WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI W HARMONOGRAMOWANIU PROJEKTÓW 1

DECYZJE nr 13 czerwec 2010 WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI W HARMONOGRAMOWANIU PROJEKTÓW 1 Tomasz Błaszczyk* Akadema Ekonomczna w Katowcach Macej Nowak** Akadema Ekonomczna w Katowcach Streszczene: W pracy przedstawono problematykę harmonogramowana projektów w ujęcu welokryteralnym. Uzasadnono potrzebę formułowana problemów zwązanych z planowanem czasu w projekce z uwzględnenem welu kryterów. Wskazano także różne sposoby defnowana takch problemów decyzyjnych oraz zaproponowano metody ch rozwązywana. Szczególną uwagę pośwęcono programowanu celowemu oraz podejścu nteraktywnemu. Zaproponowane modele zostały zlustrowane przykładam lczbowym. Słowa kluczowe: planowane projektów, harmonogramowane, welokryteralne metody wspomagana decyzj, programowane celowe, podejśce nteraktywne. MULTI-CRITERIA DECISION AIDING IN PROJECT SCHEDULING Abstract: Ths paper descrbes the range of project schedulng problems n mult-crteral background. The need of formulaton of tme plannng ssues accordng to multple crtera was justfed n the frst chapter. Then, dfferent approaches of defnng such problems were ndcated and methods for solvng were proposed. The partcular attenton was focused on goal programmng and nteractve approaches. Proposed models were llustrated wth numercal examples. Keywords: project plannng, schedulng, mult-crtera decson adng methods, goal programmng, nteractve approach. 1 Praca naukowa fnansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy nr NN 111 267138. * Tomasz Błaszczyk, Wydzał Informatyk Komunkacj, Katedra Badań Operacyjnych, Akadema Ekonomczna w Katowcach, ul. Boguccka 14, 40-226 Katowce, e-mal: tomasz.blaszczyk@ae.katowce.pl ** Macej Nowak, Wydzał Informatyk Komunkacj, Katedra Badań Operacyjnych, Akadema Ekonomczna w Katowcach, ul. Boguccka 14, 40-226 Katowce, e-mal: macej.nowak@ae.katowce.pl 27

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... 1. Wstęp Pojęce projektu znajduje sę od klku lat w powszechnym użycu w każdej nemalże dzedzne życa społecznego gospodarczego. Manem projektów określa sę zarówno różnego rodzaju dokumenty, jak też przedsęwzęca. Każdy z obszarów, na którym tak rozumane projekty są defnowane realzowane, charakteryzuje sę swoją wewnętrzną specyfką oraz termnologą. Stąd też trudno o jednoznaczną defncję tego pojęca. Jedna z nch, przytoczona przez Tavaresa (2002) defnująca projekt jako celowe przekształcene systemu ze stanu początkowego s w stan s, określony celam, które mają zostać osągnęte wydaje sę w swojej ogólnośc zawerać postulaty wszystkch podmotów podejmujących sę przygotowana realzacj projektów. Ważnym uzupełnenem tej defncj jest jednak teza ogranczonego czasu trwana oraz nepowtarzalnośc, wskazana m.n. w standardach Project Management Insttute (PMI) określających projekt jako tymczasowe przedsęwzęce podejmowane w celu wytworzena unkalnego wyrobu lub usług. Praca pośwęcona jest harmonogramowanu projektów. Przez harmonogram rozumeć będzemy termnarz określający momenty rozpoczęca zakończena czynnośc składających sę na projekt. Konstruując go, dążymy do tego, by przy spełnenu ogranczeń wynkających z zależnośc zachodzących mędzy czynnoścam uzyskać optymalną wartość ustalonego kryterum. Realzacja każdego projektu wymaga zaangażowana określonych zasobów. Zagadnene harmonogramowana projektu ne może być zatem rozpatrywane w oderwanu od problemu alokacj zasobów. Wstępny plan realzacj projektu dopero wtedy staje sę prawdzwym harmonogramem, gdy uwzględnone zostaną ogranczena zasobowe. Stajemy wówczas przed zagadnenem określanym w lteraturze jako problem harmonogramowana projektów przy ogranczenach zasobowych (ang. RCPSP Resource-Constraned Project Schedulng Problem). Kompleksowa ocena harmonogramu realzacj projektu pownna uwzględnać wele kryterów. Do podstawowych należą czas, w którym projekt może być zrealzowany, oraz koszt, który będze musał być ponesony. Obok nch rozważa sę często take kweste, jak termnowość realzacj kolejnych etapów projektu, jakość osągnętych rezultatów projektu czy stopeń wykorzystana posadanych zasobów. Wymenone krytera pozostają we wzajemnym konflkce. Skrócene czasu realzacj projektu wymaga zwykle zaangażowana dodatkowych zasobów, co skutkuje wzrostem kosztów. Z kole dążene do zapewnena odpowedno wysokej jakośc rezultatów nejednokrotne pocąga za sobą zarówno wolnejsze tempo realzacj, jak wzrost kosztów. Wreszce przyjęce za prorytet wyrównana zapotrzebowana na zasoby w poszczególnych etapach może pocągnąć za sobą wydłużene termnu realzacj projektu. 28

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak Welość kryterów uwzględnanych w procese harmonogramowana skłana do zastanowena sę nad metodam, które mogłyby być wykorzystane do ch rozwązana. Należą do nch bez wątpena technk proponowane w ramach analzy welokryteralnej. Celem nnejszej pracy jest przedstawene uzasadnena potrzeby formułowana problemów z zakresu harmonogramowana projektów jako problemów decyzyjnych o welu kryterach oraz zaprezentowane metod, które mogą być zastosowane do ch rozwązana. Konstruując model welokryteralnego problemu decyzyjnego, skorzystać możemy z jednego z dwóch głównych podejść. Zgodne z perwszym, zbór warantów decyzyjnych defnowany jest przez warunk, które muszą one spełnać. Powemy wówczas, że mamy do czynena z polem decyzyjnym, które ne jest podane w sposób jawny (Krawczyk, 1990). Podejśce alternatywne polega na zdefnowanu zboru warantów w sposób bezpośredn przez podane kompletnej lsty rozważanych rozwązań. Tego typu zagadnena określane są często manem dyskretnych problemów decyzyjnych. W pracy stosujemy oba sposoby formułowana problemu decyzyjnego, przedstawając zarówno model, w którym dopuszczalne waranty alokacj rozważanego zasobu defnowane są przez zbór warunków ogranczających, jak równeż model defnujący pole decyzyjne w sposób jawny poprzez lstę rozważanych sposobów wykorzystana zasobu. Pragnemy w ten sposób pokazać, że problem harmonogramowana projektów może być defnowany na różne sposoby, a co za tym dze do jego rozwązana wykorzystać można różne narzędza analzy welokryteralnej. Pracę rozpoczyna krótk rys hstoryczny dotyczący wspomagana decyzj w zarządzanu projektam. Następne formułujemy problem harmonogramowana jako zagadnene welokryteralne oraz proponujemy dwa modele wraz z metodam, które mogą być wykorzystane do ch rozwązana. W obu wypadkach przyjmujemy, że celem analzy jest ustalene takej alokacj zasobów wykorzystywanych w projekce, by harmonogram projektu zapewnał uzyskane wartośc kryterów uznawanych przez decydenta za satysfakcjonujące. Model perwszy sformułowany został jako zadane programowana celowego. Zakładamy, że decydent jest w stane określć wartośc rozważanych kryterów, które uznaje za satysfakcjonujące, a naszym celem jest wyznaczene rozwązana realzującego te aspracje w stopnu możlwe najwyższym. Model drug sformułowany zaś został jako zagadnene dyskretnego podejmowana decyzj. Przyjmujemy w nm, że lczba rozważanych alokacj zasobów jest newelka może być opsana w sposób bezpośredn poprzez lstę dostępnych warantów decyzyjnych. Jednym z stotnych zagadneń rozważanych w ramach zarządzana projektam jest ryzyko. Na etape planowana projektu często ne dysponujemy wedzą na tyle precyzyjną, by możlwe było dokładne oszacowane wszelkch parametrów projektu, w tym w szczególnośc czasów realzacj poszczególnych czynnośc. Wydłużene realzacj 29

