Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie. Obliczyć (a) N n= ( + n); (b) M (c) N k= n= (n + ) M ( k (d) n l= sl. k+) ; k= k; Zadanie. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i= a n i; (b) n j= b i = nb i. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n wyrażenie n n jest podzielne przez 6. (Rozwiązać zadanie na dwa sposoby: korzystając z zasady indukcji matematycznej oraz jakimś innym sposobem). Zadanie 5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Zadanie 6. Spróbować udowodnić, że 6n + 6 < n? (a) n i= i = n ; (b) dla dowolnej liczby naturalnej 5n + jest podzielne przez 5. Zadanie 7. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n ; (b) n k= k (k + ) = n(n+)(n+7) 6 ; (c) n! > n dla n > ; (d) n i= i > n. Zadanie 8. Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że liczba n + ( 4) n + dzieli się przez 0 dla każdego n naturalnego.

Indukcja matematyczna Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Zapisać za pomocą symboli i następujące wyrażenia (a) suma liczb naturalnych mniejsza lub równa od n N; (b) x n + ( ) n n x n +... + ( ) n x + ( n ) x +. Zadanie D.. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia d(n) (liczba dzielników liczby naturalnej n). Zadanie D.. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i=0 a n i; (b) n i= a i = [n/] j= a j + [(n )/] k=0 a k+ ; (c) n l= b l = n+ l= b l ; (d) m h=0 (a h + b h ) = m j=0 a j + m g=0 b g. Zadanie D.4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n + n + < n? Zadanie D.5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność n < n? Zadanie D.6. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n(n+)(n+) 6 ; (b) (a + b) n = n ( n k=0 k) a k b n k ; (c) n+ > 5n dla n ; (d) wielomian x n nx n + n jest podzielny przez x (w jaki inny sposób można rozwiązać to zadanie?); (e) n i=0 ai = an+ a dla dowolnego n N, gdzie a jest liczbą rzeczywistą ; (f) n > n + 4 dla n ; n (g) 4k = n(n ); (h) (i) k= n (p) = n (n + ) ; p= m s (s + ) = s= m(m + )(m + )(m + 5). Zadanie D.7. Dany jest ciąg {a n } określony wzorem: a = 4, a n+ = a n n + 4. Udowodnij, że a n = n + n dla n N. Zadanie D.8. Udowodnić, że dla ciągu określonego rekurencyjnie zachodzi wzór a =, a n+ = a n n +, n > a n = n, n. n! Zadanie D.9. Uzasadnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej), że (a) 4n+ + jest podzielne przez 0; (b) n+ + n+ jest podzielne przez 7; (c) 6 n + n+ + n jest podzielna przez.

Indukcja matematyczna Zadanie D.0. Niech ciąg {f n } dany będzie wzorem: f n+ = f n + f n+, f 0 = 0, f =. Ciąg {f n } nazywa się ciągiem Fibonacciego. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k ( = f n+ ; (b) f n = + ) n 5 5 5 ( ) n. 5 Zadanie D.. Niech {f n } będzie ciągiem Fibonacciego określonym w zadaniu D.0. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k = f nf n+ ; (b) n k=0 f k+ = f n+ ; (c) n k=0 f k = f n+. Z powyższych równości wyciągnąć wywnioskować, że Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n f k = f n+. k=0

Funkcje trygonometryczne Zadanie. Znajdź pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta β, wiedząc, że Zadanie. Wyznacz kąt α wiedząc, że Zadanie. Oblicz (a) sin 9π 6. (b) tg π. (c) cos( 5π 9π 6 ) + sin 6. Zadanie 4. Rozwiąż równania: tg β = 5. sin α cos α = ( 4, α 0, π ). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) sin x + sin x = 0; (b) cos x + sin x = ; (c) sin 4 x + sin x + = 0; (d) sin x sin x = 0. Zadanie 5. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) (b) tg cos x sin x cos( x+sin x = cos( x π π 4 + x ) tg tg x; 4 x ) = tg x. Zadanie 6. Uzasadnij, że wyrażenie nie jest tożsamością. cos x sin x cos x = tg x + tg x Zadanie 7. Wyprowadź wzory na sin α, cos α ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Zadanie 8. Rozwiąż nierówności trygonometryczne (a) cos x + tg x + sin x; (b) sin x sin x. Zadanie 9. Wyznacz zbiór wartości funkcji f danej wzorem f(x) = 4 sin x 4 sin x + 5. Zadanie 0. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (sin x + cos x). Zadanie. Dane jest równanie z niewiadomą x: x cos α + x sin α = cos α. Wykaż, że jeśli α jest kątem ostrym, to równanie ma dwa rozwiązania. Znajdź te wartości parametru α, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania takie, że suma ich odwrotności jest większa od.

