MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU

Mariusz Głąbowski Katarzyna Kubasik Dominik Mikołajczak Maciej Stasiak Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań e-mail: mariusz.glabowski@et.put.poznan.pl 2006 Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7-8 grudnia 2006 MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU Streszczenie: W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania charakterystyk ruchowych systemów, którym oferowany jest ruch przelewowy składający się ze strumieni ruchu zintegrowanego. Przedstawiona została także metoda wyznaczania parametrów ruchu spływającego z wiązek podstawowych oraz przybliżona metoda wymiarowania systemów obsługujących wielousługowy ruch przelewowy. 1. Wstęp W hierarchicznej sieci telekomunikacyjnej ze strategią kierowania ruchu drogami alternatywnymi kolejnego wyboru, obejściowymi wykorzystywane są wiązki dwóch typów, tj. wiązki o wysokim wykorzystaniu oraz wiązki o małych stratach. W wiązkach o wysokim wykorzystaniu ruch załatwiony jest z natłokiem większym od założonego z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na takiej wiązce jest przelewany na wiązkę alternatywną, natomiast w wiązkach o małych stratach, natłok nie jest większy od założonego z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na tej wiązce jest ruchem straconym. Systemy z ruchem przelewowym były przedmiotem wielu rozważań, np. [1 3]. Prace te dotyczyły jednakże tylko sieci z ruchem jednokanałowym, tj. tradycyjnych jednousługowych sieci telefonicznych. W przypadku sieci z ruchem zintegrowanym, podstawową metodą określania charakterystyk ruchowych jest wykorzystanie tzw. wzorów Kaufmana-Robertsa KR [4,5]. Wzory te pozwalają na prawidłowe modelowanie systemów ze strumieniami PCT1 tj. Poissonowskich strumieniami ruchu od nieskończonej liczby źródeł ruchu, oferowanymi bezpośrednio wiązkom telekomunikacyjnym tzw. wiązkom podstawowym. Jednakże strumień zgłoszeń spływający z wiązki podstawowej nie jest już zgodny z rozkładem Poissona [1]. W związku z tym, ruch przelewowy jest opisywany przez dwa parametry, tj. przez wartość średnią ruchu przelewanego R na wiązkę alternatywną obejściową oraz jego wariancję σ 2 [1,6,7]. Strumień zgłoszeń zgodny z rozkładem Poissona również można opisać parametrami R i σ 2, jednak w tym przypadku wartości obu tych parametrów są równe R = σ 2. W przypadku strumienia zgłoszeń spływających, wariancja jest zawsze większa nieraz nawet kilkakrotnie od wartości średniej. Oznacza to, że strumień przelewowy jest bardziej nierównomierny niż strumień zgłoszeń oferowanych. Miarą tej nierównomierności jest wartość współczynnika degeneracji Z = σ 2 /R, która dla strumienia spływającego z wiązki podstawowej jest większa od jedności Z > 1, a dla strumienia zgłoszeń oferowanych równa jedności Z = 1. Mając na uwadze powyższe stwierdzenia dochodzimy do wniosku, że wzory KR w swojej podstawowej postaci opracowane przy założeniu wykładniczego rozkładu odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami nie mogą być stosowane do wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej. Celem tego artykułu jest przedstawienie modyfikacji wzorów KR, umożliwiającej wyznaczanie współczynników blokady i strat zgłoszeń należących do różnych strumieni przelewowego ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej. Dalszy układ artykułu jest następujący. W rozdziale 2 przedstawiono model Kaufmana-Robertsa dla wiązki doskonałej z Poissonowskim strumieniem zgłoszeń. W rozdziale 3 przedstawiono model jednousługowy KR dla wiązki z ruchem przelewowym. Rozdział 4 zawiera opis metody wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym i przelewem ruchu, a w rozdziale 5 przedstawiono metodę wyznaczania rozkładu zajętości w wielousługowym modelu KR. Rozdział 6 zawiera porównanie wyników obliczeń z danymi symulacji. W rozdziale 7 przedstawiono najważniejsze wnioski wynikające z przeprowadzonych badań. 2. Modelowanie wiązek pełnodostępnych z ruchem zintegrowanym Rozważmy wiązkę o pojemności V PJP podstawowych jednostek pasma. System ten obsługuje M Poissonowskich strumieni ruchu tzw. strumieni PCT1 o intensywnościach: λ 1, λ 2,...,λ M. Zgłoszenie klasy i wymaga t i PJP do zestawienia połączenia. Czasy obsługi zgłoszeń wszystkich klas mają charakter wykładniczy z parametrami µ 1,µ 2,...,µ M. Zatem, ruch oferowany przez strumień klasy i jest równy: A i = λ i /µ i. 1

