Magnetyzm cz.ii Indukcja elektromagnetyczna Równania Mawella Obwody RL,RC 1
Indukcja elektromagnetyczna Prawo indukcji Faraday a Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu magnetycznym? 2
Indukcja elektromagnetyczna Prawo indukcji Faraday a Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu magnetycznym? Pojawiający się prąd jest prądem indukowanym wywoływanym przez indukowaną siłę elektromotoryczną SEM. Indukowana siła elektromotoryczna w obwodzie przewodnika elektrycznego jest równa szybkości z jaką zmienia się strumień pola magnetycznego przechodzący przez powierzchnię rozpiętą przez obwód. Prawo indukcji Faraday a Gdzie strumień definiowany jest: φ = SEM dφ = B ds 3
Strumień wektora B przez powierzchnię strumień definiowany jest: φ = B ds jeśli powierzchnia jest płaszczyzną o pow. A Φ m = A B = A B cosθ B = B cosθ 4
Indukcja elektromagnetyczna, Reguła Lenza Przykład: Ramka wyciągana z pola magnetycznego z prędkością v 5
Indukcja elektromagnetyczna, Reguła Lenza Przykład: Ramka wyciągana z pola magnetycznego z prędkością v Strumień wektora B przez ramkę: φ m = B A = B L więc siła elektromotoryczna: ESEM ESEM Powierzchnia jaką przenika pole magnetyczne dφ m da = = B d = BL = BLv Zgodnie z tzw. regułą Lenz a: Indukowany prąd ma taki kierunek, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwstawia się zmianom pola magnetycznego które go wywołało. Kiedy płynie prąd w obwodzie to jeśli znajduje się w polu magnetycznym, musi na niego działać siła F1 = BiL F2 = Bi F1=iLB znoszą się F3 = - F 2 B 2 L2v F1 = R Wyciągając ramkę doznajemy oporu, musimy wykonać pewną pracę ta praca jest zużywana na np. wydzielenie ciepła w obwodzie. i= ESEM BLv = R R 6
Indukcja elektromagnetyczna F(t) =? sem(t) =? Φ(t) =? Przykład: Ramka przechodzi przez pole magnetyczne z prędkością v 7
Indukcja elektromagnetyczna Strumień wektora B przez ramkę: φb = B.dA = BA A więc siła elektromotoryczna: sem = ponieważ: dφ B da = B = BLv da d = L = Lv. pole powierzchni zwiększa się, dlatego kierunek prądu (zgodnie z regułą Lenza) będzie przeciwny niż w poprzednim przypadku. 8
Indukcja elektromagnetyczna, prąd zmienny układ poruszający ramkę obwód zewnętrzny Strumień wektora B φ B = N B.dA A = NBA cos(φ ) obracająca się ramka magnes Siła SEM dφ B SEM = ω N B A sin(ω t ) częstość obrotów = liczba powierzzwojówchnia ramek ramki 9
Zmienne pole magnetyczne, reguła Lenza Siła SEM Strumień wektora B φ = B ds SEM dφ = m Prąd indukowany Zgodnie z tzw. regułą Lenz a: i= SEM R Indukowany prąd ma taki kierunek, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwstawia się zmianom pola magnetycznego które go wywołało. Pole Bi wytworzone przez prąd i Zew. pole B rośnie Zew. pole B maleje Zew. pole B rośnie Zew. pole B maleje 10
Zmienne pole magnetyczne, prawo indukcji Faraday a raz jeszcze Pole magnetyczne B zmienia swoją wartość Rozważając okrąg o promieniu r możemy stwierdzić, że obejmuje on strumień φm E r E E Gdy φm zmienia się w czasie to indukuje się SEM, a więc także pole elektryczne, które jest styczne do B tego okręgu! E zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne Siła SEM, ma wymiar napięcia, zależność między siłą SEM a natężeniem pola wynosi: SEM = więc: E dl dφ m E dl = 11