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... nektórych zadań może z jednej strony przyczynć sę do opóźnena całego projektu, z drugej zaś do podwyższena jego kosztu. W sytuacj, gdy ne dysponujemy precyzyjną nformacją na temat czasów realzacj czynnośc, warto skorzystać z metod pozwalających na oszacowane ryzyka opóźnena projektu lub wzrostu kosztu jego realzacj. Należą do nch technk proponowane w ramach programowana stochastycznego, a w przypadku problemów ze stosunkowo newelką lczbą warantów decyzyjnych metody dyskretnego wspomagana decyzj w warunkach ryzyka, które wykorzystujemy w drugm z model zaprezentowanych w pracy. Rozwązane zadana welokryteralnego ne jest możlwe bez pozyskana wedzy na temat preferencj decydenta. Korhonen (2005) wyróżna trzy podstawowe podejśca, które mogą być w tym celu wykorzystane: pozyskwane nformacj o preferencjach decydenta przed uruchomenem procedury oblczenowej, pozyskwane nformacj o preferencjach decydenta po zakończenu podstawowej procedury oblczenowej, stopnowe pozyskwane nformacj o preferencjach decydenta równolegle z przeprowadzanem oblczeń. Podejśce perwsze zakłada wyraźne rozdzelene fazy pozyskwana wedzy fazy oblczenowej. W tym ujęcu proces rozwązywana problemu dzel sę na dwa etapy. W trakce perwszego pozyskwana jest cała wedza nezbędna do rozwązana problemu. Etap drug polega na przeprowadzenu oblczeń, których wynkem jest rozwązane końcowe. Metoda druga zakłada, że nformacja o preferencjach decydenta pozyskwana jest po wstępnym, czasam nepełnym, rozwązanu zadana welokryteralnego. Wreszce podejśce ostatne, nazywane w lteraturze nteraktywnym, przyjmuje, że decydent jest w stane dostarczyć nformacj o charakterze lokalnym, czyl takej, która dotyczy ustalonego warantu lub newelkego podzboru zboru warantów decyzyjnych. Fazy pozyskwana wedzy oraz oblczenowa są w tym wypadku welokrotne powtarzane, a decydent każdorazowo jest nformowany o uzyskwanych wynkach pośrednch. Podejśca te mogą być wykorzystywane zarówno w przypadku, gdy zbór warantów zdefnowany jest za pomocą warunków ogranczających, jak też wtedy, gdy jest podany w sposób bezpośredn, czyl w problemach dyskretnych. Procedura, za pomocą której rozwązujemy perwszy z model zaprezentowanych w pracy, oparta jest na założenu, że nformacja o preferencjach decydenta pozyskwana jest przed uruchomenem procedury oblczenowej. Z kole do rozwązana problemu opsanego modelem drugm wykorzystalśmy podejśce nteraktywne. Modele zaprezentowane w pracy są rozwnęcem model prezentowanych we wcześnejszych pracach autorów. Podejśce oparte na programowanu celowym było 30

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak wcześnej prezentowane w rozprawe doktorskej jednego z autorów (Błaszczyk, 2006). Z kole dyskretny problem harmonogramowana projektów prezentowany był wcześnej w pracach: Błaszczyk, Nowak (2009) oraz Nowak, Błaszczyk, Fala, Jablonsky (2009). W perwszej z nch rozważalśmy problem harmonogramowana pojedynczego projektu, w drugej zagadnene harmonogramowana w środowsku weloprojektowym. W obu wypadkach do wyznaczena rozwązana problemu wykorzystalśmy metodę INSDECM. W nnejszej pracy proponujemy wykorzystane metody nteraktywnej opartej na analze współczynnków wymany. 2. Wspomagane decyzj w harmonogramowanu projektów Pommo ż projekty realzowane były już w cywlzacjach starożytnych (wspomneć tutaj można np. budowę pramd egpskch czy Welkego Muru Chńskego), to perwsze formalne określone narzędza metody powstały w czasach nowożytnych. Jedna z podstawowych technk, wykorzystywana do dzś w szeroko pojętym zarządzanu, a szczególne w zarządzanu projektam technka wykresów paskowych sformułowana została na początku XX weku (Wlson, 2003). Perwsza praca Gantta (Gantt, 1903) opsująca perwotną wersję tego narzędza ukazała sę w marcu 1903 roku, równocześne z pracą Taylora (Taylor, 1903), uznawanego za prekursora Naukowego Zarządzana. Obe prace współpracujących ze sobą autorów stanowły ntegralną podstawę metodolog zarządzana fabryką zorentowaną na realzację ndywdualnych zamóweń klentów. Wykresy paskowe, nazywane równeż od nazwska ch twórcy wykresam Gantta, wprowadzły klka nowatorskch koncepcj zarządzana, takch jak rozkładane procesu na serę poszczególnych zadań, wykonywane pracy zgodne z szacunkowym normam dla tych zadań oraz śledzene postępu prac w celu zapobeżena odstępstwom od planu. Narzędze Gantta, pommo określena grafczne, było początkowo narzędzem raczej tabelarycznym, odwzorowującym loścowe zapotrzebowane na poszczególne środk produkcj w kolejnych dnach roboczych. Nazwę harmonogram oraz rozwnętą formę wykresów paskowych zawdzęczamy jednakże polskemu badaczow Karolow Adameckemu, który stworzył podwalny pod rozwój koncepcj naukowej organzacj w Polsce (Czech, 2004). Wynk badań Adameckego (wraz z zespołem) nad harmonzacją pracy walcown Huty Bankowej w Dąbrowe Górnczej, przeprowadzonych w latach 1895-1898, oraz podstawy grafcznej metody planowana prac zborowych zaprezentowane zostały podczas posedzena Towarzystwa Techncznego w Jekaternosławu (dzś Dnepropetrowsk) w lutym 1903 roku, na mesąc przed publkacją prac Taylora Gantta. Jednakże dzęk wcześnej- 31

