Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.4, dla Polski B odpowiednio n 2 = 60 oraz RB 2 = 0.7. Wiadomo również, że wariancja konsumpcji w Polsce A jest 3 razy większa niż w Polsce B Po przeprowadzeniu obliczeń zorientował się że przypadkowo pominął jedną obserwację dla Polski B. Pasuje ona do prostej regresji, po jej dołączeniu całkowita suma kwadratów rośnie o 2%. (a) Jak dodanie obserwacji wpłynie na wielkość R 2 oraz R 2 (b) Oblicz prawidłowe wartości R 2 oraz R 2 dla Polski B. (c) Jaką wartość będzie miał współczynnik R 2 oraz R 2, jeżeli funkcja konsumpcji zostanie oszacowana na podstawie modelu: C = α A + β A Y + α A D + β B Y D + ξ gdzie zmienna indykatorowa D wskazuje na osoby z Polski B. (d) Następnie ekonometryk połączył obie próby i oszacował funkcję konsumpcji dla całej Polski. W jaki sposób można obliczyć R 2 w tym modelu? (e) W jaki sposób dysponując wynikami czterech powyższych modeli można sprawdzić czy krańcowa skłonność do konsumpcji w całej Polsce jest identyczna? Rozwiązanie (a) Ponieważ R 2 = 1 RSS T SS, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 } n {{ k } RSS } T{{ SS} maleje maleje } {{ } rosnie (b) R 2 = 1 3 10.2 = 0.706, R2 = 1 n 1 n 2 (1 R2 ) = 1 59 58 (0.294) = 0.701. (c) Szacujemy osobne modele za pomocą jednego równania, wobec tego: T SS C = T SS A + T SS B = 4T SS B ; RSS A = 0.6T SS A = 1.8T SS B ; RSS B = 0.3T SS B ; RSS C = RSS A + RSS B = 2.14T SS B ; R 2 C = 1 2.1 4 = 0.475. (d) Nie da się, ponieważ nie jest znana całkowita suma kwadratów oraz resztowa suma kwadratów tak utworzonego modelu. (e) Mając wyniki regresji z punktu (c) należy zdefiniować macierz ograniczeń R = [0, 1, 0, 1] i obliczyć statystykę Walda, ze wzoru: (Rb q) [σ 2 R(X X) 1 R ] 1 (Rb q) i porównać ją z wartością krytyczną z rozkładu χ 2 (2), lub F (2, 96)
Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.5, dla Polski B odpowiednio n 2 = 60 oraz RB 2 = 0.8. Wiadomo również, że wariancja konsumpcji w Polsce A jest 3 razy większa niż w Polsce B Po przeprowadzeniu obliczeń zorientował się że przypadkowo pominął jedną obserwację dla Polski B. Pasuje ona do prostej regresji, po jej dołączeniu całkowita suma kwadratów rośnie o 2%. (a) Jak dodanie obserwacji wpłynie na wielkość R 2 oraz R 2 (b) Oblicz prawidłowe wartości R 2 oraz R 2 dla Polski B. (c) Jaką wartość będzie miał współczynnik R 2 oraz R 2, jeżeli funkcja konsumpcji zostanie oszacowana na podstawie modelu: C = α A + β A Y + α A D + β B Y D + ξ gdzie zmienna indykatorowa D wskazuje na osoby z Polski B. (d) Następnie ekonometryk połączył obie próby i oszacował funkcję konsumpcji dla całej Polski. W jaki sposób można obliczyć R 2 w tym modelu? (e) W jaki sposób dysponując wynikami czterech powyższych modeli można sprawdzić czy krańcowa skłonność do konsumpcji w całej Polsce jest identyczna? Rozwiązanie (a) Ponieważ R 2 = RSS T SS, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 } n {{ k } RSS } T{{ SS} maleje maleje } {{ } rosnie (b) R 2 = 1 1 5.1 = 0.804, R2 = 1 n 1 n 2 (1 R2 ) = 1 59 58 (0.196) = 0.801 (c) Szacujemy osobne modele za pomocą jednego równania, wobec tego: T SS C = T SS A + T SS B = 4T SS B ; RSS A = 0.5T SS A = 1.5T SS B ; RSS B = 0.2T SS B ; RSS C = RSS A + RSS B = 1.74T SS B ; R 2 C = 1 1.7 4 = 0.575. (d) Nie da się, ponieważ nie jest znana całkowita suma kwadratów oraz resztowa suma kwadratów tak utworzonego modelu. (e) Mając wyniki regresji z punktu (c) należy zdefiniować macierz ograniczeń R = [0, 1, 0, 1] i obliczyć statystykę Walda, ze wzoru: (Rb q) [σ 2 R(X X) 1 R ] 1 (Rb q) i porównać ją z wartością krytyczną z rozkładu χ 2 (2), lub F (2, 96)