Różnica między statycznym a indukowanym polem elektrycznym Statyczne pole elektryczne wytwarzane jest przez ładunki elektryczne linie tego pola mają swój początek tam gdzie znajduje się ładunek dodatki, a kończą się tam gdzie znajduje się ładunek ujemny mówimy że pole jest bezwirowe Zmienne pole magnetyczne wytwarza indukowane pole elektryczne (prawo Faraday a) linie tego pola nie mają końca ani początku- mówimy że pole jest wirowe E E r pole to wytwarza się niezależnie od tego czy Zmienne w danym miejscu znajduje się obwód pole magnetyczne B przewodzący E E 12
Różnica między statycznym a indukowanym polem elektrycznym Linie pola magnetycznego nie maja początku ani końca zawsze tworzą zamknięte pętle mówimy że pole magnetyczne jest wirowe Pole magnetyczne wytwarzane jest przez prądy elektryczne (poruszające się ładunki) Ponao, okazuje się, że zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne Zmienne pole magnetyczne indukuje siłę elektromotoryczną w obwodzie elektrycznym w nim umieszczonym 13
Indukcyjność cewki, samoindukcja Induktor: urządzenie, które ma produkować pole magnetyczne o znanej wartości w określonym obszarze Induktorem może być cewka (zwojnica, solenoid) Def. Indukcyjności cewki (współczynnik indukcji własnej) liczba zwojów NΦ L= i strumień wektora B (wytworzone pole magnetyczne) T m2 1H = A prąd płynący przez cewkę Zjawisko samoindukcji: Indukowana SEM pojawia się w cewce gdy zmienia się w niej prąd: SEM samoindukcji SEM d ( NΦ ) di = = L 14
Obliczenie indukcyjności dla wewnętrznej części długiego solenoidu. l Niech długość solenoidu = l Strumień wewnątrz wynosi: NΦ B powierzchnia przekroju = nl B A liczba zwojów na jednostkę długości Wartość B w środku solenoidu L= B = µ 0n i NΦ = µ 0 n 2lA i Indukcyjność jest proporcjonalna do objętości solenoidu (la) i kwadratu gęstości nawinięcia zwojów n. 15
Solenoid toroidalny pole magnetyczne w środku Z prawa Ampera, korzystają z krążenia wektora B po drodze (1) ilość zwojów B dl = 0 N I B 2 r = 0 I N otrzymujemy 0 I N 1 B = 2 r promień Zwrócimy uwagę że pole jest niejednorodne w środku! Jeśli zastosujemy krążenie wektora B po drodze (2) to łatwo wykazać że nie ma pola magnetycznego na zewnątrz toroidu. 16
Solenoid toroidalny - indukcyjność h b a dr Definicja indukcyjności: L= całkowity strumień pola mag. prad Wkład warstwy o przekroju h dr do strumienia pola magnetycznego d = N B da = N B h dr Całkowity strumień pola magnetycznego w środku 0 N 2 h I b dr = r 2 a 2 0 N h I b = ln 2 a Indukcyjność toroidu 0 N 2 h b L = ln 2 a 17
Równania Mawell a Prawo Gauss a I 0 E ds = q strumień E Prawo Gauss a II ds = 0 B strumień B Prawo Faraday a III dφ B E dl = krążenie E Całkowity strumień E w zamkniętej powierzchni równy jest ładunkowi w niej zawartemu Pole elektryczne może być polem źródłowym Nie znamy ładunku magnetycznego Pole magnetyczne jest polem wirowym Zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne Prąd przesunięcia analogia do rów. III Prawo Ampera-Mawell a IV dφ E + µ0 i B dl = µ 0 0 krążenie B Pole magnetyczne może być wytworzone przez zmienne pole elektryczne lub przez prąd płynący w przewodniku Prąd przebijający rozpiętą powierzchnię na obwodzie l 18
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Prawo Gauss a II ds = 0 B strumień B Nie znamy ładunku magnetycznego Pole magnetyczne jest polem wirowym 19
