Problemy implementacji algorytmów FFT w strukturach FPGA 1)
|
|
- Tomasz Niemiec
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Problemy implementacji algorytmów FFT w strukturach FPGA 1) Robert Kędzierawski Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Elektroniki Streszczenie Omówiono implementacje algorytmów FFT dla przypadku przetwarzania sygnałów radarowych w czasie rzeczywistym. Przedstawiono charakterystyki wybranych algorytmów FFT oraz typowe problemy ich stałoprzecinkowej realizacji. Przeanalizowano rozwiązania stosowane w celu zapobiegania nadmiarom. Przedstawiono wyniki badań wpływu parametrów transformaty na dokładność i dynamikę otrzymanego wyniku. Dla badanego typu sygnału określono optymalną postać planu skalowania. Słowa kluczowe: algorytmy FFT, implementacja algorytmu Radix-2 DIF. Implementation of FFT algorithms into FPGA structures Abstract Discussed are implementations of FFT algorithms for the case of radar signals processing in real time. Presented are characteristics of selected FFT algorithms and typical problems related to their fixed-point realization. Analysed are solutions used to prevent excesses. Shown are results concerning investigation of transform parameters influence on accuracy and dynamics of the result obtained. Determined is an optimum form of scaling plan for the examined signal. Keywords: FFT algorithms, implementation of Radix-2 DIF algorithm. Istota algorytmów FFT, złożoność obliczeniowa Wyznaczanie widma sygnału dyskretnego x(n) jest operacją powszechnie wykonywaną w systemach cyfrowego przetwarzania sygnałów. Narzędziem pozwalającym na wykonanie tej operacji jest dyskretna transformata Fouriera (ang. DFT Discrete Fourier Transform)), której równania można zapisać w następującej postaci: W ogólnym przypadku ciąg x(n) jest ciągiem zespolonym. Wyznaczenie DFT bezpośrednio z zależności (1) wymaga wykonania N 2 mnożeń i N(N-1) sumowań liczb zespolonych. Dla rozmiarów transformaty rzędu 1024-, 2048-punktów liczba operacji jest tak duża, że ten sposób wyznaczania widma jest nie realizowalny, szczególnie w aplikacjach czasu rzeczywistego z wysokimi wymaganiami czasowymi. Jest wiele różnych algorytmów FFT, ale wspólną cechą wszystkich jest znacznie mniejsza złożoność obliczeniowa względem metody bezpośredniej. Pojęcie złożoność obliczeniowa oznacza tu liczbę operacji arytmetycznych niezbędnych do realizacji algorytmu. Nie obejmuje ona operacji związanych z organizacją obliczeń, nie informuje więc o pełnej czasochłonności obliczeń. W przypadku wykonywania FFT przez klasyczne mikroprocesory, szczególnie starszego typu, operacje związane z organizacją programu zajmowały pomijalnie krótki czas względem operacji arytmetycznych. Sytuacja zmienia się w przypadku implementacji FFT w układach FPGA, które każdą operacje wykonują w identycznym czasie. Szczególnego znaczenia nabiera więc dobór najbardziej efektywnego algorytmu, również pod względem łatwości programowania. Zmniejszenie złożoności obliczeniowej algorytmu FFT wynika z wykorzystania właściwości specyficznej organizacji obliczeń: zamiast obliczać N-punktową DFT, oblicza się dwie -punktowe DFT i łączy ich wyniki. Złożoność obliczeniowa 1) Recenzent artykuł: mgr inż. Antoni Siwek (1) analiza (2) synteza (3) przy takiej organizacji obliczeń wynosi:. Dla 1024-punktowej transformaty metoda bezpośrednia wymaga = operacji arytmetycznych, zaś 2 (512) 2 = Liczba koniecznych do wykonania operacji arytmetycznych spada o połowę w stosunku do metody bezpośredniej. Zysk ten jest jednak zmniejszany poprzez występowanie operacji łączenia widm. Rekursywne dokonywanie podziałów i obliczanie krótszych DFT prowadzi do uzyskania dwupunktowych DFT i znacznej redukcji złożoności obliczeniowej. Końcowy