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... szemu rozpoczęcu badań przez Taylora to jemu właśne przypsywane jest autorstwo koncepcj naukowego zarządzana. Szczególne ntensywny rozwój technk harmonogramowana mał mejsce w czase perwszej wojny śwatowej. W połowe lat 20. XX weku harmonogramy paskowe były podstawowym narzędzem planowana produkcj, jednakże o newelkm znaczenu w zarządzanu przedsęwzęcam jednorazowym. Perwsze aplkacje wykresów Gantta w planowanu operacyjnym (m. n. przy budowe statków) mały mejsce w drugej połowe lat 20. Korzyśc wynkające ze stosowana metody w obrębe dzałalnośc poszczególnych przedsęborstw spowodowały wzrost zanteresowana ną w pozostałych gałęzach gospodark. Jako perwsze spektakularne projekty, przy realzacj których wykorzystano wykresy Gantta wymenane są: budowa zapory Hoovera (rozpoczęce realzacj w roku 1931) oraz mędzystanowej sec autostrad (od 1956 roku). Prostota użytkowana łatwość odczytywana nformacj powodowały dalsze rozszerzene zakresu zastosowań harmonogramów paskowych, co w połączenu z rozwojem technk oblczenowych skutkuje powszechnoścą ch wykorzystana w czasach współczesnych. Ważnym krokem w rozwoju podejśca projektowego, poczynonym w perwszej połowe XX weku było sformułowane ogólnej teor systemów, stanowącej teoretyczną podstawę dla nauk stosowanych: nżyner systemów, badań operacyjnych oraz nżyner psychospołecznej. Założena ogólnej teor systemów przedstawone przez von Bertallanfy ego w 1937 roku (wydane polske: von Bertallanfy, 1984) odnosły sę początkowo do nauk bologcznych, jednakże szybko zostały wykorzystane w fzyce, chem, matematyce, flozof, a neco późnej w socjolog psycholog, teor organzacj naukach poltycznych, urbanstyce, ekonom. Projekt zarządzane projektem, jako zagadnena nterdyscyplnarne, których zastosowane wymaga połączena wedzy mędzy nnym z zakresu technk technolog z elementam psycholog socjolog oraz ekonomą, teorą optymalzacj, teorą praktyką organzacj, spełnają podstawowy postulat ogólnej teor systemów całoścowego traktowana obektów jako systemów otwartych. Systemowa natura projektów szczególne wyraźne podkreślana jest w odnesenu do realzacj technologcznych, szczególne w zakrese nformatyk (Szyjewsk, 2001), jak równeż nżyner lądowej (Jaworsk, 1999; Rowńsk, 1992). Systemowe spojrzene na projekt umożlwło dostrzeżene welu nterakcj pomędzy obektam realzowanego projektu oraz obektów znajdujących sę w jego otoczenu, lecz z nm powązanych. Szerszego znaczena nabrała rola relacj pomędzy ludźm borącym udzał w realzacj projektu, w szczególnośc problemy komunkacj mędzyludzkej, co zapoczątkowało rozwój mękkch, nesformalzowanych aspektów zarządzana. Okresem przełomowym dla rozwoju dyscyplny zarządzana projektam był konec lat 50. XX weku. Pojawły sę w tym czase perwsze prace opsujące nowatorske narzędza optymalzacyjne oparte na programowanu secowym: metody CPM (Crtcal 32

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak Path Metod) oraz PERT (Program Evaluaton and Revew Technque). Ofcjalne publkacje poprzedzone były jednakże tajnym opracowanam wdrożenam przeprowadzonym przez Departament Obrony USA. Perwsze udokumentowane udane próby zastosowana nowej, zorentowanej projektowo koncepcj organzacj prac, opartej na organzacj macerzowej (matrx organzaton), mały mejsce w początku lat 40. Wśród najbardzej spektakularnych wymenć należy projekt budowy wykorzystana bomb jądrowych zrzuconych w 1945 roku na Hroszmę Nagasak, znany pod kryptonmem Manhattan Project (1942-1947). Metodę śceżk krytycznej po raz perwszy wdrożono do prac planstycznych w koncerne chemcznym DuPont, natomast stochastyczną metodę PERT w klasycznej wersj zastosowano w planowanu programu Polars, dzęk realzacj którego osągnęto kompresję czasu jego realzacj o około 2 lata, dając USA weloletną przewagę w wyścgu zbrojeń nad Zwązkem Radzeckm. Korzyśc, uzyskwane dzęk zastosowanu metod secowych, zostały dostrzeżone równeż przez planstów gospodarczych krajów bloku wschodnego. Perwsze zastosowana metody PERT w Polsce mały mejsce w latach 1963 1965 w Centralnym Burze Konstrukcj Okrętowych w Gdańsku oraz w Dolnośląskm Burze Projektów Górnczych przy ustalanu harmonogramu budowy odkrywkowej kopaln węgla brunatnego w kopaln Konn (Benka, Matula, 1967). W późnejszych latach nastąpł okres popularyzacj secowych technk planowana, co zwązane było zarówno z jego akceptacją w szerszych kręgach potencjalnych użytkownków (bura projektowe, ośrodk badawczo-rozwojowe td.), jak upowszechnenem perwszych komputerów. Wzrost potencjału oblczenowego, umożlwającego analzę sformalzowanych procesów projektu, spowodował równeż pojawene sę modyfkacj metod CPM PERT oraz nowych metod secowych, takch jak: GERT (Graphcal Evaluaton and Revew Technque), MPM METRA, CYCLONE (CYCLc Operatons Network). Dynamczny wzrost zanteresowana metodyką zarządzana projektam spowodował w 1965 roku powstane perwszej organzacj zrzeszającej podmoty ją stosujące, noszącej wówczas nazwę INTERNET (dzś: Internatonal Project Management Assocaton IPMA z sedzbą w Holand). Cztery lata późnej rozpoczął dzałalność Project Management Insttute (PMI). Według Kerznera (2001), w latach 70. zarządzane projektam zostało oblgatoryjne wdrożone wśród dostawców amerykańskego sektora obronnego, co stało sę bodźcem do sukcesywnego wprowadzana go przez dalszych kooperantów. Na przełome lat 70. 80. do oblgatoryjnego stosowana w zarządzanu projektam zaczęły wchodzć państwowe akty normatywne, w tym nemecke normy DIN 69900: Netzplantechnk (1970, 1974) oraz DIN 69901: Projektmanagement. W latach 90. stosowane zarządzana projektam w frmach amerykańskch stało sę już konecznoścą. Rozpoczął sę etap nowoczesnego zarządzana projektam, charakteryzującego sę ntegracją welu technk zarządzana projektam w celu optymalzacj wartośc wyjścowych projektu (Kerzner, 2001). W wększym stopnu docenać zaczęto znacze- 33

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... ne organzacj tworzących ją ludz. Wskutek rosnącej presj konkurencyjnej wzrosła ranga jakośc trzecego, obok czasu kosztów, kryterum projektu. Nawet najstarszym hstorycznym przykładom spektakularnych projektów zawsze musała towarzyszyć faza przygotowawcza, w której przemyślenom podlegały (różnorodne zapewne) koncepcje realzacj, dobór ludz narzędz, mejsca czasu, w którym dzałana te mały sę urzeczywstnć. We współczesnych koncepcjach zarządzana projektam mówmy o fazach cyklu życa projektu. Najwcześnejsze z nch nazywane są przygotowawczym lub przednwestycyjnym. Wewnątrz nch stotnego znaczena naberają procesy planowana. Ich wpływ na przebeg całego projektu jest nebagatelny zarówno ze względu na ch umejscowene w czase, jak towarzyszący m nakład pracy. Zakres dzałań planstycznych jest tak duży, że pojęce planowana bywa często utożsamane z pojęcem projektowana. Gasparsk (1999) mów wprost, że projektowane oznacza koncepcyjne przygotowane dzałań. Procesy planowana zmerzać mają do opracowana planu projektu sformalzowanej projekcj efektu projektu (projektów techncznych, struktur organzacyjnych, maket, wzualzacj tp.) wraz z określenem czynnośc, które należy wykonać, aby ten cel osągnąć, opsam sposobów ch realzacj, powązań pomędzy nm oraz umocowanem w całokształce dzałana organzacj. Prakseologczne ujęce projektowana wyróżna następujące jego składowe: cel dzałana, krytera jego osągnęca (system wartośc podmotu dzałana), metody oraz zasoby narzędza wykorzystane do osągnęca celu, realzatora oraz otoczene, w którym projekt będze realzowany. W dalszej częśc pracy nawążemy w sposób szczególny do tej składowej, która dotyczy ustalena systemu wartośc podmotu dzałana. 3. Harmonogramowane projektu jako zagadnene welokryteralne Marą sukcesu projektu jest stopeń osągnęca jego celów w ogranczonych warunkach jego realzacj. Uwarunkowana ogranczające dowolność jego realzacj wynkają z termnów realzacj projektu lub jego stotnych etapów, budżetu projektu, ogranczonej loścowo jakoścowo pul dostępnych zasobów, technolog, wymagań klenta (lub nwestora) co do zakresu projektu jakośc jego rezultatów. Cele projektu mogą ponadto być różne postrzegane przez różnych udzałowców projektu. Tak na przykład klent oczekuje zazwyczaj deklaracj najkrótszych termnów przy jak najnższych kosztach realzacj oraz wysokch standardach jakoścowych. Dla wykonawcy z kole stotne będze założene termnów późnejszych, lecz bardzej prawdopodobnych, co pozwala na ogranczene ryzyka ch nedotrzymana. Dążąc do zwększena marży, będze on równeż zanteresowany wynegocjowanem wyższej ceny usług lub zapewnenem sobe możlwośc zastosowana tańszych materałów. Jeszcze nny- 34

