1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz zestaw niezbędnych wzorów dokładnie taki jak ten w linku poniżej: https://www.cke.edu.pl/images/stories/tablice/tablice_matematyczne.pdf lub (zeskanuj kod) Planimetria jest w tej publikacji najobszerniej i najdokładniej opracowana są tu wszystkie niezbędne wzory i zagadnienia z tego działu. A skoro tu są to znaczy, że nie musisz się ich uczyć na pamięć, bo i tak na maturze będziesz mieć do nich bezpośredni dostęp. Wystarczy, że zapamiętasz, iż cała Planimetria jest w tym zestawieniu wzorów. Oczywiście przeanalizuj co tam się konkretnie znajduje (od strony 6 do 12). A tu skup się na przykładach, które poniżej proponuję.
2 Przykład 1 Oblicz: a) Pole rombu o boku długości 4 i kącie ostrym 45 o b) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 o i ramieniu 8 We wszystkich podpunktach korzystać będziemy z pewnych zależności między bokami trójkąta prostokątnego jeśli kąty tego trójkąta wynoszą 45 o,45 o,90 o lub 30 o, 60 o, 90 o Spójrz na rysunki poniżej: a) Pole rombu wyraża się wzorem P ah Wiemy, że bok a 4, ale nie mamy h. Po dorysowaniu wysokości na rysunku i zaznaczeniu kąta 45 o otrzymamy w rombie trójkąt prostokątny o kątach 45 o,45 o,90 o (czyli taki jak ten po lewej na górze) W rombie mamy bok długości 2x i wynosi on 4, zatem 2x 4 : 2 x 22 a ta obliczona wartość to nasza wysokość, więc h 22 Zatem P 4 22 8
3 b) Zauważmy na poniższym rysunku, że po dorysowaniu wysokości i zaznaczeniu kąta 60 o otrzymaliśmy w trapezie identyczny trójkąt jak ten po prawej stronie na górze. Ramię trapezu to bok o długości 2x w trójkącie, stąd 2x 8 x 4 wysokość, której potrzebujemy, to bok 3x w trójkącie, a skoro przed chwilą wyszło x 4, to h 3x 3 4 4 Przykład 2 W trójkącie równoramiennym a to długość podstawy, b długość ramienia, h długość wysokości opadającej na podstawę a. Oblicz: a) h, jeśli a 6, b 8 b) a, jeśli h 10, b 12 W tym zadaniu korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Na poniższym rysunku widać, że wysokość dzieli każdy trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są połowa podstawy ( a ) oraz wysokość ( h ) a przeciwprostokątną ramię ( b ). Dla naszego trójkąta twierdzenie Pitagorasa będzie miało więc postać ( a )2 + h 2 b 2 W obydwu podpunktach wystarczy więc podstawić tylko dane które mamy i wyjdzie to czego szukamy. a) h?, a 6, b 8 3 2 + h 2 8 2 9 + h 2 64 h 2 64 9 h 2 55 h 55
4 b) a?, h 10, b 12 ( a )2 + 10 2 12 2 ( a )2 + 100 144 ( a )2 144 100 a2 44 4 a 2 176 a 176 a 411 Przykład 3 Oblicz długość boku i pole kwadratu, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym kwadracie ma długość 10 b) promień okręgu wpisanego w ten kwadrat ma długość 4 a) Zapamiętaj, że: Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie przekątnej kwadratu, czyli R d a wystarczy teraz tylko podstawić dane do wzoru R a2 10 a2 2 20 a2 :2 a 102 skoro mamy już bok kwadratu to obliczenie pola jest prostą formalnością P a 2 (102) 2 100 2 200 b) Zapamiętaj, że: Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie boku kwadratu, czyli r a wystarczy teraz tylko podstawić dane do wzoru 4 a 2 a 8 stąd P a 2 8 2 64
