WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski, Repetytorium z matematyki, PWN, Warszawa 00. LISTA 0 (do samodzielnego rozwiązania). Obliczyć: a) 3 0 3 5 0 5, b) 6 4 3 4, c) 4 (3 ) ( 9 ) 3, d)00 0.5 (0.), e) (0 5 )/(4 5 3 ), f) (4 3 4 + 6 3 5 )/( 3 3 ), g) (4 3 )/( 4 3 + 5 4 5 )..Przedstawić w postaci potęgi jednej liczby naturalnej; a) 3 4 3, b) 3 6, c) 3 3 9, d)( 8 8 + 50) 3..Wykonać działania i uprościć wyrażenia: a) ( + y) ( y), b) ( 3 + 3 ) 3, c) : ( + 3 ), d) ( y + y ) : y, e) ( + 4 ) : ( 3 5 + 3 ), f) 4 43 y : 3, g) 6 5 y 3 y, h) : 4. Następujące wyrażenia sprowadzić do prostszej postaci: a), b) 9 3 +, c) y y y + y, d) e) + y + y + y, f) 8 3, g), + +. 3 + 5. +, 5. Podzielić licznik i mianownik wyrażenia przez najwyższą potęgę n w mianowniku a) (n5 + ) 4, b) (n 3 + 4) 0 n + 3n +, c) n n + 3 n, d) (n3 + n)( n n) n n e) n + + n + 3, f) n n + + n3 + 3 n, g) 3 n3 + n 5 n5 + 5, h) 3 n 6 + n n3 + 3n LISTA. Elementy logiki. Indukcja matematyczna. Określić wartość logiczną zdań złożonych: a) Liczba 4 jest dodatnia lub liczba 4 jest ujemna. b) Liczba 4 jest dodatnia i liczba 4 jest ujemna.
c) Jeśli 4 jest podzielne przez to 8 jest podzielne przez. d) Jeśli 4 jest podzielne przez 3 to 6 jest podzielne przez 3. e) Jeśli 6 jest podzielne przez 3 to 4 jest podzielne przez 3.. Wiadomo, że zdanie (p q) jest fałszywe. Podaj wartość logiczną zdań: a) p q, b) p ( q), d) q p, d) p q, e) q p. 3. Niech zdanie p oznacza " jestem w swetrze", q - "jestem w dżinsach," r - "jestem w adidasach". Przeczytać następujące zdania oraz podać ich zaprzeczenia : a) p q, b) p q ( r), c) p q, d) ( p) q r, e) q r. 4. Wykorzystując spójniki logiczne "i" oraz "lub" zapisać rozwiązania równań lub nierówności: a) ( y)( + y) = 0, b) ( y)( + y) 0, c) 4y > 0. 5. Określić wartość logiczną następujących zdań oraz podać ich zaprzeczenia: a) ( < 4), b) ( 4 < 3), c) ( 4 < 3), d) ( < > ) 6. Które ze zdań są prawdziwe: a) y ( y) = y, b) y ( y) = y, c) y ( y) = y, d) y ( y) = y. 7. Wykorzystując indukcję matematyczną uzasadnić, że dla n N n k = + 4 + 9 +... + n = k= n(n + )(n + ) 6 8. Wykorzystując indukcję matematyczną uzasadnić, że dla n N 4 + 0 + 6 +... + (6n ) = n(3n + ) 9. Wykorzystując indukcję matematyczną uzasadnić, że dla n N + 3 +... + n(n + ) = n n +, + + 3 +... + n n.
