Wykład II
Model atomu Bohra Postulaty Bohr a 1.Elektrony poruszają się wokół jądra po orbitach stacjonarnych.. Atom emituje promieniowanie, gdy elektron przechodzi z jednej orbity stacjonarnej na drugą. 3. Częstotliwość promieniowania jest dana wzorem hf = E m - E n gdzie E m i E n oznaczają energie tych stanów. 4. Moment pędu elektronu jest skwantowany : m e vr =nh
Fale materii Dualizm falowo-cząstkowy fali elektromagnetycznej. W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna wykazuje typowe własności falowe. W zjawiskach takich jak promieniowanie rentgenowskie, efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala elektromagnetyczna wykazuje naturę korpuskularną, tzn. jest strumieniem cząstek zwanych fotonami. Hipoteza de Broglie'a. W 194 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera.oznacza to, że cząstki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwał on falami materii. Założył, że długość fal materii określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów. h p
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa (x,t) : zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce) w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych przestrzennych oraz czasu musi być funkcją ciągłą, a także musi mieć ciągłą pochodną kwadrat modułu funkcji falowej * jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie przestrzeni p V dv 1 V
Równanie Schrӧdingera Funkcję falową, dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schrӧdingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy od czasu, to równanie Schrӧdingera jest równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym równaniem Schrӧdingera. h m d ( x) dx U ( x) ( x) E( x)
z y x E z y x z y x V z y x m,,,,,, h z y x E z y x H,,,, ˆ Równanie Schrödingera Atom wodoru Energia potencjalna we współrzędnych sferycznych. Równanie różniczkowe na pochodne cząstkowe z 3 niezależnymi współrzędnymi r e r V 0 4 1 ) (
Stan elektronu charakteryzowany jest poprzez: energię, wartość momentu pędu, rzut momentu pędu oraz wartość rzutu własnego momentu pędu nazwa symbol wartość główna liczba kwantowa poboczna liczba kwantowa magnetyczna liczba kwantowa spinowa liczba kwantowa n 1,, 3,... l 0, 1,,... n-1 m l od l do +l m s ± 1/
Kwadrat modułu funkcji falowej - orbitale
Atom wieloelektronowy Atom zawierający więcej niż jeden elektron. Energie elektronu są teraz inne niż dozwolone energie w atomie wodoru. Związane jest to z odpychaniem pomiędzy elektronami. Zmienia to energię potencjalną elektronu. Dozwolone energie elektronu zależą od głównej liczby kwantowej n oraz w mniejszym stopniu od orbitalnej liczby kwantowej. Zależność od l staje się istotna dla atomów o dużej ilości elektronów. Każdy elektron zajmuje w atomie stan który jest opisany poprzez liczby kwantowe: n,, m, m s.
1s s p 6 3s 3p 6 4s 3d 10 4p 6 5s 4d 10 5p 6 6s 4f 14 5d 10 6p 6 7s 6d 10 5f 14 1 10 5 1 5 3 1 6 1 6 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 3 :1 s d Cu s d Mn s d Cr s d V s d Ti s d Sc s p Ca s p s K Konfiguracja elektronowa - kolejność zapełniania orbit
Wiązania chemiczne Typy: Wiązania jonowe Wiązania kowalencyjne Si h + e - e - Wiązania metaliczne h + e - : elektrony h + : dziury Wiązania Van der Wallsa + - + -
METALE
lk=8 Najczęstsze struktury krystaliczne : heksagonalna, objętościowo centrowana (bcc) powierzchniowo centrowana (fcc) bcc fcc METALE lk=1 1) Struktura regularna płasko centrowana fcc : ABC ABC Ag, Au, Pt ) Struktura heksagonalna gęstego upakowania: AB AB; Atom A (000), atom B (/3, 1/3, 1/) Hg, Ti 3) Struktura regularna objętościowo centrowana bcc Na, Li, K 4) Struktura CsCl Tak jak bcc, ale atom w środku sześcianu jest inny niż w narożach fcc bcc heksagonalna najgęstszego upakowania
Dwa atomy METALE Sześć atomów Ciało stałe N~10 3 atomów/cm 3 Zakaz Pauliego: elektrony w atomie muszą różnić się przynajmniej jedną liczbą kwantową tzn. nie ma dwóch takich elektronów których stan opisywany byłby przez ten sam zestaw liczb kwantowych n,, m oraz m s. W zbiorze wzajemnie oddziałujących na siebie atomów nie ma dwóch elektronów o identycznych stanach energetycznych
Struktura elektronowa atomu Na N stanów, N elektronów stany, 1 elektron 6 1 1s s p 3s 6N stanów, 6N elektronów 6 stanów, 6 elektronów
