Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

Cyfrowe przetwarzane kompresja danyh dr nż.. Wojeh Zają Wykład 4. Dyskretna transformata kosnusowa

Shemat przetwarzana danyh w systeme yfrowym Cyfryzaja danyh Dekorelaja kwantyzaja ompresja FEC + przeplot Modulaja odpowedna do medum, np. modulaja fal snusodalnej sygnałem dyskretnym transmsja Odzyskane sygnału yfrowego z sygnału transmtowanego - demodulaja orekja błędów transmsj usunęe danyh dodatkowyh FEC, usunęe przeplotu Dekompresja Odwrotna operaja dekorelaj Sygnał użytezny

Dekorelaja usuwane korelaj wzajemnej zależno noś statystyznej danyh w zborze

Przekształene Fourera Funkja ągłą opsana w dzedzne rzezywstej przekształana jest do posta sumy harmonznyh proste przekształene Fourera fˆ ω t ( ω ) f ( t ) e dt π odwrotne przekształene Fourera f ω t ( t ) f ( ω ) e dt π

Dyskretne przekszta Dyskretne przekształene Fourera ene Fourera proste dyskretne przekszta proste dyskretne przekształene Fourera ene Fourera odwrotne dyskretne przekszta odwrotne dyskretne przekształene Fourera ene Fourera ( ) ( ) ( )( ) N j k j N j x k X ω ( ) ( ) ( )( ) N k k j N k X N j x ω ( ) N N e π ω

Dyskretne przekszta Dyskretne przekształene Fourera ene Fourera DFT w posta maerzowej DFT w posta maerzowej YDFT YDFT X IDFTw IDFTw posta maerzowej posta maerzowej X Y Y DFT DFT 3 0... x N x x x x x 3 0... X N X X X X X ) ),( ( ) 0,( ),0 ( 0,0............... N N N N N N N N DFT

Fast Fourer Transform Najpopularnejszą wersją FFT jest FFT o podstawe. Jest to bardzo efektywna operaja, jednak wektor próbek wejśowyh (spr( spróbkowany sygnał) ) mus meć długość N k, gdze k to pewna lzba naturalna. Wynk otrzymuje sę na drodze shematyznyh przekształe eń,, opartyh o tak zwane struktury motylkowe. Złożoność oblzenowa FFT wynos nlog n,, zamast n perwotnego algorytmu.

Skutezność dekorelaj Skutezność dekorelaj merzy sę na drodze określena MSE (MSE0 oznaza dealną dekorelaję) Uszeregowane transformat pod względem mnmalzaja zakłóe eń średnokwadratowyh :.LT,.DCT, 3.slant slant, 4.WHT, 5.HT, 6.DFT DFT, 7.DST DST.

oszt numeryzny transformaja LT slant FFT DCT WHT lzba op. mnożena N 3 N N log N N log N 0 lzba op. dodawana N 3 N log N N log N N log N N log N

ryterum optymalzaj welokryteralnej Sprawność transformaty wydajność dekorelaj w stosunku do kosztu numeryznego

Zalety: Transformata optymalna LT mnmalzaja aja zakłóe eń średnokwadratowyh w sygnale odtworzonym (dealna dekorelaja danyh) Wady: najwększy spośród d transformat koszt numeryzny (N( 3 operaj mnożena N 3 operaj dodawana), brak szybkego algorytmu LT, konezność wyznazena modelu kowaranj sygnału źródłowego, o stanow złożone z one zadane numeryzne. konezność wyznazena transmsj do dekodera bazy transformaj LT (dagonalzowanej maerzy kowaranj danyh)

Transformata neoptymalna DCT Dla stajonarnego proesu Markowa perwszego rzędu transformata DCT osąga sprawność (wydajność dekorelaj w stosunku do kosztu numeryznego) zblżon oną do sprawnoś transformaty LT Zalety Wady wysoka wydajność dekorelaj, względne mały y koszt numeryzny. dekorelaja odbegająa od dealnej, efekt blokowy, przy przetwarzanu dla potrzeb slnej kompresj występowane artefaktów w transformaty Akeptowalny komproms mędzy jakoś ą dekorelaj a kosztem numeryznym - powszehne zastosowane w tehne.

