MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane, Poltechnka Radomska e-mal: zbgnew.kosma@pr.radom.pl, b.noga@pr.radom.pl Streszczene. Celem pracy było poszukwane optymalzaca efektywnych algorytmów oblczenowych wyznaczana ruchu ceczy lepke w obszarach płaskch przestrzennych - konkurencynych do kodów komercynych. Wyznaczano ruch ceczy lepke metodą sztuczne ścślwośc, opsywaną równanam w zmennych fzycznych: składowe prędkośc, cśnene. Nowe algorytmy numeryczne zaadaptowano do rozwązywana zagadneń modelowych, ze względu na moŝlwość porównywana wynków własnych oblczeń numerycznych z wynkam prezentowanym w publkacach rezultatam badań eksperymentalnych. 1. WSTĘP Zasadnczą deą metody sztuczne ścślwośc est przyłączene pochodne cśnena względem czasu do równana cągłośc, co umoŝlwa sprzęŝene cśnena z prędkoścą. Równanam wyścowym do wyznaczana przepływów ceczy lepke metodą sztuczne ścślwośc est układ równań róŝnczkowych cząstkowych utworzony ze zmodyfkowanego równana cągłośc równań Navera-Stokesa. Przy rozwązywanu sformułowanego zagadnena początkowo-brzegowego dla cśnena składowych prędkośc wszystke pochodne względem zmennych przestrzennych aproksymowano przy wykorzystanu klasycznych lorazów róŝncowych drugego rzędu dokładnośc na równomernych satkach oblczenowych. Zachowuąc czas ako zmenną nezaleŝną cągłą, uzyskano zagadnene początkowe dla układu równań róŝnczkowych zwyczanych dla neznanych wartośc tych funkc w kaŝdym węźle wewnętrznym wygenerowane satk oblczenowe. Zagadnene to rozwązywano metodą Galerkna-Rungego-Kutty trzecego rzędu. Wykonano szereg oblczeń testowych dla zagadneń ruchu ceczy lepke w zagłębenach z edną poruszaącą sę ścanką: kwadratowym sześcennym oraz w płaskm kanale z uskokem edne ścank. Opracowane algorytmy oblczeń okazały sę bardzo efektywne, uzyskano klkukrotne skrócene czasu oblczeń w porównanu z czasam wyznaczana rozwązań tych zagadneń za pomocą paketu Fluent. 2. METODA SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI Po wprowadzenu zmennych bezwymarowych pomnęcu pola sł masowych ednostkowych układ równań opsuący nestaconarny ruch ceczy lepke w postac zachowawcze ma postać [1]:
188 Z. KOSMA, B. NOGA V t + V V V = 0, p = + 1 Re V, (1) w którym V 1, V2, V3 są składowym prędkośc w kerunkach os kartezańskego układu współrzędnych x 1, x2, x3, p est cśnenem, Re - lczbą Reynoldsa. W metodze sztuczne ścślwośc sprzęŝene pola cśnena z polem prędkośc następue w wynku zastąpena równana cągłośc dla ceczy neścślwe (1a) zlnearyzowanym równanem cągłośc dla gazu [2] p 1 V ~ + = 0 (2) t β Optymalne wartośc parametru relaksacynego β są zwykle wyznaczane nezaleŝne dla kaŝdego problemu po wykonanu szeregu eksperymentów numerycznych. W welu przypadkach zadawalaące wynk dae przyęce stałe wartośc tego parametru w całym obszarze przepływu. 3. ZAGADNIENIA OBLICZENIOWE Opracowane algorytmy numeryczne przystosowano do symulac numeryczne ruchu ceczy lepke w zagłębenach z edną poruszaącą sę ścanką: kwadratowym (rys. 1a) sześcennym (rys. 1b) oraz w prostolnowym kanale z uskokem edne ścank (rys. 1c). Zagadnena te są często rozwązywane w celu testowana efektywnośc dokładnośc róŝnych algorytmów oblczenowych [3-6]. Rys. 1. Zagadnena oblczenowe: a) kwadratowe zagłębene, b) sześcenne zagłębene, c) kanał z uskokem edne ścank Ścank górne zagłębeń poruszaą sę ze stałą prędkoścą, równoległą do os x. W przekroach: wlotowym wylotowym kanału przyęto parabolczne rozkłady prędkośc, wynkaące z równośc wydatku ( Q = 0.5) przepływaącego strumena ceczy lepke. Na ścankach kanału warunk brzegowe dla prędkośc wyraŝaą neprzenkalność brak poślzgu, na ego wloce przyęto znkane gradentu cśnena, na wyloce: p = 1.
OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ 189 4. ALGORYTMY OBLICZENIOWE Wszystke symulace numeryczne w obszarach zagłębeń z edną poruszaącą sę ścanką oraz w kanale z uskokem ścank wykonano na równomernych satkach oblczenowych o kwadratowych oczkach. Do rozwązywana zagadnena (2) - (1b) zastosowano metodę prostych, polegaącą na ego sprowadzenu do układów równań róŝnczkowych zwyczanych przy zachowanu czasu ako zmenne nezaleŝne cągłe. Uzyskano w ten sposób układy równań róŝnczkowych zwyczanych postac w których [ ] T d U = F( U), (3) dt U = p,v est wektorem zmennych nezaleŝnych, oblczanym w kaŝdym węźle wewnętrznym satek, F - operatorem róŝnczkowana względem zmennych przestrzennych. Otrzymane w ten sposób algorytmy oblczenowe są algorytmam unwersalnym, prostym koncepcyne łatwym do realzac numeryczne, pozwalaącym na omnęce konecznośc lnearyzac członów nelnowych. Ich wadą est sztywność układów równań róŝnczkowych zwyczanych oraz moŝlwość występowana nestablnośc numerycznych. W celu przetestowana efektywnośc dokładnośc zastosowanych algorytmów numerycznych podzelono e na dwe grupy. Perwszą grupę tworzą algorytmy, w których pochodne względem zmennych przestrzennych aproksymowano róŝncam skończonym drugego rzędu dokładnośc (MRS), w algorytmach grupy druge pochodne względem zmennych przestrzennych aproksymowano za pomocą kompaktowych schematów róŝncowych szóstego rzędu dokładnośc (KSR) - tabela 1. Zagadnena początkowe dla układów równań róŝnczkowych zwyczanych (3) całkowano: 1) ednokrokową metodą predyktor-korektor Adamsa-Moultona (A-M), 2) edno- dwukrokowym metodam predyktor-korektor opartym na wykorzystanu wzorów metody wstecznego róŝnczkowana (WR 1, WR 2), 3) metodam Rungego-Kutty: Eulera perwszego stopna (R-K 1), Heuna drugego stopna (R-K 2), Heuna trzecego stopna (R-K 3), Galerkna trzecego stopna (R-K-G), zmodyfkowaną pątego stopna (R-K 5). Tabela 1. Algorytmy oblczenowe Grupy algorytmów Aproksymaca pochodnych Całkowane zagadnena początkowego MRS Klasyczne lorazy róŝncowe drugego rzędu dokładnośc A-M, WR 1, WR 2, R-K 1, KSR Kompaktowe schematy róŝncowe szóstego rzędu dokładnośc R-K 2, R-K 3, R-K-G, R-K 5 Po wykonanu testowych symulac numerycznych okazało sę, Ŝe szybsze są algorytmy naleŝące do perwsze grupy - tabela 2. Dokładnesze wynk otrzymywano natomast w przypadku zastosowana aproksymac pochodnych względem zmennych przestrzennych kompaktowym lorazam róŝncowym szóstego rzędu dokładnośc. W obydwu grupach algorytmów
190 Z. KOSMA, B. NOGA naefektywnesze okazało sę całkowane zagadneń początkowych (3) metodą Rungego- Kutty-Galerkna trzecego stopna. Tabela 2. Efektywność algorytmów Wybór warantu oblczeń Szybkość algorytmów Dokładność oblczeń Aproksymaca pochodnych przestrzennych Metoda całkowana zagadnena początkowego Klasyczne lorazy róŝncowe drugego rzędu dokładnośc (MRS) Metoda Rungego-Kutty-Galerkna trzecego stopna (R-K-G) Kompaktowe schematy róŝncowe szóstego rzędu dokładnośc (KSR) Metoda Rungego-Kutty-Galerkna trzecego stopna (R-K-G) 5. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH Symulace numeryczne zostały wykonane dla danych wyszczególnonych w tabel 3, określaących rozmary satek oraz wartośc lczb Reynoldsa kroków czasowych. Dokładność 14 ustalana sę modułów pochodnych układu równań (2) przyęto równą 1 10. Tabela 3. Dane do oblczeń numerycznych Parametr oblczeń Kwadratowe zagłębene Sześcenne zagłębene Kanał z uskokem ścank Rozmar satk 150 150 100 100 100 1000 50 Lczba Reynoldsa 10 7500 10 1000 100 1000 2 3 Krok czasowy 1 10 1 10 3 3 1 10 1 10 W metodze sztuczne ścślwośc bardzo waŝnym parametrem est współczynnk β, ego optymalna wartość została określona na podstawe szeregu eksperymentów numerycznych. Okazało sę, Ŝe wartość parametru β ne ma stotnego wpływu na dokładnośc oblczeń, ma natomast bardzo duŝy wpływ na szybkość uzyskwana rozwązań; metoda Rungego-Kutty- Galerkna est naefektywnesza dla parametru β = 1. Na rys. 2 6 zostały przedstawone wynk nawaŝneszych oblczeń numerycznych dla rozwązywanych zagadneń oraz ch porównana z wynkam prezentowanym w publkacach. Rys. 2. Kwadratowe zagłębene - wynk oblczeń dla Re = 5000 na satce 150 150: a) lne prądu; rozkłady składowych prędkośc: b) u - na ln x = 0.5, c) v - na ln y = 0.5
OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ 191 Rys. 3. Kwadratowe zagłębene - wynk oblczeń dla Re = 7500 na satce 150 150: a) lne prądu; rozkłady składowych prędkośc: b) u - na ln x = 0.5, c) v - na ln y = 0.5 Rys. 4. Sześcenne zagłębene - wynk oblczeń dla Re = 1000 na satce 100 100 100: a) lne prądu w płaszczyźne z = 0.5; rozkłady składowych prędkośc: b) u - na ln x = 0.5, c) v - na ln y = 0.5 Rys. 5. Kanał z uskokem edne ścank - lne prądu dla Re = 800, satka 1000 50 a) b) Rys. 6. Kanał z uskokem edne ścank: Re = 800, satka 1000 50. Rozkłady składowe prędkośc u dla na lnach: a) x = 7, b) x = 15
192 Z. KOSMA, B. NOGA 6. PODSUMOWANIE We wszystkch rozwaŝanych zagadnenach uzyskano poprawne wynk symulac numerycznych w szerokm zakrese lczb Reynoldsa. Stwerdzono dobrą zgodność wartośc składowych prędkośc na osach symetr zagłębeń oraz w wybranych przekroach kanału z uskokem ścank z wynkam analogcznych oblczeń, prezentowanym w publkacach. Skuteczność zastosowanych algorytmów metody prostych została węc w pełn potwerdzona. Algorytmy te są neskomplkowane, efektywnesze od algorytmów wykorzystywanych w paketach komercynych. MoŜna e łatwo zmodyfkować do wyznaczana ruchu ceczy lepke w obszarach ogranczonych neregularnym lnam brzegowym oraz dla przepływów turbulentnych. LITERATURA 1. Kosma Z.: Podstawy mechank płynów. Radom: WPR, 2007. 2. Kosma Z.: Symulaca numeryczna ruchu ceczy lepke metodą sztuczne ścślwośc. Monografe. Radom: WPR, 2007. 3. Gha U., Gha K.N., Shn C.T.: Hgh-Re solutons for ncompressble flow usng the Naver-Stokes equatons and a multgrd method. J. Comp. Phys. 1982, 48, p. 387-411. 4. Erturk E., Corke T.C., Gökçöl C.: Numercal solutons of 2-D steady ncompressble drven cavty flow at hgh Reynolds numbers. Int. J. Numer. Meth. Fluds 2005, 48, p. 747-774. 5. Shu C., L. Wang L., Chew Y.T.: Numercal computaton of three-dmensonal ncompressble Naver-Stokes equatons n prmtve varable form by DQ method. Int. J. Numer. Meth. Fluds 2003, 43, p.345-368. 6. Gartlng D.K.: A test problem for outflow boundary condtons-flow over a backwardfacng step. Int. J. Numer. Meth. Flud 1990, 11, p. 953-967. OPTIMIZED ALGORITHMS FOR THE CALCULATIONS OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOWS USING THE ARTIFICIAL COMPRESSIBILITY METHOD Summary. The ntroduced pseudo-tme dervatve of pressure drectly couples the pressure wth the velocty and changes the mathematcal character of the contnuty equaton from ellptc to hyperbolc. A standard method of lnes approach s appled n ths contrbuton. The system of partal dfferental equaton s dscretzed n space by central, second-order fnte-dfference schemes on unform grds wth the same mesh szes n each drecton, the tme-varable preserved contnuous. The ntal-boundary value problem for ths system of equatons s then reduced to an ntal value problem for a system of ordnary dfferental equatons, and the unknown values of pressure and velocty components n each nner knot of unform meshes are computed usng the Galerkn-Runge-Kutta method of thrd order. Test calculatons for lamnar flows n the square and cubc cavtes wth one movng wall and the backward-facng step have been performed. The proposed algorthms proved to be very effectve for the demanded tme of calculatons.