83 Tadeusz J. Sobczyk, Michał Radzik Politechnika Krakowska, Kraków ALGORYTM BEZPOŚREDNIEGO OKREŚLANIA STANÓW USTALONYCH W MASZYNACH SYNCHRONICZNYCH Z UWZGLĘDNIENIEM RÓWNANIA RUCHU METODĄ BILANSU HARMONICZNYCH ALGORITHM OF STEADY-STATE DIRECT DETERMINATION FOR SYNCHRONOUS MACHINES ACCOUNTING FOR MOTION EQUATION BY HARMONIC BALANCE METHOD Abstract: The paper presents an iterative algorith for direct deterination of steady-state solutions in AC achines for perforances when the equation of echanical otion can of be neglected. In such cases electroagnetic and echanic phenoena are strongly related what reflects as perturbances of angular velocity of a rotor. It happened when echanical or electroagnetic torques have an alternating coponent. Nonlinear character of equations describing such perforances leads to essential difficulties of finding the steady-state solutions. The algorith is presented by a case study of a synchronous otor loaded by a torque with an alternating coponent. It is assued that in steady-state a otor run synchronously but in the angular velocity appears periodic perturbations. In that case the steady-state can be found by the haronic balance ethod. The paper shows how to do it. 1. Wstęp Wyznaczanie stanów ustalonych jest tradycyjnie podstawowy i najważniejszy etape oceny właściwości aszyn elektrycznych. Przeważnie przez stany ustalone rozuiane są zjawiska zachodzące w uzwojeniach aszyny po zaniknięciu procesu przejściowego i ustaleniu się prędkości obrotowej wirnika, a poszukiwane są jakościowe oraz ilościowe cechy prądów uzwojeń aszyny oraz oentu elektroagnetycznego. Wówczas analiza stanów ustalonych sprowadza się do, niej lub bardziej eleentarnych, zadań teorii obwodów elektrycznych prądu przeiennego lub stałego. Założenie stałej prędkości obrotowej odgrywa przy takich analizach stanów ustalonych bardzo istotną rolę, gdyż uożliwia rozdzielenie zjawisk echanicznych i elektroagnetycznych w aszynie. Nie zawsze jednak to założenie jest spełnione. W pracy [5] przedstawiono ogólną dyskusję ożliwości bezpośredniego obliczania stanów ustalonych w aszynach prądu przeiennego gdy zachodzi konieczność uwzględniania równania ruchu echanicznego. Następuje wówczas istotne oddziaływanie zjawisk elektroagnetycznych i echanicznych, objawiające się wahaniai prędkości kątowej wirnika. Zjawiska takie ają zawsze iejsce, gdy oent obciążenia lub oent elektroagnetyczny aszyny zawierają składową przeienną o niskiej częstotliwości. Wówczas w stanie ustalony pojawiają się wahania prędkości obrotowej i równania obwodów elektrycznych aszyny uszą być rozwiązywane łącznie z równanie echaniczny. Nieliniowy charakter równań różniczkowych opisujących taki stan pracy powoduje, że istnieją zasadnicze trudności określenia rozwiązania ustalonego. Trudność tę pokonuje się całkując te równania nuerycznie. W bardzo wielu przypadkach wahania prędkości ają charakter okresowy, co powoduje że prądy są także okresowe lub prawie-okresowe. Rozwiązywanie nueryczne jest co prawda zawsze skuteczne lecz w fazie badawczej czy poznawczej wyaga wieloparaetrowych badań, które stają się bardzo uciążliwe i zawsze pozostawiają pewien niedosyt inforacyjny. W pracy [5] opisano algoryt nueryczny, który uożliwia bezpośrednie określenie rozwiązań ustalonych w takich przypadkach. Bazuje on na etodzie bilansowania haronicznych nieliniowego układu równań różniczkowych, przy podstawowy założeniu, że istnieje jego rozwiązanie okresowe. Wskazano ta na dwa ożliwe przypadki takich algorytów. Pierwszy z nich zakłada, że znany jest okres tego rozwiązania. W drugi przypadku zakłada się, że rozwiązanie jest okresowe, lecz jego okres jest nieznany.
