Wykład 4 Podstawowe wiadomości z teorii błędów

Wykład 4 Podstawowe wiadomości z teorii błędów Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza, pokój 04

Treść Wykładu Obserwacje geodezyjne Źródła błędów Typy obserwacji Typy błędów Właściwości błędów przypadkowych Krzywa Gaussa Niezawodność pomiarów geodezyjnych Miary precyzji Podsumowanie

Co pomiar to inny wynik! 65.44, 65.49, 65.5, 65.47 metrów Pytania: Dlaczego różne wyniki? Co jest końcowym wynikiem? Jaka jest dokładność pomiaru? 3

ŹRÓDŁA BŁĘDÓW Osobiste: - ograniczenia obserwatora - nieuwaga obserwatora Instrumentalne: z powodu niedoskonałości konstrukcji lub niedoskonałości rektyfikacji instrumentów Naturalne: z powodu zmian warunków środowiska w jakich pomiar jest wykonywany 4

SOURCES OF ERRORS Personal: - limitaion of observer (the ability to repeat the same measurement) - carelessness of the observer Instrumental: - Due to imperfect construction or incomplete adjustment of the instrument - e.g. Incorrect graduation Natural: - Due to changing environmental conditions in which the measurements are made e.g. Temperature variation causes expansion/contraction of the chain 5

Typy obserwacji 6

Type of observations Types of observations Direct Indirect Under the same conditions Under different conditions 7

Obserwacje bezpośrednie Przykładem pomiaru bezpośredniego jest kilkakrotny pomiar taśmą stalową odległości między pewnymi punktami A i B 8

Obserwacje bezpośrednie Pomiar kąta poziomego praktyka z geodezji, lato 004 9

Obserwacje pośrednie Celem tego pomiaru jest wyznaczenie odległości między punktami A i B oraz C i B. Punkt B jest niedostępny, gdyż znajduje się za rzeką. W tym celu należy pomierzyć odległość b zwaną bazą oraz trzy kąty w trójkącie. Z twierdzenia sinusów można obliczyć odległości a i c. B β c α A a γ b - baza C 0

Klasyfikacja błędów Błędy grube Błędy systematyczne Błędy przypadkowe

Omyłki lub błędy grube Charakterystyka: ich wielkość jest stosunkowo duża, mała lub rożna w porównaniu do mierzonej wielkości (obserwacja odstająca). Źródło błędu: personalne (brak uwagi obserwatora). Skutek: obserwacje niejednorodne. Zalecane postępowanie: obserwacja taka musi być wykryta i usunięta z serii pomiarowej. Przykład: Licząc przy pomiarze odległości ilość przyłożeń taśmy, zapisano w dzienniku pomiarowym o jedno przyłożenie za mało lub za dużo popełniając przez to błąd 0 m.

Błędy systematyczne Charakterystyka: występują w deterministyczny sposób, jeśli znany to jest możliwość ich wyeliminowania na drodze rachunkowej. Źródła błędów: z powodu instrumentów, środowiska, człowieka bądź ich kombinacji. Skutek: przesuniecie wszystkich obserwacji, które jeśli jest stałe to jego wielkość i znak pozostają niezmienne w czasie pomiaru. Zalecane postępowanie: koniecznie powinny być zidentyfikowane i wyeliminowane z wyniku pomiaru. Jako przykład tego rodzaju błędu może posłużyć błąd wywołany wydłużeniem lub skróceniem się taśmy mierniczej pod wpływem temperatury. 3

Graficzna ilustracja błędów grubych i systematycznych 4

Błędy przypadkowe Charakterystyka: są to błędy, jakie tkwią w wyniku pomiaru po usunięciu błędów grubych i systematycznych. Nie można opisać ich żadnym modelem deterministycznym. Do ich modelowania stosuje się jedynie model stochastyczny. Źródła błędów: personalne, instrumentalne i środowisko. Skutek: Zalecane postępowanie: 5

Błąd prawdziwy i pozorny Błąd prawdziwy ε i = L - l i Ponieważ L nigdy nie jest znane, ε również nigdy nie jest znane. Na szczęście obydwie wielkości mogą być oszacowane. Oszacowanie błędu prawdziwego nazywa się błędem pozornym v i =x - l i, gdzie x jest oszacowaniem wielkości L. 6