schemat organizacji obliczeń wynikający z rekursywnych podziałów DFT pokazano na rysunku 1a. Klasyfikacja algorytmów FFT [15,16] Klasyfikacji algorytmów FFT można dokonać ze względu na kilka własności. Głównym kryterium podziału jest długość ciągu wejściowego N. Wyróżnia się algorytmy Cooley a Tuckey a i algorytmy Prime Factor. Pierwsza grupa to algorytmy, dla których rozmiar transformaty jest całkowitą potęgą liczby 2, tzn. N=2 M. Druga obejmuje algorytmy, gdzie rozmiar transformaty nie jest potęgą liczby 2 i da się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Klasyfikację algorytmów można również przeprowadzić ze względu na podstawę (ang. radix) podziału. Otrzymuje się wtedy algorytmy o podstawie 2 (radix-2), o podstawie 4 (radix-4), o podstawie 8 (radix-8), VIII
2 itd. Algorytmy można sklasyfikować również ze względu na dziedzinę podziału, wyróżnia się wtedy algorytmy z podziałem w czasie DIT (ang. Decimation In Time) oraz z podziałem w częstotliwości DIF (ang. Decimation In Frequency). Charakterystyka algorytmów FFT Wspomniany rekursywny podział obliczeń, w przypadku Radix-2, prowadzi do schematu obliczeń, takiego jak na rysunku 1a. Dla większej podstawy podziału powstają bardziej złożone schematy. Każdy algorytm wykonywany jest w określonej liczbie etapów: M=log P N, gdzie p jest podstawą algorytmu. Elementarna operacja algorytmu określana jest jako operacja motylkowa. Algorytmy FFT zmieniają uporządkowanie danych wyjściowych względem danych wejściowych: radix-2 wprowadza tzw. bit reverse w indeksie próbek, a radix- 4 digit reverse. Radix-2 z podziałem w czasie DIT [12] Odpowiadający temu równaniu schemat graficzny obliczeń dla N=8 pokazano na rysunku 1a. Dane wejściowe (rys. 1a) są uporządkowane w odwróconej kolejności bitów w indeksach (ang. bit reverse), dane wyjściowe w kolejności naturalnej. Pojedyncza operacja motylkowa (rys. 1b) zawiera jedno zespolone mnożenie i dwa sumowania. Liczba etapów określona jest wyrażeniem M=log 2 N, na każdym etapie wykonuje się N/2 operacje motylkowe. Całkowita złożoność obliczeniowa wynosi: Nlog 2 N sumowań oraz (N/2)log 2 N mnożeń liczb zespolonych. (1) Radix-2 z podziałem w częstotliwości DIF [11] Algorytm radix-2 z podziałem częstotliwościowym powstaje z przekształcenia równania (1) dyskretnej transformaty Fouriera do postaci umożliwiającej oddzielne obliczanie dwóch grup składowych widma: grupy o indeksach parzystych i grupy o indeksach nieparzystych. W ten sposób obie grupy reprezentują rozrzedzone ze współczynnikiem 2 widmo sygnału o N/2 składowych. Odpowiednie równania przedstawiono poniżej. Rys. 1a. Schemat organizacji obliczeń 8-punktowej DFT dla algorytmu Radix-2 DIT (2) (3) Graficzny schemat obliczeń reprezentujący powyższe równania dla N=8 pokazano na rysunku 2a. Rys. 1b. Operacja motylkowa dla algorytmu Radix-2 DIT Algorytm radix-2 z podziałem czasowym powstaje z przekształcenia równania dyskretnej transformaty Fouriera (1) do postaci zawierającej sumę dwóch transformat: pierwszej, obliczonej dla parzyście indeksowanych elementów wejściowej sekwencji danych (parzystych próbek sygnału wejściowego), drugiej, dla nieparzystych próbek sygnału wejściowego. Przekształcone w ten sposób równanie przedstawiono poniżej. Rys. 2a. Schemat organizacji obliczeń 8-punktowej DFT dla algorytmu Radix-2 DIF lipiec sierpień IX