A1,t1 V1R1, V2 V A2,t2 AM,tM R2, VMRM, E1, E2,, EM Rys. 1. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują pojedynczą klasę ruchu Przedstawiony model systemu z integracją usług opisywany jest najczęściej wzorem KR [8 10]: n[p n ] V = M i=1 A it i [P n ti ] V, 2 gdzie P n jest prawdopodobieństwem przebywania systemu w stanie n zajętych PJP. Prawdopodobieństwo blokady E i dla strumienia klasy i oraz prawdopodobieństwo strat B i dla strumienia klasy i może być określone następująco: E i = B i = V n=v t i+1 [P n]. 3 Wiązka pełnodostępna jest systemem, w którym nie występuje zależność strumienia zgłoszeń od stanu, w którym system się znajduje. Oznacza to, że przejście z jednego stanu do drugiego pod wpływem strumienia klasy i nie zależy od liczby n zajętych PJP. 3. Model jednousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym 3.1. Założenia modelu Rozpatrzmy fragment sieci przedstawiony na rys. 1. W systemie tym założono, że każdej z wiązek podstawowych oferowana jest tylko jedna klasa zgłoszeń. Realne łącza, tworzące sieć z ruchem zintegrowanym, przenoszą różne rodzaje usług w celu efektownego wykorzystania ich zasobów. Przyjęte w tym rozdziale założenie ma na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. Systemy, w których wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu, przedstawione zostaną w p. 5. W rozważanym systemie znajduje się M wiązek podstawowych o wysokim wykorzystaniu. Wiązka o numerze i ma pojemność równą V i PJP. Każdej z wiązek oferowany jest inny strumień zgłoszeń charakteryzujący się natężeniem ruchu A i. Zgłoszenia klasy i żądają do obsługi t i PJP. 3.2. Parametry ruchu spływającego W wyniku zajmowania kolejnych PJP w wiązkach dochodzi do sytuacji, w których następuje blokada wiązek podstawowych i przelewanie ruchu na wiązkę alternatywną o pojemności V. Współczynniki blokady w wiązkach podstawowych można obliczyć przy pomocy pierwszego wzoru Erlanga. Należy jednak uwzględnić, że jedno zgłoszenie klasy i zajmuje jednocześnie t i PJP. Czyli z punktu widzenia modelu Erlanga jest to równoznaczne z t i -krotnym zmniejszeniem pojemności wiązki o rzeczywistej pojemności V i PJP. Oznacza to, że przed podstawieniem do pierwszego wzoru Erlanga, pojemność wiązki należy podzielić przez liczbę PJP żądanych do zestawienia połączenia danej klasy. Drugim sposobem, w wyniku którego otrzymamy te same wartości współczynników blokady, jest zastosowanie wzorów KR 2 i 3. Będą one uwzględniały wiązkę o pojemności V i, której oferowany jest jeden strumień zgłoszeń o rozkładzie Poissona, tworzony przez zgłoszenia żądające do zestawienia połączenia t i PJP. Znając współczynniki blokady w wiązkach podstawowych możemy obliczyć parametry ruchu spływającego każdej z klas, tj. wartość średnią R i wariancję σ 2. Wykorzystujemy do tego celu tzw. wzory Riordana: R i = A i E Vi A i, 4 σi 2 A i = R i + 1 R i. V i + 1 A i + R i 5 Następnie, na podstawie tych parametrów, określamy poziom nierównomierności poszczególnych strumieni ruchu spływającego, obliczając wartości współczynników degeneracji = σ 2 i /R i. 3.3. Rozkład zajętości w wiązce alternatywnej Zgłoszenia tracone w wiązkach podstawowych są oferowane wiązce alternatywnej i kolejno zajmują jej zasoby. Zatem wiązka ta obsługuje M klas zgłoszeń. W celu wyznaczenia współczynników