True error and residuals True error ε i = L - l i, because L is never known, ε is never known too, Residuals are defined in the following way v i =x-l i 7

Oszacowanie mierzonej wielkości Oszacowanie mierzonej wielkości i jej błędu nie jest zagadnieniem ani prostym ani łatwym. Opanowanie tej umiejętności wymaga studiów z zakresu rachunku wyrównawczego. Tu przedstawimy tylko elementarne wiadomości z tego zakresu. Wykonano n pomiarów wielkości L (l,l...l n ). Intuicyjnie jest zrozumiałym, że średnia arytmetyczna xˆ = n l i i= jest najlepszym oszacowaniem nieznanej wielkości L n 8

Przykład liczbowy nr. obserwacje [m] v [cm] 65.5-65.47 3 3 65.5 - Średnia =65.50 Suma =0 9

Wyniki pomiarów [m] 3.3 3.8 Przykład 3.35 3.3 3. 3.8 3.7 0. 3.3 3.5 3.6 3.34 3.7 m i n średnia m a x 3.6 3.9 3.3 3.4 0 3.5 3. 3.5 3.3 3.35 3.4 3.33 3.9 3.39 3.33 3.7 3.75 0

Histogram średnia =3.75 Częstość 9 8 7 6 5 4 3 0 3.7 3.3 3.8 3.34 Więcej

Suma v i zawsze jest równa zero v = l -x v = l -x v 3 = l 3 -x......... v n = l n -x xˆ = l n nˆ x = l l v = l nxˆ = l = 0 Σv =Σl -nx

Średnia arytmetyczna jest najlepszym oszacowaniem Jeśli średnia arytmetyczna jest najlepszym oszacowaniem to v = min Aby poprawki były minimalne to Pierwsza pochodna musi być równa zero, d v dxˆ = v dv dxˆ + v dv dxˆ +... + v Druga pochodna większa od zera n dv dxˆ n d v dxˆ = + +... + = n > 0 3

Histogram błędów pozornych Wyniki pomiaró w [m] Uszere gowane wyniki pomiar ów [m] Przedzi ały Liczeb ności w przedzi ałach Częstoś ci względ ne Błędy pozorn e v [mm] 3 4 5 6 3.3 3.8 3.35 3.3 3. 3.9 3. 3.3 3.5 3.6 3.34 3.7 3.6 3.9 3.3 3.4 3.33 3.9 3.39 3.33 3.3 3.9 3.9 3. 3. 3.3 3.3 3.4 3.5 3.6 3.6 3.7 3.8 3.9 3.3 3.3 3.3 3.33 3.33 3.34 3.35 3.39 3.8 3.3 3.8 3.33 3.38 3.43 3.48 0 4 7 5 4 0 0.0000 0.905 0.3333 0.38 0.905 0.0476 0.0000 9 9 7 7 5 5 4 3 0 - -3-3 -4-5 -5-6 -7-7 6 5 4 3 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 4

częstość względna częstość względna częstość względna Histogramy v v v 5

Gauss Carl Friedrich Gauss lived from 777 to 855. Gauss worked in a wide variety of fields in both mathematics and physics including number theory, analysis, differential geometry, geodesy, magnetism, astronomy and optics. His work has had an immense influence in many areas. 6

Krzywa Gaussa Wielu uczonych od lat próbowało opisać histogram krzywą. Ostatecznie powszechnie zaakceptowano model podany przez Gaussa (krzywa Gaussa), której analityczny wzór jest +ε f( ε) = h π e h ε - ε h π f( ε) f(0) = h π + () ε dε f = 7

Krzywa Gaussa parametr h całkowicie opisuje kształt krzywej Gaussa. Parametr h zazwyczaj jest zwany wskaźnikiem precyzji. Pole powierzchni pod krzywą Gaussa równa się jedności: im krzywa jest wyższa (większe h) tym bardziej staje się ścieśniona, co oznacza wyższą precyzję, gdyż przedział, w którym zawarte są wyniki pomiaru jest mniejszy. 8

