Przypadkowe odkrycia zdarzają się tylko umysłom PRZYGOTOWANYM Blaise Pascal B. Pascal 1623 1662 TEORIA STEROWANIA I, w 1 dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW
Sterowanie Sterowanie (pewnym przedmiotem, który ogólnie nazywa się obiektem sterowania) polega na takim oddziaływaniu (przez pewien podmiot, który ogólnie nazywa się układem sterującym) na obiekt, aby jego szeroko rozumiane zachowanie (przebieg procesów w obiekcie) było jak najbardziej zbliżone do pożądanego. sterowanie: control obiekt sterowania: plant, process układ sterujący: controller Sterowanie może być realizowane: przez człowieka (ludzi) tzw. sterowanie ręczne, albo za pomocą specjalnie skonstruowanego urządzenia (układu sterującego, sterownika) działającego zgodnie z wybranym algorytmem sterowania tzw. sterowanie automatyczne. 2
System sterowania System sterowania to powiązane w jedną całość: obiekt sterowania i układ sterujący (urządzenie działające zgodnie z wybranym algorytmem sterowania). Struktura systemu sterowania Sposób powiązania układu sterującego i obiektu, a także ewentualnych wyróżnionych układów dodatkowych określa strukturę systemu sterowania. 3
Podstawowe struktury systemu sterowania system otwarty Otoczenie oddziaływania zewnętrzne Układ sterujący sterowanie Obiekt sterowania Niepraktyczny, bo w rzeczywistości musimy uwzględnić wpływ nowego elementu otoczenia (environment), czyli tego wszystkiego co nie jest układem sterującym i obiektem. 4
Podstawowe struktury systemu sterowania system zamknięty Otoczenie oddziaływania zewnętrzne Układ sterujący sterowanie Obiekt sterowania pośrednie zdobywanie informacji o oddziaływaniach zewnętrznych feedback Najczęściej stosowany. oddziaływanie wsteczne 5
Podstawowe struktury systemu sterowania system ze sprzężeniem kompensującym (oddziaływania zewnętrzne), inaczej ze sprzężeniem w przód (feedforward) oddziaływania zewnętrzne na układ sterujący Otoczenie pomiar oddziaływań zewnętrznych na obiekt feedforward oddziaływania zewnętrzne na obiekt Układ sterujący sterowanie Obiekt sterowania oddziaływanie wsteczne feedback 6
Model Model: opis (w dowolnym języku ) cech interesującej nas istniejącej części otaczającego świata albo projektowanego urządzenia, którym ten świat chcemy wzbogacić* (istniejącego albo projektowanego obiektu, projektowanego układu sterującego) dostarczający potrzebnej nam wiedzy o niej w formie użytecznej z punktu widzenia naszego zainteresowania. *Warto tu podkreślić, że jako inżynierowie jesteśmy twórcami. Modelowanie: czynność tworzenia modelu. 7
Sygnał Mniej więcej od połowy lat trzydziestych XX w. dziedzina wiedzy zajmująca się budowaniem systemów sterowania używa do ich opisu (modelowania) specyficznego języka wykorzystującego pojęcie sygnału. Sygnał (łac. signalis dający znak) to co niesie informację (nośnik informacji). Dla projektanta systemu sterowania: sygnał to funkcja t s(t) czasu ciągłego t T R albo czasu ziarnistego t T {..., 2, 1,0,1,2,...} = Z (zbiór liczb całkowitych), potocznie zwanego dyskretnym. 8
Pierwotny opis elementów systemu sterowania Pierwotnym opisem elementu systemu sterowania jest jakościowy model przyczynowo-skutkowy przedstawiany najczęściej w formie obrazkowej (graficznej): oddziaływania otoczenia (przyczyny, na które nie mamy wpływu) wejścia sterowania (przyczyny, których przebieg wybieramy) wyjścia (interesujące nas skutki) Opis układów ewoluujących w czasie oparty na prawach fizyki klasycznej musi spełniać wymaganie przyczynowości (requirement of causality) stanowiące, że wyjście układu w chwili t może zależeć tylko od tych wartości wejścia które pojawiły się w chwilach τ nie późniejszych niż t (τ t). 9