84 W niniejszej pracy przedstawiono etodykę określania stanu ustalonego dla przypadku gdy poszukiwane jest rozwiązanie o znany okresie. Do analizy wybrano klasyczny proble poszukiwania stanu ustalonego silnika synchronicznego obciążonego oente echaniczny o okresowej składowej pulsacyjnej. Analizę przeprowadzono przy założeniu, że silnik synchroniczny jest zbudowany syetrycznie, uzwojenia stojana są zasilane syetryczny układe napięć, a uzwojenie wzbudzenia jest zasilane ze źródła napięcia stałego. Założono, że składowa przeienna oentu echanicznego nie powoduje wypadnięcia silnika z synchronizu, wywołując jedynie kołysania wirnika wokół prędkości synchronicznej. W ty przypadku ożna założyć okresowość wahań prędkości w stanie ustalony, co pozwala wykorzystać algoryt opisany w pracach [2] i [5]. 2. Opis silnika synchronicznego dostosowany do etody bilansu haronicznych W etodzie bilansu haronicznych korzystnie jest posługiwać się zespolonyi szeregai Fouriera. W związku z ty do opisu silnika synchronicznego wybrano układ współrzędnych określonych w ciele liczb zespolonych. Napięcia i prądy faz stojana silnika transforowano do współrzędnych wirujących (0,, ) przez acierz 1 1 1 1 e jω t 1 1 a a 2 3 e jω t 1 a 2 a s s W tych współrzędnych równania silnika synchronicznego ają postać u R s i u R s i d u ' R'f i 'f 'f j s 0 (1a) f ' D 0 R' D i 'D 0 ' 0 R' i ' 0 Q Q Q J d 2 2 D d j p i i T (t ) (1b) Poinięto w nich równanie dla składowej zerowej o trywialny zerowy rozwiązaniu. Syetryczny układ napięć zasilających jest reprezentowany przez napięcia u u 3 U 2. Oznaczenia struieni skojarzonych oraz paraetrów w tych równaniach nie są objaśniane gdyż wynikają jednoznacznie z wybranego układu współrzędnych. Poszukiwanyi rozwiązaniai układu (1a, 1b) są prądy i (t ), i (t ), i'f (t ), i'd (t ), i'q (t ) oraz kąt obrotu (t ). Wiadoo, że w stanie pracy ustalonej przy sinusoidalnych syetrycznych napięciach faz stojana, stały napięciu na uzwojeniu wzbudzenia oraz stały oencie obciążenia silnik synchroniczny będzie pracował ze stałą synchroniczną prędkością obrotową, która wynosi s / p, prądy i, i, i'f przyją wartości stałe w czasie, a prądy i 'D oraz i 'Q będą iały wartość zero, gdyż napięcia u, u, u 'f są stałe. Natoiast kąt obrotu (t ) będzie narastał liniowo zgodnie z zależnością ( s / p ) t 0. Jeżeli oent echaniczny silnika nie będzie stały w czasie i będzie iał okresową składową przeienną nie powodującą wypadnięcia z synchronizu, to w stanie ustalony prędkość silnika zacznie wahać się okresowo zgodnie z częstotliwością składowej przeiennej oentu echanicznego (t ) ( s / p ) (t ), natoiast kąt obrotu będzie narastał zgodne z zależnością (t ) ( s / p ) t (t ). Ponieważ zaburzenia prędkości obrotowej (t ) oraz kąta obrotu (t ) powiązane są relacją d (t ) (t ) (2) to zaburzenie narastania kąta obrotu będzie także okresowo zienne. Jest to bardzo ważny fakt uożliwiający zastosowanie etody bilansu haronicznych do poszukiwania rozwiązania ustalonego równań (1a, 1b). Należy jednak zastąpić w tych równaniach kąt obrotu (t ) (który nie jest funkcja okresową) przez okresową funkcję zaburzenia kąta obrotu (t ). W efekcie równanie (1b) przyjie teraz postać J d 2 d D Te T (t ) D s 2 p (3) Równania (1a) wraz ze zodyfikowany równanie (3) są podstawą do poszukiwania rozwiązania w stanie ustalony gdyż wszystkie poszukiwane funkcje ogę być przewidziane w postaci szeregów Fouriera.