Własności Krzywa jest symetryczna względem ε = 0. Prawdopodobieństwo występowania błędów o tej samej wartości bezwględnej jest jednakowe. Oznacza to, że P ( + ε) = P( ε) f( ) + 9

Własności Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu większego niż +ε jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia błędu mniejszego niż ε. 30

Własności Prawdopodobieństwo występowania błędów dodatnich i ujemnych jest jednakowe, Prawdopodobieństwo występowania małych błędów jest bardzo duże, Prawdopodobieństwo występowania bardzo dużych błędów jest praktycznie niemożliwe. 3

Ocena Wyniku Pomiaru Precyzja: pomiaru jest to stopień wzajemnej bliskości pomiarów tej samej wielkości. Precyzja pomiaru jest obarczona wpływem tylko błędów przypadkowych. Dokładność: stopień zbliżenia pomiarów do wielkości prawdziwej. Dokładność pomiaru jest obarczona zarówno błędami przypadkowymi jak i systematycznymi. Niepewność: jest to wielkość przedziału wewnątrz którego mieszczą się błędy pomiarowe. 3

Precyzja i dokładność pomiary precyzyjne ale niedokładne pomiary nieprecyzyjne ale dokładne 33

Precyzja i dokładność pomiary nieprecyzyjne i niedokładne pomiary precyzyjne i dokładne 34

Precyzja i dokładność Precyzja Wewnętrzna niezawodność Dokładność W przypadku braku występowania błędów systematycznych, pojęcie dokładności pomiaru jest równoważne z pojęciem precyzji. 35

Miary Precyzji Błąd przeciętny Błąd prawdopodobny Błąd średni (estymator odchylenia standardowego) 36

Błąd przeciętny próbka losowa L= niewiadome L = znane υ = n v e i i= n υ e = n n i= ε i Błąd przeciętny υ e jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości błędów próbki losowej (serii pomiarowej) 37

Błąd prawdopodobny połowa błędów pomiarowych jest mniejsza od P e natomiast druga połowa błędów jest większa od błędu P e. 50% z v i >P e, 50% z v i <P e. W przypadku parzystej liczby błędów. P e = V n+ W przypadku nieparzystej liczby błędów. P = V n V n e + + 38

Przykład liczbowy 3 nr. obserwacje [m] v [cm] v [cm] Błąd prawd. 65.43-4.8 4.8-4.8 65.49 +.. -0.8 3 65.5 +4. 4. 0. 4 65.47-0.8 0.8. 5 65.48 +0. 0. 4. średnia =65.478 suma =0.0 bł. prz. =.8 bł.praw.=0. 39

40 Błąd średni Błąd średni m jest definiowany jako pierwiastek kwadratowy średniej arytmetycznej sumy kwadratów błędów. próbka losowa L= niewiadome L = znane = = n i i v n m = ε = n i i n m

Przykład liczbowy 3 nr. obserwacje v v [m] [cm] [cm] 65.43-4.8 3.0 65.49 3 65.5 4 65.47 5 65.48 Średnia =65.478 +. +4. -.8 +0. Suma = 0.0.4 7.6 0.6 0.0 Suma = 4.8 4

E ( ε ) = ε f ( ε ) dε = 0 σ h = ε f ( ε )dε = σ = h 4

Cenna właściwość Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu przypadkowego: w przedziale σ<ε<σ jest równe 0.683, w przedziale σ<ε<σ wynosi 0.954, w przedziale 3σ<ε<3σ jest równe 0.997. W praktyce przedział 3σ jest uważany jako granica występowania błędów i uważa się, że obserwacje obarczone błędami przekraczającymi te granice powinny być odrzucone jako obserwacje błędne. f( ε) - ε -3σ -σ -σ σ σ 3σ +ε 43

Obserwacje bezpośrednie jednakowo i nie jednakowo dokładne Przez obserwacje bezpośrednie jednakowo dokładne rozumiemy obserwacje wykonane w tych samych warunkach, to znaczy, że obserwator, instrument i środowisko jest takie same Przez obserwacje bezpośrednie nie jednakowo dokładne rozumiemy obserwacje bezpośrednie wykonane w odmiennych warunkach, oznacza to, że obserwator, instrument lub warunki środowiska uległy zmianie. 44

