f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( 1

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 1 i 2. 1. Właściciel domu określa wartość swojego majątku na 100j. Obawia się losowej straty spowodowanej pożarem. Doświadczenie agenta ubezpieczeniowego pozwala oszacować prawdopodobieństwo straty według tabeli. x - starta 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 p -p-stwo 0,9 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 Przyjmując, że właściciel ma awersję do ryzyka i posługuje się funkcją użyteczności u(w) = w u(w) = exp( 0, 01w) u(w) = w 1 300 w2 oblicz: Jaką maksymalna składkę jest skłonny zapłacić właściciel za pełne ubezpieczenie? Jaka jest oczekiwana wartość majątku po roku bez ubezpieczenia? Jaka jest oczekiwana wartość straty? Wyznacz polisę optymalną, jeśli decydent chce przeznaczyć na ubezpieczenie 4j, a koszt polisy jest równy 1, 2EI(X), gdzie I(X) oznacza odszkodowanie dla szkody o wartości X. 2. Podmiot posiada majątek w = 100. Strata X, na którą jest narażony w ciągu roku ma rozkład P (X = 0) = 0, 75, P (X (a, b)) = b a f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = 1 400 exp( 1 100 x)1 (0,100)(x) P (X = 100) = e 1 4. Podmiot jest skłonny przeznaczyć na ubezpieczenie kwotę 18. Wyznacz polisę optymalną przy cenie 1, 2EI(X). Jak zmieniłoby się rozwiązanie gdyby cena polisy była EI(X). Wyznacz wartość oczekiwaną majątku po roku bez ubezpieczenia. Wyznacz wartość oczekiwaną straty. Wyznacz wartość oczekiwaną majątku po roku z ubezpieczeniem optymalnym. Wyznacz maksymalną kwotę, jaką skłonny jest przeznaczyć na ubezpieczenie pełne podmiot. Przyjmij funkcję użyteczności u(w) = exp( 0, 05w).

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 2 3. Pewien podmiot maksymalizuje wartość oczekiwaną funkcji użyteczności postaci u(x) = ln x. Majątek tego podmiotu wynosi w = 2. Połowa majątku narażona jest jednak na ryzyko całkowitej utraty, co może nastąpić z prawdopodobieństwem q = 0, 2. Od tego ryzyka można się na rynku ubezpieczyć. Rynek oferuje kontrakty proporcjonalne wypłacające przy roszczeniu X wartość ax, gdzie a (0, 1) jest pewną stałą, wyceniane według oczekiwanej wartości odszkodowania dla tego podmiotu pomnożonej przez czynnik 1, 25. a) Wyznacz wartość parametru a jaką wybierze ten podmiot. b) Ile maksymalnie jest skłonny zapłacić ten podmiot za pełne ubezpieczenie. 4. (egzaminy aktuarialne) Pewien podmiot posiada majątek wyjściowy o wartości w, narażony jest na stratę X. Podmiot postępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jego funkcja użyteczności jest postaci u(x) = exp( x). Strata X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty ubezpieczeniowe z odszkodowaniem { 0 gdy X < d I d (X) = X d gdy X d w zamian za cenę (1+θ)EI d (X), gdzie θ jest dodatnią stałą taką samą dla wszystkich d (0, 1). Podmiot dokonuje wyboru parametru d znając θ. Wiemy, że wybrał d = 0, 5. Wyznacz θ. 5. (egzaminy aktuarialne) Pewien podmiot posiada majątek wyjściowy o wartości w, narażony jest na stratę X. Podmiot postępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jego funkcja użyteczności jest postaci u(x) = exp( x). Strata X ma rozkład dwupunktowy P (X = 1) = 1 P (X = 0) = q. Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty ubezpieczeniowe wypłacające ax za szkodę o wysokości X dla dowolnych a (0, 1] w zamian za składkę w wysokości (1 + θ)qa. Wyznacz a, przy którym podmiot osiągnie maksimum użyteczności, jeśli założymy, że θ = 0, 25 i q = 0, 2.