Rozdział 3. Pole magnetyczne

Rozdział 3. Pole magnetyczne 2018

Spis treści Siła magnetyczna Linie pola magnetycznego, kierunek pola Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem Magnetyczny moment dipolowy Efekt Halla

Siła magnetyczna W pobliżu przewodników z prądem elektrycznym i magnesów działają siły magnetyczne. Spotykamy je gdy mamy do czynienia z magnesem trwałym, elektromagnesem, silnikiem elektrycznym, prądnicą, czy monitorem komputerowym. Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na igłę kompasu jest znane od Starożytności. Natomiast w XIX w. Oersted stwierdził, że kompas ulega również wychyleniu w pobliżu przewodnika, w którym płynie prąd i zmienia kierunek wychylenia wraz ze zmianą kierunku prądu. To oddziaływanie pomiędzy prądem i magnesem opisujemy wprowadzając pojęcie pola magnetycznego. Przypomnijmy, że w przypadku sił grawitacyjnych posługiwaliśmy się pojęciem natężenia pola grawitacyjnego γ, gdzie F G = mγ, a w przypadku sił elektrycznych pojęciem natężeniu pola elektrycznego E, gdzie F E = me. Natomiast siłę działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością v wiążemy z indukcją magnetyczną B. Związek pomiędzy siłą magnetyczną a indukcją magnetyczną B zapisujemy w postaci równania wektorowego DEFINICJA Definicja 1: Siła Lorentza F = qv B (1) Siłę tę nazywamy siłą Lorentza, a powyższe równanie definiuje indukcję pola magnetycznego B. UWAGA Uwaga 1: Jednostki 2 Jednostką indukcji B jest tesla; (T); 1 T = 1 N/(Am) = 1 Vs/m. Tabela 1 pozwala na zorientowanie się w zakresie pól magnetycznych dostępnych w przyrodzie i wytwarzanych przez różne urządzenia. Tabela 1: Zakres pól magnetycznych Źródło pola B B maks. T Pracujący mózg 10 13 Ziemia 4 10 5 Elektromagnes 2 Cewka nadprzewodząca 20 Cewka impulsowa 70 Gwiazda neutronowa 10 8 Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, z równania Siła magnetyczna-( 1 ) wynika, że wartość siły działająca na naładowaną cząstkę w polu magnetycznym jest równa F = q v Bsinθ (2) gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami v i B. Siła jest równa zeru gdy cząstka nie porusza się oraz gdy wektor prędkości jest równoległy do wektora B ( θ = 0º) lub do niego antyrównoległy ( θ= 180º). Natomiast maksimum siły występuje gdy wektor prędkości v jest prostopadły do wektora B ( θ = 90º). Równanie Siła magnetyczna-( 1 ) określa również kierunek i zwrot wektora siły F. Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że wektor F jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory v i B. Zwrot jego jest określony regułą śruby

prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora v do wektora B (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora F v B tak jak na Siła magnetyczna-rys. 1. Rysunek 1: Reguła prawej ręki wyznacza kierunek działania siły w polu magnetycznym Zwrot wektora F pokazany na rysunku powyżej odpowiada dodatniemu ładunkowi q. Dla ładunku ujemnego kierunek jest ten sam ale zwrot przeciwny. ZADANIE Zadanie 1: Wyznaczanie kierunku siły Lorentza Treść zadania: W każdej z czterech pokazanych konfiguracji zaznaczono wektor prędkości ładunku (dodatniego) i wektor indukcji magnetycznej. Spróbuj narysować wektor siły działająca na ładunek. Skorzystaj z definicji iloczynu wektorowego. Rysunek 2: Kierunki wektorów prędkości i indukcji magnetycznej do zadania Siła magnetyczna-wyznaczanie kierunku siły Lorentza Rozwiązanie: Rysunek 3: Rozwiązanie zadania Siła magnetyczna-wyznaczanie kierunku siły Lorentza Linie pola magnetycznego, kierunek pola Pole magnetyczne prezentujemy graficznie, rysując, tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji magnetycznej B. Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie, a rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola - im gęściej rozmieszczone są linie tym silniejsze jest pole. Na Linie pola magnetycznego, kierunek pola-rys. 1 pokazane są linie pola magnetycznego w pobliżu stałego magnesu w kształcie sztabki. Linie te przechodzą przez magnes i tworzą zamknięte pętle.