Zadanie 2. Na podstawie danych pochodzących z badania Diagnoza Społeczne 2005 zbudowano Klasyczny Model Regresji Liniowej wyjaśniający poziom dochodów za pomocą płci (1-mężczyzna), wykształcenia, wieku i zmiennej indykatorowej oznaczającej mieszkanie w dużym mieście. Oszacowano następujący model: dochody n = stala + β 1 plec + β 2 wyzsze + β 3 srednie + β 4 wiek + β 5 dmiasto + ε n Otrzymano następujące oszacowania parametrów wektora β: stala β1 β2 β3 β4 β5 4680.578-39.30282 1145.012 455.4939-15.12998 695.9645 oraz ich macierz wariancji-kowariancji: Covariance matrix of coefficients of regress model e(v) wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons -------------+------------------------------------------------------------------------ wiek 6.9581603 plec -16.941529 12725.678 srednie -39.647769-884.35142 18877.256 wyzsze -30.037933-1747.9586 5488.9455 28954.676 dmiasto -7.5044649 525.03426-2124.1669-5431.7483 45387.074 _cons -238.79276-5762.9982-2967.672-2715.9654-2237.0181 16403.063 Uzupełnij brakujące wielkości w poniższej tabeli, a następnie oceń poprawność modelu analizując wyniki testów istotności i łącznej istotności wyestymowanych parametrów. Dokonaj interpretacji wyników poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynników wektora β, oraz przeprowadź testy na wpółliniowość. Obliczenia należy przeprowadzić z dokładnością do 4 miejsca po przecinku. Source SS df MS Number of obs = 3065 -------------+------------------------------ F( 5, 3059) = 18.62 Model 890673283 5 178134657 Prob > F = 0.0000 Residual 2.9267e+10 3059 9567445.24 R-squared = 0.0295 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0279 Total 3.0157e+10 3064 9842522.28 Root MSE = 3093.1 ------------------------------------------------------------------------ dochody Coef. Std. Err. t Partial R^2 VIF -------------+---------------------------------------------------------- wiek -15.12998 2.637833-5.74 0.0190 1.02 plec -39.30282 112.8081-0.35 0.0142 1.01 srednie 455.4939 137.3945 3.32 0.0673 1.07 wyzsze 1145.012 170.1607 6.73 0.0810 1.09 dmiasto 695.9645 213.0424 3.27 0.0247 1.03 _cons 4680.578 128.0744 36.55 ------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2. Na podstawie danych pochodzących z badania Diagnoza Społeczne 2005 zbudowano Klasyczny Model Regresji Liniowej wyjaśniający poziom dochodów za pomocą płci (1-mężczyzna), wykształcenia, wieku i zmiennej indykatorowej oznaczającej mieszkanie w dużym mieście. Oszacowano następujący model: dochody n = stala + β 1 plec + β 2 wyzsze + β 3 srednie + β 4 wiek + β 5 dmiasto + ε n Otrzymano następujące oszacowania parametrów wektora β: stala β1 β2 β3 β4 β5 4782.443-170.3106 1085.022 366.505-16.19553 655.0848 oraz ich macierz wariancji-kowariancji: Covariance matrix of coefficients of regress model e(v) wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons -------------+------------------------------------------------------------------------ wiek 5.5469708 plec -10.217907 10157.434 srednie -29.353614-962.40253 15297.693 wyzsze -24.172077-1123.8396 4267.4155 22850.812 dmiasto -12.247752-191.1679-829.38489-3875.2501 34981.1 _cons -195.70256-4584.2465-2334.4548-2267.4667-1485.3782 13351.945 Uzupełnij brakujące wielkości w poniższej tabeli, a następnie oceń poprawność modelu analizując wyniki testów istotności i łącznej istotności oszacowanych wielkości parametrów. Dokonaj interpretacji wyników poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynników wektora β, oraz przeprowadź testy na współliniowość. Obliczenia należy przeprowadzić z dokładnością do 4 miejsca po przecinku. Source SS df MS Number of obs = 3117 -------------+------------------------------ F( 5, 3111) = 22.68 Model 883500483 5 176700097 Prob > F = 0.0000 Residual 2.4236e+10 3111 7790562.58 R-squared = 0.0352 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0336 Total 2.5120e+10 3116 8061598.42 Root MSE = 2791.2 ------------------------------------------------------------------------ dochody Coef. Std. Err. t Partial R^2 VIF -------------+---------------------------------------------------------- wiek -16.19553 2.355201-6.88 0.0167 1.02 plec -170.3106 100.7841-1.69 0.0127 1.01 srednie 366.505 123.6838 2.96 0.0637 1.08 wyzsze 1085.022 151.1649 7.18 0.0748 1.07 dmiasto 655.0848 187.0323 3.50 0.0208 1.02 _cons 4782.443 115.5506 41.39 ------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3. Badasz wpływ różnych czynników na wynagrodzenia tłumaczy, absolwentów lingwistyki UW. Każdy z mich ukończył również jedną z trzech prywatnych