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 3 6. Dwa zakłady ubezpieczeniowe A i B posługują się funkcją użyteczności u(w). Zakład A dysponuje kapitałem 10 8 ECU, zakład B kapitałem 6 10 7 ECU. Zakłady A i B otrzymały ofertę ubezpieczenia statku o wartości 2 10 7 ECU od całkowitego zniszczenia (zatonięcia). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe q. 1. Wyznacz składkę minimalną jaką powinny ustalić zakłady pracując a) oddzielnie (każdy sam ubezpiecza cały statek) b) wspólnie ( dwa przypadki: koasekuracja po równo, koasekuracja proporcjonalna do majątku). Przyjmij q = 0.1, 0.01, 0.009, 0.001 u(w) = 1 2 w 2. Wyznacz maksymalne akceptowane składki dla ubezpieczającego się, gdy wartość jego całkowitego majątku jest równa 21 10 6, 60 10 6, 100 10 6, 200 10 6, 500 10 6, 1000 10 6 Rozważ dwie funkcje użyteczności u(w) = 1 2 w u(w) = ln w 7. (egzaminy aktuarialne) O łącznej wartości szkód X z pewnego kontraktu ubezpieczeniowego wiemy, iż: jest nieujemna, tzn. P (X 0) = 1; ma wartość oczekiwaną równą 20; wartość oczekiwana nadwyżki ponad 10 wynosi 13, tzn.: E((X 10) + ) = 13; wartość szkód jest mniejsza od 10 z prawdopodobieństwem 0.5. Wyznacz zbiór wszystkich możliwych wartości E((X 5) + ) Odp: [15, 5; 16, 5) 8. (egzaminy aktuarialne) O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20, czyli E((X 20) + ) = 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału (10, 20] : P (X 20) = 3 4 ; P (X 10) = 1 4 ; E(X 10 < X 20) = 13. Wyznacz E((X 10) + ). Odp: E((X 10) + ) = 12

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 4 9. (egzaminy aktuarialne) Portfel składa się z n = 1000 niezależnych jednorodnych ryzyk. Dla pojedynczego ryzyka wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 i odchylenie standardowe też jest równe 10. Niech S oznacza sumaryczną wartość roszczeń w portfelu. Składka przypadająca na pojedyncze ryzyko wynosi H i została skalkulowana tak aby P (S > nh) = 0, 01, przy czym to prawdopodobieństwo obliczono korzystając z aproksymacji rozkładem normalnym. Przypuśćmy, że możemy objąć ubezpieczniem dodatkowych n 1 niezależnych ryzyk, dla których wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 ale odchylenie standardowe jest równe 15. Dla nowych ryzyk składka powinna być tej samej wysokości H. Niech S 1 oznacza sumaryczną wartość roszczeń w portfelu nowych ryzyk. Wyznacz n 1 aby P (S + S 1 > (n + n 1 )H) 0, 01. 10. Portfel składa się z 2 niezależnych subportfeli. Wyznaczono charakterystyki łącznej wartości szkód dla tych subportfeli. Przedstawia je tabela. Wartość oczekiwana wariancja skośność γ subportfel I 5 9 2 subpotrfel II 15 16 0,25 Rozkład łącznej wartości szkód z całego portfela aproksymujemy przesuniętym rozkładem gamma, zakładając, że trzy pierwsze momenty obu rozkładów są równe. Wyznacz parametry rozkładu gamma. 11. Wygeneruj po n = 50 wartości zmiennych losowych o rozkładach: 1. zero-jedynkowym P (X = 1) = 0, 1; 2. równomiernym o wartościach 1, 2, 3, 4, 5; 3. Ex(2); Gamma(2, 4); 4. P areto(3, 2); 5. N(0, 1); N(2, 9). Wyznacz EX, V arx oraz odpowiedniki próbkowe. Zadanie powtórz dla n = 200. 12. Niech N 1, N 2 będą zmiennymi losowymi równymi liczbie szkód w dwóch niezależnych grupach ryzyka. Zakładamy, że obie zmienne mają rozkłady Poissona o wartościach oczekiwanych λ i, i = 1, 2. Niech S = N 1 + N 2. Wyznacz rozkład zmiennej N 1 pod warunkiem, że S = s, s N {0}. Wyznacz E(N 1 S = s) i V ar(n 1 S = s). 13. (egzaminy aktuarialne) Pewne ryzyko generuje w kolejnych czterech kwartałach szkody o łącznej wartości X 1, X 2, X 3, X 4. Zmienne losowe X i są niezależne o tym samym rozkładzie wykładniczym. Ubezpieczyciel pokrywa łączną wartosć szkód za cały rok, ceduje jednak na reasekuratora łaczną wartosć szkód z jednego wybranego