blokady zgłoszeń w takiej wiązce, posłużymy się analogią do metody Hayworda, opisanej w [1]. Przypomnijmy, że była ona przeznaczona do wyznaczenia współczynnika blokady w wiązce o pojemności V z ruchem jednousługowym, której oferowany jest przelewowy strumień zgłoszeń o wartości średniej R, dodatkowo charakteryzowany przez współczynnik degeneracji Z. Jak wiemy, nie jest to strumień o rozkładzie Poissona. W metodzie tej wykorzystywany jest wzór Erlanga poddany następującej modyfikacji: B = E = E V Z R. 6 Z W przypadku wiązki z ruchem zintegrowanym, posłużymy się identyczną modyfikacją dla wzorów KR: R1 E 1,..., E M = KR,..., R M ; t 1,..., t M ; V, Z 1 Z M Z 7 gdzie KR oznacza algorytm wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń poszczególnych klas E 1,..., E M, na podstawie wzorów KR 2 i 3, które przyjmują następującą postać: n [P n ] V/Z = M i=1 B i = E i = V Z R i t i [P n ti ] V/Z, 8 n= V Z t i+1 [P n] V/Z. 9

Współczynnik degeneracji pełni funkcję normalizującą. Poprzez podzielenie wartości średnich ruchów spływających poszczególnych klas zgłoszeń przez odpowiadające im wartości współczynników, dokonujemy przekształcenia nierównomiernego strumienia ruchu przelewowego w strumień Erlanga. Analogicznie jak w zależności 6, również pojemność wiązki alternatywnej V dzielimy przez wartość współczynnika degeneracji. Po takiej operacji wzór 7 nie będzie wykonywany dla V stanów zajętości wiązki, a jedynie dla V/Z stanów. Zwróćmy uwagę, że pojemność wiązki alternatywnej we wzorach 8 i 9 jest dzielona przez tzw. zbiorczy współczynnik degeneracji Z. Problem wyznaczenia tego współczynnika, dla M klas zgłoszeń, z których każda może mieć inną wartość współczynnika, zostanie omówiony w p. 3.4. Wzory 8 i 9 są uogólnieniem wzorów KR na wszystkie rodzaje wiązek obsługujących ruch zintegrowany, zarówno nie-poissonowski ruch przelewowy, jak i Poissonowski. Dla rozkładu Poissona wartość współczynnika degeneracji jest równa jedności i wtedy wzory 8 i 9 przyjmują postać podstawowych wzorów KR 2 i 3. 3.4. Wyznaczanie zbiorczego współczynnika Z W poprzednim punkcie pominęliśmy problem wyznaczania wartości współczynnika degeneracji Z, przez którą dzielimy pojemność wiązki. Zgodnie ze wzorem 7, do wiązki alternatywnej napływa M klas zgłoszeń, z których każda może posiadać inną wartość współczynnika. Problemem jest zatem sposób wyznaczenia wartości zbiorczego współczynnika Z w celu normalizacji wiązki o pojemności V. Rozwiązaniem tego problemu jest wprowadzenie średniej ważonej współczynników poszczególnych strumieni zgłoszeń: Z = M R i t i k i, gdzie k i = M l=1 R. 10 lt l i=1 We wzorze 10 przyjęto, że wkład degeneracji strumienia klasy i w zbiorczym współczynniku degeneracji Z jest wprost proporcjonalny do liczby żądanych PJP w wiązce alternatywnej przez klasę i oraz do wartości ruchu oferowanego przez klasę i wiązce alternatywnej. Zasadność takiego założenia została potwierdzona badaniami symulacyjnymi [11]. 4. Wymiarowanie wiązek tranzytowych z ruchem zintegrowanym Do tej pory zajmowaliśmy się wyznaczaniem rozkładu zajętości w alternatywnej wiązce doskonałej o pojemności V, której oferowany był zintegrowany ruch przelewowy. Na jego podstawie wyznaczaliśmy współczynniki blokady zgłoszeń należących do różnych strumieni ruchu przelewanego. Podstawą tych obliczeń były odpowiednio zmodyfikowane wzory KR 8 i 9. W tym rozdziale zajmiemy się problemem wymiarowania wiązek alternatywnych. Znając parametry ruchu zintegrowanego, spływającego na wiązkę obejściową, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki sposób, aby zapewnić odpowiednią jakość obsługi zgłoszeń napływających do systemu. Zagadnienie to można sformułować następująco: dla założonych wartości współczynników blokady zgłoszeń każdej z klas należy określić minimalną pojemność wiązki alternatywnej. Podstawą takich rozważań będą