szkół podyplomowych kształcących tłumaczy. Dysponujemy danymi o wynagrodzeniu tłumacza wyn, jego płci, język w jakim się dany tłumacz specjalizuje (angielski, hiszpański) jezyk, szkole, w której odbywał naukę podyplomową szkola [=1 - szkoła pod wezwaniem, w szkole nauka trwa 2 semestry (10 miesięcy); 2 - szkoła bez wezwania, w tej szkole nauka trwa 3 semestry(15 miesięcy); 3 - szkoła niezależna nauka trwa 4 semestry (20 miesięcy)], oraz przeciętnej ilości godzin jaką tłumacz poświęcał w szkole podyplomowej na naukę języka czas. Do konstrukcji modelu należy wykorzystać za każdym razem wszystkie zmienne. Najwyżej cenione będą odpowiedzi używające jak najmniejszej ilości zmiennych dodatkowych. (a) Zapisz model umożliwiający sprawdzenie, czy dodatkowa godzina przeciętnego miesięcznego czasu poświęconego na naukę, przynosi taką samą procentową zmianę wynagrodzenia absolwentom każdej z trzech szkół. Zaproponuj sposób testowania tej hipotezy. (b) Można wskazać, że szkoły nie różnią się jakością lektorów i tego jak uczą swoich studentów. Zaproponuj model, w którym wynagrodzenie zależy od całkowitego czasu poświęconego na naukę w szkole podyplomowej, a nie od tego, która to szkoła, ani ile semestrów trwa w niej nauka. (c) Dodatkowo, dysponujesz informacją, że prawdopodobnie kobiety, a w szczególności te, które uczą się hiszpańskiego, mniej efektywnie przyswajają wiedzę ponieważ, bardzo przystojni latynoamerykańscy lektorzy dekoncentrują je. Zapisz taki model, w ramach, którego można będzie przetestować taką hipotezę. (d) Iloma obserwacjami musisz dysponować, aby najbardziej rozbudowany model miał co najmniej 50 stopni swobody. Podaj minimalną możliwą liczbę wraz z uzasadnieniem. (e) Załóżmy, że zmienna czas nie jest dostępna. Różnice w wynagrodzeniu pomiędzy absolwentami różnych szkół mogą wynikać, nie z jakości nauczania, w tych szkołach, a z różnic w długości kształcenia absolwentów (w semestrach). Przedstaw sposób testowania takiej hipotezy.
Zadanie 3. Badasz wpływ różnych czynników na wynagrodzenia tłumaczy, absolwentów lingwistyki UW. Każdy z mich ukończył również jedną z trzech prywatnych szkół podyplomowych kształcących tłumaczy. Dysponujemy danymi o wynagrodzeniu tłumacza wyn, jego płci, język w jakim się dany tłumacz specjalizuje (angielski, hiszpański) jezyk, szkole, w której odbywał naukę podyplomową szkola [=1 - szkoła pod wezwaniem, w szkole nauka trwa 2 semestry (10 miesięcy); 2 - szkoła bez wezwania, w tej szkole nauka trwa 3 semestry(15 miesięcy); 3 - szkoła niezależna nauka trwa 4 semestry (20 miesięcy)], oraz przeciętnej ilości godzin jaką tłumacz poświęcał w szkole podyplomowej na naukę języka czas. Do konstrukcji modelu należy wykorzystać za każdym razem wszystkie zmienne. Najwyżej cenione będą odpowiedzi używające jak najmniejszej ilości zmiennych dodatkowych. (a) Zapisz model umożliwiający sprawdzenie, czy dodatkowa godzina przeciętnego semestralnego czasu poświęconego na naukę, przynosi taką samą procentową zmianę wynagrodzenia absolwentom każdej z trzech szkół. Zaproponuj sposób testowania tej hipotezy. (b) Można wskazać, że szkoły nie różnią się jakością lektorów i tego jak uczą swoich studentów. Zaproponuj model, w którym wynagrodzenie zależy od całkowitego czasu poświęconego na naukę w szkole podyplomowej, a nie od tego, która to szkoła, ani ile semestrów trwa w niej nauka. (c) Dodatkowo, dysponujesz informacją, że prawdopodobnie mężczyźni, a w szczególności ci, którzy uczą się angielskiego, mniej efektywnie przyswajają wiedzę ponieważ, bardzo lektorzy dyskutują z nimi o futbolu. Zapisz taki model, w ramach, którego można będzie przetestować taką hipotezę. (d) Iloma obserwacjami musisz dysponować, aby najbardziej rozbudowany model miał co najmniej 50 stopni swobody. Podaj minimalną możliwą liczbę wraz z uzasadnieniem. (e) Załóżmy, że zmienna czas nie jest dostępna. Różnice w wynagrodzeniu pomiędzy absolwentami różnych szkół mogą wynikać, nie z jakości nauczania, w tych szkołach, a z różnic w długości kształcenia absolwentów (w semestrach). Przedstaw sposób testowania takiej hipotezy.
