ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas życia wyznacza koniec renty obiera płatności (jest rentobiorcą) czy też okonuje płatności (jest rentoawcą) Możliwe są bowiem obywa przypaki Zwykle renta życiowa kojarzona jest z sytuacją gy firma ubezpieczeniowa wypłaca świaczenia (np emeryturę) o końca jej życia Ale z matematycznego punktu wizenia z taką sama sytuacją mamy o czynienia gy ubezpieczony opłaca okresową skłaką jakieś świaczenie (tzn zamiast opłacać skłakę za jakieś ubezpieczenie jenorazowo płaci ją w ratach) Często spotykana jest sytuacja że najpierw ana osoba opłaca skłakę okresowo a potem obiera świaczenie również okresowo Śmierć przerywa obie te renty i w umowie jest zwykle powieziane czy towarzyszy temu jakaś wypłata czy nie Renta życiowa jest zatem rentą terminową ale o losowym czasie trwania zależnym o przyszłego czasu życia osoby Ze wzglęu na czas objęty umową wyróżniamy następujące rozaje renty życiowej: ożywotnia gy ciąg płatności zaczyna się z chwilą zawarcia umowy i trwa o śmierci anej osoby; terminowa gy czas objęty rentą jest ograniczony tzn po ustalonym czasie płatność ustaje nawet jeśli ana osoba żyje; oroczona gy ciąg płatności nie rozpoczyna się z chwilą zawarcia umowy ale po pewnym czasie jeśli ana osoba żyje Wypłaty mogą być okonywane: ciągle z pewną intensywnością (moel raczej teoretyczny); okresowo (np rocznie kwartalnie miesięcznie); przy tym płatność może przypaać na początku każego okresu (renta życiowa z góry) lub na koniec okresu (renta życiowa z ołu) Bęziemy teraz obliczać obecną wartość Y ciągu płatności jaki stanowi renta życiowa Postawowym pojęciem bęzie znowu wartość oczekiwana a = EY zwana jenorazową skłaką netto renty lub po prostu obecną wartością aktuarialną (OWA) Jeżeli rozważamy renty o stałych płatnościach to zwykle przyjmujemy że roczna suma 43
44 5 RENTY życiowe wypłat wynosi 1 Renty o wyższych płatnościach można traktować jako wielokrotności rent jenostkowych 1 Renty płatne yskretnie Niech K x oznacza obcięty przyszły czas życia x-latka Rozważmy najpierw ogólną rentę życiową płatną raz w roku tzn w chwilach k = 0 1 2 K x Załóżmy że z tytułu takiej renty kolejne wypłaty wynoszą c 0 c 1 c 2 Obecna wartość takiej renty wynosi K x Y = c k v k a jej obecna wartość aktuarialna wynosi E(Y ) = c k v k kp x Istotnie ( Kx ) ( ) E c k v k = E 1(k K x )c k v k = E ( 1(k K x )c k v k) = c k v k kp x 11 Renta życiowa bezterminowa Jeżeli nie bęzie to prowazić o nieporozumień to la uproszczenia bęziemy czasem pisać K zamiast K x Rozważmy najpierw przypaek renty płatnej z góry Osoba w wieku x płaci teraz 1 za rok 1 i tak alej aż o śmierci Wartość obecna tego ciągu wypłat wynosi Y = 1 + v + v 2 + + v K = ä K+1 gzie la n N ä n oznacza obecną wartość renty pewnej z góry na n lat Przypomnijmy że gzie = i i+1 ä n = 1 vn oznacza stopę procentową z góry Obecna wartość aktuarialna takiej renty wynosi ä x = EY = ä k+1 kp x q x+k Korzystając z powyższego wzoru mamy ä x = v k kp x Przypomnijmy że Z = v K+1 jest obecną wartością w bezterminowym ubezpieczeniu na życie Zatem obliczając wartość oczekiwaną po obu stronach równości Y = 1 vk+1 = 1 Z
1 RENTY P ATNE DYSKRETNIE 45 ostajemy następujący związek pomięzy wartością aktuarialną renty życiowej i ubezpieczenia bezterminowego lub równoważnie ä x = 1 A x 1 = ä x + A x Wzór ten ma następującą interpretację: Zaciągamy ług w wysokości 1 Jego spłaty okonujemy następująco: na początku każego roku spłacamy osetki o sumy 1 z góry oraz wykupujemy polisę na całe życie na sumę 1 Spłaty ługu okona ubezpieczyciel w rok po naszej ostatniej racie osetek (czyli na koniec roku śmierci) gzie Dla renty życiowej z ołu wartość obecna wynosi Y = v + v 2 + + v K = a K a n = 1 vn jest obecną wartością renty pewnej z ołu na n lat Zatem OW tej renty jest o 1 mniejsza niż renty z góry Stą OWA renty z ołu a x = ä x 1 12 Renta życiowa czasowa Renta życiowa n-letnia polega na okonywaniu wpłaty 1 na początku każego roku przez kolejnych n lat Osoba x-letnia okonuje pierwszej wpłaty natychmiast a ostatniej (ewentualnie) w wieku x + n 1 Jeśli osoba ta umrze prze osiągnięciem tego wieku to płatność ustaje Obecna wartość takiej renty wynosi Zatem OWA takiej renty wynosi ä K+1 jeżeli K < n Y = ä n jeżeli K n ä x:n = n 1 ä k+1k p x q x+k = Zauważmy że poobnie jak la renty ożywotniej Y = 1 Z n 1 v k kp x gzie Z oznacza OW ubezpieczenia na życie i ożycie na sumę 1 Zatem a x:n = 1 A x:n