3 Rys. 2b. Operacja motylkowa dla algorytmu Radix-2 DIF Dane wejściowe (rys. 2) są uporządkowane w naturalnej kolejności a dane wyjściowe w odwrotnej kolejności bitów w indeksie. Pojedyncza operacja motylkowa (rys. 2b), jest podobna do operacji motylkowej algorytmu z podziałem w czasie (rys. 1b). Obejmuje ona dwa sumowania liczb zespolonych i jedno mnożenie. Liczba etapów określona jest wyrażeniem M=log 2 N, na każdym etapie wykonuje się N/2 operacje motylkowe. Całkowita złożoność obliczeniowa wynosi: Nlog 2 N sumowań oraz (N/2)log 2 N mnożeń liczb zespolonych. Radix-4 [13] Rys. 3a. Schemat organizacji obliczeń DFT dla algorytmu Radix-4 DIT Algorytm radix-4 z podziałem czasowym powstaje z przekształcenia równania N-punktowej dyskretnej transformaty Fouriera (1) do postaci zawierającej sumę czterech krótszych N/4-punktowych transformat. Podzbiory danych do tych krótszych transformat są tworzone przez czterokrotne rozrzedzenie sekwencji próbek sygnału x(n), tj. rozrzedzenie sygnału w czasie. Tworzone są cztery podzbiory: Rys. 3b. Operacja motylkowa dla algorytmu Radix-4 DIT Aby powyższy podział był możliwy, parametr N określający liczbę próbek sygnału wejściowego musi być potęgą liczby 4. Końcowe równanie algorytmu przedstawiono poniżej. Algorytm Radix-4 z podziałem w częstotliwości charakteryzują się identyczną złożonością obliczeniową. Analogicznie jak w przypadku algorytmów o podstawie 2, schemat operacji motylkowej dla podziału w częstotliwości jest podobny do podziału w czasie. Mnożenie przez współczynnik obrotu występuje po operacji sumowania zespolonego. Split-radix [14] Graficzną ilustrację metody, na której opiera się algorytm radix-4 (4) przedstawiono na rysunku 3a. a operację motylkową tego algorytmu na rysunku 3b. Algorytm ten wymaga wykonania mniejszej liczby etapów, M=log 4 N. Każdy etap to N/4 obliczenia motylkowe, charakteryzujące się trzema mnożeniami i ośmioma sumowaniami liczb zespolonych. Całkowita złożoność obliczeniowa wynosi (3N/8)log 2 N mnożeń i Nlog 2 N sumowań liczb zespolonych. Spadek liczby mnożeń w stosunku do algorytmu Radix-2 wynosi 25%. (4) Algorytm ten łączy własności algorytmu o podstawie 2 i algorytmu o podstawie 4. Struktura takiego algorytmu jest nieregularna. Operacja motylkowa (rys. 4) przyjmuje kształt litery L. Nieregularna struktura może utrudnić implementację tego algorytmu w niektórych procesorach. Równanie (5) opisujące algorytm przedstawiono poniżej. (5) X
4 Wykonywanie korekcji wyników mnożenia wiąże się z wprowadzaniem błędu, który jest zależny: od sposobu wykonania korekcji, od wartości, jakie reprezentują sobą liczby stałoprzecinkowe: ułamki, liczby całkowite, od sposobu reprezentacji liczb ujemnych: uzupełnienie do dwóch, uzupełnienie do jedności, notacja znak-moduł. Metody zapobiegania nadmiarom Rys. 4. Struktura operacji motylkowej dla algorytmu Split-radix Złożoność obliczeniowa algorytmu wynosi: Nlog 2 N sumowań i (N/3)log 2 N mnożeń liczb zespolonych. Wybór algorytmu do implementacji Spośród omówionych algorytmów najbardziej efektywny ze względu na złożoność obliczeniową jest algorytm Radix-4, ale jego przewaga nad Radix-2 jest niewielka. Oba algorytmy charakteryzują się regularną strukturą ułatwiającą programowanie. Radix-4 ustępuje jednak algorytmowi Radix-2 pod względem elastyczności parametru N oraz charakteryzuje się większą złożonością struktury. Z tych powodów do implementacji w FPGA wybrano algorytm Radix-2 DIF. Problemy implementacji algorytmu Radix-2 DIF Implementacja algorytmów FFT w układach FPGA stwarza dwa zasadnicze problemy: konieczność stosowania arytmetyki stałoprzecinkowej o ograniczonej długości słowa danych, w układach Virtex jest to 18 bitów, złożony i czasochłonny proces diagnostyki programu. Zastosowanie arytmetyki stałoprzecinkowej powoduje dalsze problemy szczegółowe, tj.: możliwość wystąpienia nadmiarów w operacjach arytmetycznych, konieczność korekcji formatu słowa po operacjach arytmetycznych. Korekcja formatu wyników operacji arytmetycznych Wynikiem stałoprzecinkowych operacji arytmetycznych są liczby o długości większej niż dane wejściowe. Wynik mnożenia jest sumą długości czynników mnożenia, np.: mnożenie