami podejścia do zagadnienia. Większość problemów znajduje się jednak pomiędzy nimi, gdzie nie mamy jasno określonych ram lub problem jest zbyt złożony. [GJ95, s. 19]. Teoria zbiorów rozmytych została zaproponowana przez profesora Lotfi Ladeh, z uniwersytetu UC Berkeley w 1965 roku. Zbiory rozmyte określił jako zbiory z granicami, które nie są precyzyjne. Wprowadzono pojęcie funkcji przynależności określającą stopień przynależności danego elementu w celu określenia przynależności danego elementu do zbioru rozmytego [GJ95]. Funkcja ta przyjmuje wartości z zakresu [0, 1], gdzie 0 oznacza brak przynależności, a 1 pełną przynależność. Zaletą stosowanie zbiorów rozmytych jest możliwość stopniowego opisywania rzeczywistości. W normalnych warunkach opisujemy elementy, nas otaczające, przez kwantyfikatory duży, średni, mały, bardzo mały itd. Pojęcia te jednak nie są jednoznacznie zdefiniowane ze względu na miarę. Przykładowo, możemy opisywać zjawiska subiektywne, jak pogoda. Uważa się, że dzień z dużym nasileniem słońca i bezchmurny jest słoneczny. Nie oznacza to jednak, że w 100% jest bezchmurny dzień. Wartość ta może wahać się dla jednych pomiędzy 0% a 10%, dla drugich pomiędzy 0% a 20%. Kolejno, pojęcie średnie zachmurzenie, też nie jest jednoznaczne. Dodatkowo, pojęcia te przenikają pomiędzy siebie i nie ma jednoznacznej granicy pomiędzy nimi. Zbiory rozmyte umożliwiają opisywanie tych zjawisk przez funkcje przynależności, które w większości przypadków nie opisują skrajnych sytuacji (TAK - 1, NIE - 0), a stopień przynależność do danego określenia. [DD80, s. 261] [WS05, s. 118]. 1 Limit Bremermanna - maksymalna moc obliczeniowa układu (2 10 4 7 na gram) jaką można uzyskać niezależnie od stanu wiedzy technicznej.[bre] 2

2. Zbiory rozmyte Świat rzeczywisty postrzegamy poprzez ocenę przedmiotów, zjawisk czy też własnych subiektywnych odczuć. W przypadku zbiorów rozmytych, element, który podlega analizie nazywamy zmienną lingwistyczną. Definicja 1. Zmienną lingwistyczną (ang. linguistic variable) jest ta wielkość wejściowa, wyjściowa bądź zmienna stanu, którą zamierzamy oceniać stosując oceny lingwistyczne, zwane wartościami lingwistycznymi. [Pie99, s. 14] Przykładami zmiennej lingwistycznej są: wzrost, waga, prędkość wiatru. Każdy z tych elementów możemy ocenić poprzez zastosowanie przymiotnika przy danej cesze. Dla zbiorów rozmytych określenie to nazywa się wartością lingwistyczną. Definicja 2. Wartość lingwistyczna (ang. linguistic value) jest słowną oceną wielkości lingwistycznej. [Pie99, s. 14] Przykładami wartości lingwistycznej są: mały, średni, duży, brzydki, pojemny. Niedokładne określenie liczb, np. prawie 7, około 4, trochę powyżej 12 nazywamy liczbą rozmytą. Zbiorem wszystkich wartości zbioru rozmytego nazywamy przestrzenią lingwistyczną zmiennej. Definicja 3. Przestrzeń lingwistyczna zmiennej (ang. linguistic term-set) jest zbiorem wszystkich wartości lingwistycznych stosowanych do oceny danej zmiennej lingwistycznej. [Pie99, s. 15] Wartości, które reprezentuje zmienna lingwistyczna nazywa się przestrzenią numeryczną zmiennej. Definicja 4. Przestrzeń numeryczna zmiennej (ang. universe of discourse) jest zbiorem wszystkich wartości numerycznych, jakie może ona realnie przyjąć w rozpatrywanym systemie lub też takich wartości, które są istotne dla rozwiązywanego problemu (modelu systemu). [Pie99, s. 16] Przykładowo może być to zakres temperatur w rozpatrywanym modelu od 0 do 100 st.c. Określenie wartości lingwistycznej realizujemy poprzez funkcje przynależności. 3