ZASADA Zasada 1: Linie pola magnetycznego To, że linie pola B są zawsze liniami zamkniętymi stanowi fundamentalną różnicę między stałym polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynają się i kończą na ładunkach. Najsilniejsze pole występuje w pobliżu końców magnesu czyli w pobliżu biegunów magnetycznych. Koniec magnesu, z którego wychodzą linie nazywamy północnym biegunem magnesu (N), a ten do którego wchodzą linie biegunem południowym (S). Rysunek 4: Pole magnesu sztabkowego Podobnie jak w przypadku pola magnetycznego Ziemi kierunek linii pola magnesu można wyznaczyć za pomocą kompasu przesuwając go wokół magnesu. Kierunek igły kompasu, która sama jest magnesem sztabkowym, pokazuje kierunek pola magnetycznego. Igła wskazuje kierunek od bieguna północnego w stronę południowego. Wynika to z oddziaływania magnesów. Doświadczalnie stwierdzono, że bez względu na kształt magnesów, bieguny przeciwne przyciągają się, a jednakowe bieguny odpychają się. Linie pola magnetycznego można też wyznaczyć doświadczalnie przy użyciu np. opiłków żelaza, które zachowują się jak dipole magnetyczne (małe magnesy). Opiłki ustawiają się zgodnie z kierunkiem B i dają obraz linii pola magnetycznego. Efekt ten można obejrzeć na filmach poniżej. http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=51 http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=50 Filmy zostały udostępnione przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PLhttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/" class="wiki wikinew">? dla potrzeb e-podręczników AGH. Na Linie pola magnetycznego, kierunek pola-rys. 2 pokazane jest pole magnetyczne Ziemi. Igła magnetyczna kompasu w polu Ziemi pokazuje kierunek linii taki jak na Linie pola magnetycznego, kierunek pola-rys. 2. Widzimy, że linie są skierowane w stronę Arktyki i zgodnie z przyjętą konwencją oznaczałoby to, że tam znajduje się magnetyczny biegun południowy. Tymczasem ten kierunek geograficzny przyjmujemy za północy. W związku z tym w przypadku Ziemi odstępujemy od przyjętej reguły i ten biegun nazywamy północnym biegunem geomagnetycznym. Należy przy tym zwrócić uwagę na to, że biegun geomagnetyczny nie

pokrywa się z geograficznym biegunem północnym. Aktualnie znajduje się w północnej Kanadzie. Bieguny magnetyczne Ziemi zmieniają swoje położenie i w odległej przeszłości północny biegun geomagnetyczny znajdował się na półkuli południowej. Rysunek 5: Pole magnetyczne Ziemi Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym Zauważmy, że zgodnie z równaniem Siła magnetyczna-( 1 ) wektor siły F działającej na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadły do wektora prędkości v i wektora B. Oznacza to, że siła F nie może zmienić wartości prędkości v, a co za tym idzie nie może zmienić energii kinetycznej cząstki. Siła F może jedynie zmienić kierunek prędkości v, zakrzywić tor jej ruchu. Siła magnetyczna jest więc siłą dośrodkową. Żeby prześledzić tor ruchu naładowanej cząstki w polu magnetycznym rozpatrzmy cząstkę, która z prędkością v wpada do jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji B tak jak na Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym-rys. 1. Rysunek 6: Naładowana cząstka wpada do pola B z prędkością v. Prędkość początkową cząstki (z którą wlatuje w obszar pola B) możemy rozłożyć na dwie składowe: jedną równoległą v II, a drugą prostopadłą v do pola B. Zauważmy, że zgodnie ze wzorem Siła magnetyczna-( 2 ) siła magnetyczna związana jest tylko ze składową prędkości prostopadłą do pola B ( θ = 90º ) natomiast nie zależy od składowej równoległej do pola ( θ = 0º ). Siła magnetyczna zmienia więc tylko składową prędkości prostopadłą do pola B, natomiast składowa prędkości równoległa pozostaje stała. W rezultacie cząstka przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż pola B równocześnie zataczając pod wpływem siły magnetycznej okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do pola. Cząsteczka porusza się po spirali tak jak pokazano na Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym-rys. 2. Rysunek 7: Naładowana cząsteczka poruszająca się w polu magnetycznym po torze spiralnym