Formalny sygnałowy model przyczynowo-skutkowy Z to wybrany zbiór wartości sygnałów z otoczenia z( ) {T Z} zbiór (wszystkich) funkcji przekształcających zbiór chwil T R w zbiór Z U to wybrany zbiór wartości sterowań u( ) {T U} P ( ) Y to wybrany zbiór wartości wyjść y( ) {T Y} T R wybrany (ustalony) zbiór chwil (dla ustalenia uwagi czas ciągły). Model z niezbyt dokładnego stał się precyzyjnym: {T U} {T Z} (u,z) P (u,z) = y {T Y}, przy czym ( t T ) y( t) = P ( u, z )( t), przyczynowość. ], t] T ], t] T Oznaczymy w( t) = ( u( t), z( t)) U Z = W (wejścia). 10
Informacja, wiedza i umiejętności potrzebne do zaprojektowania systemu sterowania Opis (model) transformacji sygnałów zachodzącej w obiekcie. Jednoznaczne określenie zadania (celu) jakie ma realizować (osiągać) systemu sterowania. Znajomość metod projektowania pozwalających skonstruować taki układ sterujący, który połączony z obiektem w system sterowania będzie spełniał wymagania zadania. 11
Projektowanie systemu sterowania Warstwa procesów rzeczywistych Rzeczywisty układ sterujący Technika systemów sterowania wskazuje jak zbudować fizyczny układ sterujący Warstwa modeli procesów Model obiektu Teoria oraz technika modelowania i identyfikacji dają model obiektu Model układu sterującego Teoria sterowania jest narzędziem projektowania modelu działania układu sterującego (algorytmu sterowania) Zadanie systemu sterowania (cel jego działania) 12
Teoria sterowania Teoria sterowania to dyscyplina nauki (nauk technicznych) zajmująca się podstawami analizy i syntezy algorytmów sterowania. Podstawowym produktem użytkowym teorii sterowania są algorytmy sterowania, które obecnie stanowią podstawę opracowywania programów użytkowych dla komputerów (mikroprocesorów) sterujących. W odróżnieniu od postępowania opartego na intuicji i doświadczeniu, które jest zawsze ograniczone, metody teorii sterowania pozwalają na racjonalną algorytmizację sterowania na podstawie modelu obiektu i precyzyjnie sformułowanych wymagań określających jego pożądane zachowanie, co w konsekwencji daje znacznie lepsze efekty. Mają też słaby punkt: skuteczność (efektywność) tak opracowanych algorytmów zależy od tego czy wybrany model obiektu dobrze odzwierciedla istotne z punktu widzenia sterowania właściwości obiektu. 13
Internal image of plant Input image Input tasks Komputerowy system sterujący Control calculations (algorithm) INTERFACE Output image Output tasks Computer Problemy techniczne związane z projektowaniem i eksploatacją komputerowych systemów sterujących Standard input/output devices wykraczają poza ramy teorii sterowania i przynależą do techniki systemów sterowania oraz inżynierii systemów informatycznych. Input devices Output devices Plant output devices PLANT Plant input devices Programy realizujące ALGORYTMY STEROWANIA opracowane w oparciu o: teorię sterowania wykorzystującą model obiektu 14
Typowy komputerowy system sterowania: tzw. cyfrowy system (układ) regulacji Output device Input device Sampled feedback control system, y(kt p ), r(kt p ), e(kt p ), u(kt p ), are sampled values of y, r, e, u at sample times kt p where k is an integer and T p is sampling interval. 15
Realizacja komputerowego systemu sterowania 16
Maszyna parowa M. Boultona i J. Watta (1784) M. Boulton J. Watt System sterowania z odśrodkowym regulatorem Watta zaprojektowany bez teorii. Chęć poprawienia jego złego działania doprowadziła do powstanie pierwszych prac teoretycznych dotyczących projektowana tzw. moderatorów (spowalniaczy) (modérateurs) i regulatorów (governors). 17