85 3. Równania bilansu haronicznych z uwzględnienie równania ruchu W celu utworzenia równań bilansu haronicznych dla równań (1a) oraz (3) zapisano je w postaci wektorowej d2 d F (x) F1 (x) F0 (x, t ) 0 2 2 (4) gdzie F2 (x), F1 (x) oraz F0 (x, t ) są sześciowyiarowyi wektorai funkcji zależnych od poszukiwanych rozwiązań tworzących wektor x i i i 'f i 'D i 'Q T. Szczegółowe postaci funkcji w tych wektorach wynikają z równań (1a) oraz (3), przy czy niektóre z nich (zawierające struienie sprzężone oraz oent elektroagnetyczny) są nieliniowe. W tej pracy założono, że oent obciążenia silnika zawiera oprócz składowej stałej T0 składową przeienną o aplitudzie Tz oraz znanej częstotliwości f T (t ) T0 T z sin Ω t α (5) gdzie Ω 2π f. Ze względu na okresowy charakter wyuszeń zawartych w wektorze F0 rozwiązanie ustalone układu (4) będzie także okresowe, co ożna potwierdzić teoretycznie. Zate wektor jego rozwiązań ożna przewidzieć w postaci szeregu Fouriera 2 F j F 2,1 1,1 diag 0 F2,0 diag 0 F1,0 + 2 F2, 1 j F1, 1 F 0 0,1 F0, 0 0 F0, 1 0 (8) gdzie E ( E -acierz jednostkowa). Ponieważ niektóre wektorowe współczynniki Fouriera Fkn są obliczane dla nieliniowych funkcji będą one nieliniowo zależeć od poszukiwanych współczynników szeregu (6), co ożna sybolicznie zapisać w postaci Fkn..., X 1, X 0, X1,... W celu skrócenia zapisu równania (8) ożna wykorzystać notację tzw. wektorowych reprezentacji szeregów Fouriera [4] wektorów F2 (x), F1 (x), F0 (x, t ) oraz poszukiwanego szeregu Fouriera wektora rozwiązań x (Ω) 2 F2 ( X ) j Ω F1 ( X ) F0 ( X ) 0 (8a) (6) 4. Algoryty iteracyjnego wyznaczania rozwiązań ustalonych Metoda bilansu haronicznych polega na podstawieniu rozwiązań w postaci szeregów Fouriera (6) do równania (4) i zbilansowaniu haronicznych, wykorzystując własność jednoznaczności rozkładu Fouriera. Ponieważ w równaniu (4) występują nieliniowe funkcje rozwiązań, takie bilansowanie jest bardzo trudne, gdyż prowadzi do związków nieliniowych. Jeżeli zapisać każdy z wektorów F2 (x), F1 (x) oraz F0 (x, t ) w postaci szeregu Fouriera (analogicznie jak dla wektora x ) Równanie (8a) stanowi w istocie układ nieskończenie wielu nieliniowych równań algebraicznych. Można go rozwiązać iteracyjnie stosując algoryt Newtona-Raphsona x Xk e jk t k Fn Fkn e j k k t dla n {0,1,2} (7) to algebraiczne zależności iędzy współczynnikai tych szeregów ożna zapisać w postaci nieskończonego układu równań X i 1 X i J( X i ) 1 F( X i ) (9) gdzie F( X ) (Ω) 2 F2 ( X ) j Ω F1 ( X ) F0 ( X ) Macierz Jacobiego w (9) jest określona następująco F (10) X W pracy [3] pokazano, że w celu jej określenia należy obliczyć acierze J( X ) Fn (dla n {2,1,0} ) (11) x oraz współczynniki ich szeregów Fouriera Fd,n