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak m oczekwanam mogą kerować sę sponsorzy projektów czy kerowncy funkcjonaln. Ze względu na mnogość podmotów formułujących oczekwana wobec projektu oraz lczbę jego parametrów podlegających ocene (na etape przygotowana planu projektu oraz po jego realzacj) można stwerdzć, że wększość decyzj planstycznych mus zostać przeanalzowana z uwzględnenem welu kryterów. Krytera decyzyjne można podzelć na maksymalzowane, których zwększene wartośc powoduje zwększene globalnej wartośc warantu, mnmalzowane take, które poprzez zwększene swojej wartośc pogarszają globalną ocenę warantu, oraz nomnalne określające punktowo lub przedzałowo pożądaną wartość analzowanej cechy. Stopeń osągnęca celu projektu jest w wększym lub mnejszym stopnu merzalny w śwetle kryterów loścowych. Najprostszym, ntucyjnym kryterum jest mara udany-neudany. Mając w śwadomośc wymagnowany obraz lub model tego, co zamerzalśmy osągnąć, można stwerdzć, na le efekt dzałań satysfakcjonuje potrzebę, dla której podjęto trud projektowana. Oczywśce, zarówno wymóg prakseologczny, jak praktyka ne pozwalają na ocenę efektu względem jednego kryterum. Być może zamerzony cel zmateralzował sę w zakładanej forme treśc, lecz okupone zostało to neplanowanym kosztam lub opóźnenem w stosunku do zamerzonego termnu? Jeżel jesteśmy jedynym benefcjentam efektu projektowana możlwe, że pogodzmy sę z pewnym odstępstwam od perwotnych wyobrażeń. Natomast jeżel ne nezbędne staje sę określene kryterów merzących preferencje zanteresowanych pozwalających na jednoznaczną ocenę efektu projektowana. Jest to szeroke pole zastosowań metod welokryteralnej oceny. Poszczególne dzałana mogą charakteryzować sę odmennym parametram, które w różnym stopnu mogą wpływać na cechy całego projektu. Przykładem może być zwązek pomędzy nakładem czasu na realzację pewnej czynnośc a termnam rozpoczęca lub zakończena czynnośc powązanych z ną relacją poprzedzana/następowana. Przedłużene czasu realzacj takej czynnośc (w szczególnośc, gdy jest ona czynnoścą krytyczną) skutkuje konecznoścą takego przyspeszena prac w czynnoścach następujących, który zapewn dotrzymane termnu realzacj całego projektu. Przyspeszene take, o le w danym przypadku jest w ogóle możlwe, wymaga zaangażowana dodatkowych zasobów pracy, co wąże sę ze wzrostem kosztów realzacj przedsęwzęca. Wzrost kosztów jest natomast zjawskem negatywnym nepożądanym. Zjawsko take zachodz równeż w kerunku przecwnym przekroczene budżetu na pewnym etape skutkuje konecznoścą oszczędnośc w dalszej realzacj, co może przełożyć sę na opóźnena w termnach. Stąd też w najczęstszym przypadku, gdy w projekce dąży sę jednocześne do jak najszybszego zakończena realzacj oraz mnmalzacj kosztów, mamy do czynena z konflktem kryterów. Opsany przykład nos w lteraturze anglojęzycznej nazwę tme-cost trade-off. W języku polskm ne funkcjo- 35

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... nuje termn będący dosłownym tłumaczenem termnu angelskego, stosuje sę jednakże określene analzy czasowo-kosztowej (Ignasak, 2001; Trzaskalk, 2003). Szczegółowy przegląd algorytmów wyznaczających waranty rozwązań problemu czasowo- -kosztowego przedstawa praca Gaspars-Weloch (2009). Poza wspomnanym kryteram czasu (termnów) oraz kosztu (ceny) w ocene projektu uwzględna sę równeż kweste zwązane z zakresem lub fragmentam zakresu projektu, krytera jakoścowe, krytera efektywnośc fnansowej ekonomcznej oraz nne, specyfczne dla różnych branż specjalnośc. Wele przykładów kryterów oceny projektów na postawe studów lteraturowych omówono m.n. w pracy Błaszczyka Trzaskalka (2007). Oprócz analzy kryterów decyzyjnych praca ta zawera równeż wskazane klasyfkację metod welokryteralnego podejmowana decyzj, których wykorzystane w procesach planowana projektów zostało opsane w publkacjach naukowych branżowych. 4. Programowane celowe w harmonogramowanu projektów Jedną z dobrze znanych często wykorzystywanych welokryteralnych metod wspomagana decyzj jest programowane celowe. Metoda ta po raz perwszy została opsana przez Charnesa Coopera (1961). Jej deą jest sprowadzene welokryteralnego problemu decyzyjnego do problemu jednokryteralnego. Podstawą dokonana takej operacj jest określene pozomów aspracj wartośc docelowych poszczególnych kryterów, które mogą meć charakter punktowy lub przedzałowy. Zmenne decyzyjne modelu programowana celowego opsują różnce pomędzy beżącym wartoścam kryterów a sformułowanym dla nch pozomam aspracj, natomast funkcja celu przyjmuje postać ważonej sumy tych różnc. Zadane programowana celowego ma następującą postać: dla każdego z n kryterów decyzyjnych w probleme welokryteralnym, określonych funkcjam m zmennych decyzyjnych: K = f (x 1, x 2,..., x m ), dla = 1, 2,..., n defnujemy pozomy realzacj kryterów G oraz mary odchyleń wartośc kryterów od pozomów zadanych: g g + K G = 0 0 = G K dla K dla K > G dla K G > G dla K G 36