Definicja 5. Funkcją przynależności zbioru rozmytego A (µ A (x)) nazywamy funkcję która każdemu elementowi x X przypisuje stopień jego przynależności µ A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym: [Pie99, s. 17] µ A (x) [0, 1]. (1) Definicja 6. Funkcją przynależności realizuje odwzorowanie przestrzeni numerycznej X danej zmiennej do przedziału [0, 1]: [Pie99, s. 17] x : X [0, 1]. (2) Definicja 7. Stopniem przynależności (ang. grade of membership) nazywamy wartość zwracaną przez funkcję przynależności. Stopień przynależności określa w jakim stopniu element x należy do zbioru rozmytego A. Definicja 8. Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) dla pewnej przestrzeni rozważań X, nazywamy zbiór par: [Pie99, s. 17] A = {µ A(x), x} (3) 2.1. Funkcje przynależności bardzo niska niska średnia wysoka bardzo wysoka 1 Przynależność 0 T 1 Temperatura, C T 2 Rysunek 1: Przykładowa funkcja przynależności dla określenia temperatury. 4

Tablica 1: Przykładowe funkcje przynależności. Funkcja przynależności Reprezentacja graficzna Definicja Singleton µ ( x) 1 µ(x, a) = 0 a x µ ( x) 1 Trójkątna µ(x; a, b, c) = 0 a b a c x dla b < x c c b 0 dla x > c (4) 0 dla x a, x a b a dla a < x b µ(x; a, b, c, d) = 1 dla b < x c d x d c dla c < x d 0 dla x > d µ ( x) 0 0 dla x a, x a dla a < x b x c b 1 Trapezowa ( 1 dla x = a, 0 dla x 6= a a b c d x (5) 1 0 3. (x µ)2 µ(x, µ, σ) = exp, 2σ 2 µ ( x) Gaussowska µ - środek, σ 2 - wariancja x µ Logika rozmyta Klasyczna logika dwuwartościowa opiera się na operacjach logicznych: ORAZ (ang. AND) - operator przecięcia (iloczynu logicznego) zbiorów, LUB (ang. OR) - operator połączenia (sumy logicznej) zbiorów, 5 (6)

NIE (ang. NOT) - operator negacji (dopełnienia logicznego) zbiorów. [Pie99] Operacja w niej przeprowadza się na dwóch wartościach 1 (należy do zbioru), 0 (nie należy). W przypadku zbiorów rozmytych, w większości przypadku, występuje niepełna przynależność do zbioru, dlatego L.Zadeh zaproponował zastosowanie operatora minimum - MIN: µ A B (x) = MIN(µ A (x), µ B (x)), x X. (7) Był to pierwszy operator rozszerzający operację przecięcia zbiorów nierozmytych na zbiory rozmyte [Pie99, p. 111] Alternatywnym rozwiązaniem jest zastosowania operatora iloczynu - PROD określonego jako: µ A B (x) = µ A (x) µ B (x), x X. (8) 1 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 µ A ( x i ) µ B ( x i ) ( x ) µ A B i µ A B x i MIN ( ) PROD Rysunek 2: Porównanie operatora MIN oraz PROD (todo: złożyć to na jednym obrazie). Operator t-normy jest funkcją T modelującą operacją połączenia (AND) dwóch zbiorów rozmytych A, B o cechach spełnionych dla wszystkich x X: 1. T : [0, 1] [0, 1] [0, 1] - przestrzenie odwzorowania, 2. T (0, 0) = 0 - zerowanie, 3. T (µ A (x), 1) = µ A (x), T (1, µ B (x)) = µ B (x) - tożsamość jedynki, 4. T (µ A (x), µ B (x)) = T (µ B (x), µ A (x)) - przemienność, 6