Funkcje trygonometryczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Oblicz (a) sin 75 cos 75. (b) 8 sin π tg 5π. Zadanie D.. Rozwiąż równania: (a) tg x = sin x; (b) sin x + cos x = ; (c) sin x cos x + tan x =,5 sin x. Zadanie D.. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) sin ( 7π x) + cos x sin x = (cos x sin x) ; (b) sin 7x tg,5x + cos 7x =. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówności trygonometryczne Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) 8 sin x 4 sin x sin x + > 0; (b) sin x > cos x. Zadanie D.5. Niech Wyznacz A B. A = Zadanie D.6. Naszkicuj wykres funkcji (a) cos x sin x; (b) f(x) = (cos x) cos x. { x [0, 4π]; sin x > } {, B = x [0, ]; cos x < }. Zadanie D.7. Zbadaj dla jakich parametrów m istnieje rozwiązanie równania sin x + cos x = m.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadanie. Omów podstawowe własności funkcji wykładniczej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) ( ) x = 9 ; (b) 5 x 5 x = 5 x+ 5 ; (c) cos x = cos x ; (d) ( 8 9) 8x 9 ( 9 8) 9x 8 ; (e) 7 x 7 x+ > 4; (f) x+ x x. Zadanie. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 x 0 5 x + 9. Zadanie 4. Omów podstawowe własności funkcji logarytmicznej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie 5. Oblicz Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) log 4 6; (b) 9 log 5 ; (c) log 5 log 5 7 log 7 9. Zadanie 6. Oblicz log ab wiedząc, że log 0a = 00 i log 0 b = 00. Zadanie 7. Sporządź wykresy funkcji (a) log x + (b) log x Zadanie 8. Czym się różni wykres funkcji y = log x 4 od wykresu funkcji y = 4 log x? Zadanie 9. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) log x = ; (b) 9 log (p ) = 4; (c) ln(5x e) = ; (d) x log 7 + 7 log x = 98; ( (e) log log5 x ) 0. Zadanie 0. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a spełniające równanie log a (a + 7) =. Zadanie. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór {(x, y) : log x y = }. Zadanie. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = log (8x x ). Zadanie. Dla jakiej wartości x poniższy ciąg jest ciągiem arytmetycznym? log, log( x ), log( x + 0) Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów a i b dziedziną funkcji f(x) = log( x + ax + b) jest przedział (, 4)? Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) 4 x = (x+) ; (b) (0, 5) x ( ( ) x+ = (c) ( ) x 9 ; x (d) log x+ = ; (e) 8 log x x x ; (f) log tg x <, Zadanie D.. Oblicz ) x; 4 x [ π, π]. (a) log 0, 00 + log 5 5; (b) 6 log 4 5 + 0 log +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko log 5 ( log4 (log x) ) = 0. Zadanie D.4. Naszkicuj wykres funkcji f : [, ] R danej wzorem f(x) = ( ) x+ x. Zadanie D.5. Naszkicuj wykres i podaj zbiór wartości funkcji Zadanie D.6. Sporządź wykresy funkcji (a) log x log x ; (b) log ( x). f(x) = log (x 5x + 6) log (x ). Zadanie D.7. Liczby x i x są różnymi rozwiązaniami równania mx mx + = 0. Dla jakich wartości m spełniona jest równość log x + log x >? Zadanie D.8. Dane jest równanie x + x + + log m = 0. Funkcja f(x) = x x określona jest na zbiorze tych m, dla których dane równanie ma różne pierwiastki x i x. Wyznacz dziedzinę funkcji f i określ zbiór jej wartości.

Równania i nierówności Zadanie. Rozwiąż równanie: x 4 = x. Zadanie. Rozwiąż nierówność: 4x + x + 4 + x. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie. Rozwiąż układ równań: (x + 5) (y + ) = (x + y) (a) x 5( + y) = 4(x + 8) x y + 4 = x (b),5x y x = Zadanie 4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: x ay = (a) x + ay = 9 ax + y = a (b) x + ay = a Zadanie 5. Rozwiąż układ równań: x + y = (a) x y = 5 x y = 0 (b) x 4x + (y )(y ) = x + y = (c) ( x ) + (y ) = 4 Zadanie 6. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: y x < x + y 6 < 0 y = x + Zadanie 7. Rozwiąż układ równań: x y + z = 7 (a) x y = 5 x z = x + y 6z = 8 (b) x + y + 7z = x 4y + z = 0