zmodyfikowane wzory Kaufmana-Robertsa 8 i 9. Rozważmy ponownie system telekomunikacyjny przedstawiony na rys. 1. Znając parametry ruchu spływającego na wiązkę alternatywną R 1,..., R M ; Z 1,..., Z M, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki sposób, aby nie przekroczyć zadanych wartości współczynników blokady E 1,..., E M. W tym celu będziemy zmniejszać pojemność wiązki alternatywnej V, zaczynając od pewnej wartości stanowiącej górną granicę V gr. Po każdorazowym zmniejszeniu pojemności V, możemy wyznaczyć aktualne prawdopodobieństwa blokady e 1, e 2,..., e M na podstawie wzorów KR: e 1,..., e M = KR R1 Z 1,..., R M Z M ; t 1,..., t M ; V Z. 11 Zmniejszanie pojemności V wykonujemy do czasu, gdy spełniony jest warunek, że wartości współczynników blokady nie przekraczają wartości zadanych: e 1 E 1 ; e 2 E 2 ;... ; e M E M. 12 Jeżeli w r-tym, kolejnym kroku obliczeń naruszona zostanie którakolwiek z nierówności 12, za końcową wartość pojemności wiązki obejściowej przyjmujemy wartość otrzymaną w kroku r 1. Stwierdziliśmy, że zmniejszania pojemności dokonujemy od pewnej granicznej wartości pojemności V gr. W celu szybkiego wykonania tego algorytmu czyli wykonania minimalnej liczby dekrementacji konieczne jest odpowiednie określenie wartości granicznej. Rozpatrzmy to zagadnienie w następujący sposób. Potraktujmy oddzielnie każdą z klas ruchu tworzących zintegrowany strumień przelewowy, oferowany wiązce alternatywnej V. Dla każdego z M składowych strumieni zgłoszeń o natężenia ruchu R i, wyznaczamy elementarną pojemność wiązki v i. Pojemność ta musi być tak dobrana, aby zapewnić jakość obsługi zgłoszeń klasy i zgodnie z założonym współczynnikiem blokady E i. Pojemności elementarne v i wyznaczamy na podstawie metody Hayworda: E i = B i = E v i Ri. 13 Z tablic Erlanga odczytujemy wartość vi, na podstawie której wyznaczamy v i. Określona, na podstawie równania 13, wartość v i zapewnia żądaną jakość obsługi zgłoszeń z prawdopodobieństwem blokady nie przekraczającym wartości E i. Dodatkowo, prawo wiązki upoważnia nas do stwierdzenia, że także wiązka alternatywna o pojemności v 1 + v 2 +... + v M, obsługująca zintegrowany strumień zgłoszeń klasy od 1 do M, zapewnia przynajmniej założony poziom obsługi dla każdej z klas ruchu. Zgodnie bowiem z prawem wiązki, współczynniki blokady zgłoszeń w wiązce powstałej z połączenia kilku wiązek składowych,

są mniejsze od współczynników blokady występujących w wiązkach składowych przed ich połączeniem. W odniesieniu do rozważanego systemu oznacza to, że zgłoszenia są obsługiwane ze znacznie mniejszymi prawdopodobieństwami blokady niż założono. Wynika stąd konieczność zmniejszenia pojemności wiązki obsługującej ruch przelewowy. Po określeniu pojemności elementarnych, wyznaczamy całkowitą pojemność graniczną V gr wiązki alternatywnej: V gr Z = v 1 Z 1 + v 2 Z 2 +... + v M Z M. 14 Dekrementację rozpoczynamy od wartości początkowych v i wchodzących w skład wzoru 14. Zmniejszania dokonujemy cyklicznie dla każdej z klas, zaczynając przykładowo od klasy najmłodszej obsługiwanej przez fikcyjną wiązkę v 1, czyli tej, która żąda do zestawienia połączenia najmniejszej liczby PJP. W każdym kroku dekrementujemy pojemność tylko jednej wiązki składowej. Po każdorazowym zmniejszeniu o jedną PJP kolejnych pojemności v i, określamy znormalizowaną pojemność wiązki tranzytowej V, według wzoru: V Z = v 1 Z 1 + v 2 Z 2 +... + v M Z M. 15 Otrzymaną wartość 15 podstawiamy do zależności 11 i wyznaczamy prawdopodobieństwa blokady zgłoszeń każdej klasy. Powyższe operacje wykonujemy do czasu naruszenia warunku 12. Po zakończeniu działania algorytmu, otrzymujemy pojemność wiązki alternatywnej, która zapewnia poziom obsługi zgłoszeń z odpowiednimi współczynnikami blokady nie przekraczającymi założonych wartości E 1,..., E M. Podsumowując przedstawione rozważania, algorytm wymiarowania wiązki, której oferowany jest zintegrowany ruch przelewowy, składający się z M klas zgłoszeń, można przedstawić w sposób następujący: 1. Wyznaczenie pojemności wiązek elementarnych v 1, v 2,...,v M wzór 13; 2. Wyznaczenie początkowej pojemności wiązki V gr z ruchem przelewowym na podstawie wartości v i obliczonych w poprzednim kroku wzór 14; 3. Cykliczne zmniejszanie pojemności wiązek elementarnych i określanie współczynników blokady zgłoszeń, do czasu naruszenia warunku 12. 