5. T (µ A (x), T (µ B (x), µ C (x))) = T (T (µ A (x), µ B (x)), µ C (x)) - łączność, 6. µ A µ C (x), µ B (x) µ D (x) T (µ A (x), µ B (x)) T (µ C (x), µ D (x)) - monotoniczność. Operator s-normy jest funkcją S realizującą operację połączenia LUB dwóch zbiorów rozmytych A i B o własnościach dla wszystkich x X: [Pie99, s. 127] 1. S : [0, 1] [0, 1] [0, 1] - przestrzenie odwzorowania, 2. S(0, 0) = 0 - zerowanie, 3. S(µ A (x), 0) = µ A (x), S(0, µ B (x)) = µ B (x) - działanie zawierające element naturalny równy 0, 4. S(µ A (x), µ B (x)) = S(µ B (x), µ A (x)) - przemienność, 5. S(µ A (x), S(µ B (x), µ C (x))) = S(S(µ A (x), µ B (x)), µ C (x)) - łączność, 6. µ A µ C (x), µ B (x) µ D (x) S(µ A (x), µ B (x)) S(µ C (x), µ D (x)) - monotoniczność. Tablica 2: Komplementarne pary t-norm i s-norm [Pie99, 129] t-norma MIN iloczyn algebraiczny iloczyn Hamachera iloczyn Einsteina iloczyn drastyczny iloczyn ograniczony nastawialny operator przecięcia zbiorów Hamachera nastawialny operator przecięcia zbiorów Yagera kompletarna s-norma MAX suma algebraiczna suma Hamachera suma Einsteina suma drastyczna suma ograniczona nastawialny operator połączenia zbiorów Hamachera nastawialny operator połączenia zbiorów Yagera Pomiędzy normami T i S zachodzi związek komplementarności: T [µ A (x), µ B (x)] = 1 S[1 µ A (x), 1 µ B (x)] (9) 7

4. Wnioskowanie rozmyte 4.1. Blok rozmywania Rysunek 3: Proces wnioskowania systemu rozmytego Systemy z logiką rozmytą operują na zbiorach rozmytych, z tego względu każdą wartość numeryczną należy przekształcić na wejściu systemu w zbiór rozmyty. W systemach sterowania stosuje się operacje rozmywania typu singleton, rzadziej inne funkcje przynależności. Rozmywanie (ang. fuzzyfication) polega na znalezieniu stopnia przynależności wartości lingwistycznej zmiennej lingwistycznej odpowiadającej liczbie wejściowej, skalarnej czy też rozmytej. [WS05, s. 66] Przykładowo, posiadając liczbę rozmytą t, której wartości są określone od 0 do 100 st. C. Rozmywanie ma za zadanie odwzorować wartość w zmienną lingwistyczną (niska, średnia, wysoka temperatura) określoną przez funkcje przynależności na pełnym zbiorze [0, 100]. [WS05, s. 66] 8

4.2. Baza reguł Wiedze w systemach rozmytych reprezentuje się poprzez reguły, zwane również rozmytymi modelami wiedzy. Najczęściej stosowanym rozwiązaniem jest regułowa reprezentacja wiedzy typu JEŻELI-TO. Ogólna postać regułowej reprezentacja wiedzy zwanej też regułami wnioskowania lub regułami decyzji sklada się z części warunkowej p r, zwanej przesłanką bądź poprzednikiem reguły oraz części decyzyjnej q r zwanej konkluzją bądź następnikiem reguły. W formie ogólnej ma postać: JEŻELI p r TO q r (10) Słowa kluczowe JEŻELI (ang. IF) oraz TO (ang. THEN) stanowią słowa kluczowe poprzedające odpowiednio przesłankę i konklujzę reguły. Swoją popularność zawdzięczają swojej prostocie zapisu, interpretacji i wnioskowania. Korzyścią z zastosowania ich jest operacja na znacznie mniejszej ilości informacji o systemie niż w modelach matematycznych. Występują różne postaci bazy wiedzy w zależności od zastosowanego modelu. Poniżej zaprezentowano najpopularniejsze z nich. [Rud11] 5. Modelowanie rozmyte Modelowanie jest procesem odwzorowanie rzeczywistości w system informatyczny. W przypadku zbiorów rozmytych opracowywane są różnorodne modele, różniące się poziomem dokładności, ograniczenia struktury czy też poziomem szczegółowości. Podstawową różnicą w stosunku do klasycznych modeli jest zmniejszona liczba informacji wymagana do opracowania takowego modelu. W modelach wnioskowania możemy wyróżnić dwie podstawowe grupy: modele lingwistyczne, gdzie podstawą jest zbiór reguł JEŻELI-TO stanowiących jakościowy opis systemu, oraz oparte na modelu Takagi-Sugeno-Kanga, w którym są tworzone reguły logiczne mające rozmytą część poprzedników i funkcyjny następnik (połączenie modelu rozmytego z klasycznym). 5.0.1. Rozmyte modele lingwistyczne (Mamdani) Model Mamdaniego jest podstawowym modelem wnioskowania rozmytego opierającego się na bazie reguł oraz zastosowaniu operatorów lingwistycznych. Zastosowano w nim model człowieka-regulatora sterującego obiektem. Wykorzystuje się go do sterowania rozmytego obiektów dynamicznych. Odwzorowuje 9