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak Model programowana celowego przyjmuje postać: gdze: H r, H s wskaźnk prorytetu (r w rankngu odchyleń n plus, s w rankngu odchyleń n mnus) celow o wyższym prorytece przyporządkowuje sę wększy wskaźnk prorytetu. + w, r w, s r H + g waga odchylena w rankngu r, g + +, r g + H sw, sg s waga odchylena w rankngu s, r w przy zachowanu dotychczasowych ogranczeń modelu welokryteralnego. Metoda programowana celowego znajduje szeroke zastosowana w procesach planowana projektów. Praca Błaszczyka Trzaskalka (2007) w przeglądze zastosowań metod welokryteralnych podaje przykłady prac opsujących modele programowana celowego skonstruowane dla różnego rodzaju decyzj w procesach planowana projektów. W analzowanych przypadkach programowane celowe jest wykorzystywane zarówno w postac klasycznej (Dey et al., 1996), jak równeż w połączenu z elementam nnych metod, np. AHP Analytcal Herachcal Process (Radasch, Kwak, 1998) lub ANP Analytcal Network Process (Lee, Km, 2000) wykorzystywanych w celu określena wag kryterów. Modele programowana celowego bywają równeż modyfkowane w celu dostosowana procedury oblczenowej do realnego problemu decyzyjnego. Jako przykłady wskazać tutaj można modele bnarne (Lee, Km, 2000) oraz rozmyte (Arkan, Güngör, 2001). W pracy Błaszczyka (2006) zaproponowano z kole rozwnęce modelu programowana celowego dla zastosowana w planowanu projektu z wykorzystanem koncepcj rachunku kosztów docelowych 1. Rozwnęce to, noszące nazwę metody KDPC, ma na celu określene stosunku wpływu komponentu projektu (czynnośc, zadana, rezultatu) na ocenę projektu jako całośc do relatywnego kosztu komponentu. Stosunek ten, wyrażony wskaźnkem Z dla każdego komponentu, może przyjąć wartość dealną równą 1. Model programowana celowego posada w tak zmodyfkowanym podejścu mnmalzowaną funkcję celu, sumującą ważone odchylena wskaźnków Z dla wszystkch komponentów. Taka konstrukcja modelu decyzyjnego może być wykorzystana równeż dla potrzeb planowana czasu zasobów w projekce, co lustruje ponższy przykład. mn 1 Metoda rachunku kosztów docelowych opracowana została w latach 80. na wewnętrzne potrzeby koncernu Toyota. Jeden z najpełnejszych jej opsów zawera ksążka Cooper, Slagmulder (1997). 37

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... Przykład 1 Przedsęborca planuje złożene oferty na wykonane usług konserwatorskch na rzecz czołowego krajowego producenta pewnego typu produktów. Nawązane współpracy z podmotem o slnej pozycj rynkowej jest celem strategcznym, gdyż zdanem przedsęborcy zapewna regularność zleceń gwarancję termnowego regulowana należnośc. Stąd też wszystke dzałana w obrębe przygotowywanej oferty podporządkowane zostały nadrzędnemu celow pozyskanu zlecena, nawet za cenę realzacj po kosztach, ne osągając żadnego zysku z wykonanego zadana. Zlecenodawca oczekuje od zanteresowanych przedstawena ofert realzacj zadań ścśle określonych w specyfkacj zamówena, zawerających wążące propozycje: ceny (C), czasu wykonana (T) oraz udzelonego okresu gwarancj (W). Wymenone parametry pełnć będą w procedurze oceny funkcję kryterów decyzyjnych z wagam odpowedno w C = 20%, w T = 40%, w G = 40%. Syntetyczna ocena O k k-tej oferty oblczana jest w sposób następujący: O mn mn k ( ck, tk, gk ) = wc + wt + ck tk c t w G g g k Aktualna sytuacja w przedsęborstwe (realzowane równolegle nne zlecena) powoduje, że przygotowując ofertę, należy uwzględnć ogranczoną dostępność kluczomax gdze wartośc z ndeksem max oznaczają najwyższą z wartośc danego kryterum we wszystkch złożonych ofertach, wartośc z ndeksem mn najnższą z wartośc danego kryterum we wszystkch złożonych ofertach, natomast wartośc z ndeksem k są wartoścam danego kryterum w analzowanej oferce. Zakres prac w przedmotowym projekce obejmuje wykonane ośmu czynnośc A,..., H (rys. 1). Wykonane zlecena wymaga zaangażowana jednego lub dwóch wysoko wykwalfkowanych pracownków, o dużym dośwadczenu odpowednej wedzy. Jeden z pracownków (P1) zatrudnonych w przedsęborstwe jest w stane podjąć sę wykonana wszystkch czynnośc składających sę na projekt. Drug z kole (P2) specjalzuje sę w wykonywanu czynnośc oznaczonych w lteram B, C oraz E. Rysunek 1. Seć czynnośc dla projektu analzowanego w przykładze 1 F G A D E H B C 38

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak wych pracownków ewentualne koszty ponesone w budżetach pozostałych projektów w wypadku konecznośc ch przenesena na określony czas do realzacj analzowanego projektu. W szczególnym przypadku wykonane wszystkch czynnośc zlecć można pracownkow P1, jednakże w takej sytuacj ne ma możlwośc równoległego wykonywana czynnośc B, C D oraz F, G E. Podstawowe oszacowana przedsęborcy przedstawone zostały w tabel 1. Tabela 1. Podstawowe charakterystyk projektu analzowanego w przykładze 1 Czynność Wszystke czynnośc Wymagany Koszt pracownka Koszt pracownka Pracownk poprzedzające nakład pracy [r-g] P1 [zł/h] P2 [zł/h] A - 12 P1 30 0 B A 8 P1 albo P2 30 45 C A, B 4 P1 albo P2 35 50 D A 12 P1 30 0 E A, B, C, D 8 P1 albo P2 45 65 F A, B, C, D 4 P1 30 0 G A, B, C, D, F 4 P1 25 0 H A, B, C, D, E, F, G 24 P1 30 0 Zróżncowane godznowych kosztów pracy uwarunkowane jest faktem, że poszczególn pracowncy borą udzał równeż w pracach nad równoległym projektem. W zwązku z tym koszt pracy zasobu w przypadku nektórych czynnośc zostaje powększony o koszty opóźnena ponesone przy realzacj projektu równoległego. Długość okresu udzelonej gwarancj zależna jest od kwalfkacj pracownków wykonujących zadana wchodzące w zakres projektu. W omawanym przykładze welkość ta jest równa 9 mesęcy w przypadku gdy przynajmnej jedną z czynnośc B, C, E wykonuje pracownk P1 lub 12 mesęcy, gdy czynnośc te wykona specjalzujący sę w ch zakrese pracownk P2. Analzując sytuację na rynku, oszacowano równeż skrajne wartośc ocenanych kryterów w hpotetycznych ofertach konkurencyjnych (w analze pomnęto kosz materałów eksploatacyjnych, które są dostarczane przez zlecenodawcę): a) najnższy możlwy koszt realzacj (przy najnższej stawce godznowej dla wykwalfkowanego pracownka oraz założenu zerowego zysku w najlepszej oferce konkurencyjnej): 80(r g) 20(zł / r g) = 1600 zł, b) najkrótszy czas realzacj zlecena, przy założenu jednoczesnej pracy maksymalne 2 pracownków w stnejących warunkach: czasy przejśca wszystkch śceżek w grafe są równe 6 + 12 + 8 + 12 = 38 godzn, c) najdłuższy okres gwarancj ne przekracza 12 mesęcy ze względu na koneczność zastosowana określonych materałów eksploatacyjnych, które pod- 39