p-bitowej próbki i b-bitowego współczynnika, generuje wynik o długości p+b bitów. Z uwagi na ograniczoną długość słowa stosuje się korekcję długości wyniku, zazwyczaj do wartości p. Korekcji można dokonać poprzez obcięcie lub zaokrąglenie mniej znaczących bitów. Wynik sumowania dwóch p-bitowych próbek nie wymaga korekcji, ale może przekroczyć maksymalną wartość dającą się zapisać na p bitach, tzn. może powstać nadmiar. Występowanie nadmiarów prowadzi do zniekształcenia wyniku, konieczne jest więc zapobieganie ich powstawaniu. Jest kilka metod zapobiegania nadmiarom, ale zastosowanie ich wiąże się z utratą dynamiki wyniku i wydłużeniem czasu wykonywania algorytmu lub wzrostem wymagań sprzętowych. Możliwe jest użycie następujących metod. Pełna precyzja (ang. Full-precision unscaled arithmetic), polega ona na rozszerzeniu długości słowa danych o n+1 bitów, gdzie n jest liczbą etapów algorytmu. Wynika to z faktu, iż potencjalnie na każdym etapie może pojawić się nadmiar. Zapewnia to propagację nadmiaru na starsze bity. Zastosowanie tej metody jest ograniczone możliwościami sprzętowymi. Blokowy zmienny przecinek (ang. Block floating-point), polega na wykonywaniu obliczeń transformaty aż do momentu wystąpienia pierwszego nadmiaru w danym etapie. W takim przypadku wyniki bieżącego etapu są kasowane, następuje powrót do początku bieżącego etapu, skalowanie danych i ponowne obliczenia. Metoda nie nakłada wymogów na długość słowa danych, ale zmniejsza dynamikę wyników proporcjonalnie do liczby skalowań. Każdorazowe wystąpienie nadmiaru powoduje zwiększenie czasu wykonywania algorytmu. Skalowanie (ang. Scaled fixed-point), metoda bezwarunkowego skalowania danych przed każdym etapem obliczeń; polega na podzieleniu danych wejściowych etapu przed jego rozpoczęciem przez założoną wartość, np.: 2, 4, 8, itd. Dla FFT radix-2 będzie to najczęściej dzielenie przez 2 lub 4, a dla radix-4 przez 4 lub 8. Metoda może wprowadzać niepotrzebne dzielenia i zmniejszenie dynamiki wyniku, ale gwarantuje najszybsze wykonanie obliczeń. Pierwsza metoda jest rzadko stosowana z uwagi na zwiększone zużycie zasobów sprzętowych struktury FPGA. Metoda skalowania danych wymaga zaprojektowania planu skalowania. Wiąże się to z określeniem struktury M-elementowego wektora poprzez ustalenie liczby skalowań i jej rozkładu na poszczególnych etapach. Strukturę wektora przedstawić można jako: [N M,, N 2, N 1 ], np.: [1,, 0, 2]. Elementy wektora wskazują liczbę skalowań na danym etapie a indeks elementu wektora wskazuje numer etapu. Dla przykładowej struktury wektora element N 1 =2 oznacza konieczność dwukrotnego skalowania danych przed pierwszym etapem obliczeń (dwukrotne przesunięcie bitowe w prawo równoważne dzieleniu przez 4), a element N 2 =0 oznacza brak skalowania. Zastosowanie blokowego zmiennego przecinka nie wymaga planu skalowania. Potrzeba skalowania jest wykrywana automatycznie po wykonaniu każdego kolejnego etapu obliczeń. W ten sposób powstaje optymalny plan skalowania, wiąże się to jednak ze znacznym wzrostem czasu wykonywania algorytmu. lipiec sierpień XI
5 Dobór planu skalowania Od liczby skalowań zależy dynamika i dokładność otrzymanego wyniku. Metoda blokowego zmiennego przecinka pozwala wprawdzie na określenie optymalnego planu skalowania, jednak stosowanie jej w systemach czasu rzeczywistego, pracujących w systemach radiolokacyjnych jest niekorzystne z uwagi na możliwość wydłużenia czasu wykonania algorytmu. Nadrzędnym zadaniem staje się więc określenie bezwzględnego planu skalowania, optymalnego pod względem dynamiki i poprawności wyniku. Konieczna zatem jest estymacja przedziału, w którym będzie poszukiwana wartość liczby skalowań Sn. Wartości dopuszczalne zawierają się w przedziale (5.1) [9], gdzie n