0. Wykorzystując indukcję matematyczną uzasadnić, że liczba n 4 n jest podzielna przez 7 dla wszystkich n N.. Wykorzystując indukcję matematyczną uzasadnić, że prawdziwa jest nierówność: n > n 3 dla n 0.. Wykorzystując dwumian Newtona rozpisać następujące potęgi: a) ( 3 ) 3 ; b) ( y) 5 3. Wyznaczyć współczynniki przy 0,, 5, 6, w rozwinięciu Newtona dwumianu ( 3 + ). LISTA. Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny.. Wśród podanych ciągów wskazać ciągi arytmetyczne albo geometryczne: a) a n = ( 3) n, b) b n = ( )n 5 7 n, c) c n = n n+ d) d n = 5 + 3(n ), e) a n = 3 n 4 n+ Które z nich są monotoniczne?. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 0 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a) a 3 = 3, a =, b) a + a + a 3 = 8, a + a + a 3 = 6. 3. Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3. 4. Pierwszy rząd widowni ma 30 miejsc, a każdy nastepny rząd ma o 4 miejsca więcej. Ile jest rzędów na widowni, jeśli suma miejsc wynosi 360. 5. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 0 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a) a 3 = 54, a 6 =, b) iloraz q = oraz S 7 = 7 6. 6. Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 4, a suma trzech poczatkowych wyrazów wynosi. Obliczyć iloraz ciągu. Czy ciąg ten jest monotoniczny. 7. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 000 zł oprocentowana w wysokości 4% rocznie, jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód, jeżeli kapitalizacja jest miesięczna ( tzn. odsetki dopisywane są co miesiąc)? 8. Wpłacasz na lokatę co miesiąc 00zł. Bank oferuje oprocentowanie 6% w stosunku rocznym z kapitalizacją miesięczną. Jaką sumę zaoszczędzisz po 0 latach? 3
9. Wykorzystując wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego albo geometrycznego obliczyć sumy: a) 3 + 3 +... + n 3, b) 8 + 0 +... + (n ), c) 4 5 + 6... + n d) 7 + 9 +... + (n + 3), e) 3 + 4 +...+ n 0. Obliczyć sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego: a) 3 + 9 7 +... b) 4 ( 4 )3 + ( 4 )5... c) + 4 + 6 +... dla jakich wykorzystany wzór jest prawdziwy?. Płyta grubości M w pierwszym roku pracy ściera sie o swej grubości i w kolejnych latach 5 ściera się o grubości startej w poprzednim roku. Ile płyty ubędzie po 4 latach? Czy kiedykolwiek 5 płyta zetrze się do połowy swej grubości? LISTA 3 Funkcje, podstawowe definicje. Wartość bezwzględna.. Określić dziedzinę funkcji : a) f() = +, b) f() = 3, c) f() = 4, d) f() = +. Obliczyć wartość funkcji w podanych argumentach: a) f() = +, 3,, b) f() =, -, +, {, gdy < c) f() =, lub >, -,0,,4 3. Zbadać, czy funkcja f() jest parzysta lub nieparzysta: a) f() = 6 3 +, b) f() =, c) f() = 3 3, d) f() = 3 +. 4. Korzystając z definicji zbadać monotoniczność funkcji f() na podanym zbiorze: (a) f() = na [0, ), (b) f() = + [0, ). 5. Określić funkcje złożone f g, g f, f f i g g gdy a) f() =, g() = +, a) f() = +, g() =. 6. Czy funkcja f() jest różnowartościowa na podanym zbiorze? a) f() = na [0, ), b) f() = ++ 3, R Czy funkcja rosnąca jest różnowartościowa? Czy funkcja malejąca jest różnowartościowa? 7. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji na podanych zbiorach. Narysować wykres funkcji y = f() oraz wykres funkcji odwrotnej y = f (). 4