4. Określenie pojemności wiązki alternatywnej, poprzez zsumowanie otrzymanych w poprzednim kroku pojemności wiązek składowych v 1 +... + v M, dla których spełnione są jeszcze warunki wyrażone wzorem 12. 5. Model wielousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym Dotychczas zajmowaliśmy się projektowaniem wiązek alternatywnych w systemach, w których wiązki bezpośrednie obsługiwały tylko jeden strumień zgłoszeń. A11, t1, A12, t2,, tma1m A21, t1, A22, t2,, tma2m AK1, t1, AK2, t2,, tmakm V1 R11, R12,, R1M1M V2 R21, R22,, R2M2M VM RK1, RK2,, RKMKM V E1, E2,, EM Rys. 2. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu Był to przypadek czysto teoretyczny, mający na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. W rzeczywistych systemach, wiązki podstawowe przenoszą ruch zintegrowany składający się z kilku klas zgłoszeń. Stosowane dotychczas założenie pozwalało na proste wyznaczenie wariancji ruchu spływającego z wiązek podstawowych na podstawie wzorów Riordana. W przypadku gdy wiązka przenosi ruch zintegrowany, bezpośrednie zastosowanie wzorów Riordana nie jest możliwe. W tym rozdziale podamy przybliżoną metodę wyznaczania wariancji różnych klas zgłoszeń w przypadku ruchu spływającego z wiązek obsługujących ruch zintegrowany. Rozważmy system telekomunikacyjny przedstawiony na rysunku 2. System ten składa się z K wiązek bezpośrednich o wysokim wykorzystaniu. Każdej z wiązek jest oferowanych M klas zgłoszeń. Natężenie ruchu zgłoszeń klasy i oferowanych wiązce j wynosi A i,j Erl. Blokowany w wiązkach bezpośrednich ruch poszczególnych klas przelewany jest na wiązkę alternatywną. Współczynnik blokady zgłoszeń klasy i w wiązce bezpośredniej j B i,j można określić na podstawie 3. Znając prawdopodobieństwa blokady możemy wyznaczyć wartość średnią natężenia ruchu klasy i spływającego z wiązki j: R i,j = A i,j E i,j. 16 W celu pełnego scharakteryzowania ruchu przelewowego niezbędne jest określenie wariancji każdego strumienia zgłoszeń. Parametr ten określimy w sposób przybliżony, przeprowadzając dekompozycję każdej wiązki rzeczywistej na M fikcyjnych wiązek składowych o pojemnościach V ij. Każda wiązka fikcyjna będzie obsługiwała wyłącznie zgłoszenia jednej klasy, co umożliwi zastosowanie wzorów Riordana do określenia wariancji σij 2 ruchu klasy i spływającego z wiązki j. Określmy zatem pojemności wiązek fikcyjnych. W tym celu najpierw wyznaczymy ruch załatwiany klasy i w wiązce j: Y i,j = A i,j 1 E i,j. 17

Zgodnie z definicją, wartość Y i,j określa średnią liczbę zgłoszeń klasy i, obsłużonych w wiązce j. Zatem wyrażona w PJP średnia wartość natężenia ruchu klasy i będzie równa Y i,j t i. Pojemność fikcyjnej wiązki składowej V i,j zdefiniujemy jako tę część rzeczywistej wiązki V j, która nie jest zajmowana przez zgłoszenia pozostałych klas różnych od klasy i. Otrzymujemy zatem: V i,j = V j M Y l,jt l, 18 l=1;l i gdzie V j jest pojemnością wiązki podstawowej, a suma po prawej stronie równania 18 określa liczbę PJP zajmowanych przez zgłoszenia pozostałych klas. Dysponując wszystkimi parametrami tj. R i,j, A i,j i V i,j możemy na podstawie wzoru Riordana wyznaczyć wariancję σij 2 dla poszczególnych strumieni zgłoszeń spływających na wiązkę alternatywną: σi,j 2 A i,j = R i,j V i,j + 1 R i,j, t i + 1 A i,j + R i,j 19 gdzie iloraz Vi,j t i normalizuje system do przypadku jednousługowego. Taka operacja jest