SYMULACJA Symulacja 1: Tor ładunku w polu magnetycznym Pobierz symulację Program pozwala prześledzić tor po jakim porusza się naładowana cząstka w polu magnetycznym w zależności od wartości indukcji pola B, wartości prędkości cząstki v oraz kąta pod jakim cząstka wpada do pola B. Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski ZADANIE Zadanie 2: Ruch ładunku w polu magnetycznym Treść zadania: Teraz spróbuj opisać ruch ładunku q, który porusza się z prędkością v prostopadle do pola magnetycznego B. Wskazówka: Ponieważ prędkość jest prostopadła do pola B to tor cząstki jest okręgiem leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do pola B. Oblicz promień tego okręgu i częstotliwość z jaką krąży ładunek. R = T = Rozwiązanie: Dane: q, v, B. Ładunek poruszający się w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadle do pola B, krąży po okręgu. Siła magnetyczna jest siłą dośrodkową w tym ruchu F dośr. = F magn. więc mv 2 R = qvbsinθ Promień okręgu obliczamy wprost z powyższego równania uwzględniając, że θ = 90º ( v B) R = mv qb Częstotliwość f (odwrotność okresu T ) z jaką krąży ładunek obliczamy ze wzoru 1 T 1 2πR v v 2πR f = = = = qb 2πm gdzie podstawiono obliczoną wcześniej wartość R. Zauważmy, że częstotliwość (a tym samym okres) nie zależy od R i v. Zjawisko odchylania toru naładowanych cząstek w polu magnetycznym znalazło szerokie zastosowanie w technice i nauce. Jednym z przykładów jest lampa kineskopowa w telewizorze czy monitorze. Na Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym-rys. 3 pokazany jest przykładowy tor wiązki elektronów w lampie.

Rysunek 8: Odchylanie wiązki elektronów w polu magnetycznym w lampie kineskopu W kineskopie pole magnetyczne jest przyłożone wzdłuż kierunku x i w kierunku y. Pole B x, w zależności od zwrotu ( +x, x) odchyla elektrony w górę lub w dół ekranu, natomiast pole B y, w zależności od zwrotu ( +y, y) odchyla wiązkę elektronów w prawo lub w lewo. W ten sposób sterujemy wiązką elektronów, która przebiega (skanuje) cały ekran docierając do każdego punktu ekranu (piksela). Innym przykład stanowi spektrometr masowy, którego schemat jest pokazany na Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym-rys. 4. Rysunek 9: Schemat działania spektrometru masowego Cząstka (jon) o masie m i ładunku q wyemitowana ze źródła Z zostaje przyspieszona napięciem U po czym wlatuje w obszar jednorodnego pola magnetycznego B prostopadłego do toru cząstki. (Pamiętaj, że symbol oznacza wektor skierowany przed płaszczyznę rysunku, a symbolem oznaczamy wektor skierowany za płaszczyznę rysunku). Pole magnetyczne zakrzywia tor cząstki, tak że porusza się ona po półokręgu o promieniu R, po czym zostaje zarejestrowana w detektorze (np. na kliszy fotograficznej) w odległości 2R od miejsca wejścia w pole magnetyczne. Promień okręgu po jakim porusza się naładowana cząstka w polu B obliczyliśmy w ostatnim ćwiczeniu R = mv qb (3) gdzie v jest prędkością z jaką porusza się cząstka. Tę prędkość uzyskuje ona dzięki przyłożonemu napięciu U. Zmiana energii potencjalnej ładunku przy pokonywaniu różnicy potencjału U jest równa energii kinetycznej jaką uzyskuje ładunek ΔE k = ΔE p (4) lub mv 2 2 = qu (5) Stąd otrzymujemy wyrażenie na prędkość v v = 2qU m (6) i podstawiamy je do równania Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym-( 1 ) R = 1 2mU B q (7) Ostatecznie po przekształceniu otrzymujemy 2 2 q

m = R 2 B 2 q 2U (8) Widzimy, że pomiar odległości ( 2R), w jakiej została zarejestrowana cząstka pozwala na wyznaczenie jej masy m. Zakrzywianie toru cząstek w polu magnetycznym jest również wykorzystywane w urządzeniach zwanych akceleratorami. Te urządzenia służące do przyspieszania cząstek naładowanych, znalazły szerokie zastosowanie w nauce, technice i medycynie. Przykładem akceleratora cyklicznego jest cyklotron. O jego działaniu możesz przeczytać w module Cyklotron. Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem Ponieważ siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z prądem F = Ne v u Bsinθ (9) gdzie N jest liczbą elektronów zawartych w danym przewodniku o długości l i przekroju poprzecznym S, a v u ich średnią prędkością unoszenia. Jeżeli n jest koncentracją elektronów (ilością elektronów w jednostce objętości) to N = nsl (10) Zgodnie z wzorem Natężenie prądu elektrycznego-( 5 ) natężenie prądu w przewodniku wynosi I = nsev u (11) Podstawiając te wyrażenia do wzoru na siłę otrzymujemy F = nsle I nse Bsinθ = IlBsinθ (12) lub w zapisie wektorowym F = Il B (13) Na Rys. 10 zaznaczona jest siła działająca w polu magnetycznym na przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu I. W polu magnetycznym znajduje się odcinek l przewodnika, a wektor długości l ma zwrot zgodny ze zwrotem prądu. Rysunek 10: Siła działająca w polu magnetycznym na przewodnik z prądem Równanie F = Il B jest równoważne równaniu F = qv B w tym sensie, że każde z nich definiuje indukcję pola magnetycznego B. Jednak w praktyce łatwiej jest zmierzyć siłę działającą na przewodnik niż na pojedynczy ładunek. Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem Rozważymy teraz działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem. W tym celu rozpatrzmy prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Taka ramka stanowi podstawowy element silnika elektrycznego. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt θ z polem B, tak jak na Rys. 11.