Zadanie 4. Dysponując danymi dotyczącymi liczby zatrudnionych L i wartości kapitału K w gospodarce należy oszacować parametry modelu analizującego zmiany produkcji przemysłowej. Teoria podpowiada, że przydatna może być funkcja Cobb-Douglasa (a) Zaproponuj model wykorzystujący powyższą formę funkcyjną, tak, aby można było go estymować w ramach KMRL. (b) Posługując się poniższym wydrukiem zdecyduj o istotności parametrów w modelu na poziomie istotności 5% i 10%, oraz dokonaj ich interpretacji ekonomicznej. Zastanów się, czy i w jaki sposób zmieni się wynik testowania istotności statystycznej zmiennych, jeśli do konstrukcji hipotez testowych wykorzystasz wiedze ekonomiczną. Uzasadnij Swoją odpowiedź. Source SS df MS Number of obs = 200 -------------+------------------------------ F( 2, 197) =. Model 10.3421897 2 5.17109484 Prob > F =. Residual 1.22187899 197.006202431 R-squared =. -------------+------------------------------ Adj R-squared =. Total 11.5640687 199.058110898 Root MSE =.07876 ----------------------------------------------------------------------- produkcja Coef. p-value -------------_+--------------------------------------------------------- kapitał*.3235491.0001 zatrudnienie*.704966.0801 cons*.5041739.0350 ----------------------------------------------------------------------- gdzie: * - zmienne, lub pewne ich przekształcenia (c) Przetestuj hipotezę o stałych korzyściach skali. Zapisz hipotezę zerowa i alternatywną oraz statystykę testową i jej rozkład. Opisz jak przeprowadzisz ten test. (d) Zaproponuj sposób reparametryzacji modelu w oparciu o podaną w treści specyfikację w przypadku, kiedy nie dysponujemy danymi dotyczącymi wielkości kapitału. W zamian możemy wykorzystać informacje dotyczące wysokości stopy procentowej, którą uważa się za krańcową produkcyjność kapitału (dy/dk).
Zadanie 4. Dysponując danymi dotyczącymi liczby zatrudnionych L i wartości kapitału K w gospodarce należy oszacować parametry modelu analizującego zmiany produkcji przemysłowej. Teoria podpowiada, że przydatna może być funkcja Cobb-Douglasa (a) Zaproponuj model wykorzystujący powyższą formę funkcyjną, tak, aby można było go estymować w ramach KMRL. (b) Posługując się poniższym wydrukiem zdecyduj o istotności parametrów w modelu na poziomie istotności 5% i 10%, oraz dokonaj ich interpretacji ekonomicznej. Zastanów się, czy i w jaki sposób zmieni się wynik testowania istotności statystycznej zmiennych, jeśli do konstrukcji hipotez testowych wykorzystasz wiedze ekonomiczną. Uzasadnij Swoją odpowiedź. Source SS df MS Number of obs = 200 -------------+------------------------------ F( 2, 197) =. Model 10.3421897 2 5.17109484 Prob > F =. Residual 3.22187899 197.01635472 R-squared =. -------------+------------------------------ Adj R-squared =. Total 13.5640687 199.06816115 Root MSE =.07876 ----------------------------------------------------------------------- produkcja Coef. p-value -------------_+--------------------------------------------------------- kapitał*.3323491.0000 zatrudnienie*.6823672.0749 cons*.4841739.0320 ----------------------------------------------------------------------- gdzie: * - zmienne, lub pewne ich przekształcenia (c) Przetestuj hipotezę o stałych korzyściach skali. Zapisz hipotezę zerowa i alternatywną oraz statystykę testową i jej rozkład. Opisz jak przeprowadzisz ten test. (d) Zaproponuj sposób reparametryzacji modelu w oparciu o podaną w treści specyfikację w przypadku, kiedy nie dysponujemy danymi dotyczącymi wielkości kapitału. W zamian możemy wykorzystać informacje dotyczące wysokości stopy procentowej, którą uważa się za krańcową produkcyjność kapitału (dy/dk).