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... legają corocznej wymane. W skrajnym przypadku wykonawca może w ogóle ne udzelć gwarancj. W analzowanym przypadku sytuacja taka jest jednak na tyle neprawdopodobna, że ne została wzęta pod uwagę. Ocena najkorzystnejszej oferty według powyższych oszacowań może wyneść co najwyżej: O Rozwązane zadana wymaga konstrukcj standardowego modelu z następującym charakterystykam: a) czas realzacj poszczególnych czynnośc: t A = 12h x 1A t B = 8h x 1B + 8h x 2B t C = 4h x 1C + 4h x 2C t D = 12h x 1D t E = 8h x 1E + 8h x 2E t F = 4h x 1F t G = 4h x 1G t H = 24h x 1H b) koszt realzacj poszczególnych czynnośc: c A = 12h x 1A 30 zł/h c B = 8h x 1B 30 zł/h + 8h x 2B 45 zł/h c C = 4h x 1C 35 zł/h + 4h x 2C 50 zł/h c D = 12h x 1D 30 zł/h c E = 8h x 1E 45 zł/h + 8h x 2E 65 zł/h c F = 4h x 1F 30 zł/h c G = 4h x 1G 25 zł/h c H = 24h x 1H 30 zł/h c) okres gwarancj: g A = 12 x 1A 1600 38 12 = 0,2 + 0,4 + 0,4 = 0,2 + 0,4 + 0,4 = 1,0 1600 38 12 g B =9 x 1B + 12 x 2B 40

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak g C =9 x 1C + 12 x 2C g D = 12 x 1D g E =9 x 1E + 12 x 2E g F = 12 x 1F g G = 12 x 1G g H = 12 x 1H Wykorzystane w powyższym zapse zmenne x 1 oraz x 2 przyjmują następujące wartośc: x1 1 = 0 jeżel tą czynność wykonuje pracownk P1 w przypadku przecwnym x2 1 = 0 jeżel tą czynność wykonuje pracownk P2 w przypadku przecwnym Zgodne z powyższym można stwerdzć, że dla rozpatrywanego problemu zbór rozwązań dopuszczalnych składa sę z ośmu warantów decyzyjnych. W tablcy 2 określono wartośc zmennych decyzyjnych w kolejnych warantach. Tabela 2. Wartośc zmennych decyzyjnych dla warantów decyzyjnych Warant Wartośc zmennych decyzyjnych 1 x 1B = 1 x 2B =0 x 1C = 1 x 2C = 0 x 1E = 1 x 2E = 0 2 x 1B = 1 x 2B = 0 x 1C = 1 x 2C = 0 x 1E = 0 x 2E = 1 3 x 1B = 1 x 2B = 0 x 1C = 0 x 2C = 1 x 1E = 1 x 2E = 0 4 x 1B = 0 x 2B = 1 x 1C = 1 x 2C = 0 x 1E = 1 x 2E = 0 5 x 1B = 1 x 2B = 0 x 1C = 0 x 2C = 1 x 1E = 0 x 2E = 1 6 x 1B = 0 x 2B = 1 x 1C = 1 x 2C = 0 x 1E = 0 x 2E = 1 7 x 1B = 0 x 2B = 1 x 1C = 0 x 2C = 1 x 1E = 1 x 2E = 0 8 x 1B = 0 x 2B = 1 x 1C = 0 x 2C = 1 x 1E = 0 x 2E = 1 41

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... Całkowty czas T realzacj projektu jest równy: t t t t T = t t t t A A A A A A A A B B B C B C D D C C D D D D E E D D E E E E F H E E F F H H G F H G G H G H H H dla warantu 1 dla warantu 2 dla warantu 3 dla warantu 4 dla warantu 5 dla warantu 6 dla warantu 7 dla warantu 8 Całkowty koszt realzacj wynos: Z kole długość okresu gwarancj: Dla potrzeb analzy metodą KDPC przyjęto równe wag odchyleń dla = 1,, 3. W celu rozwązana powyższego problemu skonstruowany model zapsano w arkuszu kalkulacyjnym Mcrosoft Excel. Mnmalną wartość funkcj celu programowana celowego otrzymano dla warantu 8. Wartośc, jake przyjmują krytera dla tego warantu, są następujące: czas realzacj: 56 godzn, koszt realzacj: 2740 zł, gwarancja: 12 mesęcy. C = c + c ) ( 1 2 G = mn{ } w + = w = 0,5 Analzując powyższe wynk, stwerdzć można, że optymalnym rozwązanem zadana jest zaangażowane pracownka P2 do wykonana wszystkch czynnośc, w których założono taką możlwość. Funkcja ważonej sumy odchyleń osąga dla takego rozwązana mnmum równe 2,22, natomast ocena oferty względem stosowanej przez zlecenodawcę funkcj oceny przyjmuje wartość 0,79. Oceny wszystkch warantów dopuszczalnych względem tej funkcj przedstawono w tabel 3. Przedstawone wynk wskazują na to, że otrzymane rozwązane optymalne ze względu na wartość funkcj celu metody KDPC wskazuje jednocześne na rozwązane optymalne względem funkcj O k co oznacza, że decydent, dążąc do złożena oferty najlepszej (w śwetle oceny zamawającego oraz dopuszczalnej przy aktualnych g 42

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak Tabela 3. Oceny warantów decyzyjnych Warant Wartość funkcje celu zadana Ocena warantu wg funkcj stosowanej programowana celowego przez zlecenodawcę (O k ) 1 2,97 0,63 2 2,34 0,65 3 2,30 0,68 4 2,67 0,65 5 2,28 0,70 6 2,70 0,64 7 2,31 0,67 8 2,22 0,79 uwarunkowanach wewnętrznych zewnętrznych), pownen skonstruować ofertę na podstawe założena realzacj warantu 8. Przypomnjmy, że ocena najlepszej możlwej oferty hpotetyczne może w danym przypadku przyjąć wartość 1,00. Zauważyć jednakże należy, że sytuacja taka może meć mejsce jedyne, gdy najwyższe wartośc wszystkch kryterów zaproponowane zostaną w jednej oferce. Otrzymany rezultat może jedyne stanowć wskazówkę dla przedsęborcy, w którego gest jest podjęce ostatecznej decyzj o oferce. Rozwązane uzyskane za pomocą metody KDPC pozwala na opracowane ostatecznego harmonogramu projektu. Korzystając z metody śceżk krytycznej uzyskujemy harmonogram przedstawony w tabel 4. Tabela 4. Harmonogram realzacj projektu z przykładu 1 Czynność Moment rozpoczęca Moment zakończena A 0 12 B 12 20 C 20 24 D 12 24 E 24 32 F 24 28 G 28 32 H 32 56 5. Harmonogramowane projektów z wykorzystanem podejśca nteraktywnego Przykład zaprezentowany w poprzednej częśc pracy pokazuje, że problem konstrukcj harmonogramu projektu może być formułowany jako dyskretne zagadnene welokryteralne, w którym skończona lczba warantów decyzyjnych ocenana jest ze względu na klka kryterów. Dotychczas przyjmowalśmy, że nteresuje nas pojedynczy 43