Rysunek 11: Działanie pola magnetycznego B na ramkę z prądem I Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Zauważmy, że siły F b działające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły F a działające na boki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę τ = sinθ + sinθ = bsinθ b F a 2 b F a 2 F a (14) lub w zapisie wektorowym (na podstawie definicji iloczynu wektorowego) τ = F a b (15) Siła F a wynosi F a = IaB (16) więc τ = IabBsinθ = ISBsinθ (17) gdzie S = ab jest powierzchnią ramki. Równanie ( 17 ) możemy zapisać w postaci wektorowej τ = IS B (18) gdzie S jest wektorem powierzchni. Magnetyczny moment dipolowy DEFINICJA Definicja 2: Magnetyczny moment dipolowy Wielkość wektorową μ = I S (19) nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Wektor μ jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skręcającym τ = μ B (20) obracając ją tak jak igłę kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się, ustawiając zgodnie z polem. Położenie równowagi ramki występuje dla θ = 0, tj. gdy moment dipolowy μ jest równoległy do pola magnetycznego B (ramka jest ustawiona prostopadle do pola). Ramka zachowuje się więc tak jak igła kompasu czyli dipol magnetyczny. Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada energię potencjalną. Można

pokazać, że energia potencjalna dipola magnetycznego związana z jego orientacją w zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem E = μ B = μbcosθ (21) Widzimy, że energia osiąga minimum dla momentu dipolowego μ równoległego do zewnętrznego pola magnetycznego B, a maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do pola (zob. Magnetyczny moment dipolowy-rys. 1). Rysunek 12: Ustawienie momentu dipolowego (pętli z prądem) w zewnętrznym polu magnetycznym odpowiadające a) maksimum, b) minimum energii Jak już mówiliśmy ramka z prądem jest przykładem dipola magnetycznego. Taką "kołową ramką z prądem" jest również elektron krążący po orbicie w atomie. Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu r wynosi μ e = I( πr 2 ) (22) Natężenie prądu I wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi q t e T I = = = ev 2πr (23) gdzie v jest prędkością elektronu. Stąd μ e ev evr πr2 2πr 2 e 2m e 2m = ( ) = = (mvr) = L (24) gdzie L = mvr jest momentem pędu elektronu. Elektron, krążący po orbicie jest więc elementarnym dipolem magnetycznym. Własności magnetyczne ciał są właśnie określone przez zachowanie się tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. Własności te omawiamy w modułach Diamagnetyzm i paramagnetyzm oraz Ferromagnetyzm. Efekt Halla Rozpatrzmy płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieszczoną w polu magnetycznym, prostopadłym do kierunku przepływu prądu. Jeżeli w płytce płynie prąd to na ładunki działała siła odchylająca powodująca zakrzywienie ich torów w kierunku jednej ze ścianek bocznych płytki tak jak pokazano na Rys. 13. Rysunek 13: Siły działające na elektrony w pasku metalu umieszczonym w polu magnetycznym B. a) tor elektronów zaraz po włączeniu pola B, b) tor elektronów w stanie równowagi Gromadzenie się ładunków na ściance bocznej powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla E H. Pole Halla jest dane zależnością E H = ΔV LP d (25)

gdzie ΔV LP jest różnicą potencjałów pomiędzy stroną lewą L i prawą P, a d odległością między nimi (szerokością płytki). Zwróćmy uwagę, że strona prawa płytki ładuje się ujemnie i powstałe pole Halla przeciwdziała dalszemu przesuwaniu elektronów. Osiągnięty zostaje stan równowagi, w którym odchylające pole magnetyczne jest równoważone przez pole elektryczne Halla F B = F E (26) lub e( v u B) = ee H (27) Stąd E H = B v u (28) Wynika stąd, że jeżeli zmierzymy E H (w praktyce V LP ) i pole B to możemy wyznaczyć v u. Gdy v u i B są prostopadłe to E H = B v u (29) Na podstawie równania Natężenie prądu elektrycznego-( 5 ) v u I nes = = j ne (30) zatem koncentracja nośników n = jb ee H (31) Znając E H, B oraz gęstość prądu, możemy wyznaczyć koncentrację nośników n. Zjawisko Halla znalazło w praktyce zastosowanie do pomiaru pól magnetycznych oraz do pomiaru natężenia prądu elektrycznego. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 2018-11-26 23:07:31