konieczna, ponieważ wzory Riordana w swej podstawowej postaci są przeznaczone do wyznaczania parametrów ruchu spływającego w systemach jednousługowych. Ponieważ poszczególne strumienie zgłoszeń oferowane systemowi są statystycznie niezależne, to parametry całkowitego ruchu klasy i, oferowanego wiązce alternatywnej, będą równe: R i = K σ 2 i = K j=1 R i,j, 20 j=1 σ2 i,j. 21 W tym miejscu dysponujemy już wszystkimi parametrami, które charakteryzują M strumieni zgłoszeń oferowanych projektowanej wiązce alternatywnej. W celu wyznaczenia pojemności tej wiązki możemy zastosować opisany w rozdziale 4 algorytm wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany. Dysponując zależnościami 20 i 21 możemy także wyznaczyć rozkład zajętości oraz prawdopodobieństwo blokady w systemie z przelewowym ruchem zintegrowanym, przedstawionym na rys. 2. Do tego celu zastosujemy wzory 8 i 9, gdzie zbiorczy współczynnik Z jest określony zgodnie ze wzorem 10. 6. Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji Przedstawione metody wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w systemach z przelewowym ruchem zintegrowanym są metodami przybliżonymi. W celu określenia dokładności proponowanych rozwiązań, wyniki obliczeń analitycznych porównano z danymi symulacji. Badania przeprowadzono dla systemu telekomunikacyjnego, złożonego z trzech wiązek bezpośrednich, obsługujących ruch zintegrowany, oraz z jednej wiązki alternatywnej Tabela 1. Parametry badanych systemów telekomunikacyjnych Nr systemu Parametry systemu 1 t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 4 a 1 = 24, a 2 = 14, a 3 = 12 V 1 = 10, V 2 = 20, V 3 = 40 2 t 1 = 1, t 2 = 2 t 3 = 6 a 1 = 24, a 2 = 14, a 3 = 12 V 1 = 10, V 2 = 20, V 3 = 40 3 t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 6 a 1 = 24, a 2 = 22, a 3 = 12 V 1 = 16, V 2 = 54, V 3 = 96 4 t 1 = 1, t 2 = 4, a 1 = 24, a 2 = 14 V 1 = 16, V 2 = 54 Tabela 2. Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji dla procesu wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany Nr E 1 E 2 E 3 V obliczenia V symulacja 1 0,001 0,002 0,005 85 84 2 0,001 0,002 0,005 131 128 3 0,005 0,010 0,020 59 59 4 0,001 0,002 103 102 o pojemności 120 PJP, obsługującej ruch spływająycy z wiązek bezpośrednich. Strukturę ruchu spływającego parametr z wiązek bezpośrednich podano w podpisach rysunków, przedstawiających prawdopodobieństwo blokady w wiązce alternatywnej dla różnych wartości współczynników Z ruchu oferowanego wiązce alternatywnej. Wartości prawdopodobieństwa blokady wyrażono w funkcji ruchu jednostkowego, oferowanego pojedynczej PJP wiązki alternatywnej. Na rys. 3a 3c przedstawiono rezultaty prawdopodobieństwa blokady w wiązce obsługujących ruch zintegrowany, o równych wartościach współczynnika Z dla każdej klasy ruchu. Przeprowadzone badania miały na celu sprawdzenie, czy możliwe jest uogólnienia wzoru KR 2, pozwalające na określania charakterystyk ruchowych systemów obsługujących strumienie ruchu o wartości współczynnika degeneracji Z > 1. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że uogólnienie takie jest możliwe. W dalszej części badań określano prawdopodobieństwo blokady w systemach, w których poszczególne strumienie zgłoszeń charakteryzowały się różnymi wartościami współczynnika Z. Również i w tym przypadku rys. 3d, uzyskane wyniki obliczeń charakteryzują się wysoką dokładnością. W ostatniej części badań przeprowadzono proces wymiarowania systemów z ruchem przelewowym. Badania przeprowadzono dla systemów scharakteryzowanych w tab. 1. Uzyskane pojemności wiązki obsługującej ruch zintegrowany dla założonych współczynników blokady E 1, E 2, E 3, o współczynnikach degeneracji Z > 1, przedstawiono w tab. 2. Możemy zauważyć, że porównanie danych analitycznych V obliczenia z danymi symulacji V symulacja wskazuje na wysoką dokładność proponowanego rozwiązania.