Kwantowy model elektronów swobodnych (i) Elektrony są swobodne: elektrony walencyjne nie oddziałują ze sobą tworzą gaz doskonały (ii) Przewodnictwo jest ograniczone zderzeniami z niedoskonałościami sieci krystalicznej (przybliżenie czasu relaksacji). (iii) Elektrony są fermionami: podlegają statystyce Fermiego- Diraca
Prąd elektryczny Prawo Ohma Ԧj = σ E σ = qnμ I = Ԧj A Przewodność właściwa Ruchliwość
Transport elektronów w metalu a) Elektron w perfekcyjnym krysztale b) Elektron w krysztale w skończonej temp. c) Elektron w krysztale zdefektowanym 003 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. σ = enμ μ = v E Prędkość elektronu Przewodność właściwa Ruchliwość Natężenie pola elektrycznego
rezystancja Współczynnik temperaturowy rezystancji R = R o (1 + α T) Współczynnik kierunkowy a temperatura
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca Elektrony są fermionami. Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu fermionem: f ( E) 1 EE kt e F 1 Dla T = 0 K, f(e) = 1 E < E F 0 E > E F W T=0 zapełnione są wszystkie stany o energiach poniżej E F Dla dowolnej temperatury prawdopodobieństwo zapełnienia stanu o energii E F wynosi 0.5: f(e) = 0.5 dla E = E F
Gęstość stanów Gęstość stanów N(E) jest to liczba stanów energetycznych na jednostkę objętości. Liczba stanów na jednostkę objętości, których energia zawarta jest w przedziale od E do E+dE wynosi: N E de = 1 π m ħ 3/ EdE N(E) E
Koncentracja elektronów swobodnych w metalu Aby obliczyć ilość elektronów w jednostce objętości o energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze T, gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję Fermiego- Diraca: 3 1 8 m E no ( E) de N( E) f ( E) de de 3 EEF kt h e 1 Koncentrację elektronów otrzyma się, jeśli doda się (scałkuje) te elementarne ilości z całego zakresu energii w pasmie: E F 3/ 16 m n f ( E) N( E) de E 3 3h 0 3/ F
Model elektronów swobodnych w metalu E F h 8m 3 n 3 Dla T = 0, wszystkie stany o energii poniżej energii Fermiego E F są zapełnione elektronami, a wszystkie o energiach powyżej E F są puste. Dowolnie małe pole elektryczne może wprawić w ruch elektrony z poziomu E F dostarczając im energii U=eEx prowadząc do bardzo dużego przewodnictwa elektrycznego. W temperaturach T > 0, elektrony są termicznie wzbudzane do stanów o energiach powyżej energii Fermiego.
Parametry Fermiego dla el. swob. w metalu E F W: Praca wyjścia Poziom próżni Energia Krawędź pasma przewodnictwa E F h 8m 3 n 3 metal Koncentracja elektronów [10 8 m -3 ] Energia Fermiego E F [ev] Praca wyjścia W [ev] Na.65 3.4.35 Cu 8.47 7.00 4.44 Ag 5.86 5.49 4.3 Au 5.90 5.53 4.3 Fe 17.0 11.1 4.31 Al 18.1 11.7 4.5 Sn 14.8 10. 4.38
Rodzaje ciał stałych W ciałach stałych istotnemu rozszczepieniu ulegają stany elektronów walencyjnych. Rozszczepione poziomy grupują się w pasma. Najwyższe pasmo obsadzone elektronami w niemetalach nazywa się pasmem walencyjnym. Sąsiednie wyższe pasmo nazywa się pasmem przewodnictwa. Obszar energii zawartej pomiędzy pasmami, niedozwolony dla elektronów nazywa się przerwą wzbronioną.
Nadprzewodniki nisko- i wysoko temperaturowe Kamerlingh Onnes 1911 1957 teoria BCS J.Bardeen, L.Cooper, J.Schrieffer (Nobel 197)
Magnetyczne własności materii Jeśli substancja zostanie umieszczona w polu magnetycznym, to jej cząsteczki uzyskają moment magnetyczny. Z tym momentem wiąże się powstanie dodatkowego pola magnetycznego wewnętrznego. B B 1 0 0 Bm B B 0 Paramagnetyki: > 0 Pt, Al, Na,O B m Diamagnetyki: < 0 Bi, Hg, Ag, C (diament), Pb, NaCl, Cu, woda
Ferromagnetyki Ferromagnetyki to substancje, w których w zewnętrznym polu magnetycznym powstaje silne pole wewnętrzne, kolinearne z polem zewnętrznym ( >> 0). Fe, Co, Ni, Gd Powyżej temp. Curie, ferromagnetyki stają się paramagnetykami.
Efekt Meissnera Pole magnetyczne nie wnika do nadprzewodnika. Nadprzewodnik jest wypychany z pola magnetycznego. Wyjaśnienie: po włączeniu pola magnetycznego, w nadprzewodniku indukują się prądy wirowe. Te prądy są źródłem pola magnetycznego, które ma zwrot przeciwny do pola zewnętrznego. Magnes i nadprzewodnik odpychają się. Próba odsunięcia od siebie magnesu i nadprzewodnika znowu wywołuje powstanie prądu wirowego skutkującego tym razem pojawieniem się pola magnetycznego, powodującego przyciąganie.