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 5 przez siebie kwartału (oczywiście wybierze najgorszy z nich). Jaki jest udział składki reasekuracyjnej w składce ubezpieczeniowej (obie składki są liczone wg ich wartości oczekiwanej). Odp. 25/48. 14. Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładu P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody o pozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdy rok w następujący sposób: składka I: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednim razy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1 składka II: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w roku n 2 razy częstość szkód w roku n 2 razy 1,1 Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego. Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczona na podstawie symulacji. Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierając się na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów. Porównaj wyniki. Szkody uregulowane (K - liczba, s - wartość) l.polis l.szkód 1980 1981 1982 1983 1984 1985 K s K s K s K s K s K s 1980 1000 1981 4000 1982 8000 1983 6000 1984 4000 1985 4000 suma średnia Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 = Porównanie składek

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 6 rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S I składek H1 szkód S II składek H2 1980 25 25000 25 25000 1981 25 100000 1982 1983 1984 1985 suma suma

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 7 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 i 4 1. (egzaminy aktuarialne) Ubezpieczyciel ma portfel liczący 9644 terminowych polis na życie z terminem jednego roku. Prawdopodobieństwo zgonu każdego z ubezpieczonych wynosi 0,01, a świadczenie wynosi b. Ubezpieczyciel pobiera składkę w wysokości 125% składki netto. Reasekurator w zamian za zobowiązanie pokrycia ab w razie śmierci ubezpieczonego żąda 150% swojego udziału w składce netto. Ubezpieczyciel chce utrzymać prawdopodobieństwo straty na udziale własnym w tym portfelu na poziomie 0,05. Nie ma kosztów, stopa procentowa jest zerowa. Wyznacz wskaźnik a [0, 1]. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym. 2. Rozważmy następujący portfel ubezpieczeń życiowych. k nr grupy n k - liczba ryzyk b k - świadczenie 1 8000 1 2 3500 2 3 2500 3 4 1500 5 5 500 10 Prawdopodobieństwo zgonu we wszystkich grupach jest jednakowe i wynosi 0,02. Towarzystwo ubezpieczeniowe zastanawia się nad reasekuracją z poziomem retencji r przy koszcie jednostki pokrycia c. a) Dysponując kapitałem ze składek w wysokości 825 oszacuj prawdopodobieństwo, że łączna wartość wypłat i kosztów reasekuracji przekroczy tę kwotę, przy założeniu, że r = 2 i c = 0, 025. b) Dobierz r [3, 5), tak aby prawdopodobieństwo zdarzenia z punktu a było najmniejsze. 3. a) Rozważmy trzy grupy ryzyka indywidualnego k n k - liczba q k - p-stwo polis w k-tej grupie szkody 1 100 0.1 2 150 0.2 3 200 0.08 Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem gamma. b) Rozważmy trzy grupy ryzyka, liczba szkód dla każdego ryzyka jest zmienną o rozkładzie Poissona (parametry podaje tabela).