Równania i nierówności Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x + x + = 4x ; (b) x x + =. Zadanie D.. Rozwiąż nierówność: (a) x + x x; (b) x + x +. Zadania do samodzielnego rozwiązania Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.. Rozwiąż układ równań: x y (a) = x y 4 x+y = 4, 5 + y ( ) y + x 5 (x + ) =, (b) x y + 8 = [ ( )] 4 x + y x (c) = y x+6 + (y ) = 0 Zadanie D.4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: 4x + (a + )y = a (a) x y = x + ay = (b) x + y = b Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu x y = k x y = k jest: (a) parą liczb ujemnych, (b) parą liczb dodatnich, (c) parą liczb o przeciwnych znakach. Zadanie D.6. Rozwiąż układ równań: y + x = 0 (a) y x = 0 x y = (b) x + y = + y x y = (c) ( x ) + ( y ) = Zadanie D.7. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: x + y 0 y + 5x 0 5x y 0 0

Równania i nierówności Zadanie D.8. Rozwiąż układ równań: m + n = (a) m + k = n + 4k = 0 (x ) + (y ) + (z 7) = 8 (b) x + y + 7z = 0 x y = 0 x y z = 4 (c) x + y 5z = x y + z = 0 Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.9. Wiedząc, że układ równań ay + bx = c cx + az = b bz + cy = a ma dokładnie jedno rozwiązanie wykaż, że abc 0 i znajdź to rozwiązanie.

Funkcja kwadratowa Zadanie. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres posiada wierzchołek w punkcie P (, 4) i przechodzi przez punkt A(, 0) (b) wykres przechodzi przez punkt A(, 8) i jest styczny do osi OX w punkcie B(4, 0) (c) wykres przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, 9) i jest styczny do osi OX (d) wykres jest symetryczny względem osi OY oraz przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (e) suma pierwiastków wynosi 8, suma odwrotności pierwiastków jest równa / oraz wykres przechodzi przez punkt A(0, 4) (f) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x = 5, x x =. Zadanie. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x + 4x + dla x 0, (b) f(x) = x + 4 dla x,. Zadanie. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 5 x + 4 = 0 (b) 4 x + = x + + 4 (c) x x = a w zależności od parametru a. Zadanie 4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 6 > 0 (b) x > x. Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru m (a) liczba zawiera się między różnymi rozwiązaniami równania (m 4)x 4x + m = 0 (b) równanie x = m 4m ma dwa pierwiastki dodatnie (c) wartość najmniejsza funkcji f(x) = x x + m m + 4 należy do przedziału, 4 (d) nierówność (m )x m x + > 0 jest spełniona dla każdego x? Zadanie 6. Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x 6x + 9(x ). Narysuj wykres funkcji f. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m. Zadanie 7. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + x + m m = 0, ma dwa różne pierwiastki takie, że suma ich sześcianów jest równa 9. Zadanie 8. Dla jakich wartości parametru x funkcja f(x) = x kx + k + ma dwa miejsca zerowe większe od? Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale (, )? x mx m + < 0 Zadanie 0. Znajdź te wartości parametru m, dla których liczba nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x + (m + )x 6m 8m + 44 > 0. Zadanie. Dla jakich wartości m funkcja f(x) = (m 4)x 4x+m ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od a drugie większe od? Zadanie. Suma dwóch liczb jest równa 6. Znajdź te liczby, jeśli wiadomo, że suma podwojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych. Zadanie. Znajdź tę wartość parametru m, dla której iloczyn pierwiastków równania x mx + m 4m + = 0 jest najmniejszy.

Funkcja kwadratowa Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres przechodzi przez punkty O(0, 0) i A(, ) i jest styczny do prostej y = 0 (b) wykres jest symetryczny względem początku układu i przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (c) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x x =, x x = (d) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x =, + = 5. x x Zadanie D.. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x 4x + dla x 0,. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 9 + x 4 = 5 (b) x + x(x 4) = ( + x). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 4 > x (b) x <. Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru m (a) pierwiastki równania x + (m )x + m + = 0 spełniają warunek x + x > (b) trójmian x mx + przyjmuje wartości ujemne dla x (, )? Zadanie D.6. Suma wszystkich współczynników równania kwadratowego jest równa zero. Wykaż, że każde równanie kwadratowe o tej własności ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Zadanie D.7. Funkcja f dana jest wzorem: f(x) = x x +. Uzasadnij, że funkcja f ma dwa dodatnie miejsca zerowe. Zadanie D.8. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja: ma co najmniej jedno miejsce zerowe. f(x) = (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) Zadanie D.9. Pierwiastkami równania x + px + p = 0 są dwie różne liczby x, x. Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, przy której wyrażenie (x + x ) (x + x ) osiąga wartość. Zadanie D.0. Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x x, gdzie x, x są różnymi pierwiastkami równania (m + )x (m + ) x + m + = 0, w którym m R \ {}. Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k funkcja f(x) = (k + )x kx + k nie przyjmuje wartości dodatnich? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k liczby x = i x = należą do zbioru rozwiązań nierówności x + k k x + k > 0? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru m równanie x x m + m pierwiastki? = 0 ma dwa Zadanie D.4. Rozwiąż równanie x = x +.