86 Fd, n Fkd, n e j k t, k a następnie utworzyć acierzowe reprezentacje tych szeregów o postaciach Fd, n F d, n 0 F d1, n d,n F 2 F1d, n F0d, n F d1, n F2d, n F1d, n F0d, n (12) Macierz Jacobiego ostatecznie przyjuje postać J( X ) (Ω) 2 Fd,2 ( X ) j Ω Fd,1 ( X ) Fd,0 ( X ) (13) Raphsona (9) wyznaczono z równań stanu ustalonego dla znaionowych wartości napięć oraz oentu obciążenia o stałej wartości. Cele obliczeń testowych było wykazanie zbieżności algorytu. Wyniki tych obliczeń przedstawiono na kolejnych rysunkach. W stanie ustalony prędkość kątowa została przewidziana w postaci szeregu Fouriera N t 0 k cos(k t k ) Na rysunku 1 zestawiono wartości aplitud czterech pierwszych haronicznych prędkości obrotowej silnika otrzyywane w kolejnych iteracjach (pozio odniesienia 0 10 17 ). Procedura iteracyjnego obliczania wida Fouriera wektora rozwiązań w przypadku nieliniowego charakteru równań została przedstawiona w [3]. W każdej iteracji wyaga ona: obliczania przebiegów czasowych poszukiwanych funkcji na podstawie współczynników ich szeregów Fouriera wyliczonych w poprzedniej iteracji, obliczania przebiegów czasowych nieliniowych funkcji występujących w acierzach Fn oraz Fd, n, obliczenia współczynników szeregów Fouriera tych funkcji i utworzenie na ich podstawie wektora F( X i ) oraz acierzy Jacobiego J( X i ), obliczenia nowych wartości współczynników Fouriera wektora rozwiązań z zależności (9). 5. Wyniki testów nuerycznych W oparciu o zależności przedstawione powyżej przygotowano przy użyciu pakietu MatLab progra realizujący algoryt NewtonaRaphsona opisany relacją (9). Do obliczeń nuerycznych wykorzystano paraetry silnika synchronicznego o danych znaionowych: PN = 1250 kw, UN = 6000 V, cos = 0,9, nn = 750 obr/in. Obliczenia testowe przeprowadzono przy założeniu, że składowa stała oentu obciążenia (5) jest równa oentowi znaionoweu, a aplituda składowej przeiennej stanowi 10% tej wartości i a częstotliwość 4,7 Hz, przy której wahania prędkości są największe. Założono, że bezwładność w równaniu (3) jest równa bezwładności wirnika. Wartości startowe dla algorytu Newtona- (14) k 1 fk k f Rys. 1. Zienność aplitud haronicznych prędkości kątowej w kolejnych iteracjach Analogicznie, prąd wzbudzenia w stanie ustalony jako okresowo zienny został przewidziany w postaci szeregu Fouriera if t I f,0 N I f,k cos(k t k ) (15) k 1 Na rysunku 2 przedstawiono ziany wartości aplitud czterech pierwszych haronicznych prądu wzbudzenia w kolejnych iteracjach (pozio odniesienia I f,0 10 16 ). Algoryt iteracyjny oblicza prądy i oraz i (które są wzajenie sprzężone) przewidywane w postaci szeregów Fouriera i (t ) I k e j k t ; k i (t ) I k e j k k t
87 Po przeliczeniu, prąd fazy a a postać ia (t ) fk k f Rys. 2. Zienność aplitud haronicznych prądu wzbudzenia w kolejnych iteracjach N I k cos(( s k ) t k ) k N a dodatkowe składowe ają częstotliwości k s k. Na rysunku 3a i 3b przedstawiono ziany wartości czterech pierwszych składowych prądu stojana w kolejnych iteracjach. Wartości podano w db (pozio odniesienia I f,0 10 15 ). Wyniki testów świadczą o bardzo dobrej zbieżności algorytu. Wartości aplitud najważniejszych haronicznych ustalają się już po pierwszej iteracji, natoiast wartości haronicznych wyższych, nawet tych różniących się o wiele rzędów, ustalają się po trzech iteracjach. Na kolejnych rysunkach przedstawiono obliczone wida prędkości kątowej, prądu wzbudzenia oraz prądów stojana. fk k f fk