wejścia modelu X na wyjście Y : X Y wykorzystując zbiór rozmytych reguł warunkowych (ang. fuzzy conditional rules) o postaci: JEŻELI (x jest A i ) TO (y jest B j ), (11) gdzie x jest zmienną wejściową modelu, y zmienną wyjściową, a A i, B j wartościami zmiennych lingwistycznych. R1: JEŻELI (x jest A 1 ) TO (y jest B 1 ) R2: JEŻELI (x jest A 2 ) TO (y jest B 2 )... (12) Każda z reguł określa cechę systemu reprezentowaną na przestrzeni iloczynu kartezjańskiego (X Y ) systemu rzeczywistego (punkty charakterystyczne). Nie jest wymagane aby każda cecha była zgodnym odwzorowaniem systemy, ale aby średnia dokładność byłaby odpowiednio wysoka. B 3 y 5 y R 3 * B 3 4 model 4 y 5 y * R 3 3 3 B 1 B 2 2 1 R 1 R 2 system * B 1 * B 2 2 1 * R 1 * R 2 µ( y ) 0 1 2 3 4 x µ( y) 0 1 2 3 4 x µ( y) A 1 A 2 A 3 µ( y) * A 1 * A 2 A 3 * 0 1 2 3 4 x 0 1 2 a ) b) 3 4 x Rysunek 4: Przykłady odwzorowania reguł w system rzeczywisty. Funkcja przynależności relacji rozmytej R ij wyznaczna jest przy wykorzystaniu operatora t-normy: 10

µ Rij (x,y) = µ Ai B j (x, y) = T (µ Ai, µ Bj (y), (13) gdzie T jest operatorem t-normy (np. MIN lub PROD). B 11 B µ µ 12 µ Y 1 µ F B µ 21 B µ 22 µ Y 2 u 1 u 2 Rysunek 5: Przykład wnioskowania Mamdamiego. Wyjście systemu obliczane jest jako: y = R y i µ Ai (x) i=1 R µ Ai (x) i=1 (14) 5.0.2. Model Takagi - Sugeno - Kanga Model Takugi-Sugeno-Kanga, zwanego w skrócie TSK różni się od modelu Mamdaniego postacią reguł: JEŻELI (x jest A) TO (y = f(x)), (15) gdzie x jest zmienną wejściową modelu, y zmienną wyjściową, A wartością lingwistyczną, a f nierozmytą funkcją wartości wejśc. Baza reguł ma postać: 11