a) f() = + 3, R b) g() = 3, R c) f() =, R {}, d) h() = +, 0 8. Dziedziną funkcji f() jest przedział liczbowy [-,4]. Wyznaczyć dziedzinę funkcji a) f(), b) f( ), c) f( ), d) f( + ), e) f( ). 9. Wykorzystując wykres funkcji f() =, narysować wykres funkcji: a) f() = +, b) f() =, c) f() = + d) f() =, e) f() =, f) f() = + 0. Wykorzystując wykres funkcji f() =, narysować wykres funkcji: a) f(), b) f( + ), c) f( ) +. Zapisać wyrażenia bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: a) 4, b) + 6 3, c) 4 +, d) + 4 + 3, e), f) y. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej rozwiązać równania i nierówności: a) =, b) + 6 = 6, c) + 3 = 6, d) 3, e) < 3 +, f) 4 3 +. 3. Rozwiązać równania i nierówności: a) +, b) + 6 4, c) 3 = 0, d) 7 + > 7 +, LISTA 4. Wielomiany i funkcje wymierne. Narysować wykres funkcji y = f(): a) f() = + 3, b) f() = + 3, c) f() = + 3 d) f() = + 3, e) f() = 0.5 +, f) f() = 0.5 +. Funkcje kwadratowe przedstawić w postaci iloczynowej ( jeśli istnieje) i narysować ich wykresy: a) f() = + 3, b) f() = + 4, c) f() = 4 + d) f() = 3 9 4, e) f() =, f) f() = + 3. Rozwiązać równania: 5
a) 3 + = 0, b) 3 + + = 0, c) 6 5 3 + 4 = 0 d) 5 6 = 0, e) 3 + 3 6 = 0, 4. Rozwiązać nierówności: a) + 4 5, b) 4 < 6, c) ( + ) ( ) 3, d) 3 5. Wyznaczyć iloraz oraz resztę z dzielenia wielomianu W () przez wielomian P (): a) W () = 4 +, P () = +, b) W () = 5 3 + 3, P () = 4 +, c) W () = 4 + 3 + 3, P () =, d) W () =, P () = + + 3, 6. Podane liczby są pierwiastkami wielomianu W (). Wyznaczyć pozostałe pierwistki: a) -, W () = 5 4 3 3 + +, b),, W () = 3 7 + 6, 7. Rozwiązać równania: a) 3 4 + 6 4 = 0, b) 5 3 + = 0, 8. Rozwiązać nierówności szkicując wykres odpowiedniego wielomianu: a) 3 + 3 3 < 0, b) ( )( + 3) > 0, c) 3 + 0 d) ( + ) ( ) 3 0, e) 5 3 4 + 3 > 0, 9. Rozwiązać równania: a) = 3 + +, b) + +3 = 0, c) 3 + + = 0. Rozwiązać nierówności: a) + +, b) + 3 +, c) + +, d) < 3 LISTA 5. Funkcje trygonometryczne.. Zamienić miarę kątów w stopniach na miarę w radianach : a) 30 o, b) 8 o, c) 0 o, d) 70 o, e) 765 o, f) 35 o, g) 75 o. Narysować kąty o podanych miarach w układzie współrzędnych. Wyrazić ich miarę w stopniach: a) 3π, b) π, c) 5π 3π 5π, d) 7π, e), f), g) 4 8 4 6 4 6
3. Bez korzystania z tablic (kalkulatora) podać wartości:: a) cos 4π, 3 b) sin( 7π), 6 c) cos( π), 3 d) tg π, 6 e) ctg 7π, 4 f) cos( π π), 4 3 g) sin( π + 3π), 3 4 h) sin( 7π + π), 4 6 i) sin( 5π π), 6 4 j) sin π+ sin π 3 3 k) cos π+ cos( π) 6 6 4. Uzasadnić tożsamości. Podać niezbędne założenia. a) cos = + tg, b) sin = tg + tg c) tg = cos sin 5. Narysować wykresy funkcji. Podać ich podstawowy okres i zbiór wartości: a) f() = sin 3, b) f() = sin, c) f() = + 3 sin( π 3 ), d) f() = cos( + π 4 ), e) f() = tg( ), f) f() = ctg( π ), g) f() = sin + cos, h) f() = sin(π) 6 6. Rozwiązać równania i zaznaczyć rozwiązania na osi liczbowej: a) sin =, b) sin = 4, c) cos( + π 5 ) =, d) tg (3 + π 4 ) =, e) sin = sin( + π 6 ), f) sin + 3 sin = 4, g) cos + sin =, h) sin 5 sin = 0, i) cos cos 7 = 0 7. Rozwiązać nierówności i zaznaczyć rozwiązania na osi liczbowej: a) cos, b) sin, c) 4 tg ( + π ) <, d) cos < sin., 3 e) sin cos, f) cos( π 4 ) <. 8. Rozwiązać układ równań: a) { sin = cos = 3 LISTA 6. b) { sin = cos = 3 Funkcje wykładnicze. Wykorzystując wykres funkcji y = sporządzić wykresy funkcji: a) y = 3, b) y = +, c) y = ( ), d) y = +, d) y = 3, e) y =, Dlaczego wykresy y = () oraz y = ( ) są symetryczne wzgledem osi Oy?. Wykorzystując wykres funkcji y = ( 3 ) sporządzić wykresy funkcji: a) y = ( 3 ), b) y = ( 3 ), c) y = ( 3 )+, d) y = ( 3 ), d) y = ( 3 ), 3. Które z podanych funkcji są rosnące, które z nich są malejące: 7
a) f() = 3 5, b) f() = 4, c) f() = ( 3 ), d) f() = 3 +, d) f() = ( ) +, e) f() = + 3, 4. Rozwiązać równania lub nierówności: a) 5 5 5 = 4, b) +3 < 4, c) 3 3 6 + 8 = 0, d) 9 < 3 + 4 9, e) 0, f) 3 + 9 + < 7, g) ( 4 ) ( ) 3+ 8 LISTA 7. Funkcje logarytmiczne. Obliczyć bez korzystania z kalkulatora: a) log 000, b) log 8, c) log 5 + log 4, d) log 3 54 log 3, e) log a, f) 3log a, a > 0, g) log 3 log 3 8, h) 3 log 5 + 0.5 log 64. Wyznaczyć wiedząc, że a) log 3 =, b) log =, c) log 8 = 3. Wykorzystując wykres funkcji y = log 3 sporządzić wykresy funkcji: a) y = log 3 ( ), b) y = log 3 ( ), c) y = log 3 ( + ), d) y = log 3 ( ), e) y = log 3. 