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 8 k n k - liczba λ k - oczekiwana polis w k-tej grupie liczba szkód 1 100 0.1 2 150 0.2 3 200 0.08 Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem gamma. Porównaj wyniki z wynikami punktu a). 4. Dane są trzy portfele ryzyk. Każdy portfel składa się z 10 niezależnych grup (podportfeli), każda grupa składa się z niezależnych ryzyk jednorodnych, każde ryzyko może generować jedną szkodę z prawdopodobieństwem q. Wartości szkód są zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale (a, b) (pierwszy portfel) dwupunktowego (drugi portfel), przy czym P (a) = 0.75 = 1 P (b), i wykładniczego (trzeci portfel). Parametry rozkładów i liczebności grup podaje tabela. Wyznacz dla każdego portfela łączną składkę H według zasady stosując a) aproksymację rozkładem normalnym b) aproksymację rozkładem gamma Podaj w obu przypadkach współczynnik narzutu bezpieczeństwa, czyli wartość θ taką, że H = (1 + θ)es, gdzie S to łączna wartośc szkód w całym portfelu. r. jednostajny dwupunktowy Wykładniczy grupa n q a b a b γ 1 1000 0,1 0 100 80 160 0,02 2 2000 0,01 0 200 100 250 0,02 3 5000 0,05 0 100 50 100 0,01 4 4000 0,01 0 250 150 250 0,02 5 500 0,08 50 300 150 300 0,01 6 700 0,03 0 200 100 150 0,02 7 1700 0,02 20 100 50 150 0,005 8 900 0,01 10 250 100 200 0,002 9 1200 0,04 10 300 70 140 0,02 10 1300 0,08 20 200 50 400 0,04 5. Wykonaj zadanie poprzednie zakładając, że każda grupa składa się z niezależnych ryzyk jednorodnych, każde ryzyko generuje liczbę szkód zgodnie z rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej q. Pozostałe założenia pozostają bez zmian.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 9 6. Wygeneruj 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodobieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y Ex(0, 01) b) Y P areto(5, 400). Na podstawie otrzymanych danych oszacuj odpowiednie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, a następnie korzystając z tych estymatorów oszacuj składkę łączną H, dla portfela złożonego z 1000 polis tego samego typu, tak, by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i gamma. Wylicz też H wykorzystując rzeczywiste parametry rozkładu, a nie wartości estymatorów otrzymanych na podstawie próby losowej. Przeprowadź 100000 symulacji portfela złożonego z 1000 polis o parametrech ryzyka jak na początku treści zadania, dla każdej symulacji oblicz sumę szkód i traktując otrzymane wyniki jako próbkę rozkładu zmiennej S wyznacz oszacowanie składki jako odpowiedni kwantyl próbkowy. Porównaj wyniki z wcześniej otrzmanymi oszacowaniami. 7. (egzaminy aktuarialne) Zmienna losowa X = Y 1 + Y 2 +... + Y N ma złożony rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ = 1. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika Y. Wyznacz P (X = 5). Odp: 0.1079. k P (Y = k) 0 0 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1 5 0.2 8. (egzaminy aktuarialne) Zmienna losowa X jest sumą trzech zmiennych losowych o rozkładach złożonych Poissona z parametrami odpowiednio (λ 1, F 1 ), (λ 2, F 2 ), (λ 3, F 3 ). Wartości parametrów częstotliwości λ 1, λ 2, λ 3 oraz dystrybuanty F 1, F 2, F 3 dane są wzorami: Oblicz P (X = 3). Odp. 7 6 e 2. i λ i F i (x) F i (x) F i (x) dla x < 1 dla x [1, 2) dla x 2 1 1 0 4/10 1 2 1/2 0 3/10 1 3 1/2 0 9/10 1 9. Dla pewnego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej szkody jest zmienną o rozkładzie Ex(1/200). Ubezpieczyciel pokrywa nadwyżkę szkody ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną, wariancję i współczynnik asymetrii γ sumy wypłaconych odszkodowań.