Efekt blokowy

Artefakty transformaty DCT

y Reprezentaja sygnału u ągłego w dzedzne zasu dyskretnego () ysn(t) t y ysn(n) N y(n) y y 3 y 3 4 y 4 5 y 5 6 y 6 7 y 7 y 9 y 9 0 y 0 y y 3 y 3 4 y 4 5 y 5 6 y 6 n

Reprezentaja sygnału u ągłego w dzedzne zasu dyskretnego () 0 3 70 9 00-00 9 7 3 0-3 -70-9 -9-70 -3 0

Reprezentaja dwuwymarowego sygnału ągłego w dzedzne zasu dyskretnego 5 59 36 33 35 30 6 9 6 3 9 0 4 4 4 6 6 37 9 0 7 5 4 7 70 49 9 34 9 30 4 56 73 4 47 6 6 40 67 39 7 39 54 59 55 3 97 6 6 46 3 4 94 76

Zmana dzedzny opsu sygnału - analza zęstotlwo stotlwośowa lub nazej transformaja sygnału Przetwarzane za pomoą transformat wykorzystuje fakt, że dowolny sygnał s może e być przedstawony za pomoą lnowej kombnaj pewnyh funkj elementarnyh, zwanyh funkjam bazowym f. Dsrete Fourer Transform - DFT Fast Fourer Transform - FFT Dsrete Cosne Transform - DCT Dsrete Wavelet Transform - DWT s C f gdze C jest stałą

Dsrete Cosne Transform DCT () Funkje bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π + dla dla <, j N. Ahmed,, T. Natarajan, and. R. Rao,, "Dsrete" Cosne Transform", IEEE Trans. Computers,, 90-93, 93, Jan 974. N. Ahmed,, "How" I ame up wth the Dsrete Cosne Transform", Dgtal Sgnal Proessng,, Vol., p.4-5 (99).

Dsrete Cosne Transform DCT () Funkje bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π + dla dla <, j Ważną ehą transformaty DCT jest konezność operaj na lzbe danyh będąej b potęgą dwójk. Oznaza to, że e lzba próbek może e wynosć: 0,,,,, 4, 3,, 4, 6,

Dsrete Cosne Transform DCT () Funkje bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π + dla dla <, j j,,,,,,,,,

Dsrete Dsrete Cosne Cosne Transform Transform DCT () DCT () Funkje Funkje bazowe bazowe f transformaty transformaty DCT DCT maj mają posta postać: ( )( ) < + j dla j dla f, os π 3 oznaza.., j..,,7,6,5,4,3,, 7, 7,7 7,6 7,5 7,4 7,3 7, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 5,7 5,6 5,5 5,4 5,3 5, 5, 4,7 4,6 4, 4,5 4,4 4,3 4, 4, 3, 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3, 3,,,7,6,5,4,3,,,,7,6,5,4,3,,, DCT j

Dsrete Dsrete Cosne Cosne Transform Transform DCT () DCT () Funkje Funkje bazowe bazowe f transformaty transformaty DCT DCT maj mają posta postać: ( )( ) < + j dla j dla f, os π 3 oznaza.., j..,,7,6,5,4,3,, 7, 7,7 7,6 7,5 7,4 7,3 7, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 5,7 5,6 5,5 5,4 5,3 5, 5, 4,7 4,6 4, 4,5 4,4 4,3 4, 4, 3, 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3, 3,,,7,6,5,4,3,,,,7,6,5,4,3,,, DCT j Jak oblzy Jak oblzyć wsp współzynnk zynnk,j,j?

Dsrete Cosne Transform DCT (3) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π + dla dla <, j

Dsrete Cosne Transform DCT (3) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f 3 os ( j )( ) π + dla dla <, j f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j f dla, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) π 6 dla dla <, j f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j π 6 dla dla <, j 4π f5 os 6 ( j ) dla 5, j 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j π 6 dla dla <, j 4π f5 os 6 ( j ) dla 5, j 5π f6 os 6 ( j ) dla 6, j 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j π 6 dla dla <, j 4π f5 os 6 ( j ) dla 5, j 5π f6 os 6 ( j ) dla 6, j 6π f7 os 6 ( j ) dla 7, j 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j

Dsrete Cosne Transform DCT (4) Dla 3 funkjef bazowe f transformaty DCT mają postać: f os ( j )( ) f dla, j π f os 6 ( j ) dla, j π f3 os 6 ( j ) dla 3, j 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j π 6 dla dla <, j 4π f5 os 6 ( j ) dla 5, j 5π f6 os 6 ( j ) dla 6, j 6π f7 os 6 ( j ) dla 7, j 7π f os 6 ( j ) dla j, j

Dsrete Cosne Transform DCT (5) f dla, j j 3 4 5 6 7 f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f

Dsrete Cosne Transform DCT (5) π f os 6 ( j ) dla, j j 3 4 5 6 7 f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f