R1: JEŻELI (x jest A 1 ) TO (y = f 1 (x)) R2: JEŻELI (x jest A 2 ) TO (y = f 2 (x))... (16) W porównaniu do modelu Mamdaniego, jako konkluzje otrzymujemy funckję f(x) zamiast zbioru rozmytego. Wyjście modelu oblicza się na podstawie stopnia aktywizacji poszczególnych konkluzji wyrażonych wzorem: y = m µ Ai (x)f i (x) i=1 m µ Ai (x) i=1 (17) 5.0.3. Modele relacyjne Kolejną metodą reprezentacją modelu rozmytego jest rozmyty model relacyjny (ang. fuzzy relational model) zawierający w sobie współczynniki wag. Ogólna postać reguły ma postać: R(m) : JEŻELI x 1 = A 1 m I... I x N = A N m TO y = B 1/m (w 1/m ) y = B j/m (w j/m ) y = B J/m (w J/m ), (18) gdzie N jest liczbą zmiennych wejściowych modelu, M liczbą reguł plikowych, x 1... x N zmiennymi wejściowymi modelu, y zmienną wyjściową, A n m wartością lingwistyczną n-tej zmiennej wejściowej, B j/m wartością lingwistyczną zmiennej wyjściowej w j-tej regule elementarnej m-tej reguły plikowej, w j/m stanowią wagi poszczególnej reguły określane jako współczynniki ufności. Poszczególne reguły nie są całkowicie prawdziwe, lecz jedynie częściowo. Prawdziwość reguły wynika z tzw. współczynnika ufności w j/m. Współczynnik ten obliczany jest na podstawie teorii równań relacyjnych albo pomiarów doświadczalnych z użyciem rozmytych sieci neuronowych. 5.1. Blok wnioskowania Klasyczny rachunek zdaniowy opiera się na czterech podstawowych regułach wnioskowania: modus ponendo ponens (sposób potwierdzenia przez potwierdzenie), modus tollendo tollens (sposób zaprzeczający przez zaprzeczenie), 12

modus tollendo ponens (sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) oraz modus ponendo tollens (sposób zaprzeczający przez potwierdzenie). Modus ponendo ponens może zostać zapisany jako: Fakt: X jest A Reguła: JEŻELI x jest A TO y jest B Wniosek: y jest B (19) Wnioskowanie modus tollendo tollens polega na zamianie ról: Fakt: X nie jest A Reguła: JEŻELI x jest A TO y jest B Wniosek: y nie jest B (20) W przypadku zbiorów rozmytych wykorzystuje się, wprowadzoną przez Zadeha, uogólnioną regułę wnioskowania. Umożliwia ona wnioskowanie rozmyte oparte na rozmytych przesłankach i konkluzjach. Różnica w stosunku do klasycznego podejścia umożliwia operacje na faktach, które są częściowo znane, w przeciwieństwie gdy w klasycznym podejściu fakt musi być pewny. Najczęściej stosuje się uogólnioną regułę wnioskowania modus ponendo ponens, którą można przedstawić jako: Fakt: x 1 = A 1 I... I x N = A N Reguła: JEŻELI x 1 = A 1 I... Ix N = A N TO y = B Wniosek: y = B, (21) gdzie A 1... A N (zbiór rozmyty) są wartościami lingwistycznymi zmiennych lingwistycznych x 1... x N, a B wynikowym zbiorem rozmytym. 5.2. Blok wyostrzania W bloku wyostrzania następuje proces odwrotny do rozmywania - wyostrzanie (dezuffyfikacja - ang. defuzzification). Jest to operacja, w której uzyskuje się wartość numeryczną na wyjściu z modelu. Istnieje wiele metod wyostrzania, w zależności od zastosowania systemu oraz użytych reguł rozmytych. Najczęściej wykorzystywaną metodą jest metoda środka ciężkości (ang. Center of Gravity, w skrócie COG) wyrażona wzorem: 13

y = yµwyn (y)dy µwyn (y)dy, (22) gdzie y - wartośc numeryczna na wyjściu modelu, y - zmienna wyjściowa modelu, B - zbiór rozmyty. W ramach dopełnienia należy zaznaczyć, że istnieją inne metody wyostrzania, takie jak: 1. metoda indeksowanego środka ciężkości, 2. modyfikowana metoda indeksowanego środka ciężkości, 3. metoda średniej środków. µ( y) 1 B 1 B 2 µ wyn ( y) C * y = y c y c y Rysunek 6: Zastosowanie metody środka ciężkości. 6. Zastosowanie zbiorów rozmytych Rozmytość jest wykorzystywana w grach komputerowych w celu bardziej realistycznej ekspresji uczuć, np. poprzez stany emocjonalne miły, wrogi, dobry, zły. Stosuje się je również do sterowania zjawiskami, jak chmury czy poruszające się liście pod wpływem wiatru. [War08]. 14