46 5 RENTY życiowe 13 Renty życiowe oroczone Najlepszy przykła takiej renty to emerytura Aktywny zawoowo x-latek otrzymuje obietnicę corocznych świaczeń w wysokości 1 które bęą mu wypłacane począwszy o wieku x + m (najczęściej x + m = 65) OW renty bezterminowej oroczonej o m lat wynosi 0 jeżeli K < m Y = v m + v m+1 + + v K jeżeli K m Zatem OWA takiej renty wynosi m ä x = EY = ä x ä x:m lub Zauważmy że m ä x = k=m v k kp x m ä x = m p x v m ä x+m gyż m ä x = v k kp x = v k+m k+mp x k=m = v m v k mp xk p x+m = v m mp x v k kp x+m = v m mp x ä x+m 14 Renty płatne częściej niż raz o roku Zwykle renty są otrzymywane lub płacone częściej niż raz o roku Załóżmy że płatności są okonywane m razy w ciągu roku po 1 każa na początku każego pookresu (z góry) m Dla takiej renty bezterminowej mamy przy założeniu HU wzór gzie α(m) = ä (m) x = α(m)ä x β(m) i (m) i (m) Można również korzystać z przybliżeń i i(m) β(m) = (m) i (m) α(m) 1 β(m) m 1 2m Dla rent terminowych z wypłatami m razy w ciągu roku zachozi wzór ä (m) x:n = α(m)ä x:n β(m)(1 v n np x )
1 RENTY P ATNE DYSKRETNIE 47 15 Renty życiowe rosnące Renta taka polega na płatności 1 teraz 2 za rok i tak alej aż o K + 1 na początku roku śmierci Wartość obecna takiej renty wynosi K Y = (k + 1)v k a jej OWA wynosi (Iä) x = (k + 1)v k kp x 16 Funkcje komutacyjne Wartości aktuarialne rent życiowych również można zapisać przy pomocy funkcji komutacyjnych Mianowicie określmy N x = +k gzie = v x l x oraz Wtey oraz a więc Ponato Istotnie S x = N x+k ä x = N x ä x:n = N x N x+n n ä x = N x+n (Iä) x = S x ä x = v k kp x = v k l x+k = 1 v x+k l l x v x x+k = 1 +k = N x l x Dalej Wreszcie n ä x = Ax:n 1 ä x+n = +n Nx+n = N x+k +n (Iä) x = 1 (k + 1)+k = 1 N x+k = S x Przykła 13 Kupując polisę bezterminową 35-latek ma o wyboru wie równoważne metoy rocznych skłaek netto płaconych ożywotnio na początku roku: roczna skłaka rosnąca weług wzoru 20 + 5(k + 1) la k = 0 1 2 ; roczna skłaka rosnąca weług wzoru 1 + b(k + 1) la k = 0 1 2 Wyznaczyć wartość b jeżeli ane są D 35 = 12260 N 35 = 176410 i S 35 = 2165170
48 5 RENTY życiowe Rozwiązanie Pierwsza metoa polega na płaceniu wóch rent: ożywotniej w wysokości 20 której OWA wynosi 20ä 35 i rosnącej o wysokości 5(k + 1) której OWA wynosi 5(Iä) 35 Poobnie OWA rugiej metoy wynosi ä 35 + b(iä) 35 Równoważność polega na równości wartości aktuarialnych obywu rent Zatem 20ä 35 + 5(Iä) 35 = ä 35 + b(iä) 35 Ale a więc ä 35 = N 35 D 35 = 1439 (Iä) 35 = S 35 D 35 = 1766 b = 19ä 35 + 5(Iä) 35 (Iä) 35 = 655 Przykła 14 Pan Grosik ma 35 lat i chce zacząć okłaać 50 PLN miesięcznie w prywatnym funuszu emerytalnym Jakiego oatku o emerytury może się spoziewać po ożyciu o wieku emerytalnego 65 lat? Rozwiązanie Niech x oznacza szukany miesięczny oatek Musimy porównać wartości aktuarialne wpłaconych skłaek i wypłaconych w przyszłości świaczeń Zatem Aby obliczyć ä (12) 35:30 12 50 ä (12) 35:30 = 12 x 30 ä (12) 35 korzystamy ze wzoru n ä (m) x = n p x v n ä (m) x+n = A 1 x:n ä (m) x+n czyli Mamy Dalej gzie oraz Zatem ä (12) 65 = 9595 oraz Aby obliczyć ä (12) 35:30 30 ä (12) 35 = A 1 35:30 ä(12) 65 A 1 35:30 = D 65 D 35 = 510777 2426677 = 021038 ä (12) 65 = α(12)ä 65 β(12) α(m) 1 β(m) m 1 2m = 11 24 = 0458 ä 65 = N 65 D 65 = 5134914 510777 = 1005314 30 ä (12) 35 = 2029 korzystamy ze wzoru ä (m) x:n = α(m)ä x:n β(m)(1 A 1 x:n )
a więc Obliczamy 1 RENTY P ATNE DYSKRETNIE 49 ä (12) 35:30 = ä 35:30 β(12)(1 A 1 35:30 ) ä 35:30 = N 35 N 65 D 35 = Stą ä (12) 35:30 = 1627 oraz x = 45422022 5134914 2422677 50 ä(12) 35:30 30 ä (12) 35 = 40093 = 1663