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 10 10. (egzaminy aktuarialne) Łączna wartość szkód z pewnego ryzyka S = Y 1 +... + Y N jest zmienną losowa o złożonym rozkładzie Poissona. Trzy niezależne podmioty pokrywaja części S 1, S 2, S 3 całkowitej wartości zmiennej S: S 1 = min{d, Y 1 } + min{d, Y 2 } +... + min{d, Y N } S 3 = max{0, Y 1 M} + max{0, Y 2 M} +... + max{0, Y 2 M} S 2 = S S 1 S 3 gdzie parametry podziału odpowiedzialnosci spełniają warunki M > d > 0. Przyjmujemy, że EN = 20, d = 2, M = 10 oraz dystrybuanta rozkładu wartości pojedynczej szkody dana jest na półosi nieujemnej wzorem. Oblicz Cov(S 1, S 3 ). Odp. 50. P (Y 1 y) = 1 ( 10 ) 3 10 + y 11. (egzaminy aktuarialne) Portfel składa się z 2000 niezależnych, identycznych ryzyk. Dla każdego z nich liczba szkód ma rozkład Poissona z parametrem częstotliwości 0.05, a wartość szkody ma zawsze (niezależnie od liczby i wartości ewentualnych innych szkód) rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Uznano, iż rozkład łącznej wartości szkód z portfela ma zbyt wysoki wskaźnik skośności (stosunek trzeciego momentu centralnego do sześcianu odchylania standardowego). Rozważa się odstąpienie reasekuratorowi nadwyżki każdej szkody z portfela ponad d. Czy istnieje taką wartość d (0, 1), dla której wskaźnik skośności wyniesie 0.1. Odp. nie istnieje. 12. Liczba szkód N z ryzyka ma rozkład geometryczny P (N = k) = p(1 p) k dla k = 0, 1, 2,... Wartość pojedynczej szkody X i ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1/θ. Wyznacz dystrybuantę, gęstość i funkcję tworzącą momenty rozkładu zmiennej S N = { Ni=1 X i gdy N > 0 0 w p.p. 13. (egzaminy aktuarialne) Y 1, Y 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem częstotliwości λ, niezależną od zmiennych Y 1, Y 2,.... Niech: M N = { max{y1, Y 2,..., Y N } gdy N > 0, 0 gdy N = 0 Wyznacz warunkową wartość oczekiwaną E(N M). Odp: 1 + Mλ gdy M > 0 i 0 gdy M = 0.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 11 14. (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód N w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu ma rozkład geometryczny P (N = k) = 2k, k = 0, 1, 2,.... Wartość każdej ze szkód 3 k+1 Y 1, Y 2,... ma rozkład Pareto o dystrybuancie F (y) = y dla y > 0. Wartości 1+y poszczególnych szkód i liczba szkód są zmiennymi niezależnymi. Niech { max{y1, Y M = 2,..., Y N } gdy N > 0, 0 gdy N = 0 Wyznacz medianę rozkładu zmiennej M. Odp. 1. 15. (egzaminy aktuarialne) Mamy dany ciąg liczb (q 1, q 2,..., q n ) z przedziału (0, 1), oraz ciąg (m 1, m 2,..., m n ) liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: X = X 1 +X 2 +...+X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach (1, q i, F i ), wszystkie składniki X i są niezależne, zaś oczekiwana wartość szkody o dystrybuancie F i wynosi m i ; Z o rozkładzie złożonym dwumianowym i parametrach (n, q, F ), gdzie ni=1 q ni=1 i q i F i (x) q =, x R F (x) =. n n q Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie: ni=1 q i m i mq =. n Zakładamy, że wszystkie rozkłady F i mają skończoną wariancję. Oblicz V arx V arz. Odp. n i=1 [q i m i mq] 2 16. (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód N w roku ma rozkład ujemny dwumianowy bin (r, p). Prawdopodobieństwo, że szkoda będzie rozpatrzona w tym samym roku jest równe s. Szkody rozpatrywane są niezależnie. Niech K oznacza liczbę szkód rozpatrzonych w roku zajścia. Oblicz Cov(K, N K). Oblicz E(N K = k). 17. (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu równa jest N = M 1 + M 2 +... + M K gdzie K, M 1, M 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi, K - oznacza liczbę wypadków i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, M 1, M 2,... to liczby szkód z poszczególnych wypadków - mają one identyczny rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją P (M 1 = k) = 1 ln(1 c) ck k, k = 1, 2, 3,..., c = 1 e 1. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w danym roku doszło do jednego wypadku pod warunkiem, że wystąpiły 4 szkody.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 12 18. (egzaminy aktuarialne) Rozważamy dwie zmienne losowe o rozkładach złożonych, różniące się założeniami o rozkładzie liczby składników i rozkładzie pojedynczego składnika: P L = Y 1 +... + Y N, gdzie N ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, zaś każdy ze składników ma rozkład logarytmiczny o funkcji prawdopodobieństwa danej wzorem P (Y n = k) = 1 ck dla k = 1, 2, 3,..., ln(1 c) k LP = Y 1 +...+Y N, gdzie N ma rozkład logarytmiczny o funkcji prawdopodobieństwa z parametrem c (jak wyżej), zaś każdy ze składników Y n ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ. Rozważamy jedynie dopuszczalne wartości parametrów λ > 0 oraz c (0, 1). Pokaż, że c ln(1 c) V ar(lp ) > V ar(p L) λ > ln(1 c) c. 19. Dla pewnego portfela ryzyk Towarzystwo Ubezpieczeniowe pobiera w każdym roku składkę wysokości 250 dla każdej polisy. Łączna wielkość roszczeń z polisy ma złożony rozkład ujemny dwumianowy z parametrami rozkładu ujemnego dwumianowego r = 1, 6 i p = 0, 8 i rozkładem wielkości szkody równym rozkładowi Gamma(1, 0, 002). Z każdym roszczeniem związane są pewne koszty dodatkowe, które są realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale (20,80). Koszty dodatkowe są niezależne od wielkości roszczenia. Niech S oznacza łączne wartości roszczeń i koszty dodatkowe dla całego portfela. Stosując przybliżenie rozkładem normalnym wyznacz najmniejszą liczność portfela, przy której prawdopodobieństwo, że składka pokryje S jest większe niż 0,99. Przyjmij kwantyl rzędu 0,99 w rozkładzie normalnym 2,33. 20. (egzaminy aktuarialne) Wiadomo, że zmienne losowe N 1, N 2, N 3 są niezależne i przyjmuja wartości całkowite nieujemne. Ich funkcje prawdopodobieństwa określone na tym zbiorze spełniają zależności rekurencyjne: P (N 1 = k) = ( 4 k 1) P (N 1 = k 1) dla k = 1, 2,..., P (N 2 = k) = ( 3 k 1) P (N 2 = k 1) dla k = 1, 2,..., P (N 3 = k) = ( 2 k 1) P (N 3 = k 1) dla k = 1, 2,..., Oblicz P (N 1 + N 2 + N 3 = 3). Odp. 10 32.

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 13 21. W ubezpieczeniach samochodowych klienci zostali podzieleni na 4 grupy (grupa E to cały portfel). Dane przedstawia tabela. (a) Oszacuj składkę netto na jednego klienta a) w każdej grupie osobno b) traktując wszystkich klientów jako jedna grupę (grupa E). (b) Dopasuj rozkład Poissona i ujemny dwumianowy dla każdej z grup i grupy E (wyznaczając EMM i ENW parametrów) (c) Oszacuj parametry α i β rozkładu a priori Gamma i naszkicuj wykresy funkcji gęstości. (d) Wyznacz łączną składkę w każdej grupie i składkę dla pojedynczego klienta z grupy (klienci w danej grupie mają jednakową składkę) stosując zasadę P (S > H) = 0, 01 (H - łączna składka w grupie, S -suma szkód w grupie), aproksymację rozkładem normalnym i model kolektywny ryzyka, przybliżając liczbę szkód a) rozkładem Poissona b) rozkładem ujemnym dwumianowym (e) Stosując test zgodności Chi-kwadrat zweryfikuj hipotezy o zgodności rozkładu liczby szkód z ryzyka w każdej grupie z rozkładem Poissona i z rozkładem ujemnym dwumianowym. (f) Napisz wnioski. Czy można portfel lub grupy traktować jako jednorodne (ze względu na liczbę szkód). grupy A B C D E - cały ryzyka portfel l. ryzyk 5827 2566 3573 3247 15213 l. szkód z ryzyka 0 5020 2138 2909 2662 12729 1 748 368 605 480 2201 2 53 48 53 90 244 3 5 10 5 13 33 4 1 2 1 1 5 5 0 0 0 1 1 średni koszt szkody µ 1020 1486 1097 1413 1222 odchylenie standardowe σ 550 1000 440 990 779