Wagi W celu uwzględnienia różnicy w dokładności pomiarów wprowadzono nowe pojęcie zwane wagą p = k m gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Przykład: m =0.5, m =0.5, k= p =, p =4 k=4 p =8, p =6 45

Wagi Jeśli pewna obserwacja ma wagę równą jedności (p=), to kwadrat błędu średniego oznaczany jest przez m 0 i wynosi: Z czego wynika, że = k m 0 k = m 0 A zatem współczynnik proporcjonalności jest niczym innym jak kwadratem błędu średniego obserwacji o wadze równej jedności. Dlatego ostatecznie mamy p = m 0 m 46

Wagi Wagi są definiowane: Wagi są to liczby odwrotnie proporcjonalne do wartości kwadratu błędu średniego, Wagi są to liczby dodatnie, które wyrażają liczby jednakowo dokładnych obserwacji. 47

Ogólna średnia arytmetyczna Jeżeli rozważymy n obserwacji l, l, l 3 z wagami p, p, p to wówczas warunek v = min ma postać pv = min czyli pierwsza pochodna musi być równa zero ( pv ) d dv dv = pv + p v dxˆ dxˆ dxˆ pv + p v +... = pv = 0 +... = 0 ( l ) + p ( l ) +... 0 p xˆ xˆ = ( + p +...) = p l + p l... p xˆ + xˆ = pl + pl p + p +...... = pl p m o pv = ( n ) 48

Przykład nr Kąt l Δ=l-l 0 Waga p p Δ v pv pvv 3.4067 67 67-3 -3 6 3.40 53 06 3 3 3 3.404 4 3 6 37 454 4 3.4093 6 4 44-7 -7 80 suma = 0 543-6 0 798 x=3.4000+0.0054=3.4054 g m 0 =0.006 g 49

Prawo przenoszenia się błędów Przez przenoszenie się błędów rozumiemy proces polegający na ocenie błędów obliczonych wielkości niewiadomych y będących funkcją wielkości mierzonych x. Rozważmy prosty przykład. Wielkość y została wyznaczona z pomiaru wielkości x z zależności y = ax + b Jeśli x L wielkość prawdziwa, x wielkość mierzona, dx błąd pomiaru to x = x L + dx y ax b = y = a x + b = a (x + dx) + b = a x + b + a dx = y a dx L L + L L L + dy = a dx dy = dy dx dx 50

Funkcja liniowa i dowolna = l + l... m = m + m... y + + y Przykład. Odcinek AB składa się z dwóch części. Pierwszą część pomierzono z błędem średnim ±3 cm, drugą część pomierzono z błędem średnim ±8 cm. Oblicz błąd średni odcinka AB? y = a l + a l +... m y = a m + a m +... Przykład. Odległość pomierzona dalmierzem oblicza się według wzoru d=k l, gdzie l jest mierzonym odcinkiem na łacie z błędem średnim ±3 mm. Oblicz błąd mierzonej odległości d jeśli stała k = 00. 5

5 Dowolna funkcja...) x, f(x y = n x x x m... m, m x n x x y n m x f... m x f m x f m + + = Przykład. Pomierzono działkę w kształcie prostokąta o bokach a = 3.54 m, i b= 54.34 m. Bok a pomierzono z błędem średnim ±3 cm, a bok b z błędem średnim ±6 cm. Oblicz błąd powierzchni działki m P.

Błąd średni z pary pomiarów l obserwacja z błędem prawdziwym ε, l obserwacja z błędem prawdziwym ε, to l + ε = l + ε l l = ε + ε d = ε + ε Zgodnie ze wzorem na błąd średni m = ± ε n d m d = ± n m d d m d = ± m o m = ± = ± o n 53

Przykład Pewną odległość 7 grup studenckich pomierzyło dwukrotnie i otrzymało następujące pewne różnice. Oblicz błąd średni pojedynczego spostrzeżenia z tych par pomiarów d [cm] d^ 4.0 4 6.0 6 36.0 4.0 7 49.0.0 6 36.0 m 0 = 3. cm 54

Thank you for attention