3.Funkcje elementarne - przypomnienie

3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51

1 Funkcje - wstępne definicje 2 Wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe i wielomianopodobne 3 Podstawowe własności funkcji: różnowartościowość i monotoniczność 4 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 5 Dziedzina funkcji elementarnej - podsumowanie 6 Wklęsłość i wypukłość funkcji rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 2 / 51

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór f (X ) = {y Y : x X : f (x) = y} to zbiór wartości funkcji f. Elementy tego zbioru to wartości funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Funkcja na zbiorze państw, przyporządkowująca każdemu państwu jego największego partnera handlowego (spośród innych państw). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Funkcja zysku (w zależności) od wielkości inwestycji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) relacja rodzeństwa na zbiorze ludzi, która każdemu człowiekowi przypisuje wszystkich jego braci i siostry (bo niektórym argumentom nie przypisywałaby żadnych wartości, a innym kilka). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51

Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 7 / 51

Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Równość funkcji Mówimy, że funkcja f jest równa funkcji g jeśli D f = D g i x Df f (x) = g(x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 7 / 51

Równość funkcji-przykład f (x) = x 4, D f = R f (x) = x2 4x, D x f = R \ {0} Te funkcje nie są równe, bo mają różną dziedzinę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 8 / 51

Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 9 / 51

Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Miejsce zerowe Miejscem zerowym lub pierwiastkiem funkcji f nazywamy każdy x X taki, że f (x) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 9 / 51

Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 10 / 51

Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R Na rysunku wykres funkcji f. Jej jedynym miejscem zerowym jest 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 10 / 51

Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie www.kosiorowski.edu.pl. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 11 / 51

Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie www.kosiorowski.edu.pl. Jeśli Państwo tych informacji i umiejętności nie mają - polecam rozdział 1 (repetytorium) wskazanej w bibliografii książki Gurgula i Sudera Matematyka dla kierunków ekonomicznych Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 11 / 51

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. Dodatkowo Państwo powinni umieć: rozwiązywać równania kwadratowe, rozkładać wielomian na czynniki pierwsze (jeśli ma on pierwiastki całkowite lub wymierne), dzielić przez siebie wielomiany, rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51

Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 13 / 51

Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Identyczność Niech X będzie dowolnym zbiorem (niekoniecznie podzbiorem R). Wtedy funkcję f : X X, taką, że x X f (x) = x nazywamy identycznością na zbiorze X i oznaczamy przez id X lub I X (a czasem tylko I ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 13 / 51

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. Pamiętamy o zasadzie: znak ilorazu (jeśli ma sens) jest równy znakowi iloczynu (pomocne w rozwiązywaniu nierówności wymiernych). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 i x 1 x a a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Jeśli zaś a = p jest ułamkiem q nieskracalnym oraz q jest parzyste, to liczby ujemne też nie należą do dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. Przykład: f (x) = x 5 2 3x 2 + 7 x + 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51

Różnowartościowość funkcji Co prawda to też było w szkole, ale jest to na tyle ważne, że przypomnę: Injekcja (funkcja różnowartościowa) Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (lub injekcją), jeśli nie przyjmuje nigdy tej samej wartości dla dwu różnych argumentów, czyli a,b X (a b f (a) f (b)) lub też (sformułowanie równoważne) a,b X (f (a) = f (b) a = b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 17 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład f (x) = 2x + 1 jest różnowartościowa g(x) = x 2 nie jest różnowartościowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 18 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: otóż g( 1) = 1 = g(1), co przeczy różnowartościowości tej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x = 2, tracąc drugi możliwy pierwiastek: x = 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f zachodzi a < b f (a) < f (b). jeśli dla każdych a, b A Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w zbiorze A, to mówimy, że jest monotoniczna w tym zbiorze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51

Monotoniczność funkcji - przykład Domyślnie, jeśli nie mówimy w jakim zbiorze funkcja jest rosnąca/malejąca, zakładamy, że jest ona rosnąca/malejąca w całej swojej dziedzinie. f (x) = x 3 jest rosnąca. g(x) = x 2 nie jest monotoniczna. Jest malejąca w (, 0] i rosnąca w [0, ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 22 / 51

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ).Natomiast nie można powiedzieć, że jest rosnąca w (, 1] [1, + ), gdyż np. f ( 1) = 2 > 2 = f (1), a 1 < 1, co przeczy warunkowi funkcji rosnącej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w [0, + ) zniknąć kwadrat z obu stron równania, otrzymując x < 2 (i łącznie z założeniem początkowym x (0, 2)). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x < 2, tracąc drugi konieczny warunek: x > 2 (a np. x = 3 spełnia x < 2, a nie spełnia wyjściowej nierówności x 2 < 4). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51

Monotoniczność i różnowartościowość funkcji Monotoniczność i różnowartościowość Funkcja monotoniczna jest różnowartościowa, ale twierdzenie odwrotne do tego nie musi być prawdziwe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 26 / 51

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Należy sobie przypomnieć twierdzenia o działaniach na funkcjach wykładniczych (na wykładnikach potęg). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51

Podstawowe działania na funkcjach Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne. Działania na funkcjach Niech f : X R i g : X R, α R, zaś oznacza jedno z działań +,,. Wtedy definiujemy funkcje: a)α f : X R, (α f )(x) = α f (x). b)f g : X R, (f g)(x) = f (x) g(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 28 / 51

Podstawowe działania na funkcjach Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne. Działania na funkcjach Niech f : X R i g : X R, α R, zaś oznacza jedno z działań +,,. Wtedy definiujemy funkcje: a)α f : X R, (α f )(x) = α f (x). b)f g : X R, (f g)(x) = f (x) g(x). Dodatkowo, jeśli g(x) = 0 x A, to definiujemy: c) f : X \ A R, f f (x) (x) =. g g g(x) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 28 / 51

Złożenie funkcji Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 29 / 51

Złożenie funkcji Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie. Złożenie funkcji Niech f : X Y i g : Y Z. Wtedy funkcja h : X Z dana wzorem h(x) = g(f (x)) nazywa się złożeniem funkcji f i g. Oznaczamy h = g f. f jest nazywana funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną takiego złożenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 29 / 51

Złożenie funkcji - ilustracja Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 30 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. Jak widać na powyższym przykładzie, składanie funkcji NIE JEST przemienne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. Jak widać na powyższym przykładzie, składanie funkcji NIE JEST przemienne. W szczególności, g f ( 1) = 2 2 = 4, a f g( 1) = 1 1 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51

Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51

Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51

Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. Na przykład funkcja: ϕ(x) = sin 3 2x+1 jest niewątpliwie funkcją złożoną i nie wiadomo jak się zabrać do jej analizy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51

Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. Na przykład funkcja: ϕ(x) = sin 3 2x+1 jest niewątpliwie funkcją złożoną i nie wiadomo jak się zabrać do jej analizy. Tymczasem możemy potraktować ją jako złożenie funkcji prostych i (być może) łatwiej będzie zbadać każdą z tych funkcji osobno. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. Zapiszmy h(x) = x i ϕ(x) = sin h(g(f (x))). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51

Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x + 1 - zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. Zapiszmy h(x) = x i ϕ(x) = sin h(g(f (x))). Zostało teraz jeszcze tylko zsinusowanie całości, więc oznaczamy k(x) = sin x i ostatecznie ϕ(x) = k(h(g(f (x)))). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51