Prawo Faraday a Prawo Faraday a III dφ B E dl = krążenie E Zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne 20
Prawo Ampera-Mawell a IV dφ E + µ0 i B dl = µ 0 0 krążenie B 21
Interpretacja prądu przesunięcia Chwilowo podczas włączenia baterii w obwodzie popłynie prąd. Dlaczego? ID Poruszające się ładunki elektryczne (prąd) indukują magnetyczne pole Ładunki elektryczne indukują pole elektryczne Pole elektryczne zmienia się gdy ładunek zmienia się na kondensatorze Zmieniające się pole elektryczne jest odpowiednikiem prądu prądu przesunięcia ID A Q = CV = ( 0 )( Ed ) = 0 AE d dq de dφ E ID = = 0A = 0 22
Interpretacja prądu przesunięcia 23
Równania Mawell a (postać różniczkowa) Prawo Gauss a I II div D = D = q Prawo Gauss a Prawo Ampera-Mawell a wektor polaryzacji elektrycznej w ośrodku D = 0 E lub wektor polaryzacji magnetycznej w ośrodku B = µ0 H + µ0 M lub B = µµ 0 H D IV rot H = H = + j t natężenie pola indukcja pola magnetycznego magnetycznego db rot E = E = natężenie pola elektrycznego D =0 E + P div B = B = 0 Prawo Ampera III indukcja pola elektrycznego wektor gęstości prądu 24
Obwód RL VR = Ri Z II prawa Kirchoffa : Suma spadków potecjałów w zamkniętym obwodzie + suma sił elektromotorycznych = 0 + VR + VL = 0 di ir L = 0 VL Co się stanie gdy przełącznik włączymy do pozycji a? Nagłe włączenie ogniwa powoduje przepływ prądu prąd jednak nie narasta w obwodzie natychmiast rośnie stopniowo. Dlaczego? Na skutek zmieniającego się prądu i (a więc zmienia się pole magnetyczne w cewce) indukuje się SEM samoindukcji EL, która przeciwstawia się wzrostowi prądu w obwodzie. 25
Obwód RL VR = 0.63 równanie różniczkowe liniowe I rzędu di = ir + L τ τ= oto rozwiązanie i= R (1 e Ri = Rt L ) L R VL = (e 1 ) = 0.37 L di = τ 26
Energia pola magnetycznego di = ir + L szybkość z jaką energia jest dostarczana do obwodu z ogniwa (moc) i= dq dw = Energia magazynowana w polu magnetycznym cewki di i = i R + Li 2 szybkość z jaką energia jest tracona w postaci ciepła na oporniku R (moc) UB = UB 0 szybkość z jaką energia magazynowana w polu magnetycznym cewki du B di = Li i du B = Lidi = 1 2 Li 2 0 27
Gęstość energii pola magnetycznego Ilość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki o indukcyjności L U B = Li 1 2 2 Powierzchnia A l Definiujemy gęstość energii jako : UB ub = Al 2 2 1 Li L i ub = 2 = Al l 2A 2 1 Li ub = 2 = 12 µ0 n 2i 2 Al długość Okazuje się, że taka definicja gęstości energii pola magnetycznego obowiązuję dla każdego pola B Porównaj gęstość energii dla pola elektrycznego L = µ 0n 2 A l B = µ0 ni B2 ub = 2µ 0 0E2 ue = 2 28
Obwód RC VR = Ri C Z II prawa Kirchoffa : Suma spadków potecjałów w zamkniętym obwodzie = 0 + VR + VC = 0 q ir = 0 C dq q R = 0 C C V C Co się stanie gdy przełącznik włączymy do pozycji a? Nagłe włączenie ogniwa powoduje gromadzenie się ładunku na kondensatorze ładunek jednak nie narasta na okładkach natychmiast rośnie stopniowo. Dlaczego? Na początku płynie pewien prąd ładowania i do momentu aż różnica potencjałów na kondensatorze VC osiągnie wartość SEM ogniwa E. 29
Obwód RC C równanie = R dq q + C C q (t ) oto rozwiązanie t RC q = C 1 e mnożąc przez i du C q dq = C UC i = i2r + τ τ = RC qi C q dq du C = C Q 2 Q energia pola elektrycznego U C = du C = qdq = 2C 0 0 i (t ) /R i= i= dq R e t RC τ 30