jest liczbą etapów algorytmu. Od dołu wartość ta jest ograniczona połową liczby etapów, jakie wynikają z rozmiaru transformaty, od góry natomiast jest to liczba etapów zwiększona o jeden. Można założyć, iż liczba skalowań równa n+1 daje zawsze poprawny wynik dla transformaty wykonanej na n etapach. Założenie to jest zawsze słuszne, a wartość n+1 określana jest jako bezpieczna liczba skalowań. Takie podejście jest wykorzystywane np. przez firmę Xilinx, przy projektowaniu bibliotek IPCore ( Fast Fourier Transform v4.1 ), dostępnych w środowisku projektowym ISE9.2i. Stosowany w nich wektor przyjmuje postać: [N M,, N 2, N 1 ] = [1,, 1, 2]. Odpowiada to dzieleniu danych wejściowych przez 4 przed pierwszym etapem i dzieleniu przez dwa przed każdym następnym etapem. Wektor o takiej postaci określany jest mianem wektora zachowawczego. Własności programu: interfejs graficzny (rys. 5) pozwalający wybrać dowolną konfigurację parametrów, rozmiar transformaty: 1024, 2048, 4096 punktów, długość słowa danych: 1-14 bitów, wybór metody korekcji wyników, zliczanie nadmiarów na każdym etapie algorytmu, możliwość ustawienia dowolnego planu skalowania, możliwość porównania wyników z realizacją zmiennoprzecinkową, zapis wyników do pliku. Do oceny jakościowej wyników otrzymanych w arytmetyce stałoprzecinkowej i porównania ich z realizacją zmiennoprzecinkową użyto następujących miar: unormowany współczynnik korelacji widm: względny poziom składowej stałej, dla realizacji stałoprzecinkowej: (miara własna) dynamika wyniku, dla realizacji stałoprzecinkowej: (6) (7) Diagnostyka programu W układach FPGA czas cyklu diagnostycznego, tj.: przygotowanie programu, załadowanie do FPGA i sprawdzenie działania jest dużo dłuższy niż w przypadku implementacji algorytmów w klasycznych procesorach. Brak możliwości pracy krokowej utrudnia diagnostykę występujących błędów. Badania algorytmu Występowanie przedstawionych problemów wymusza przeprowadzenie dokładnej analizy działania i weryfikacji algorytmu przed jego implementacją w strukturze FPGA. Z uwagi na trudności diagnostyki w środowisku docelowym konieczne staje się przeprowadzenie symulacji algorytmu w środowisku naśladującym działanie układu FPGA. Badania muszą być przeprowadzone dla wszystkich możliwych konfiguracji parametrów algorytmu, tj.: rozmiaru transformaty, długości słowa danych, planu skalowania, sposobu korekcji formatu wyników. (miara własna) Miara (6) określa podobieństwo otrzymanego widma z realizacją zmiennoprzecinkową. Wartości bliższe jedności świadczą o większym podobieństwie wyniku stałoprzecinkowego do realizacji zmiennoprzecinkowej. Miara (7) charakteryzuje poziom składowej stałej względem maksymalnej wartości w otrzymanym widmie. W przypadku idealnym (brak składowej stałej) przyjmuje ona wartość -. Wartości bliższe - wskazują na niższy poziom składowej stałej, a zatem na dokładniejszy wynik. Miara (8) określa stopień wykorzystania dostępnego rozmiaru słowa. Przy jej określaniu wykorzystano właściwość, iż wydłużenie słowa o 1 bit powoduje wzrost dynamiki maksymalnej wartości słowa o 6 db. (8) Treść i warunki badań Badaniu poddano wpływ parametrów algorytmu na poprawność i dynamikę wyników. W celu wykonania badań opracowano program w języku C, w środowisku LabWindows/CVI5.5. Program umożliwiał przybliżenie warunków pracy układu FPGA w zakresie arytmetyki i długości słowa. Rys. 5. Panel nastaw parametrów symulacji XII