Funkcja kwadratowa Zadanie D.5. Rozwiąż równanie x + 6 + 4 x = x +. Zadanie D.6. Wyznacz te wartości m, dla których równanie (k + )x x + k = 0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (0, ). Zadanie D.7. Wyznacz tę wartość parametru k, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x + kx + k 6k = 0 jest największa z możliwych. Zadanie D.8. Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności x +(a+)x a < 0 należą tylko ujemne liczby? Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko

Wielomiany i funkcje wymierne Repetytorium z matematyki elementarnej - 00Z Rozdział 7 wielomiany i funkcje wymierne Zadanie. Dla jakich wartości parametrów a, b, p, q następujące wielomiany zmiennej x są równe: W (x) = (ax + b)(x x + 4) i V (x) = (x + px + q)(x )? Zadanie. Wyznacz wielomian czwartego stopnia, którego podwójnym pierwiastkiem jest liczba, a pojedynczym liczba i który przy dzieleniu przez x daje resztę 4. Zadanie. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 9x + x 6x + przez x 5; (b) x 5 + 8x 4 + 7x + x + 5 przez x + 7x + 5x +. Zadanie 4. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 6x + x 6 = 0; (b) x 6 9x + 8 = 0 (c) x 4 + x + x = 0. Zadanie 5. Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian P (x) = x 5 +ax+b jest podzielny przez x? Zadanie 6. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu x + mx 4x + przez x otrzymujemy resztę 6? Zadanie 7. Przy dzieleniu wielomianu P (x) przez x otrzymujemy resztę, przy dzieleniu przez x resztę 4. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian x x +. Zadanie 8. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 0x < 0; (b) x 5 + x 4 9x x 0x 4 < 0; (c) x 4 x 5 x. Zadanie 9. Rozwiąż równania i nierówności (a) x 4x x 7x+0 = 0; (b) x x 4x+6 x+ = 0; (c) x x x+ 4x ; (d) x 5x+4 x 4 (e) ; x +8 x > x. Zadanie 0. Dla jakich wartości parametru m (a) równanie x x = m ma dokładnie jeden pierwiastek (b) równanie x x = m ma dwa pierwiastki rzeczywiste (c) równanie x(+x ) x = m nie ma pierwiastków x y = m (d) układ równań ma rozwiązanie? y mx = 0

Wielomiany i funkcje wymierne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 + x + x + x + przez x + x + 4 (b) x 5 + 4x 4 + x + przez x + x + 4; (c) x 5 + x 4 + 5x + przez x +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 4 + 4x 5x 6x + 84 = 0; (b) x 5 4x 4 6x + 6x + 9x + = 0. Zadanie D.. Dany jest wielomian W (x) = x 4 x + x + mx + zmiennej x z parametrem m R. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których wielomian W jest podzielny przez trójmian Q(x) = x x +. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) (x 5)(x 4)(x + 8) 0; (b) x 4 x ; (c) x x + x +. Zadanie D.5. Rozwiąż równania i nierówności ( ) ( ) (a) x + x 9 x + x + 0 = 0 (b) x = 6 x+ 4x (c) x + x > x x+ (d) (x+) (x +x+) (4 x)x 0 4 (e) x 5x+6 < 0 x. Zadanie D.6. Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q(x) = x 4 + x x jest równa x + x + x +. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x. Zadanie D.7. Dany jest wielomian postaci x + ax + bx + 6r, gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, którego pierwsze trzy wyrazy są pierwiastkami tego wielomianu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy. Oblicz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie D.8. Wielomiany W (x) = x ax + 4 oraz V (x) = x + x a mają wspólny pierwiastek. Oblicz a oraz pierwiastki tych wielomianów. Zadanie D.9. Udowodnij, że jeżeli reszta z dzielenia wielomianu P (x) = x + 4x + ax + b przez wielomian Q(x) = x + x jest wielomianem stałym, to a = 7. Zadanie D.0. Zbadaj liczbę pierwiastków wielomianu x 4 +( m)x +m m = 0 w zależności od parametru m. Zadanie D.. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x + wynosi, a przy dzieleniu przez x reszta wynosi. Jaka jest reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + x 6?