Dsrete Cosne Transform DCT (5) π f3 os 6 ( j ) dla 3, j j 3 4 5 6 7 f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f

Dsrete Cosne Transform DCT (5) 3π f4 os 6 ( j ) dla 4, j j 3 4 5 6 7 f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f

Dsrete Cosne Transform DCT (5) 7π f os 6 ( j ) dla j, j j 3 4 5 6 7 f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f

Dsrete Cosne Transform DCT (6) funton fdtd() % generowane maerzy wspolzynnkw DCT N; for :N for j:n f f os ( j )( ) f(,j)/sqrt(); else f(,j)sqrt(/)*os((*j-)*(-)*p/6); end end end π 6 dla dla <, j

Dsrete Cosne Transform f f f3 f4 f5 f6 f7 f

Dsrete Cosne Transform f f f3 f4 f5 f6 f7 f N

Dsrete Cosne Transform f f f3 f4 f5 f6 f7 f

Dsrete Cosne Transform f f f3 f4 f5 f6 f7 f N

Dsrete Dsrete Cosne Cosne Transform Transform ( )( ) <., os,, N j N dla N j N N j dla N DCT j π 0,0975 0,77 0,457 0,4904 0,4904 0,457 0,77 0,0975 0,93 0,469 0,469 0,93 0,93 0,469 0,469 0,93 0,775 0,4904 0,0975 0,457 0,457 0,0975 0,4904 0,77 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,457 0,0975 0,4904 0,77 0,77 0,4904 0,0975 0,457 0,469 0,93 0,93 0,469 0,469 0,93 0,93 0,469 0,4904 0,457 0,77 0,0975 0,0975 0,77 0,457 0,4904 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 DCT

Oblzane transformaty Przekształene proste wektora x Y DCT X Przekształene odwrotne wektora x X DCT T Y

Oblzane transformaty x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 f f f3 f4 f5 * f6 f7 f DCT x y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 x y

Oblzane transformaty x y x y x 3 y 3 x 4 x 5 * DCT x y 4 y 5 x 6 y 6 x 7 y 7 x y

Oblzane transformaty x y x y x 3 x 4 x 5 x 6 0,3536 0,4904 0,469 0,3536 0,4904 0,469 * 0,457 0,0975 0,4904 0,77 0,77 0,4904 0,0975 0,457 DCT 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,3536 0,77 0,93 0,0975 0,3536 0,457 0,93 0,4904 0,469 0,77 0,3536 0,77 0,93 0,0975 0,469 0,457 0,3536 0,0975 0,469 0,457 0,93 0,4904 0,3536 0,0975 0,469 0,457 0,93 0,4904 0,3536 0,77 0,93 0,0975 0,469 0,457 0,3536 0,457 0,93 0,4904 0,469 0,77 0,775 0,93 0,0975 y 3 y 4 y 5 y 6 x 7 y 7 x y

Dwuwymarowa transformaja DCT Przekształene proste Y DCT X DCT T Przekształene odwrotne X ' DCT T Y DCT

x x yp x x yp x 3 x 3 yp 3 x 4 x 5 x 4 x 5 DCT x * yp 4 yp 5 x 6 x 6 yp 6 x 7 x 7 yp 7 x x yp

x x x yp yp x x x yp yp x 3 x 3 x 3 yp 3 yp 3 x 4 x 5 x 4 x 5 x 4 x 5 DCT x * yp 4 yp 5 yp 4 yp 5 x 6 x 6 x 6 yp 6 yp 6 x 7 x 7 x 7 yp 7 yp 7 x x x yp yp

x x x yp yp x x x yp yp x 3 x 3 x 3 yp 3 yp 3 x 4 x 5 x 4 x 5 x 4 x 5 DCT x * yp 4 yp 5 yp 4 yp 5 x 6 x 6 x 6 yp 6 yp 6 x 7 x 7 x 7 yp 7 yp 7 x x x yp yp * DCT T x y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh X

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta X DCT

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh X DCT Y

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału X DCT Y

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału transmsja X DCT Y

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału transmsja + zakłóena X DCT Y

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału transmsja + zakłóena maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh + zakłóena btowe X DCT Y Y'

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału transmsja + zakłóena maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh + zakłóena btowe transformata odwrotna X DCT Y Y' IDCT

Powstawane zakłóe eń DCT maerz danyh przestrzennyh transformata prosta maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh przetwarzane kanału transmsja + zakłóena maerz danyh zęstotlwo stotlwośowyh + zakłóena btowe transformata odwrotna maerz danyh przestrzennyh + zakłóena X DCT Y Y' IDCT X'