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... projekt, a czasy realzacj czynnośc podane są w postac wartośc rzeczywstych. W nnejszym rozdzale zajmemy sę problemem harmonogramowana w środowsku weloprojektowym. Założymy zatem, że organzacja jednocześne realzuje klka projektów. Dodatkowo przyjmemy równeż, że ze względu na unkalny charakter projektów ne jest możlwe podane dokładnych czasów realzacj poszczególnych czynnośc. Będzemy jednak zakładać, że znane są rozkłady prawdopodobeństwa czasów realzacj poszczególnych czynnośc. Problem konstrukcj harmonogramu realzacj portfela projektów sformułujemy jako dyskretne zagadnene welokryteralnego wspomagana decyzj w warunkach ryzyka, a do jego rozwązana zaproponujemy metodę nteraktywną opartą na analze współczynnków wymany. Rozważaną sytuację decyzyjną scharakteryzować można następująco: 1. Jednocześne realzowanych jest klka projektów. 2. Realzacja wszystkch projektów rozpoczyna sę w tym samym momence. 3. Realzacja każdego z projektów wymaga zaangażowana określonego zasobu. 4. Organzacja dysponuje dodatkowym zasobem, który może być wykorzystany przy realzacj wybranych czynnośc, przy czym koszt zwązany z jego wykorzystanem jest wyższy nż koszt, jak pocąga za sobą wykorzystane zasobu standardowego. 5. Lczba możlwych sposobów alokacj dodatkowego zasobu jest na tyle newelka, że możlwe jest porównane każdej pary alternatywnych sposobów alokacj ze względu na każde z kryterów. 6. Czasy realzacj czynnośc są zmennym losowym o znanych rozkładach prawdopodobeństwa. 7. Decydent dąży do jednoczesnej realzacj następujących celów: a) mnmalzacja łącznego kosztu zwązanego z realzacją rozważanych projektów, b) mnmalzacja czasów realzacj poszczególnych projektów. 8. Na koszty realzacj każdego projektu składają sę koszty admnstracyjne, proporcjonalne do czasu realzacj oraz koszty zwązane z wykorzystanem poszczególnych zasobów. Rozważany problem można przedstawć w postac modelu Waranty Krytera Oceny, dla którego zdefnujemy zbór warantów decyzyjnych A, zbór kryterów X oraz zbór ocen warantów względem kryterów E: 44

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak A = {a 1, a 2,, a m } X = {X 1, X 2,, X n } X E = X X m 11 1 1 X X X 1 k k m k X X X 1n n m n W analzowanym probleme na zbór warantów decyzyjnych składają sę dopuszczalne sposoby alokacj dodatkowego zasobu. Z uwag na fakt, że czasy realzacj czynnośc są zmennym losowym, oceny warantów względem kryterów podane są w postac rozkładów prawdopodobeństwa. W nnejszej pracy przyjmujemy, że są one uzyskwane metodą symulacyjną. Przykład 2 Dla zlustrowana stoty analzowanego problemu posłużmy sę przykładem będącym pewnym rozszerzenem przykładu rozważanego w poprzednej częśc pracy. Przyjmujemy teraz, że zlecene, którego ma sę podjąć przedsęborca, obejmuje jednoczesną realzację trzech usług: A, B C. Oferty zawerać wnny wążące propozycje ceny (C) oraz czasu wykonana usług. Zakres prac każdego z analzowanych projektów obejmuje wykonane klku czasochłonnych czynnośc. Zależnośc mędzy czynnoścam przedstawono na rys. 2-4. Rysunek 2. Seć czynnośc dla projektu A AF AG AA AD AE AH AB AC AI Przedsęborca przewduje, że realzacją projektu A zajme sę pracownk P1, projektu B pracownk P2, zaś realzacją projektu C pracownk P3. Koszt ch zatrudnena oszacowano na 30 zł/godz. Dodatkowego wsparca udzelć m może pracownk P4 wyspecjalzowany w pracach, które realzowane będą w ramach następujących czynnośc: AD, AE, AH, BA, BD, CD oraz CE. Analzując sec czynnośc projektów, stwer- 45

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... Rysunek 3. Seć czynnośc dla projektu B BF BG BA BD BE BH BB BC Rysunek 4. Seć czynnośc dla projektu C CF CG CA CD CE CH CB CC dzono, że zaangażowane pracownka P4 do wykonana pewnych czynnośc unemożlwa wykonywane nektórych z pozostałych. Ustalono, że przydzelene pracownkow P4 czynnośc AD wyklucza możlwość wykonywana przez nego czynnośc BD, CD oraz CE. Dla pozostałych czynnośc zależnośc są następujące: przydzelene czynnośc AE brak możlwośc wykonana czynnośc CE, przydzelene czynnośc BD brak możlwośc wykonana czynnośc AD oraz CD, przydzelene czynnośc CD brak możlwośc wykonana czynnośc AD oraz BD, przydzelene czynnośc CE brak możlwośc wykonana czynnośc AE oraz AE. Pracownk P4 jest wysokej klasy specjalstą, a koszt jego zatrudnena oszacowano na 45 zł za godznę pracy. Podobne jak poprzedno przyjmujemy, że ze względu na charakter pracy ne ma możlwośc zaangażowana węcej nż jednego pracownka do realzacj pojedynczej czynnośc. Wadomo równeż, że realzacja projektów pocąga za sobą koszty admnstracyjne, które ponoszone są w trakce całego okresu realzacj dla każdego projektu wynoszą 5 zł na godznę. Decydent ne jest w stane precyzyjne oszacować, le czasu zajme realzacja poszczególnych czynnośc. Uznano jednak, że czas ten opsać można za pomocą rozkła- 46

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak du trójkątnego. Dla każdej czynnośc określono najkrótszy możlwy czas realzacj (a), czas najbardzej prawdopodobny (b) oraz najdłuższy dopuszczalny czas realzacj (c). Borąc pod uwagę nformację na temat czynnośc, które może realzować pracownk P4, wyznaczono zbór warantów decyzyjnych, na który składają sę 44 rozwązana (tabela 5). Tabela 5. Lsta warantów decyzyjnych analzowanych w rozważanym probleme (czynnośc realzowane przez pracownka P4) a 1 : żadna a 12 : AE, AH, BA a 23 : AH, BA a 34 : BA a 2 : AD a 13 : AE, AH, BA, BD a 24 : AH, BA, BD a 35 : BA, BD a 3 : AD, AE a 14 : AE, AH, BA, CD a 26 : AH, BA, CD a 36 : BA, CD a 4 : AD, AE, AH a 15 : AE, AH, BD a 26 : AH, BA, BD, CE a 37 : BA, BD, CE a 5 : AD, AE, AH, BA a 16 : AE, AH, CD a 27 : AH, BA, CD, CE a 38 : BA, CD, CE a 6 : AD, AE, BA a 14 : AE, BA a 28 : AH, BA, CE a 39 : BA, CE a 7 : AD, AH a 15 : AE, BA, BD a 29 : AH, BD a 40 : BD a 8 : AD, AH, BA a 19 : AE, BA, CD a 30 : AH, CD a 41 : BD, CE a 9 : AD, BA a 20 : AE, BD a 31 : AH, BD, CE a 42 : CD a 10 : AE a 21 : AE, CD a 32 : AH, CD, CE a 43 : CD, CE a 11 : AE, AH a 22 : AH a 33 : AH, CE a 44 : CE Decydent zanteresowany jest uzyskanem jak najnższych wartośc czterech kryterów: X 1 koszt realzacj projektów, X 2 czas realzacj projektu A, X 3 czas realzacj projektu B, X 4 czas realzacj projektu C. Proponowana tutaj procedura rozwązana problemu składa sę z dwóch podstawowych faz. W perwszej kolejnośc przeprowadzane jest badane symulacyjne w celu pozyskana wedzy na temat wpływu zaangażowana dodatkowego zasobu na wartośc analzowanych kryterów decyzyjnych. Uzyskane w ten sposób wynk wykorzystywane są do skonstruowana rozkładów ocen warantów decyzyjnych względem kryterów. Faza druga procedury polega na wyznaczenu rozwązana końcowego problemu. W tym celu korzystamy z metody nteraktywnej opartej na analze współczynnków wymany (Nowak, 2010). W wynku przeprowadzonych eksperymentów symulacyjnych uzyskujemy cąg wartośc analzowanych kryterów, które wykorzystamy do konstrukcj dyskretnych 47