6 Rys. 6a. Fragment postaci czasowej sygnału Rys. 6b. Widmo sygnału Do badań algorytmu użyto sygnału z liniową modulacją częstotliwości LFM o parametrach: f C =12 MHz, f=4 MHz, N=4096, t i =40,95 μs, f s =100 MHz. Sygnał wygenerowano symulacyjnie bez zakłóceń, w postaci liczb rzeczywistych z zakresu -1 x 1. Fragment postaci czasowej (t i =5,1 µs) przedstawiono na rysunku 6a, zaś na rysunku 6b widmo sygnału. Wyniki badań Badanie wpływu rozmiaru transformaty i długości słowa danych Badania przeprowadzono dla trzech rozmiarów transformaty N=4096, N=2048, N=1024 punktów; dla trzech długości słowa danych Q=12, Q=13, Q=14 bitów oraz współczynnika obrotu W N w formacie Q1.14. Zastosowano zachowawczy plan skalowania z przesuwanym na kolejne etapy elementem 2 : [1,, 1, 2], [1,, 2, 1,], itd. Otrzymane charakterystyki współczynnika korelacji widm (rys. 7) i względnego poziomu składowej stałej (rys. 8) przedstawiono w funkcji numeru etapu, na którym występowało skalowanie przez współczynnik 2. Rys. 7. Charakterystyki współczynnika korelacji widm Dla obu użytych miar jakości najlepsze wyniki uzyskuje się w przypadku tej samej pary parametrów algorytmu: N=1024 i Q=14 (ciemnozielona linia). Mniejszej liczbie etapów obliczeń M odpowiada mniejsza liczba operacji mogących powodować nadmiar wyników. Słowa o większej precyzji charakteryzują się mniejszą wartości kwantu, przez co zmiany wynikające z korekcji formatu i skalowań danych są mniejsze. Zauważalny jest wzrost współczynnika korelacji przy przesuwaniu elementu 2 w planie skalowania na późniejsze etapy. Otrzymane wyniki są zgodne z oczekiwaniami. Badanie wpływu korekcji wyniku Otrzymane wyniki symulacji dla dwóch możliwych sposobów korekcji wyniku wskazały na wzrost wpływu sposobu korekcji wraz ze spadkiem długości słowa danych. Dla dłuższych formatów słowa wagi bitów pomijanych są małe w porównaniu do wag najstarszych bitów na których zapisany jest wynik. Badanie wpływu liczby skalowań Badania wpływu planu skalowania przeprowadzono zmniejszając liczbę skalowań występującą w wektorze zachowawczym. Dla każdej wartości Sn możliwe jest zaprojektowanie skończonej liczby planów skalowania. Z przeprowadzonych symulacji, dla badanego sygnału LFM, otrzymano optymalną liczę skalowań równą Sn=7. Przy takiej liczbie skalowań otrzymano najkorzystniejsze wartości miar użytych do opisu jakościowego. Wybór liczby skalowań warunkuje poprawność oraz dokładność wyniku. Mała liczba skalowań może nie zapewnić poprawności wyniku, zbyt duża powoduje wzrost poziomu składowej stałej oraz spadek dynamiki wyniku wywołany większą liczbą skalowań. Optymalny plan skalowania dla badanego sygnału Wnioski z badań wskazywały na istnienie optymalnego planu skalowania dla badanego typu sygnału. Poszukiwanie optymalnej postaci wektora przypominało metodę blokowego zmiennego przecinka. Kolejne stosowane plany skalowania oraz wyniki uzyskane przy ich zastosowaniu przedstawiono w tabeli 1. Rys. 8. Charakterystyki względnego poziomu składowej stałej lipiec sierpień XIII
7 Projektowanie optymalnego planu skalowania. Tabela1 Plan skalowania NM,, N2, N1 Liczba nadmiarów Współczynnik korelacji Względny poziom składowej stałej Dynamika wyniku , 239, 281, 254, 269, 266, 255, 161, 71, , 131, 162, 156, 227, 218, 23, 1, 0, , 60, 63, 123, 122, 0, 0, 0, 0, , 28, 66, 58, 0, 0, 0, 0, 0, , 27, 34, 0, 0, 0, 0, 0,0, ,16 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Rezultat otrzymany dla planu skalowania w postaci: [1,1,1,1,1,0,0,1,1,0] charakteryzuje się największą wartością współczynnika korelacji, najniższym względnym poziomem składowej stałej oraz dynamiką wyniku na dopuszczalnym poziomie. Uzyskany optymalny plan skalowania zapewnia największą dokładność otrzymanego wyniku. Wnioski Przeprowadzone badania wykazały, że właściwy dobór parametrów transformaty ma istotny wpływ na jej wyniki. Najważniejszy okazał się plan skalowania, który może powodować: całkowite zniekształcenie wyników gdy jest źle zaprojektowany ograniczenie dynamiki wyników jeśli jest zachowawczy. Znalezienie optymalnego planu skalowania wymaga