Ojcowie założyciele teorii sterowania feedforward PI Jean-Victor Poncelet (1788 1867) James Clerk Maxwell (1831 1879) Iwan Wyszniegradskij (Иван Алексеевич Вышнеградский) (1832 1895) J.-V. Poncelet, Cours de mécanique appliquée aux machines, Metz 1837. Analiza działania maszyny parowej Boultona-Watta. Pierwsza propozycja systemu sterowania ze sprzężeniem kompensującym (feedforward system). J.C. Maxwell, On Governors, Proceedings of the Royal Society, vol. 16, no. 100, 1868. Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne jako model maszyny parowej, analiza stabilności jej działania oparta na położenie pierwiastków równania charakterystycznego. И.А. Вышнеградский, О регуляторах прямого действия, Изв. СПб. практ. техн. инст., т. І, 1877; rozszerzone tłum. niemieckie 1877, zwiastun po francusku 1876. Lepszy liniowy model maszyny parowej, metoda analizy jego stabilności oparta na położenie pierwiastków równania charakterystycznego umożliwiająca projektowanie regulatorów, wskazanie na konieczność wprowadzenia całkowania do regulatora obrotów Watta. 18
Modele liniowe Zatem, od momentu swojego powstania, teoria sterowania posługiwała się opisem liniowym układów, którymi się zajmowała, w szczególności analizowała dobierała projektowała układ sterujący opierając się na liniowym modelu obiektu. Sygnałowy przyczynowo-skutkowy model to operator {T W} w P (w) = y {T Y}. Aby mówić o liniowości tego operatora musimy najpierw w zbiorach W oraz Y wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej tj. wprowadzić dwie operacje: dodawania + i mnożenia, spełniające stosowne wymagania (w szczególności, ( u, v W )(! w W ) w = u + v, oraz ( α R)( u W )(! w W ) w = α u ) a następnie rozszerzyć je w sposób naturalny na zbiory funkcji: {T W} (dziedzinę operatora P ) oraz {T Y} (jego przeciwdziedzinę), tj. przyjąć, że ( u( ), v( ) { T W})( t T )( α R) i podobnie dla funkcji y( ) {T Y}. W ten sposób zbiory funkcji {T W} oraz {T Y} stały się przestrzeniami liniowymi. Zauważmy, że w sytuacji gdy np. zbiór W R n to nie można w nim wprowadzić struktury przestrzenie liniowej, bo dowolne w W po pomnożeniu przez stosownie duże α wyjdzie poza ograniczenie (αw W )! [ t ( u( ) + v( ))( t) = u( t) + v( t) t ( α u( ))( t) = α u( t)] 19
Modele liniowe Model P :{T W} {T Y}, gdzie zbiory W i Y są przestrzeniami liniowymi, nazywamy liniowym gdy spełnia wymaganie superpozycji (requirement of superposition) n n P ( α w ( )) = αp ( w ( )), gdzie ( i)( w ( ) { T W} α R) i= 1 i i i= 1 i i i i n α 1 iw = α i i 1 w + α 1 2 w + 2 + α n w = n ( ) ( ) ( ) ( ) Zwracam uwagę na następującą własność operatorów liniowych: Jeżeli X i Y są przestrzeniami liniowymi to: P : X Y jest funkcją (operatorem) liniową P (0) = 0. Konsekwencją tego faktu jest stwierdzenie, że np. funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej x f (x)= ax + b = y, a,b 0 nie jest liniowa. Funkcje tego typu nazywa się funkcjami afinicznymi. 20
Źródło Wieża ciśnień q u Pompa Cel działania systemu sterowania: utrzymywać ciśnienie wody u odbiorców na stałym poziomie. Zbiornik q r L h Wiedza wynikająca z praw natury (fizyki): h r1 < h r2 ciśnienia u odbiorców będą zawsze różne, ale będą stałe jeżeli h r będzie stałe. Trzeba więc dodać pomiar poziomu. h r Przyjmujemy także, że możemy sterować pompą. Wielkość fizyczna h r2 h r1 Obiekt Zakłócenie niemierzalne q d [m 3 /s] Sygnał q d q d... Odbiorcy q u [m 3 /s] Obiekt h [m] 21