fs k f Rys. 3a. Zienność aplitud składowych prądu stojana w kolejnych iteracjach fk fs k f Rys. 3b. Zienność aplitud składowych prądu stojana w kolejnych iteracjach Rys. 4. Wido prędkości kątowej W widie prędkości kątowej występują haroniczne o częstotliwościach będących wielokrotnościai częstotliwości składowej przeiennej oentu obciążenia. Pojawienie się haronicznych wyższych, o nuerach 2, 3, jest wynikie nieliniowego charakteru równań opisujących stan aszyny. Aplitudy tych wyższych haronicznych zniejszają się bardzo szybko i wido prędkości kątowej ożna ograniczyć do składowej stałej i pierwszej haronicznej, tak jakby układ równań był liniowy. Druga haroniczna jest już o cztery rzędy niejsza niż składowa zerowa.
88 6. Wnioski fk k f W pracy przedstawiono algoryt bezpośredniego obliczania wid Fouriera w aszynach synchronicznych w przypadku występowania składowej przeiennej w oencie echaniczny. Jest to algoryt Newtona-Raphsona charakteryzujący się bardzo dobrą zbieżnością, co wykazały testy nueryczne. Algoryt jest efektywny narzędzie dla jakościowego i ilościowego określania wid Fouriera aszyn synchronicznych w przypadkach, gdy należy uwzględniać równanie echaniczne, które nadaje równanio aszyny nieliniowy charakter. 7. Literatura Rys. 5. Wido prądu wzbudzenia Wido prądu wzbudzenia a takie sae cechy jak wido prędkości kątowej lecz aplitudy wyższych haronicznych w relacji do składowej stałej są zdecydowanie wyższe niż dla prędkości kątowej. Jednak druga haroniczna jest i tak o trzy rzędy niejsza niż składowa zerowa. fk fs k f [1] Sobczyk T.: Infinitely-diensional linear and quadratic fors of electric achines, Rozprawy Elektrotechniczne, Vol. 29, Bull. 3, PWN, Warszawa, 1983, pp. 697-707 [2] Sobczyk T.: A reinterpretation of the Floquet solution of the ordinary differential equation syste with periodic coefficients as a proble of infinite atrix, Copel, Vol. 5, No. 1, Dublin, Boole Press Ltd, 1986, pp. 1-22 [3] Sobczyk T.: Direct deterination of twoperiodic solution for nonlinear dynaic systes, Copel, Jaes & Jaes Science Pub. Ltd., 1994, Vol. 13, No. 3, pp. 509-529 [4] Sobczyk T.: Metodyczne aspekty odelowania ateatycznego aszyn indukcyjnych, WNT, Warszawa, 2004 [5] Sobczyk T.: Algoryt bezpośredniego określania stanów ustalonych w aszynach prądu przeiennego z uwzględnienie równania ruchu, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Poiarów Elektrycznych, Nr 62, Seria Studia i Materiały Nr 28, 2008, ss. 66-74 Autorzy Rys. 6. Wido prądu stojana Wido prądów stojana najszybciej reaguje na składową przeienną w oencie echaniczny. Pojawiają się w ni składowe o częstotliwościach f k f s k f. Pierwsza z nich jest tylko o jeden rząd niejsza niż podstawowa składowa o częstotliwości sieciowej. Prof. dr hab. inż. Tadeusz J. Sobczyk, e-ail: pesobczy@cyfronet.pl Mgr inż. Michał Radzik, Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Elektrycznej i Koputerowej, Instytut Elektroechanicznych Przeian Energii, Katedra Maszyn Elektrycznych, ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków, Tel/fax: +48 12 628 2044