przeprowadzenie badań konkretnego typu sygnału na modelu symulacyjnym transformaty. Zastosowanie modelu postępowania polegającego na badaniach symulacyjnych układu przed jego implementacją w FPGA może być wykorzystane w odniesieniu do implementacji dowolnej złożonej procedury DSP w FPGA. Literatura [1] Oppenheim A.V., Schafer R.W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa 1979 [2] Lyons R. G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, Warszawa 2006 [3] Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa 2003 [4] Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań, WKŁ, Warszawa 2005 [5] Fast Fourier Transform v4.1 specyfikacja IPCore, Xilinx ISE 9.2i [6] Fixed Point Arithmetic and Q Format [7] Knight W.R., Kaiser A.: A simple fixed-point error bound for the fast Fourier Transform, IEEE Xplore [8] Elterich A., Stammler W.: Error analysis and resulting structural improvements for fixed point FFTs, IEEE Xplore [9] Uzun I.S., Amira A., Bouridane A.: FPGA implementations of fast Fourier transforms for real-time signal and image processing, IEEE Xplore [10] Overview of Fast Fourier Transform (FFT) Algorithms [11] Decimation-in-Frequency (DIF) Radix-2 FFT org/content/m12018/latest/ [12] Decimation-in-Time (DIT) Radix-2 FFT [13] Radix-4 FFT Algorithms latest/ [14] Split-radix FFT Algorithms latest/ [15] The Prime Factor Algorithm m12033/latest/ [16] Power-of-two FFTs XIV
9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago
Transformata Fouriera Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne
Bardziej szczegółowoIMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7
Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoTeoria przetwarzania A/C i C/A.
Teoria przetwarzania A/C i C/A. Autor: Bartłomiej Gorczyński Cyfrowe metody przetwarzania sygnałów polegają na przetworzeniu badanego sygnału analogowego w sygnał cyfrowy reprezentowany ciągiem słów binarnych
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoZadania do wykonania. Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for.
Zadania do wykonania Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for. 1. apisz program, który przesuwa w prawo o dwie pozycje zawartość tablicy 10-cio elementowej liczb całkowitych tzn. element t[i] dla i=2,..,9
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoFPGA IMPLEMENTATION OF FAST FOURIER TRANSFORM ALGORITHM IMPLEMENTACJA ALGORYTMU SZYBKIEJ TRANSFORMATY FOURIERA W UKŁADZIE PROGRAMOWALNYM FPGA
Inż. Arkadiusz Pantoł IV rok Koło Naukowe Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy FPGA IMPLEMENTATION OF FAST FOURIER TRANSFORM ALGORITHM IMPLEMENTACJA ALGORYTMU SZYBKIEJ TRANSFORMATY
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoEgzamin / zaliczenie na ocenę*
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera i splot
Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoCyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów Laboratorium EX3 Globalne transformacje obrazów Joanna Ratajczak, Wrocław, 2018 1 Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami globalnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski - p. 732 dr inż. Grzegorz Szwoch - p. 732 dr inż.
Adam Korzeniewski - adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl, p. 732 dr inż. Grzegorz Szwoch - greg@sound.eti.pg.gda.pl, p. 732 dr inż. Piotr Odya - piotrod@sound.eti.pg.gda.pl, p. 730 Plan przedmiotu ZPS Cele nauczania
Bardziej szczegółowoPrzetworniki cyfrowo analogowe oraz analogowo - cyfrowe
Przetworniki cyfrowo analogowe oraz analogowo - cyfrowe Przetworniki cyfrowo / analogowe W cyfrowych systemach pomiarowych często zachodzi konieczność zmiany sygnału cyfrowego na analogowy, np. w celu
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.
Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowoPodstawy Przetwarzania Sygnałów
Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo2. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych
4. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych Liczby stałoprzecinkowe Podstawowym zastosowaniem procesora sygnałowego jest przetwarzanie, w czasie rzeczywistym, ciągu próbek wejściowych w ciąg
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoLISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -1-2003 CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW tematy wykładowe: ( 28 godz. +2godz. kolokwium, test?) 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) 1.1. Systemy LTI ( SLS ) (definicje
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera i analiza spektralna
Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoSzybkie przekształcenie Fouriera
Szybkie przekształcenie Fouriera Wprawdzie DFT jest najbardziej bezpośrednią procedurą matematyczną do określania częstotliwościowej zawartości ciągu z dziedziny czasu, jest ona bardzo nieefektywna. Ponieważ
Bardziej szczegółowoAlgorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1C400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoUkłady arytmetyczne. Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011
Układy arytmetyczne Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011 Plan prezentacji Metody zapisu liczb ze znakiem Układy arytmetyczne: Układy dodające Półsumator Pełny sumator Półsubtraktor Pełny subtraktor Układy
Bardziej szczegółowoDYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć. Bartek Wilczyński 29.
Obliczenia Naukowe O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć Bartek Wilczyński bartek@mimuw.edu.pl 29. lutego 2016 Plan semestru Arytmetyka komputerów, wektory, macierze i operacje na nich
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoPolitechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera.
Politechnika Świętokrzyska Laboratorium Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 6 Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika
Bardziej szczegółowo8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)
8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoZad. 3: Układ równań liniowych
1 Cel ćwiczenia Zad. 3: Układ równań liniowych Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoAdaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości
W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn (
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoTechnika audio część 2
Technika audio część 2 Wykład 12 Projektowanie cyfrowych układów elektronicznych Mgr inż. Łukasz Kirchner lukasz.kirchner@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/lkirchner Wprowadzenie do filtracji
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoWedług raportu ISO z 1988 roku algorytm JPEG składa się z następujących kroków: 0.5, = V i, j. /Q i, j
Kompresja transformacyjna. Opis standardu JPEG. Algorytm JPEG powstał w wyniku prac prowadzonych przez grupę ekspertów (ang. Joint Photographic Expert Group). Prace te zakończyły się w 1991 roku, kiedy
Bardziej szczegółowoPL B1. Sposób i układ pomiaru całkowitego współczynnika odkształcenia THD sygnałów elektrycznych w systemach zasilających
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 210969 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 383047 (51) Int.Cl. G01R 23/16 (2006.01) G01R 23/20 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1C400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoJeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:
Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoAnaliza efektywności przetwarzania współbieżnego. Wykład: Przetwarzanie Równoległe Politechnika Poznańska Rafał Walkowiak Grudzień 2015
Analiza efektywności przetwarzania współbieżnego Wykład: Przetwarzanie Równoległe Politechnika Poznańska Rafał Walkowiak Grudzień 2015 Źródła kosztów przetwarzania współbieżnego interakcje między procesami
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoArytmetyka stałopozycyjna
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoInformatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Operacja na dwóch funkcjach dająca w wyniku modyfikację oryginalnych funkcji (wynikiem jest iloczyn splotowy). Jest
Bardziej szczegółowoZastowowanie transformacji Fouriera w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów
31.01.2008 Zastowowanie transformacji Fouriera w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów Paweł Tkocz inf. sem. 5 gr 1 1. Dźwięk cyfrowy Fala akustyczna jest jednym ze zjawisk fizycznych mających charakter okresowy.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. wykład 9
Plan wykładu:. Algorytmy numeryczne. Funkcja skrótu jest to funkcja H, która dla do dowolnej informacji m przyporządkowuje niespecyficzną wartość h, mającą cechy pseudolosowe. Cechy: skróty są zazwyczaj
Bardziej szczegółowo1 Wprowadzenie do algorytmiki
Teoretyczne podstawy informatyki - ćwiczenia: Prowadzący: dr inż. Dariusz W Brzeziński 1 Wprowadzenie do algorytmiki 1.1 Algorytm 1. Skończony, uporządkowany ciąg precyzyjnie i zrozumiale opisanych czynności
Bardziej szczegółowo