5 Przykład 4 Oblicz długość boku, wysokość i pole trójkąta równobocznego, w którym: a) promień okręgu opisanego wynosi 12 b) promień okręgu wpisanego wynosi 1 a) korzystamy z gotowych zależności R h oraz R a (z pierwszej obliczymy wysokość a z drugiej długość boku trójkąta) podstawmy dane do pierwszego wzoru R h 12 h h 18 podstawmy dane do drugiego wzoru R a 12 a a 123 pole trójkąta równobocznego policzymy ze wzoru P a2 P (123)2 P 144 3 P 1083 b) korzystamy z gotowych zależności r h oraz R a (z pierwszej obliczymy wysokość a z drugiej długość boku trójkąta) podstawmy dane do pierwszego wzoru r h 1 h 3 h 3 podstawmy dane do drugiego wzoru r a 1 a a 23 pole trójkąta równobocznego policzymy ze wzoru P a2 P (23)2 P 4 3 P 33
6 Przykład 5 Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie, w którym: a) przyprostokątne wynoszą 2 i 10 b) boki mają długość,, a) nazwy przyprostokątne od razu nam zasugerowały, że mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Zapamiętaj! W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego to połowa przeciwprostokątnej. przeciwprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa 2 2 + 10 2 x 2 4 + 100 x 2 x 2 104 x 104 zatem R b) w tym podpunkcie nie wiemy czy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym musimy więc to najpierw sprawdzić, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi boku najdłuższego, to taki trójkąt jest prostokątny Czyli u nas sprawdzamy czy zachodzi równość (11) 2 + (12) 2 (23) 2 11 + 12 23 23 23 wnioskujemy zatem, że nasz trójkąt jest prostokątny A skoro jest on prostokątny tzn, że promień okręgu opisanego to połowa jego przeciwprostokątnej (najdłuższego boku), więc R
7 Przykład 6 Wiadomo, że k l. Oblicz: a) OD, jeśli DC 4, OA 7, AB 6 b) OA, jeśli AB 2, AD 3, BC 4 Twierdzenie Talesa pozwala nam ułożyć następujące równości lub Stosując oznaczenia ze wzorów mamy u nas a OD b DC c OA d AB x AD y BC
8 a) a?, b 4, c 7, d 6 widzimy więc z której proporcji możemy skorzystać! po wymnożeniu na krzyż otrzymamy 6a 28 : 6 a " 4 b) c?, d 2, x 3, y 4 skorzystamy z proporcji po wymnożeniu na krzyż otrzymamy 4c 3(c + 2) 4c 3c + 6 4c 3c 6 c 6 Przykład 7 Oblicz miarę kąta α na rysunkach poniżej a) Trójkąt, w którym mamy kąt 40 o, to trójkąt równoramienny (bo jego ramiona to promienie okręgu), zatem jego drugi kąt przy podstawie będzie mieć też 40 o. Kąt przy wierzchołku tego trójkąta równoramiennego łatwo obliczymy, wiedząc że w każdym trójkącie suma kątów to 180 o 180 o 40 o 40 o 100 o Kąt 100 o jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt α, na mocy twierdzenia jest więc dwa razy większy od kąta α. Czyli α 50 o
9 b) Kąt 118 o jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt będący sumą 27 o +α. Na mocy tego samego twierdzenia o którym mówiliśmy w podpunkcie a) zapiszemy równanie 2(27 o +α) 118 o 54 o + 2α 118 o 2α 118 o 54 o 2α 64 o α 32 o c) β 140 o Trójkąt ASB jest równoramienny. Łatwo obliczymy miarę kąta przy podstawie tego trójkąta (180 o 140 o ) : 2 20 o Kąt α + 20 o daje w sumie kąt prosty, bo jest to kąt pomiędzy promieniem a styczną do okręgu. Stąd α + 20 o 90 o α 70 o
10 Przykład 8 W trapezie ABCD boki AB i CD są równoległe oraz BC AD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i BAD są przystające. Ponieważ trapez ten jest równoramienny to wiemy na pewno, że w rozpatrywanych trójkątach BC AD oraz kąt ABC kąt BAD, zaś bok AB jest wspólny dla obydwu trójkątów. Pokazaliśmy zatem, że mamy w obydwu trójkątach dwa boki tej samej długości a kąt między nimi ma tą samą miarę, więc wnioskujemy na mocy cechy bkb (bok-kąt-bok), że te trójkąty są przystające.