4. Rozwiązać równania lub nierówności: a) log 0.5 ( ) >, b) log 4 ( + 3) log 4 ( ) = log 4 8, c) log 5 + log 5 ( 4) =, d) log = log 4 ( ), e) log 5 + log 3 + = log 30, f) g) log 0.5 5. Dla podanych funkcji f() wyznaczyć funkcje odwrotne f (). Narysować wykres f() oraz f () log log(5 4) =, a) f() = +, b) f() = + log 0.5 ( + ), c) f() = +, d) f() = + log( + ) LISTA 8. Wektory na płaszczyźnie.. Dane są punkty A(, 4), B(, ), C(, ). Wyznaczyć następujące wektory i narysować je na płaszczyżnie: a) AB + BC, b) AB + AC, c) AB + BC + CA Obliczyć środek odcinka AC.. Punkty A, B, C, D sa wierzchołkami równoległoboku, gdzie A(,, ), B(, 4) C(3, ). Wyznaczyć współrzędne punktu D,współrzędne punktu przecięcia przekątnych, długość przekątnych 8
oraz kąt między nimi. 3. Uzasadnić, że środki boków dowolnego czworokata tworzą wierzchołki równoległoboku. 4. Uzasadnić, środki dwóch boków w dowolnym trójkącie wyznaczają odcinek równoległy do trzeciego boku. 5. Wskazać, które spośród wektorów a = [, 3], b = [, ], c = [, 6], d = [0, 4], e = [ 3, 0], f = [3, ], g = [3, 6] są a) równoległe, b) prostopadłe. 6. Dla jakiej wartości parametru p podane wektory: a) a = [, 3], b = [, p + 3] są równoległe, b) c = [p, 3], d = [p +, p] są prostopadłe. 7. Dany jest punkt A(, 3). Znaleźć na osi O punkt B, aby wektor AB był prostopadły do wektora c = [ 3, ] 8. Czy punkty A(, ), B(, ), C( 3, 4), D(0, 5) są wierzchołkami prostokąta? Obliczyć długość AD, CA oraz kąt między nimi. 9. Wektory a, b mają długość oraz ich iloczyn skalarny a b = 3. Ile wynosi ( a 5b) ( a + b). 0. Na płaszczyźnie znaleźć dowolny wektor, który tworzy z wektormi a = [3, 4], b = [, ], jednakowe kąty. LISTA 9. Proste na płaszczyźnie. Równanie okręgu.. Napisać równanie ogólne prostej: a) przechodzącej przez punkty (, ), (, 5), b) przechodzącej przez punkt (, ) i nachylonej do osi O pod kątem π 3, c) przechodzącej przez punkt (, ) i prostopadłej do osi O, d) przechodzącej przez punkt (, ) i prostopadłej do osi Oy.. Napisać równanie parametryczne prostej: a) przechodzącej przez punkty (, ), (, 5), b) przechodzącej przez punkt (, ) i nachylonej do osi O pod kątem π, 3 c) przechodzącej przez punkt (, ) i prostopadłej do osi O, d) przechodzącej przez punkt (, ) i prostopadłej do osi Oy, { = 4 t 3. Wyznaczyć punkty przecięcia prostej l = y = + 3t, t R z osiami układu współrzędnych. Czy punkty A(, 4), B(, 8) leżą na prostej. 4. W trójkącie o wierzchołkach A(, 4), B(, 8), C(, 4) napisać równanie ogólne i parametryczne prostej zawierającej środkową trójkąta przechodzącą przez punkt B. 9
5. Wskazać wektory wyznaczające każdą z prostych l = i obliczyć kąt między prostymi. 6. Obliczyć odległość punktu (, ) od prostej: a) { = 4 t y = + t, t R, { { = 4 t = + t y = + t, t R, m = y = + t, t R b) = 3 7. Napisać równanie prostej przechodzacej przez punkt (, 3) i równoległej do prostej 5 + y + 4 = 0. Obliczyć odległość miedzy tymi prostymi. 8. Napisać równanie ogólne i parametryczne prostej przechodzacej przez punkt (, 3) i prostopadłej do prostej 5 + y + 4 = 0. 9. Dla punktu (4, ) znaleźć punkt symetryczny względem prostej y = + 5. 0. Wyznaczyć współrzędne środka i promień okregu: a) + + y 6y = 3, b) + y 6y = 3. Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty (, 0), (, ) i którego środek leży na prostej y =.. Znaleźć równanie stycznej do okręgu + + y 4y = 0 przechodzącej przez punkt z okręgu (3, ). Ile jest rozwiązań?. 3. Znaleźć równanie stycznej do okręgu + y = 0 przechodzącej przez punkt (0, 3). Ile jest rozwiązań? 4. Znaleźć równanie stycznej do okręgu + + y + 4y = 4 przechodzącej przez punkt (4, ). Ile jest rozwiązań? I to już wszystko! opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz 0