6.1. Przetwarzanie obrazów Zbiory rozmyte są wykorzystywane w rozmytym przetwarzaniu obrazów (ang. Fuzzy Image Processing), takich jak: Korekcja kontrastu Korekcie kontrastu - określa się funkcję przynależności bazując na histogramie z danego obrazu oraz stosuje reguły wnioskowania: JEŻELI ciemny TO ciemniejszy JEŻELI szary TO szary JEŻELI jasny TO jaśniejszy Rysunek 7: Funkcja przynależności kolorów do grup: ciemny, szary, jasny Subiektywne ulepszenie obrazu Rysunek 8: Obraz przed (po lewej) oraz po (po prawej) algorytmie subiektywnego ulepszania obrazu. Wydzieleniu elementów z obrazu JEŻELI piksel jest ciemny ORAZ sąsiedzi również są ciemni ORAZ homogoniczni TO należy do tła 15

Wykrywaniu kształtów [pam] 7. Zbiory przybliżone Zbiory przybliżone zostały zaproponowane przez prof. Z. Pawlaka w 1982 roku [Paw82]. Wykorzystywane są w bankowości, medycynie czy też innych dziedzinach biznesowych. Przykładami takich aplikacji są systemy odkrywania wiedzy, wspomagających podejmowanie dezycji, czy też w klasyfikacji informacji - sztuczna inteligencja. 7.1. System informacyjny Systemy przetwarzające dane operują na strukturach danych umożliwiających przechowywanie różnorodnych danych oraz łatwość analizy modelu. Cechy te odpowiednio nazywane są uniwersalnością oraz efektywnością. Przykładem takiej struktury jest tablica danych, w której w kolumnach określamy cechy obiektu, wierszami wyróżniamy obiekty, a przęciecimi ich jest przyporządkowanie danemu obiektowi okręśloną ceszę. Definicja 9. Systemem informacyjnym (SI) (ang. information system) nazywamy czwórkę: gdzie: SI =< U, A, V, f >, (23) U - jest niepustym, skończonym zbiorem uniwersum, przy czym elementy zbioru, U nazywamy obiektami U = {x 1, x 2,..., x n }, A - jest niepustym, skończonym zbiorem atrybutów: A = {a 1, a 2,..., a n }, V - jest zbiorem wartości atrybutów ze zbioru A : V = a A V a, przy czym V a nazywamy dziedziną atrybutu a A, f - jest funkcją informacji, odpowiadającą iloczynowi kartezjańskiemu zbioru obiektów i zbioru atrybutów w zbiór wartości atrybutów, co odpowiada formule: U A V, gdzie x U f(x, a) V a. a A Przykładem takiego systemu może być poniższa tabela: 16

Tablica 3: Przykład systemu informacyjnego Oprog. Użytkownicy Otwartość Rozwijany FunkcjonalnościDecyzja 1 mała tak nie tak nie 2 średnia nie tak nie nie 3 duża tak tak tak tak 4 duża nie tak tak tak 5 duża tak nie tak tak 6 średnia nie nie nie nie 7 duża tak tak nie nie System ma za zadanie wspomóc podjęcie decyzji o zakupie oprogramowania (7 obiektów). Wyróżniono atrybuty liczby użytkowników (zasięg działalności), otwartość ze względu na upublicznienie kodu źródłowego, czy dany system jest dalej rozwijany, czy spełnia wymagane funkcjonalności oraz czy jest rozważany do decyzji. Reprezentacja powyższego systemu do systemu informacyjnego przedstawia się następująco: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {użytkownicy, otwartość, rozwijany, funkcjonalności, decyzja}, V = V użytkownicy V otwartość V rozwijany V funkcjonalności V decyzja, V użytkownicy = {mała, średnia, duża}, V otwartość = {tak, nie}, V rozwijany = {tak, nie}, V funkcjonalności = {tak, nie}, V decyzja = {tak, nie}, f : U A V : f(2, użytkownicy) = średnia, f(7, rozwijany) = tak. 17