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... rozkładów prawdopodobeństwa reprezentujących oceny analzowanego warantu względem kryterów. W celu wyznaczena rozwązana końcowego analzowanego problemu welokryteralnego proponujemy skorzystane z nteraktywnej procedury wspomagana decyzj w warunkach ryzyka opartej na analze wartośc współczynnków wymany. Współczynnk wymany Zanm przejdzemy do przedstawena procedury, zdefnujmy pojęce współczynnka wymany. Zacznjmy od problemu podejmowana decyzj w warunkach pewnośc. Rozważamy dwa waranty decyzyjne a oraz a j, które ocenane są ze względu na dwa krytera: X p X q. Zakładamy, że oba krytera ocenane są na skal lorazowej zdefnowanej w tak sposób, że wyższe wartośc kryterów są preferowane w stosunku do nższych. Przyjmjmy, że ocena warantu a względem kryterum X p jest gorsza nż odpowedna ocena warantu a j (X p < X jp ), podczas gdy w przypadku kryterum X q mamy pq do czynena z sytuacją przecwną (X q > X jq ). Współczynnk wymany T j (trade-off) wyraża jednostkowy przyrost wartośc kryterum X p w przelczenu na jednostkę spadku wartośc kryterum X q, gdy warant a zostaje zastąpony przez warant a j : T p q j X = X Przyjmjmy, że decydent zapoznając sę z ocenam warantu a uznał, że ocena warantu a ze względu na kryterum X p jest nezadowalająca, podczas gdy ocena ze względu na kryterum X q może być pogorszona. W takm wypadku poszukwać będzemy warantów a j, dla których X jp > X p oraz X jq X q wyberać ten z nch, który maksymalzuje wartość kryterum X p. Jeżel waranty take ne stneją, to za kolejną propozycję może być uznany warant maksymalzujący wartość współczynnka pq. Z neco bardzej złożoną sytuacją mamy do czynena wówczas, gdy oceny warantów względem kryterów dane są w postac rozkładów prawdopodobeństwa. W takm wypadku współczynnk wymany opsany jest przez rozkład prawdopodobeństwa, który jest funkcją czterech rozkładów: X p, X q, X jp, oraz X jq. Sposób uzyskana rozkładów współczynnków wymany opsano w pracy Nowak (2010). jp q X X p jq T j Reguły domnacj stochastycznej Do porównana rozkładów ocen warantów decyzyjnych oraz rozkładów prawdopodobeństwa współczynnków wymany wykorzystujemy reguły domnacj stochastycznej. Nech F p (x) oznacza dystrybuantę zmennej losowej X p. Relacje domnacj stochastycznej stopna perwszego oraz drugego defnujemy w sposób następujący: 48

Tomasz Błaszczyk, Macej Nowak FSD (Frst Stochastc Domnance): X p domnuje X jp w sense domnacj stochastycznej stopna perwszego (X p FSD X jp ) jeżel: F p (x) F jp (x) oraz F p (x) F jp (x) 0 dla każdego x R. SSD (Second Stochastc Domnance) X p domnuje X jp w sense domnacj stochastycznej stopna drugego (X p SSD X jp ) jeżel: x ( p() jp() ) 0 F p (x) F jp (x) oraz F y - F y dy dla każdego x R. W perwszym etape poszukwać będzemy zboru warantów sprawnych. Warant a nazwemy warantem sprawnym, jeżel ne stneje tak warant a j, którego rozkłady ocen domnują rozkład ocen warantu a w sense relacj FSD lub SSD ze względu na wszystke krytera. Procedura nteraktywna Rozwązane końcowe problemu wyznaczane jest przy wykorzystanu procedury nteraktywnej. W każdej teracj decydentow proponowane jest rozwązane próbne. Jeżel uzna on, że spełna ono jego oczekwane, kończy procedurę. W przecwnym wypadku decydent jest proszony o wskazane kryterum, którego wartość pownna być poprawona w perwszej kolejnośc oraz uporządkowane pozostałych kryterów poczynając od tego, dla którego wartość jest najbardzej satysfakcjonująca, a kończąc na tym, którego ocenę uznaje za najmnej korzystną. Do wyznaczena nowego rozwązana wykorzystywana jest nformacja na temat rozkładów współczynnków wymany. Zanm zostane zancjowana procedura dalogu z decydentem, należy określć relacje domnacj stochastycznej zachodzące mędzy rozkładam ocen warantów decyzyjnych. Następne wyznaczany jest zbór rozwązań sprawnych. Ze zboru analzowanych warantów usuwane są te, których rozkłady ocen ze względu na wszystke krytera są zdomnowane przez odpowedne rozkłady przynajmnej jednego nnego warantu. Informacje na temat relacj zachodzących mędzy rozkładam ocen są równeż wykorzystywane do wyznaczena perwszego rozwązana próbnego. Zastosujemy tu regułę mnmaksową. Dla każdego warantu a oraz każdego kryterum X p wyznaczymy wartość d p wyrażającą lczbę warantów, których rozkład ocen ze względu na kryterum X p domnuje odpowedn rozkład ocen warantu a : d p : = card( Dp ), Dp = { a j : X jp FSD X p X jp SSD X p } Następne dla każdego warantu sprawnego a wyznaczamy wartość następujący: d w sposób 49

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI... Ostateczne za perwsze rozwązane próbne przyjmujemy to, dla którego wartość mnmalną. Przed uruchomenem procedury dalogowej decydent proszony jest o określene parametrów rozkładów ocen, które pownny mu być prezentowane. Mogą to być np. wartość oczekwana, odchylene standardowe lub prawdopodobeństwo, że kryterum przyjme wartość ne wyższą (ne nższą) nż zadana. Nech A (l) oznacza zbór warantów decyzyjnych rozważanych w teracj l, zaś a s warant próbny proponowany decydentow w tej teracj. Perwszy warant próbny a s wyznaczamy zgodne z procedurą opsaną powyżej. Za l przyjmujemy 1, a do zboru A (1) włączamy wszystke waranty sprawne. Interaktywne poszukwane rozwązana końcowego problemu przebega wg następującego scenarusza: 1. Decydentow prezentowane jest rozwązane próbne a s wraz z odpowednm wartoścam parametrów rozkładów ocen; jeżel decydent uznaje zaproponowane rozwązane za satysfakcjonujące, to procedura kończy sę. 2. Decydent proszony jest o wskazane tego kryterum, którego wartość pownna być poprawona w perwszej kolejnośc oraz uszeregowane pozostałych kryterów, poczynając od tego, którego wartość jest najbardzej satysfakcjonująca może być pogorszona w perwszej kolejnośc. Przez p oznaczymy numer kryterum, którego wartość pownna być poprawona, zaś {q 1, q 2,, q n 1 } uporządkowane numery pozostałych kryterów. 3. Wyznaczany jest zbór warantów, które będą analzowane w kolejnych teracjach: ze zboru warantów usuwane są te, których rozkłady ocen ze względu na kryterum X p są zdomnowane w sense relacj domnacj stochastycznej przez rozkład ocen warantu a s : A ( l+ 1) 4. Przyjmujemy B:= A (l+1), k:= 1. (l) d : = max { d p {1,..., n} : = { a : a A, a as, X s p FSD X p, X s p SSD X 5. Wyznaczamy rozkłady prawdopodobeństwa współczynnków wymany dla takch, że a B. 6. Porównujemy rozkłady prawdopodobeństwa współczynnków wymany wyznaczone w kroku 5, korzystając z reguł domnacj stochastycznej. Jeżel lczba nezdomnowanych rozkładów jest równa 1, to warant, dla którego został on wyznaczony, przyjmujemy za nowe rozwązane próbne a s przechodzmy do kroku 10. p } p } d ma pq k T s 50