10 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 10 0 a Z 1 = Z 2 = Z 3 = 2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 10 0 b Z 1 = Z 2 = Z 3 = 3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 10 0 c Z 1 = Z 2 = Z 3 = 4 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 d Z 1 = 2, Z 2 = 3, Z 3 = 4 Rys. 3. Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z przelewowym ruchem zintegrowanym, R 1 t 1 : R 2 t 2 : R 3 t 3 = 1 : 1 : 1 7. Podsumowanie W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w wiązkach sieci telekomunikacyjnych, obsługujących przelewowy ruch zintegrowany. Przedstawiona metoda bazuje na modyfikacji wzoru Kaufmana-Robertsa. Modyfikacja ta polega na wprowadzeniu współczynnika degeneracji Z, charakteryzującego nierównomierność strumienia zgłoszeń, do procesu obliczeń prawdopodobieństw stanów w algorytmie Kaufmana-Robertsa. Dodatkowo, w artykule zaproponowano efektywną metodę wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym, spływającym z wiązek bezpośrednich. Dokładność proponowanych metod analitycznych została zweryfikowana badaniami symulacyjnymi. Literatura [1] R.I. Wilkinson. Theories of toll traffic engineering in the USA. Bell System Technical Journal, 40:421 514, 1956. [2] Y. Rapp. Planning of junction network in a multiexchange area. Proceedings of 4th International Teletraffic Congress, strona 4, London, 1964. [3] A. Fredericks. Congestion in blocking systems a simple approximation technique. Bell System Technical Journal, 596:805 827, July August 1980. [4] J.S. Kaufman. Blocking in a shared resource environment. IEEE Transactions on Communications, 2910:1474 1481, 1981. [5] J.W. Roberts. A service system with heterogeneous user requirements application to multi-service telecommunications systems. G. Pujolle, redaktor, Proceedings of Performance of Data Communications Systems and their Applications, strony 423 431, Amsterdam, 1981. North Holland. [6] G. Bretschneider. Die Berechnung von Leitungsgruppen für berfließenden Verkehr in Fernsprechwählanlagen. Nachrichtentechnische Zeitung NTZ, 11:533 540, 1956. [7] H. Akimuru, K. Kawashima. Teletraffic: Theory and Application. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1993. [8] J.W. Roberts. Teletraffic models for the Telcom 1 integrated services network. Proceedings of 10th International Teletraffic Congress, strona 1.1.2, Montreal, Canada, 1983. [9] M.E. Beshai, D.R. Manfield. Multichannel services performance of switching networks. Proceedings of 12th International Teletraffic Congress, strony 857 864, Torino, Italy, 1988. North Holland-Elsevier Science Publishers. [10] M. Stasiak. Blocking probability in a limitedavailability group carrying mixture of different multichannel traffic streams. Annales des Télécommunications, 481-2:71 76, 1993. [11] Mariusz Głąbowski, Dominik Mikołajczak, Maciej Stasiak. Określanie charakterystyk ruchu przelewowego w systemach z integracją usług. Raport techniczny ZSTI 01/2005, Raport Instytutu Elektroniki i Telekomunikacj, Poznań, 2005.