7.2. Tablice decyzyjne Zastępując atrybuty (A), w systemie informacyjny, atrybutami warunkowymi (C) oraz decyzyjnymi otrzymujemy tablice decyzyjne (TD). Formalnie tablica decyzyjna jest określona jako: Definicja 10. Tablicą decyzyjną nazywamy uporządkowaną piątkę: gdzie: C, D A; C ; C D = A; C D =, SI = (U, C, D, V, f), (24) elementy zbioru C nazywamy atrybutami warunkowymi, elementy zbioru D nazywamy atrybutami decyzyjnymi, f nazywamy funkcję decyzyjną, zbiory U i V realizują taką samą funkcję jak w przypadku SI. Definicja 11. Wartości v dziedzin atrybutów D (v V D )) nazywamy klasami decyzyjnymi. obszar negatywny klasa abstrakcji górna aproksymacja zbioru dolna aproksymacja zbioru zbiór brzeg zbioru Rysunek 9: Ilustracja zbioru przybliżonego 18

8. Porównanie zbiorów rozmytych i przybliżonych 9. Podsumowanie 19

Literatura [bre] Philosophy of mind: A functionalist primer. [online]. http://humanknowledge.net/philosophy/epistemology/ PhilosophyOfMind.html, dostęp 2012-05-09. [DD80] Henri Prade Didier Dubois. Fuzzy Sets And Systems Theory And Applications. Academic Press, Inc., Chestnut Hill, 1980. [Dom04] Andrzej Dominik. [praca magisterska] Analiza danych z zastosowanie zbiorów przybliżonych. Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych, Politechnika Warszawska, 2004. [GJ95] Bo Yuan Goerge J.Klir. Fuzzy Sets And Fuzzy Logic - Theory and Applications. Prentice Hall PTR, New Jersey, 1995. [IE09] J. Webb I. Elamvazuthi, P. Vasant. [article] The Application of Mamdani Fuzzy Model for Auto Zoom Function of a Digital Camera. International Journal of Computer Science and Information Security Vol.6, 2009. [Nowa] Agnieszka Nowak. Teoretyczne podstawy zbiorów przybliżonych. [online]. http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/konspekttd. pdf, dostęp 2012-05-21. [Nowb] Agnieszka Nowak. Zbiory przybliżone w obszarze systemów ekspertowych. Institute of Computer Science, University of Silesia. [pam] Fuzzy image processing. [online]. http://pami.uwaterloo.ca/ tizhoosh/examples.htm, dostęp 2012-05-09. [Paw82] Zdzisław Pawlak. Rought sets. International Journal of Information and Computer Sciences, 1982. [Pie99] Andrzej Piegat. Modelowanie i sterowanie rozmyte. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 1999. [Rud11] Katarzyna Rudnik. [praca doktorska] Koncepcja i implementacja systemu wnioskującego z probabilistyczno-rozmytą bazą wiedzy. Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki, Politechnika Opolska, Opole, 2011. 20

[War08] Krzysztof Wardziński. Przegląd algorytmów sztucznej inteligencji stosowanych w grach komputerowych. Homo Communicativus (5), Zakład Teorii i Filozofii Komunikacji, Poznań, 2008. [WS05] James J. Buckley William Siler. Fuzzy Expert Systems and Fuzzy Reasoning. John and Sons, Inc., New Jersey, 2005. 21

Spis treści 1. Wstęp do zbiorów rozmytych 2. Zbiory rozmyte 2.1. Funkcje przynależności....................... 3. Logika rozmyta 4. Wnioskowanie rozmyte 4.1. Blok rozmywania.......................... 4.2. Baza reguł.............................. 5. Modelowanie rozmyte 5.0.1. Rozmyte modele lingwistyczne (Mamdani)........ 5.0.2. Model Takagi - Sugeno - Kanga.............. 5.0.3. Modele relacyjne...................... 5.1. Blok wnioskowania......................... 5.2. Blok wyostrzania.......................... 6. Zastosowanie zbiorów rozmytych 6.1. Przetwarzanie obrazów....................... 7. Zbiory przybliżone 7.1. System informacyjny........................ 7.2. Tablice decyzyjne.......................... 8. Porównanie zbiorów rozmytych i przybliżonych 9. Podsumowanie Literatura 22