Podstawowe własności funkcji Zadanie. Zbadaj parzystość i nieparzystość następujących funkcji (a) f(x) = x +x x (b) f(x) = cos x + + x (c) f(x) = n ( ) k k+ xk+ k=0 0, x < (d) f(x) =, x x Zadanie. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f funkcja g(x) = f(x)+f( x) jest parzysta, a funkcja h(x) = f(x) f( x) jest nieparzysta. Następnie pokaż, że każda funkcja jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Zadanie. Zbadaj monotoniczność następujących funkcji Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) f(x) = 4 x + x, x 0 (b) f(x) = x, x > 0 (c) f(x) = x (d) f(x) = x Zadanie 4. Zbadaj okresowość następujących funkcji (a) f(x) = [x], gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą niż x (b) f(x) = [x] x (c) f(x) = x [x ] (d) f(x) = sin x + cos x (e) f(x) = + sin x (f) f(x) = tg πx Zadanie 5. Wykaż, że funkcja x +x jest odwrotna względem siebie. Sporządź wykres. Zadanie 6. Sprawdź różnowartościowość następujących funkcji i wyznacz funkcję odwrotną, o ile to możliwe (a) f(x) = x +x (b) f(x) = x x x, x (c) f(x) = x, x > Zadanie 7. Narysuj wykres funkcji (a) x + 4x (b) x + 8x 6 (c) x 5 (d) x x + (e) x +x (f) sin(x + ) (g) sin((x + )) Zadanie 8. Opisz podstawowe własności funkcji f(x) = ax + b w zależności od parametrów a, b R. Zadanie 9. Znaleźć funkcję, której wykres jest prostą prostopadłą (równoległą) do prostej y x + 0 = 0 i przechodzącą przez punkt (, ). Zadanie 0. Zilustruj zbiór liczb x, y R takich, że x + y =.

Elementy geometrii Zadanie. Napisz równanie okręgu stycznego do dwóch prostych o równaniach: i przechodzącego przez punkt P = (, 0). x + y = 0, x + y + = 0 Zadanie. Wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu o równaniu x + y + x 6y + 4 = 0 z prostą o równaniu y = x + m w zależności od wartości parametru m. Zadanie. Wyznacz równanie stycznych do okręgu x + y + 4x + = 0 (a) przechodzących przez początek układu współrzędnych, (b) równoległych do prostej y = x 7. Zadanie 4. Wyznacz pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, x), B = (x, ), C = (, ) jako funkcję f zmiennej x i naszkicuj jej wykres. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f( x ) = m w zależności od wartości parametru m R. Zadanie 5. Dane są punkty A = (, ) i B = (5, 4). Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 6. Dany jest okrąg i prosta odpowiednio o równaniach: x + y + x 4y 5 = 0, x + y 9 = 0 Znajdź najmniejszą z odległości AB, gdzie A jest punktem na okręgu, a B punktem na prostej. Zadanie 7. Przez środek okręgu prowadzimy dwie różne średnice AC i BD. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem. Zadanie 8. Rozważmy dwa okręgi współśrodkowe: jeden o promieniu, drugi o promieniu 5. Znajdź długość odcinka stycznej do mniejszego okręgu, zawartego w większym okręgu. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie S = (, ), wiedząc, że:. początek układu współrzędnych należy do tego okręgu;. do okręgu należy punkt A = (, );. okrąg jest styczny do prostej x =. Zadanie D.. Okrąg, którego środek należy do osi OY i promień ma długość r = 5 jest styczny do prostej o równaniu x + y = 0. Napisz równanie tego okręgu. Zadanie D.. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A = (, ), B = (0, ) i C = (4, ). Zadanie D.4. Okrąg o równaniu (x ) + (y + ) = 4 jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC. Znajdź równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie D.5. Promień okręgu wpisanego w romb ABCD jest równy r =, a współrzędne końców przekątnej AC są następujące: A = (, ), C = (4, ). Oblicz współrzędne punktów B i D. Zadanie D.6. Dany jest okrąg o równaniu: x + y x y + = 0 i prosta x y = 0. Oblicz długość cięciwy tego okręgu zawartej w danej prostej i jej odległość od środka. Zadanie D.7. W trójkąt równoramienny o obwodzie 40 wpisano okrąg, którego promień jest równy 5 wysokości poprowadzonej do podstawy. Obliczyć długości boków tego trójkąta.